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1. amplification :
Problème : L'atténuation en ligne
Il se trouve qu'un signal s'atténue lors de son transport dans un conducteur (aussi bien un signal électrique dans
du cuivre qu'un signal lumineux dans une fibre optique). Il faut donc placer des amplificateurs le long de la
ligne:
Le problème, c'est qu'un ampli, ça a une entrée et une sortie et qu'on ne peut évidemment pas les inverser...
Par exemple sur les lignes téléphoniques numérisées entre deux TNL
(Terminal Numérique de Ligne) on rajoute des répéteurs afin
d’augmenter la longueur de la liaison.
Les répéteurs :
Dans le réseau numérique, des répéteurs reçoivent le signal éventuellement déformé par les défauts de la
transmission, et reconstituent le dessin exact des bits :
Signal d'origine
Signal déformé par la transmission
Signal reconstitué par le répéteur
Ainsi le signal numérique est régénéré "à neuf" par le répéteur, dans la mesure du moins où les distorsions dues
à la transmission n'ont pas été telles qu'elles auraient provoqué une erreur de reconnaissance de la part du
répéteur.
Remarque : les répéteurs sont téléalimentés par une source de courant.
Avantage : les répéteurs sont en série sur la ligne, ils sont travers par un courant constant invariable qui
permet de créer une auto alimentation. Cette dernière permet d’alimenter les circuits électroniques de
l’ampli.
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Le montage comparateur de tensions :
Schéma de principe du montage comparateur de tension. On a retenu ici un
montage non inverseur: le signal à comparer Vin est présenté sur l'entrée e+ et
la tension de référence est fixée sur l'entrée e-. L'alimentation est symétrique
ou non.
Si Vin > Uref, la sortie sera à l'état haut. Si au contraire Vin < Uref, la sortie sera
à l'état bas.
Rappel sur les rapports de puissances –> gain en décibels.
P(t) = v(t) x i(t)
Le gain est l’inverse de l’atténuation, on l’utilise en général sur des éléments actif (amplificateur,
répéteur, ..). C’est une comparaison entre la puissance de sortie Ps et celle d’entrée Pe.
Gain (dB) = 10 log (Ps/Pe) = 10 log ((Vs2/R) / (Ve2/R)) = 20 log (Vs/Ve)
2. Filtrage :
Rappel :
Signal sinusoïdal
Une représentation classique d’un signal sinusoïdal se fait sous la forme suivante :
avec S : amplitude du signal
ω : pulsation du signal en rad/s (ω = 2π.f)
ω.t+φ : phase instantanée
φ : phase initiale (pour t=0)
Un signal sinusoïdal est donc définit par sa valeur maximale, sa pulsation et sa phase à l’origine.
Remarque : la valeur efficace d’un signal sinusoïdal est égale à
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Représentation d’un signal sinusoïdal
Un signal s(t) = S.sin(ω .t+ϕ ) peut se représenter sous la forme d’un vecteur. On fige l’angle ωt à
0 (instant initial). Ainsi, la norme du vecteur représentera l’amplitude du signal et son inclinaison le déphasage
à l’origine.
Cette description graphique est appelée représentation de Fresnel. Elle bénéficie des propriétés attachées aux
vecteurs.
On identifie le plan précédent en utilisant les nombres complexes :
Ainsi :
Le module de S représente l’amplitude de s(t)
La phase de S représente le déphasage de s(t)
Remarque : s(t) est la partie imaginaire du nombre complexe S = S.ej(ω t+ϕ ) .
- Impédance de la résistance
Aux bornes d’une résistance, u = R i.
ZR = R
- Impédance de l’inductance
Aux bornes d’une inductance :
ZL = jLω
- Impédance du condensateur
Aux bornes d’un condensateur,
ZC = 1/jCω
Remarques :
L’impédance dépend de la fréquence
Une impédance qui a une partie imaginaire négative est de type capacitif
Une impédance qui a une partie imaginaire positive est de type inductif.
Notion de fonction de transfert
Cette propriété est utilisée dans les fonctions électroniques où interviennent des signaux à fréquence variable.
Les circuits électroniques sont alors décrits par leur fonction de transfert. Elle traduit le rapport entre la
grandeur de sortie et celle d’entrée et son étude permet de décrire les propriétés du circuit associé. En régime
sinusoïdal, c’est une fonction complexe de la variable fréquence. C’est donc la vision fréquentielle des signaux
qui sera étudiée, se substituant à la vision temporelle. Les amplitudes et phases relatives des signaux en
fonction de la fréquence constitueront le centre des études.
