Liens entre fonction de transfert et représentations d`état d`un système

UV Automatique
Cours 10
Liens entre fonction de transfert et
représentations d'état d'un système
(formes canoniques de la représentation d'état)
ASI 3
Automatique
1
Contenu
! Introduction
! Liens entre les différentes descriptions d'un système
! Passage modèle d'état " fonction de transfert
# Cas d'un système monovariable
# Cas d'un système multivariable
! Passage fonction de transfert " modèle d'état
# Forme canonique de commandabilité
# Forme canonique d'observabilité
# Forme modale
Automatique
2
Introduction
! Exemple : système mécanique (masse en translation)
z
.
Fr=f z
m
F
Entrée : u(t) = F
Etats du système
Sortie : y(t) = z(t)
x1(t ) = z (t )
! Equation différentielle
r
r
∑ F = mγ
F = m&z& + fz&
! Représentation d'état
x&1(t ) = z& (t ) = x2 (t ) (1)
F = m&z& + fz&
F = mx&2 (t ) + fx2 (t )
F f
x&2 (t ) = − x2 (t ) ( 2)
m m
 x&1(t )  0 1   x1(t )   0 

f 
=
 +  1 F
 x&2 (t ) 0 − m   x2 (t )  m 

 x1(t ) 

[
]
(
)
1
0
y
t
=



(
)
x
t
 2 

Automatique
x2 (t ) = z& (t )
! FT (Système d'ordre 2)
H ( s) =
Z ( s)
1
=
F ( s ) s ( ms + f )
! Remarques
$ De l'équation différentielle, on
passe aisément à la FT
$ De l'équation différentielle, on
passe à la représentation d'état
Question : Peut-on passer de la FT à la
représentation d'état et inversement ?
3
Liens entre les différentes descriptions d'un système
! Descriptions d'un système
# Equation différentielle
# Réponse impulsionnelle
# Fonction (ou matrice) de transfert H(s)
# Représentations d'état (A, B, C, D)
! Liens entre les descriptions
Fonction de transfert
H(s)
Equation
différentielle
&y& + a y& + a y = b u& + b u
1
0
1
0
Réponse
impulsionnelle
h(t)
Automatique
Représentation
d’état
(A, B, C, D)
4
Passage représentation d'état " FT (MT)
! Forme générale
 X& = AX (t ) + BU (t )

Y (t ) = CX (t ) + DU (t )
A ∈Rn×n
C ∈R p×n
B ∈Rn×m
D ∈R p×m
X (t ) ∈ Rn
U (t ) ∈ Rm
Y (t ) ∈ R p
# TL de l'équation d'état
Conditions initiales supposées nulles : X(0)=0
(
L X& (t ) = AX (t ) + BU (t )
)
sX ( s ) = AX ( s ) + BU ( s )
I : matrice
n
X ( s ) = (sI n − A)−1 BU ( s ) identité
d'ordre n
# TL de l'équation de sortie
L (Y (t ) = CX (t ) + DU (t ) )
Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s )
(
)
Y ( s ) = C (sI n − A)−1 B + D U ( s )
Automatique
Fonction de transfert
ou matrice de transfert
H ( s ) = C (sI n − A)−1 B + D
5
Passage représentation d'état " FT (MT)
! Remarques
H ( s ) = C (sI n − A)−1 B + D
# Calcul de l'inverse de (sIn−A)
( sI n − A) −1 =
M = com( sI n − A)
(com( sI n −
det( sI n − A)
A))T
matrice des cofacteurs
M = [mi , j ] avec mi, j = ( −1)i + j det M i , j
Mi,j : matrice extraite de
(sIn−A) en supprimant la
ième ligne et la jème colonne
# Nouvelle écriture de H(s)
C (com( sI n − A))T B
H ( s) =
+D
det( sI n − A)
C (com( sI n − A))T B + det( sI n − A) D
H ( s) =
det( sI n − A)
Les pôles du système sont les racines de l'équation det( sI n − A) = 0
Les valeurs propres de A sont solutions de l'équation caractéristique det(λI n − A) = 0
Les pôles du système sont les valeurs propres de A. Toute
l'information sur les modes du système est contenue dans la matrice A
Automatique
6
Passage représentation d'état " FT (MT)
! Exemple 1 : système mono-entrée, mono-sortie
L
Etats du système
i(t) R
Entrée : u(t)
x1(t ) = Vc (t ) x2 (t ) = i (t )
y
(
t
)
=
V
(
t
)
u(t)
(t)
V
Sortie
:
c
c
c
X (t ) = [Vc (t ) i (t )]T

