Examen : Bac STI Génie Electronique Epreuve

Examen : Bac STI Génie Electronique
Epreuve : Mathématiques
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I – QUEL INTERET POUR LE SUJET
Résolution d’une équation complexe du second degré et propriétés géométriques des images
des solutions
II – SAVOIRS ET SAVOIR-FAIRE
-
Equation complexe du second degré
-
Forme algébrique et trigonométrique d’un complexe
-
Rotation
-
Translation
III – REPONSES
1)
2)
S = { 2 +i 2 ; 2 −i 2 }
a)
z A = zB = 2
Arg ( z A ) =
π
4
Arg ( z B ) = −
b)
z A = 2e
z B = 2e
i
π
4
π
4
−i
π
4
c) Voir graphique
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3) a) Rotation de centre O et d’angle
b)
zC = 2 e
i
−
π
12
π
6
zC = 3 + i
c) Voir graphique
4) a)
zD = − 2 − i 2
b) voir Graphique
c) ACD est rectangle en C
IV – DEVELOPPEMENT
1) Soit l’équation dans C l’ensemble des nombres complexes :
z2 − 2 2z + 4 = 0
Soit
∆ = b2 − 4ac
(
= 2 2
)
2
− 4× 4
= 8 − 16 = −8 = 8i 2
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Les solutions sont :
z1 =
2 2 + i 8 2 2 + 2i 2
=
2
2
z1 = 2 + i 2
et
d’où S = {
2)
z2 = z1 = 2 − i 2
2 +i 2 ; 2 −i 2 }
z A = 2 + i 2 et z B = 2 − i 2
a)
zA = 2 + 2 = 4 = 2
zB = z A
Donc
zB = z A = 2
z A = 2(
2
2
+i
) soit θ = Arg ( z A )
2
2
On a alors
π
4
cos θ =
2
2
π
et sin θ =
d’où θ = + 2kπ
2
2
4
est un argument de
z A donc −
π
4
est un argument de
zB
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b)
z A = 2 et Arg ( z A ) =
π
4
donc
z A = 2e
i
π
4
c)
3) Soit la transformation R définie par :
z ' = ze
−i
π
12
a) R est la rotation de centre O, origine du repère, et d’angle
−
π
12
.
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b) On a
zC = e
−i
π
12
× 2e
i
π
4
π π 
i − 
12 
= 2e  4
d’où
z C = 2e
On a
cos
π
6
i
π
6
=
3
π 1
et sin =
2
6 2
d’où
3 1
+ i)
2 2
zC = 3 + i
zC = 2(
c) Voir graphique
4) Soit D l’image du point B par la translation T de vecteur d’affixe
−2 2
a) On a :
z D − z B = −2 2
z D = −2 2 + ( 2 − i 2)
zD = − 2 − i 2
b) Voir graphique
c)
zD = − 2 − i 2
d’où
On a donc
zD = 2 + 2 = 2
z A = zC = z D
Les points A, C, D sont situés sur le cercle de centre O et de rayon r = 2.
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-
A a pour coordonnées A
2
2
-
D a pour coordonnées D
− 2
− 2
Les points A et D sont diamétralement opposés sur le cercle.
Donc le triangle ADC est inscrit dans un demi-cercle.
Le triangle ACD est rectangle en C.
V - COMMENTAIRES
Il fallait bien maîtriser le passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique et placer les
points en utilisant des propriétés géométriques.
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