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On définit alors les deux fonctions de la pulsation ω :
Le gain du circuit qui est le module de la fonction de transfert :
La phase du circuit qui est l’argument de la fonction de transfert :
Représentation de Bode
Représentation graphique de la fonction de transfert : les diagrammes de Bode.
On définit :
La courbe de gain : ( ) dB G = 20 log H(jω) = 20 log H(ω) qui s’exprime en décibel (dB)
La courbe de phase : ϕ = argH( jω)=ϕe-ϕs
Remarques :
L’axe des fréquences est en échelle logarithmique (graduée par décade), ce qui permet une représentation sur
une plus large plage de valeurs (compression d’échelle).
Les diagrammes de Bode peuvent se représenter sous forme de courbes réelles ou asymptotique :
Courbes réelles : c’est la représentation graphique des fonctions GdB et ϕ en fonction de f ou de ω.
Diagramme asymptotique : c’est la représentation graphique simplifiée des fonctions à l’aide de leurs
équivalents aux bornes du domaine de définition (ω → 0, ω → α et ω→ ωc).
Exemple : Etude d’un circuit RC
Etude du module :
 Aux basses fréquences, ω → 0 donc GdB → 0 Aux hautes fréquences, ω → + ∞ donc GdB → 20 log ωc –20 log ω
 Pour ω=ωc, GdB = -10 log 2 = -3dB
 Calcul de la pente aux hautes fréquences :
- sur [ωc , 2 ωc], GdB = [20 log ωc –20 log ωc] – [20 log ωc –20 log 2.ωc] = -20 log 2 = -6dB
- sur [ωc , 10 ωc], GdB = [20 log ωc –20 log ωc] – [20 log ωc –20 log 10.ωc] = -20 log 10 = -20dB
La représentation asymptotique de Bode est donc composée de 2 asymptotes :
 1 asymptote parallèle à l’axe des fréquences pour ω<ωc (GdB = 0dB)
 1 asymptote oblique de pente –6dB/octave ou –20dB/décade pour ω>ωc
 le point d’intersection entre les 2 asymptotes est le point où ω=ωc, c’est la pulsation de coupure
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Courbes de Bode :
Remarques :
- La pente à ±20dB/décade (ou ±6dB/octave) est
typique d’un système du 1ier ordre en ω.
- Un système d’ordre n apportera des pentes et des
déphasages n fois plus grand.
Etude de l’argument :
 aux basses fréquences, ω → 0 donc φ → 0°  aux hautes fréquences, ω → +∞ donc φ → -90°  pour ω=ωc, GdB = - Arctan 1 = - 45°
La représentation asymptotique de Bode est donc composée de 2
asymptotes :
 1 asymptote parallèle à l’axe des fréquences pour ω<ωc (φ = 0°)
 1 asymptote parallèle à l’axe des fréquences pour ω>ωc (φ = 90°)
 le point d’intersection entre les 2 asymptotes est le point où
ω=ωc (φ = -45°)
Diagramme asymptotique de bode :
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Les types de filtres
Les filtres fréquentiels sont
principalement de 4 types :
- Filtre passe-bas : la fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type
Quand la fréquence est augmentée d’un facteur 10, le gain en décibels est diminué
de 20 unités : on dit que la pente du filtre est de -20dB par décade, et le filtre est dit
du premier ordre.
Un filtre passe-bas du deuxième ordre possède une fonction de transfert de la forme
suivante :
La pente est alors de -40dB par décade.
- Filtre passe-bande : la fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type
Avec ω0 < ω1 < ω2. Il y a cette fois-ci deux fréquences de coupure ; l’intervalle de fréquence entre ces deux
bornes est la bande passante.
- Filtre passe-haut : la fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type
C’est un filtre passe-haut du premier ordre (pente de +20dB par décade).
Filtre coupe-bande : La fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type
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3. Spectre :
Rappel : Décomposition d’une fonction périodique en série de Fourier.
Toutes fonctions périodiques du temps Y(t) de fréquence Fo (ωo = 2πFo) peut se décomposer en une somme
de fonctions sinusoïdales. Chacune étant caractérisée par une fréquence F et une amplitude A.