 0
1c 
 0 
Modèle d'état  X& = 
 X +  u

− 1 L − R L 
1 L 
(voir cours 8)
 y = [1 0] X

1c 
1 0  0
sI 2 − A = s 
−

0 1 − 1 L − R L 
Fonction de transfert
−1 c 
 s
sI 2 − A = 

1 L s + R L 
s + R L − 1 L
com( sI 2 − A) = 

s 
 1 c
C (com( sI 2 − A))T B =
Automatique
1
Lc
det( sI 2 − A) = s ( s + R L) + 1 Lc
Lc s 2 + Rcs + 1
det( sI 2 − A) =
Lc
s + R L 1 c  0 
C (com( sI 2 − A))T B = [1 0]
 − 1 L s  1 / L 
C (com( sI 2 − A))T B
H (s) =
det( sI 2 − A)
H (s) =
1
Lc s 2 + Rcs + 1
7
Passage représentation d'état " FT (MT)
! Exemple 2 : système multi-entrée, multi-sortie
 &  − 3 − 2
 0 3
X = 
X + 
U

 1 − 1
− 2 − 1

1 0 

X
Y = 
1 − 2

 x1 (t ) 
avec X (t ) = 

 x2 (t )
 u1 (t ) 
U (t ) = 

u2 (t )
 y1 (t ) 
Y (t ) = 

 y2 (t )
Calcul de la matrice de transfert
1 0   − 3 − 2 
sI 2 − A = s 
−

0 1  1 − 1
s + 3 2 
sI 2 − A = 

 − 1 s + 1
det( sI 2 − A) = s 2 + 4 s + 5
s + 1 1 
com( sI 2 − A) = 

 − 2 s + 3
C (com( sI 2 − A))T B = 1 0   s + 1 − 2   0 3 
1 − 2  1 s + 3 − 2 − 1
Automatique
− 2  0 3 
C (com( sI 2 − A))T B =  s + 1
 s − 1 − 2( s + 4) − 2 − 1
3s + 5 
C (com( sI 2 − A))T B =  4
4( s + 4) 5( s + 1)
8
Passage représentation d'état " FT (MT) : exemple 2
! Exemple 2 (suite)
C (com( sI 2 − A))T B
H (s) =
det( sI 2 − A)
4

 s 2 + 4s + 5
H (s) = 
 4( s + 4)
 s 2 + 4s + 5
3s + 5 
s 2 + 4s + 5 

5( s + 1) 
s 2 + 4s + 5 
Dans le cas de système multi-entrée, multi-sortie, on parle
de matrice de transferts (MT) au lieu de fonction de transfert.
Signification des éléments de la
matrice de transferts de l'exemple
 H11( s ) H12 ( s ) 

H (s) = 


 H 21( s) H 22 ( s )
Automatique
 Y1 ( s ) 
U1 ( s ) 
 = H (s)

