U - Free

1et_ch9 (Complexes_RLC_sinusoïdal).odt ­ Marie Pierrot – Lycée du Rempart ­ 20/05/10
Ch.9 : Dipôles passifs en régime sinusoïdal.
1. Nombres complexes associés aux vecteurs de Fresnel.
Le vecteur de Fresnel:
Son module est la valeur efficace de la grandeur u(t) qu'il représente.
θ est la phase à l'origine de u(t).
U
U
θU
O
x
On peut lui associé un nombre complexe: U=U∙cos θj∙U ∙sinθ
U = U  et θ = Arg (U)
j est un nombre complexe tel que: j2 = ­1 et 1
= − j.
j
Un vecteur tout comme un nombre complexe nous permet de caractériser une grandeur sinusoïdale en nous indiquant son amplitude et sa phase à l'origine.
Réponses : U1=5
U2=j ∙4
U3=−3
U4=−j ∙2
Exercice d'application n°1
Dessiner les vecteurs de Fresnel et donner l'écriture complexe des tensions ci – contre :
u1=5∙  2 ∙sinω ∙t
u2=4 ∙  2∙sin ω∙ t  
2

u5=5,8 ∙  2 ∙sin  ω∙ t− 
u
=5,8
∙
2
∙sinω
∙t−  

4
u3=3 ∙  2∙sin ω∙t
3
2
U5=2,9−j∙5
2. Les dipôles passifs en régime sinusoïdal
2.1. Caractéristiques d'un dipôle passif linéaire
i=I  2∙sin ω∙t−φ
Les dipôles passifs sont la résistance, le condensateur et l'inductance.
Lorsque on applique une tension sinusoïdale u=U  2∙sin ω∙t , de fréquence donnée, à un dipôle passif linéaire, il est traversé par un courant sinusoïdal i=I  2∙sin ω∙ t−φ de même fréquence que la tension et tel que U et I sont proportionnels : U=Z ∙I
Z est appelée impédance du dipôle et s'exprime en Ohm – Ω­ φ est le déphasage entre la tension et l'intensité en radians – rad­ ; φ = θU – θI
Dipôle passif
Z;φ
u=U  2 ∙sin ω∙ t
Un dipôle passif linéaire est caractérisé par son impédance Z et le déphasage φ qu'il produit entre la tension à ses bornes et l'intensité du courant qui le traverse.
Rmq: on définie également Y = 1/Z, appelée admittance et qui s'exprime en Siemens ­S­.

Exercice d'application n°2 : Un dipôle passif soumis à une tension u=16  2∙ sin9525∙ t−  est traversé par un 6

courant d'intensité i=0,008  2∙ sin 9525∙ t  .
12
1) Dessiner les vecteurs de Fresnel associés à chacune de ces grandeurs
2) Déterminer les nombres complexes qui leur sont associés
3) Déterminer les éléments caractéristiques du dipôle passif Z et φ.
2.2. Impédance complexe des dipôles élémentaires.
I et U sont les nombres complexes associés aux vecteurs
La loi d'Ohm s'écrit avec les complexes : U = Z.I
I et U
 .
⇒ Z =
U
[U ; 0 ]
=
= [Z ; φ]
I
[I ;−φ ]
Z est l'impédance complexe du dipôle élémentaire : Z = [ Z ; φ ]
Exercice d'application n°3 : Reprendre l'exercice précédent et déterminer l'impédance complexe Z du dipôle passif, sous la forme trigonométrique et sous la forme algébrique. Calculer le rapport U / I . Conclusion ?
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2.3. Résistance.
R
i
Entre les valeurs instantanées du courant et de la tension on a la relation: u = R i
si i=I  2 sin ωt  alors u=RI  2 sin  ωt  avec U=RI
u
Tension u :
Amplitude
4,23 Volt
Valeur efficace
2,99 Volt
10
0 degrés
Phase à l'origine
intensité i
Valeur efficace
4
3
3
0 degrés
i(t) (mA)
y
Vecteur 1
2,99
0
Vecteur 2
6,36
0
1
1
u(t) (V)
On en déduit :
x
2
2
100 Hertz
Fréquence
5
6
4
6,36 mA
Phase à l'origine
7
5
9 mA
Amplitude
6
8
100 Hertz
Fréquence
7
9
0
0
­1
­1
­2
­3
­2
­4
­3
­5
Caractéristique de l'impédance
­8
470 ohms
Module
­5
­7
0 degrès
Déphasage
­4
­6
­6
­9
­7
­10
0
1
2
3
4
5
temps en millisecondes
6
7
8
9
­7
10
­6
­5
­4
­3
­2
­1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
Exercice d'application n°4
Déterminer le déphasage entre u et i et le module de l'impédance Z = U / I
En déduire la valeur de la résistance.
Les caractéristiques du résistor linéaire sont: Z = R et ϕ = 0 rad
Impédance complexe:
 sont colinéaires et on peut écrire U = R.I entre les grandeurs complexes associées.
Les vecteurs de Fresnel 
I et U
→ L'impédance complexe d'une résistance est réelle : ZR = R
2.4. Bobine parfaite (inductance).
si
i =I  2sin  ωt θ I  alors