- On appelle composante fondamentale la
fonction sinusoïdale de fréquence Fo.
- On appelle composantes harmoniques les fonctions sinusoïdales dont la fréquence F est multiple de
Fo, F = k×Fo.
Exemple avec un signal carré :
Remarque : si l’harmonique existe pour :
- k pair, on a une harmonique paire,
- k impair, on a une harmonique
impaire.
-
-
plus le nombre d’harmoniques serra
importants, plus le signal serra fidele
au signal périodique original.
Par contre plus il y a d’harmonique
plus la bande passante du signal serra
grande.
Harmonique N°1 (la fondamentale) F = F0
Harmonique 1 et 3
Harmonique 1, 3 et 5
Harmonique 1, 3, 5 et 7
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o SPECTRE :
On va pouvoir, pour un signal complexe (Son, Voix, Données, ...), mettre en évidence, en plus de sa
représentation temporelle, sa représentation fréquentielle encore appelée " représentation spectrale".
Spectre d’une fonction périodique :
Représenter le spectre d’amplitude d’une fonction périodique, c’est représenter.
- des raies de hauteur Ak aux abscisses k.Fo,
Exemple :
ω0 = 2.π.F0
Spectre d’une fonction non périodique :
Le spectre d’une fonction non périodique est continu alors que celui d’une fonction périodique est discret.
C'est-à-dire que pour la première, les arrêtes représentant chaque sinusoïde sont confondues tandis que pour une
fonction périodique les arrêtes donc les sinusoïdes sont séparées.
Remarque : le spectre
discret est appelé aussi
spectre en peigne.
Exemple avec la voix :
Ak
F
Conclusion : le spectre est le tracé d’un ensemble de raies de hauteur Ak aux abscisses F = k.F0. Il permet
de situer un signal par rapport à la bande passante du support de transmission (voir exemple). Il permet
aussi de voir la BP d’un signal.
Par exemple pour un signal carré de 1 KHz, s’il faut aller à l’harmonique de rang 7 pour une transmission
convenable, la BP du signal serra de 7 KHz.
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Rappel :
-
Représenter le spectre d’amplitude d’une fonction périodique, c’est représenter :
des raies de hauteur Ak aux abscisses k.Fo (forme réelle),
Remarque :
La connaissance du spectre d’amplitude d’une fonction n’est pas suffisante pour connaître la
fonction. En effet, pour reconstituer la fonction de départ, il faut aussi connaître les phases ϕk.
Pour la transmission d’un signal, on déduit la bande passante minimum du circuit si celui ci fait
passer les harmoniques dont l’amplitude est au moins 5 % de celle du fondamental.
Gabarit
Notations :
– H0 désigne le gain maximal et G0 = 20 logH0 ;
– fc désigne la fréquence de coupure.
Définitions :
– La bande passante est définie comme étant le domaine de fréquences où le gain en décibel est supérieur ou
égal à G0 - 3dB ;
– La fréquence de coupure est définie comme étant la fréquence pour laquelle le gain vaut G0 - 3dB.
Exemple :
BP
BP
F
Le signal passe sur la ligne
F
le signal ne passe pas complètement sur la ligne, il
sera déformé et non exploitable.
Un signal électrique est compatible avec un support de transmission, si la bande passante de la ligne peut
contenir le spectre du signal.
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Ce qu’il faut retenir :
– La définition du diagramme de Bode ;
– Les différents types de filtres : passe-bas, passe-bande, coupe-bande, passe-haut
– les définitions des termes utilisés : fréquence de coupure, bande passante... ;
– La notion de gabarit utilisé pour dresser la liste des spécifications d’un filtre.
Remarque :
4. Pupinisation des lignes téléphoniques (bobine de Pupin)
Dans le cas ou Lω >> R, on montre qu'une bonne approximation du coefficient α est donnée par la relation
suivante: α =
Atténuation linéique α
L'affaiblissement linéique d'une ligne téléphonique s'exprime en Neper (Np) par km.
Conversion Np/km en dB/km = Np/km * 8.68
Le coefficient α décroît lorsque l'inductance L augmente.
Donc en augmentant artificiellement l'inductance d'une ligne (pupinisation) on peut réduire son affaiblissement.
Principe
L = 1830 m = pas de pupinisation
Tous les 1830 m, on place des tores sur lesquels sont enroulés les conducteurs.
L‘inductance ainsi réalisée à pour valeur Lo = 88mH.