Y (s) = 




Y2 ( s )
U 2 ( s )
Y (s)
H11 ( s ) = 1
U1 ( s )
Y (s)
H12 ( s ) = 1
U 2 ( s)
Y (s)
H 21 ( s ) = 2
U1 ( s )
Y (s)
H 22 ( s ) = 2
U 2 (s)
Y1 ( s ) = H11 ( s )U1 ( s) + H12 ( s )U 2 ( s )
Y2 ( s ) = H 21( s )U1 ( s ) + H 22 ( s )U 2 ( s )
9
Passage représentation d'état " FT (MT)
! Remarques
# Une représentation d'état d'un système est caractérisée par le
quadruplet (A, B, C, D)
# Toute représentation d'état (A, B, C, D) d'un système qui vérifie
H ( s ) = C (sI n − A)−1 B + D est appelée une réalisation de H(s)
# Une réalisation (A, B, C, D) avec dim(A)=n est une réalisation
minimale s'il n'existe pas d'autres réalisations de H(s) de dimension
inférieure à n
# Dans le cas d'un système mono-entrée, mono-sortie, la réalisation
minimale correspond à une fraction rationnelle irréductible (pas de
simplification des pôles et zéros)
Automatique
10
Passage FT " représentation d'état
! Position du problème
A partir d'une FT, est-il possible de déterminer une représentation d'état (une seule
ou la plus simple possible)? Ce problème est dénommé problème de réalisation
Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + L + b1s + b0
H (s) =
= n
,m < n
n
−
1
U (s)
s + an −1s
+ L + a1s + a0
?
( A, B, C , D)
On peut trouver autant de représentations d'état qu'on veut. Néanmoins
il existent quelques formes remarquable exposées ci-après
! Forme canonique de commandabilité
# Cas simple : m=0 et b0=1
H ( s) =
Y (s)
1
= n
U ( s ) s + L + a1s + a0
Equation différentielle
s nY ( s ) + an −1s n −1Y ( s ) + L + a1sY ( s ) + a0Y ( s ) = U ( s )
y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) + L + a1 y (1) (t ) + a0 y (t ) = u (t )
y ( n ) (t ) = −an −1 y ( n −1) (t ) − L − a1 y (1) (t ) − a0 y (t ) + u (t )
Automatique
11
Passage FT " représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas simple
Equations d'état
Posons
Dérivation
x1 (t ) = y (t )
x2 (t ) = y (1) (t )
M
xn −1 (t ) = y ( n − 2) (t )
xn (t ) = y ( n −1) (t )
x&1 (t ) = y (1) (t )
x&2 (t ) = y ( 2) (t )
x&1 (t ) = x2 (t )
x&2 (t ) = x3 (t )
M
x&n −1 (t ) = y ( n −1) (t )
x&n (t ) = y ( n) (t )
M
x&n −1 (t ) = xn (t )
x&n (t ) = −a0 x1 (t ) − a1x2 (t ) − L − an −1xn (t ) + u (t )
Forme canonique de commandabilité
0  x
 x&1   0 1 0 L L
 1  0 
0
0
1
0
0
L


 x& 
OO
M   x2  0
 2 = M


0   M  +  M u (t )
O O
& M   M
0 
x
 xn −1   0
0
1   n −1  1
 x&n  − a0 − a1 L L − an − 2 − an −1   xn   
 x1 
 x2 
y (t ) = [1 0 L 0 0] M 
x 
 n −1 
 xn 
Automatique
Remarques
$ Chaque variable d'état xi,
i=2,…,n−1 est la dérivée de la
variable précédente. On parle
de variables de phase
$ A cause de cette dépendance,
en faisant varier la commande
u, tous les états sont modifiés :
le système est commandable
12
Passage FT " représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité
# cas simple : schéma de simulation
xi (t ) = ∫ xi +1 (t )
x&i (t ) = xi +1 (t ) pour i = 2,L, n − 1
x&n = −a0 x1 − a1x2 − L − an −1xn + u
u
+
−
x&n
∫
xn
∫
xn −1
∫
xn − 2
x2
an −1
an − 2
an − 3
+
+
+
+
+
+
∫
x1
y
a0
a1
+
+
# Cas général : m<n et b0≠0
Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + L + b1s + b0
= n
H (s) =
U (s)
s + an −1s n −1 + L + a1s + a0
Soit v une variable
Y ( s) V ( s)
intermédiaire telle que H ( s ) =
V (s) U (s)
Automatique
V (s)
1
= n
(I)
U ( s ) s + L + a1s + a0
Y (s)
= bm s m + bm −1s m −1 + L + b1s + b0 (II)
V (s)
13
Passage FT " représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas général
$ Equation (I)
$ Equation (II)
Elle correspond au cas précédent
x&1 = x2
x =v
Y ( s)
= bm s m + bm −1s m −1 + L + b1s + b0
V (s)
x2 = v (1)
M
Y ( s ) = (bm s m + L + b1s + b0 )V ( s )
1
xn −1 = v ( n − 2)
xn = v ( n −1)
x&2 = x3
M
x&n −1 = xn
x&n = − ∑ n −1ai xi +1 + u
i =0
y (t ) = bmv ( m ) (t ) + L + b1v (1) (t ) + b0v(t )
y (t ) = bm xm +1 (t ) + L + b1x2 (t ) + b0 x1 (t )
Représentation d'état
0  x
 x&1   0 1 0 L L
 1  0 
0
0
1
0
0
L


 x& 
 x2  0
2
M
O
O
M



=
 M  +  M u (t )
M


0
M
O
O
& 
 x  0 
 xn −1   0
0
1   n −1  1
 x&n  − a0 − a1 L L − an − 2 − an −1   xn   
 x1 
 x2 
 M 
y (t ) = [b0 b1 L bm 0 L 0] xm +1 


