EXERCICE 1. Un lot de tulipes a un pouvoir

Exercice 1.
Un lot de tulipes a un pouvoir germinatif de 80% ; cela signifie que l'on considère que chaque bulbe a une
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probabilité égale à de produire une fleur et cela indépendamment des autres bulbes.
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Chaque bulbe contient l'un des trois gènes R (rouge), B (blanc) et J (jaune) qui détermine la couleur de la
future fleur éventuelle.
1
On suppose que la probabilité pour qu'un bulbe possède le gène R est , la probabilité pour qu'un bulbe
2
1
2
, et la probabilité pour qu'un bulbe possède le gène J est .
possède le gène B est
10
5
1. a. Tracer un arbre pondéré traçant la floraison d'un bulbe.
b. Quelle est la probabilité pour qu'un bulbe planté produise une fleur rouge ?
c. Quelle est la probabilité pour qu'un bulbe planté produise une fleur blanche ?
2. On appelle X la variable aléatoire qui associe le nombre k de fleurs rouges obtenues après avoir
planté 5 bulbes.
a. Démontrer qu'il s'agit d'un schéma de Bernouilli dont on donnera les éléments
caractéristiques.
b. Déterminer la loi de probabilité de X.
c. Calculer E(X).
3. Soit n un entier supérieur ou égal à 1.
On désigne par pn la probabilité de n'obtenir aucune tulipe blanche après avoir planté n bulbes.
Calculer pn.
4. Combien de bulbes doit-on planter, au minimum, pour obtenir au moins une tulipe blanche, avec une
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?
probabilité supérieure ou égale à
20
Correction
1.a.
,5
)=0
R
p(F∩R)=0,8x0,5=0,4
(R
pF
pF(B)=0,1 B p(F∩B)=0,8x0,1=0,08
pF
p(
F
)=
0,
8
F
,2
=0
F)
p(
F
(J
)
=0
,
4
J p(F∩J)=0,8x0,4=0,32
b.
p ( F ∩ R) = p ( F ) × pF ( R) = 0,8 × 0,5 = 0, 4
c.
p ( F ∩ B) = p ( F ) × pF ( B) = 0,8 × 0,1 = 0, 08
2.a.
* Le succès est obtenir une fleur Rouge
* Il y a n = 5 épreuves
* Il y a k succès
* p = p ( F ∩ R ) = 0, 4
b.
5
p( X = 0) =   (0, 4)0 × (0, 6)5 = 0, 07776
0
 5
p( X = 1) =   (0, 4)1 × (0, 6) 4 = 0, 2592
1
5
p( X = 2) =   (0, 4) 2 × (0, 6)3 = 0,3456
 2
 5
p( X = 3) =   (0, 4)3 × (0, 6) 2 = 0, 2304
 3
5
p( X = 4) =   (0, 4) 4 × (0, 6)1 = 0, 0768
 4
5
p( X = 5) =   (0, 4)5 × (0, 6)0 = 0, 01024
5
0
1
X = xi
p(X = xi)
0,0776
0,2592
0
0,2592
pi×xi
2
0,3456
0,6912
E ( X ) = ∑ i =1 pi × xi = 2
5
A la calculatrice :
Saisir en Y la fonction p(X=x)
Appeler la fonction pour différentes valeurs de x.
3
0,2304
0,6912
4
0,0768
0,3072
5
0,01024
0,0512
Créer une liste pour rentrer les données du tableau :
Saisir les données : X = xi dans la colonne c1.
Après avoir sélectionner la case d'entête c2, taper la formule y1(c1) comme suit :
De même, dans l'entête c3, taper la formule c1*c2.
Rechercher la somme de la colonne c3 :
<F5>, Selectionner "Une Variable" et poser c3 comme variable.
L'Espérance se trouve en Σx
3. On a répété n fois l'expérience, et on n'a obtenu aucune fleur blanche :
n
pn ( X = 0) =   (0, 08)0 × (0,92) n
0
4. Le contraire de "au moins une fleur blanche" est "aucune fleur blanche"
Cette probabilité est donc p = 1 − pn = 1 − 0,92n
Il faut donc que :
− ln 20
19
19
1
1
⇔ 0,92n ≤ 1 −
⇔ 0,92n ≤
⇔ ln 0,92n ≤ ln
⇔ n ln 0,92 ≤ − ln 20 ⇔ n ≥
≈ 35,9
1 − 0,92n ≥
20
20
20
20
ln 0,92
On doit donc planter au minimum 36 fleurs pour avoir une probabilité supérieure à 19/20 d'obtenir une fleur
Blanche.