u=LωI  2sin ωt θI 
On a :
U =LωI
et
π
2

L
i
di
Entre les valeurs instantanées du courant et de la tension on a la relation: u=L
dt
u
d
u =L
I  2sin  ωt θ I  = LI  2 ⨯ ωcos ωt θI 
dt
[
et comme
]
u=U  2sin  ωt θ U 
π
φ = θ U −θI =  rad
2
Tension u :
5 Volt
Amplitude
Valeur efficace
10
3,54 Volt
intensité i
Valeur efficace
4
3
3
0 degrés
On en déduit :
x
y
Vecteur 1
0
3,54
Vecteur 2
5,66
0
2
2
100 Hertz
Fréquence
5
6
4
5,66 mA
Phase à l'origine
7
5
8 mA
Amplitude
6
8
100 Hertz
Fréquence
7
9
90 degrés
Phase à l'origine
1
1
u(t) (V)
0
0
i(t) (mA)
­1
­1
­2
­3
­2
­4
­3
­5
Caractéristique de l'impédance
90 degrès
Déphasage
Module
625 ohms
­4
­6
­7
­5
­8
­6
­9
­7
­10
0
1
2
3
4
5
temps en millisecondes
6
7
8
9
10
­7
­6
­5
­4
­3
­2
­1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
Exercice d'application n°5
Déterminer le déphasage entre u et i et le module de l'impédance Z = U / I
En déduire la valeur de l'inductance de la bobine.
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Les caractéristiques de la bobine parfaite sont: Z = Lω et ϕ = +π/2 rad
Impédance complexe:
Loi d'Ohm en complexe: UL = ZL.I
Relation entre les modules : UL = LωI
On peut écrire : UL = [ LωI ; 

] = jLωI car 2
U L est sur l'axe des imaginaires purs.
→ L'impédance complexe d'une bobine parfaite est : ZL = [ Lω ;   ] = jLω 2
2.5. Condensateur parfait (capacité).
Entre les valeurs instantanées du courant et de la tension on a la relation: i =C
si u = U  2 sin  ωt  alors

u = CωU  2 sin ωt 
On a alors :
π
2

I = CωU
C
i
du
dt
u
d
i = C [ U  2sin  ωt  ] = CU  2 ⨯ω cos  ωt 
dt
et comme
ou U =
i = I  2sin  ωt −φ 
I
Cω
et
π
φ = θ U −θI = − rad
2
Tension u :
7 Volt
Amplitude
Valeur efficace
10
4,95 Volt
Phase à l'origine
­90 degrés
Fréquence
100 Hertz
4
3
3
0 degrés
On en déduit :
x
y
Vecteur 1
0
­4,95
Vecteur 2
3,54
0
2
2
100 Hertz
Fréquence
5
6
4
3,54 mA
Phase à l'origine
7
5
5 mA
Valeur efficace
6
8
intensité i
Amplitude
7
9
1
1
u(t) (V)
0
0
i(t) (mA)
­1
­1
­2
­3
­2
­4
­3
­5
­7
­90 degrès
Déphasage
­5
­8
1400 ohms
Module
­4
­6
Caractéristique de l'impédance
­6
­9
­7
­10
0
1
2
3
4
5
temps en millisecondes
6
7
8
9
10
­7
­6
­5
­4
­3
­2
­1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
Exercice d'application n°6
Déterminer le déphasage entre u et i et le module de l'impédance Z = U / I
En déduire la valeur de la capacité du condensateur.
Les caractéristiques du condensateur parfait sont: Z = 1/Cω et ϕ = ­π/2 rad
Impédance complexe:
Loi d'Ohm : UC = ZC.I
Relation entre les modules : UC = (1/Cω)×I
On peut écrire : UC = [ 1