x
m
+
2


M


x
 n 
Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les
Automatique coefficients de la FT sont éléments des matrices du modèle d'état
14
Passage FT " représentation d'état
! Forme canonique de commandabilité : cas général
x&i = xi +1 pour i = 2,L, n − 1
xi = ∫ xi +1
x&n = − a0 x1 − a1x2 − L − an −1xn + u
y = bm xm +1 + L + b1x2 + b0 x1
+
Schéma de simulation
u
−
x&n
∫
xn
∫
xn −1
+
y
+
bm
+
+
∫
xn − 2
+
b0
b1
x2
xm+1
an −1
an − 2
an − 3
+
+
+
+
+
+
+
+
a1
∫
x1
a0
Notion de commandabilité : en agissant sur u, on fait évoluer xn, puis
les autres états par effet cascade. Les états du système peuvent donc
être commandés et modifiés
Automatique
15
Passage FT " représentation d'état
! Forme canonique d'observabilité
bm s m + L + b1s + b0
Y (s)
H ( s) =
=
,m < n
U ( s ) s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0
s nY ( s ) + an −1s n −1Y ( s ) + L + a1sY ( s ) + a0Y ( s ) = b0U ( s ) + b1sU ( s ) + L + bm s mU ( s )
s nY ( s ) = (b0U ( s ) − a0Y ( s )) + s (b1U ( s ) − a1Y ( s )) + L + s m (bmU ( s ) − amY ( s ))
− am +1s m +1Y ( s ) − L − an −1s n −1Y ( s )
Divisons cette équation par sn
Y ( s) =
b0U ( s ) − a0Y ( s ) b1U ( s ) − a1Y ( s )
bmU ( s ) − amY ( s ) am +1Y ( s )
an −1Y ( s )
+
+
L
+
−
−
L
−
s
sn
s n −1
sn−m
s n − m −1
Dessinons le schéma de simulation correspondant à cette équation
Automatique
16
Passage FT " représentation d'état
u
Schéma de simulation
b1
b0
+
x&1
−
+ .
1 x1 + x2
s
−
a0
a1
b2
+ .
1 x2 + x3
s
−
bm
.
+
1 xm+1 + xm+1
s
−
a2
am
! Modèle d'état
x&1 = −a0 xn + b0u
x&2 = x1 − a1xn + b1u
M
x&m +1 = xm − am xn + bmu
x&m + 2 = xm +1 − am +1xn
M
x&n = xn −1 − an −1xn
y = xn
Automatique
 x&1  0 0 L L 0
 x&  1 0 L L 0
 &2  0 1 0 L 0
 x3  = 
OO M
 M  M
 x&n −1  0 L 0 1 0
 x&  0 0 L L 1
 n 
 x1 
x 
y (t ) = [0 0 L 1] 2 
M
x 
 n
.
xn−1 1 xn−1 +
s
−
.
xn
1 xn
y
s
an-1
− a0   x1   b0 
− a1   x2   b1 
 
− a2   x3   M 
+
u (t )