∙I ; − ] = ­j ×(1/Cω) × I 2
Cω
→ L'impédance complexe d'un condensateur parfaite est : ZC = [ 1 ; −  ] = 1/jCω Cω
2
2.6. Généralisation
L'impédance complexe Z introduit le déphasage entre U et I et contient la proportionnalité entre les valeurs efficaces :
Z =[ Z ; φ]
et U =Z ⨯ I
⇒
{
U =Z ⨯ I
φ=θ U −θ I =Arg Z 
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Exercice d'application n°7
1) Déterminer le déphasage entre u et i et le module de l'impédance Z = U / I
2) En déduire l'impédance complexe Z sous la forme trigonométrique puis sous la forme algébrique.
3) Ce dipôle possède une résistance. Est­il selon vous plutôt inductif ou plutôt capacitif ?
4) i=3,54 ∙10−3 ∙  2∙sin ω∙t   . Exprimer l'intensité complexe I sous la forme trigonométrique.
4
5) En déduire la tension complexe U en utilisant la loi d'Ohm complexe.
6) Votre résultat correspond­il aux données concernant u ?
Tension u :
6 Volt
Amplitude
Valeur efficace
10
4,24 Volt
Phase à l'origine
­20 degrés
Fréquence
100 Hertz
4
3
3
45 degrés
On en déduit :
x
y
Vecteur 1
3,99
­1,45
Vecteur 2
2,5
2,5
2
2
100 Hertz
Fréquence
5
6
4
3,54 mA
Phase à l'origine
7
5
5 mA
Valeur efficace
6
8
intensité i
Amplitude
7
9
1
1
u(t) (V)
0
0
i(t) (mA)
­1
­1
­2
­3
­2
­4
­3
­5
Caractéristique de l'impédance
­65 degrès
Déphasage
Module
1200 ohms
­4
­6
­7
­5
­8
­6
­9
­7
­10
0
1
2
3
4
5
temps en millisecondes
6
7
8
9
­7
10
­6
­5
­4
­3
­2
­1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
3. Tableau récapitulatif
Dipôle
RESISTOR PARFAIT
Représentation
i
REACTOR PARFAIT
R
i
U =R I
Z R =[ R ; 0]=R
C
u
U = j Lω I
U = Z I Impédance Z (Ohm ­Ω­)
i
L
u
u
Lois d'Ohm: CONDENSATEUR PARFAIT
π
Z L =[Lω ; ]= j Lω
2
U=
Z C=[
1
I
j Cω
1
π
1
;− ]=
Cω
2
j Cω
Admittance Y (Siemens ­S­)
Y R =[
1
Y=
Z
Représentation des vecteurs de Fresnel associés à u et i
Comportement aux basses fréquences
Comportement aux hautes fréquences
I
O
1
1
;0]=
R
R
U
Y L=[
1
π
1
;− ]=
Lω
2
j Lω
O
ϕ
I
π
Y C =[Cω ; ]= j Cω
2
I
U
ϕ
U
O
R
R
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4. Association RLC série.
Problème: Connaissant R, L et C, trouvons l'impédance Z de l'ensemble.
On peut appliquer la loi d'additivité des tensions avec les notations complexes:
i
R
uR
U =U RU LU C
1
U =R I jLω I
I
2
jCω
1
∣
Z∣= Z= R2  Lω−

1
Cω
1
U = R jLω
I
Z=R  j  Lω−

jCω
1
Cω
 Lω−

1
Cω
Z= R jLω

φ= Arg Z ⇒ φ= Arctg[
]
et ⇨
jCω
R
1
Z=R  j  Lω−

jCω

C
L
uL
uC
u
Exercice d'application n°12
Trois dipôles R = 820 Ω ; L = 0,3 H et C = 0,47 µF sont associés en série. f = 800 Hz. 1) Déterminer Z
2) i=0,007  2∙ sinω∙ t−

 .Déterminer u. 6
5. Association RLC parallèle.
Problème: Connaissant R, L et C, trouvons l'impédance Z de l'ensemble.
On peut appliquer la loi des nœuds avec les notations complexes:
I = I R I L I C
U U
I= 
 jCω U
R
jL ω
1 1
I = 
 jCωU
1
R jL ω
Z=
2
2
1
1
1
1
1
Z=
I = − j
 j C ω U
   Cω−

R
Lω
enfin ⇨
1
1
R
Lω
[  j Cω−
]
1
1
R
Lω
1
I =[  j C ω −
]U
φ= Arctg[ R 
−Cω]
R
Lω
Lω
1
U=
I
1
[  j  C ω − 1 ]
R
Lω

iR
i
R
L
iL
C
iC
u
Exercice d'application n°13
Trois dipôles R = 820 Ω ; L = 0,3 H et C = 0,47 µF sont associés en parallèle. f = 800 Hz. 1) Déterminer Y puis en déduire Z
2) i=0,007  2∙ sinω∙ t−

 .Déterminer u. 6
6. Conclusion
L
R
C
Quand les dipôles sont en série leurs impédances complexes s’ajoutent pour donner l’impédance complexe de l’association.
1

ZR = R ; ZL = jLω ; ZC = 1/ jCω et Z = R  j Lω−
Cω
R
L
C
Quand les dipôles sont en parallèle leurs admittances complexes s’ajoutent pour donner l’admittance complexe de l’association.
1
1
j Cω−

YR = 1/R ; YL = 1/jLω ; YC = jCω et Y =
R
Lω
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