M   M  bm 


− an − 2   xn −1   0 
M
− an −1   xn   0 
 
Connaissant y=xn, on peut
déduire les autres états par
dérivation et différence : c'est
l'observabilité.
17
Passage FT " représentation d'état
! Remarques
$ La commandabilité est la possibilité de modifier les états en appliquant la
commande appropriée. Cela est mise en évidence par la forme canonique
de commandabilité
$ L'observabilité est la possibilité de reconstruire les états à partir de la sortie
et de l'entrée. Ceci apparaît sur le schéma de la forme canonique
d'observabilité. Connaissant y=xn, on déduit les autres états en
parcourant le schéma à l'envers et à partir de l'entrée
$ Observabilité et commandabilité sont intrinsèques au système et ne
dépendent pas de la réalisation
! Dualité des formes canoniques de commandabilité et d'observabilité
Soit ( Ac , Bc , Cc , Dc ) : la réalisation canonique de commandabilité
Soit ( Ao , Bo , Co , Do ) : la réalisation canonique d'observabilité
On constate que
Automatique
( Ac , Bc , Cc , Dc ) = ( AoT , CoT , BoT , Do )
18
Passage FT " représentation d'état
! Forme modale
# Cas 1 : le système admet n pôles distincts réels λi
bm s m + L + b1s + b0
H ( s) = n
s + an −1s n −1 + L + a1s + a0
%
%
i = 1,L, n
bm s m + L + b1s + b0
H ( s) =
( s − λn )( s − λn −1 )L( s − λ2 )( s − λ1 )
Décomposition en éléments simple
U (s)
µi
Y (s)
Y ( s ) = ∑in=1 µi
H ( s) =
= ∑in=1
( s − λi )
U (s)
( s − λi )
Choix des états
U ( s)
X i ( s) =
( s − λi )
sX i ( s ) = λi X i ( s ) + U ( s )
x&i (t ) = λi xi (t ) + u (t )
pour i = 1,..., n
 x&1  λ1
 x&   0
 M2  =  M
&  0
x
Automatique  n  
0 L 0   x1  1
λ2 O M   x2  + 1u (t )
O O 0   M  M 
L 0 λn   xn  1
y (t ) = ∑in=1 µi xi (t )
 x1 
x 
y (t ) = [µ1 µ 2 L µ n ] 2 
M
x 
 n
19
Passage FT " représentation d'état
! Forme modale
# Remarques sur le cas 1
$ La représentation fait apparaître les pôles (ou modes) du système
$ La matrice A est diagonale " calcul simplifié de eAt
$ Soit (A, B, C, D) une réalisation. Si A admet n valeurs propres distinctes λi,
A est diagonalisable et il existe une matrice de transformation T telle que
λ1 0 L 0 
Am = T −1 AT Cm = CT


avec Am =  0 λ2 O M  T : matrice des
M OO 0
Bm = T −1B
Dm = D
 0 L 0 λ  vecteurs propres de A

n
+
x1
∫
x1
+
Schéma de
simulation
λ1
+
u
+
y
+
+
xn
∫
+
Automatique
µ1
λn
xn
Chaque état xi est
indépendant des
autres
µn
20
Passage FT " représentation d'état
! Forme modale
# Cas 2 : le système admet n pôles distincts réels et complexes
Soit λ1 = σ + jω et λ2 = σ − jω les pôles complexes conjugués du système
% Décomposition
H (s) =
µi
a + jb
a − jb
+
+ ∑in=3
s − (σ + jω ) s − (σ − jω )
( s − λi )
Y ( s ) = (a + jb)
%
en éléments simples
U (s)
U (s)
U (s)
+ (a − jb)
+ ∑in=3 µi
s − (σ + jω )
s − (σ − jω )
( s − λi )
Choix des états
X1 ( s ) =
U ( s)
s − (σ + jω )
sX1 ( s ) = (σ + jω ) X1 ( s ) + U ( s )
x&1 = (σ + jω ) x1 + u
X 2 (s) =
U (s)
s − (σ − jω )
sX 2 ( s ) = (σ − jω ) X 2 ( s ) + U ( s)
x&2 = (σ − jω ) x2 + u
x&i (t ) = λi xi (t ) + u (t )
pour i = 3,..., n
Automatique
Pas de problème
pour les pôles réels
On obtient des états à
coefficients complexes qui ne
signifient rien physiquement !!
21
Passage FT " représentation d'état
! Forme modale : cas des pôles complexes conjugués
%
Transformation linéaire sur les états complexes
x1' = x1 + x2
x '2 = j ( x1 − x2 )
sX 1' ( s ) = sX1 ( s ) + sX 2 ( s )
sX '2 ( s ) = j ( sX1 ( s ) − sX 2 ( s ))
Sortie
Y ( s ) = (a + jb) X1 ( s ) + (a − jb) X 2 ( s ) + ∑in=3 µi X i ( s )
Y ( s ) = aX 1' ( s ) + bX '2 ( s) + ∑in=3 µi X i ( s )
sX 1' ( s ) = σX 1' ( s ) + ωX '2 ( s ) + 2U ( s )
sX '2 ( s) = −ωX 1' ( s ) + σX '2 ( s )
x&1' = σx1' + ωx '2 + 2u
x&2' = −ωx1' + σx '2
y = ax1' + bx '2 + ∑in=3 µi xi
Couplage entre les états
correspondants aux pôles
complexes conjugués
Automatique
 x& ' 
 & '1   σ
 x 2  − ω
 x3  =  0
M   M
 x&   0
 n
ω 0 L 0   x1  2
σ 0 L 0   x '  0 
0 λ3 O M   2  + 1 u (t )
x
'
M 0 O 0  3   M 
0 L 0 λn   M  1 
 xn 
 x' 
 '1 
x 
y (t ) = [a b µ3 L µ n ] 2 
x3
 M 
x 
 n
22
Passage FT " représentation d'état
! Forme modale : cas des pôles multiples
Soit λ1 un pôle réel d'ordre k et λk+1,…, λn des pôles réels simples
%
Décomposition en éléments simples
bm s m + L + b1s + b0
H (s) =
( s − λ1 ) k ( s − λk +1 ) L ( s − λn )
H (s) =
Y ( s) =
%
Choix des états
U ( s)
X1 ( s) =
( s − λ1 ) k
U (s)
X 2 ( s) =
( s − λ1 ) k −1
M
U (s)
X k −1 ( s) =
( s − λ1 ) 2
U ( s)
X k ( s) =
( s − λ1 )
U ( s)
X i (s) =
, i = k + 1,L , n
( s − λi )
Automatique
µk
µi
µ1
µ2
n
L
+
+
+
∑
i = k +1 ( s − λ )
( s − λ1 )
( s − λ1 ) k ( s − λ1 ) k −1
i
µ kU ( s )
µiU ( s)
µ1U ( s)
µ 2U ( s)
n
L
+
+
+
∑
i = k +1 ( s − λ )
( s − λ1 )
( s − λ1 ) k ( s − λ1 ) k −1
i
X1 ( s) =
X 2 ( s)
( s − λ1 )
X 2 ( s) =
X 3 ( s)
( s − λ1 )
M
X k −1 ( s ) =
X k ( s)
s − λ1
X k ( s) =
U ( s)
( s − λ1 )
X i (s) =
U ( s)
, i = k + 1,L , n
( s − λi )
x&1 = λ1x1 + x2
x&2 = λ1x2 + x3
M
x&k −1 = λ1xk −1 + xk
x&k = λ1xk + u
x&i = λi xi + u , i = k + 1,L, n
y (t ) = ∑in=1 µi xi (t )
23
Passage FT " représentation d'état
! Forme modale : cas des pôles multiples
x&1 = λ1x1 + x2
x&2 = λ1x2 + x3
M
x&k −1 = λ1xk −1 + xk
x&k = λ1xk + u
x&i = λi xi + u, i = k + 1,L, n
y (t ) = ∑in=1 µi xi (t )
Bloc de Jordan
 x&1  λ1 1 L 0
  x1  0
 M  0 OO M
 M  M 
0
 
 x&   M O λ 1



x
0 
k −1
1
 k& −1  



 xk  =  0 L 0 λ1
  xk  + 1u (t )
λk +1
 x&k +1  
  xk +1  1
 M  
0
O  M  M 
1
 x&  
x



λ


n
n
n
 x1 
y (t ) = [µ1 L µ n ] M 
 xn 
 
D'une façon générale, si le système admet r pôles d'ordre de multiplicité
kr, tel que k1+…+ kr=n, la forme modale de la matrice d'état est
Automatique
0
0 
L
 J k1 (λ1 )
 0
J k 2 (λ2 ) O
M 
A=

0
M
O
O


0
0
(
)
L
J
λ
kr
r 


Bloc de Jordan
λi 1 0 0 
avec J k (λi ) =  0 λi O M 
i
 M OO 1
0 L 0 λ 

i
J ki (λi ) ∈ Rki ×ki
24
Passage représentation d'état " FT (MT) : exemple 1
−1 c 
 s
sI 2 − A = 

1 L s + R L 
1c 
1 0  0
sI 2 − A = s 
−

0 1 − 1 L − R L 
det( sI 2 − A) = s ( s + R L) + 1 Lc
Lc s 2 + Rcs + 1
det( sI 2 − A) =
Lc
s + R L − 1 L
com( sI 2 − A) = 

s 
 1 c
Ccom( sI 2 −
A)T B
s + R L 1 c   0 
= [1 0]


s  1 / L 
 − 1 L
Ccom( sI 2 − A)T B
H (s) =
det( sI 2 − A)
Automatique
H (s) =
Ccom( sI 2 − A)T B =
1
Lc
1
Lc s 2 + Rcs + 1
25
Modélisation
Automatique
1 t
& (t ) = 1 i (t )
i (τ )dτ
V
∫
c
0
c
c
di (t )
di (t )
1
R
1
+ Vc (t ) = u (t )
Ri(t ) + L
= − Vc (t ) − i (t ) + u (t )
dt
dt
L
L
L
Vc (t ) =
26