La bande passante des lignes pupinisées varie de 4 à 7kHz suivant le diamètre du conducteur.
Avec l'apparition des amplificateurs actifs, ce principe vient à disparaitre.
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Exercices d’applications :
Rappels :
- sur les caractéristiques d’une ligne.
R = 275 Ω / Km calibre 0,4 mm ; R = 122 Ω / Km calibre 0,6 mm ; R = 69 Ω / Km calibre 0,8 mm.
C = 50 nF / Km ; L = 0,65 mH / Km ; Ri = 10 MΩ
1) Filtrage sur une ligne téléphonique :
Pour les basses fréquences on peut assimiler la ligne à un filtre passe bas :
Les valeurs de Ri et L étant sans influences.
- En déduire la fréquence de coupure Fc à – 3 dB d’une ligne RTC sur 1 Km.
Pour le calibre 0,4 mm, 0,6 mm et 0,8 mm.
Conclusion.
-
Faire un diagramme de Bode avec le calibre 0,4 mm, en déduire l’affaiblissement de la ligne pour une
fréquence de 1 MHz environs. Conclusion sur l’ADSL ?
2) Bobine de Pupin :
En déduire l’affaiblissement d’une ligne téléphonique de 2 Km avec une bobine de Pupin.
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Correction :
Rappels :
- sur les caractéristiques d’une ligne.
R = 275 Ω / Km calibre 0,4 mm ; R = 122 Ω / Km calibre 0,6 mm ; R = 69 Ω / Km calibre 0,8 mm.
C = 50 nF / Km ; L = 0,65 mH / Km ; Ri = 10 MΩ
1) Filtrage sur une ligne téléphonique :
Pour les basses fréquences on peut assimiler la ligne à un filtre passe bas :
Les valeurs de Ri et L étant sans influences.
- En déduire la fréquence de coupure Fc à – 3 dB d’une ligne RTC sur 1 Km.
Pour le calibre 0,4 mm, 0,6 mm et 0,8 mm.
Conclusion.
-
Faire un diagramme de Bode avec le calibre 0,4 mm, en déduire l’affaiblissement de la ligne pour une
fréquence de 1 MHz environs. Conclusion sur l’ADSL ?
2) Bobine de Pupin :
En déduire l’affaiblissement d’une ligne téléphonique de 2 Km avec une bobine de Pupin.
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Devoir sur le module N°4 :
1) Le filtre ADSL est composé d’un filtre passe-bas pour les basses fréquences [0, 4 kHz] (Fc = 4 KHz).
Sous forme d’un circuit RC.
Rappel : ωc = 1/RC, un filtre d’ordre 1 a une pente de 20 dB/décade.
-
Si C = 10 nF en déduire R ?
-
Tracer l’allure du diagramme de Bode, en déduire l’affaiblissement du signal à 20 KHz.
A (dB)
100
1.103
1.104
1.105
F (Hz)
2) Expliquer le principe de la décomposition d’une fonction périodique en série de Fourier.(schéma
possible), explication sur la fondamentale et les harmonique ?
3) Définition d’une bande passante (schéma possible).
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Devoir sur le module N°4 :correction
1) Le filtre ADSL est composé d’un filtre passe-bas pour les basses fréquences [0, 4 kHz] (Fc = 4 KHz).
Sous forme d’un circuit RC.
Rappel : ωc = 1/RC, un filtre d’ordre 1 a une pente de 20 dB/décade.
-
Si C = 10 nF en déduire R ?
2.π.Fc = 1/RC => R = 1/2.π.Fc.c = 1/(2. π.4.10p3.10.10p-9) = 4 KΩ
A (dB)
Tracer l’allure du diagramme de Bode, en déduire l’affaiblissement du signal à 20 KHz.
0 dB
- 10 dB
- 14 dB
- 20 dB
100
1.103
1.104
1.105
F (Hz)
2) Expliquer le principe de la décomposition d’une fonction périodique en série de Fourier.(schéma
possible), explication sur la fondamentale et les harmonique ?
Toutes fonctions périodiques du temps Y(t) de fréquence Fo (ω
ωo = 2π
πFo) peut se décomposer en une
somme de fonctions sinusoïdales. Chacune étant caractérisée par une fréquence F et une amplitude A.
- On appelle composante fondamentale la fonction sinusoïdale de fréquence Fo.
- On appelle composantes harmoniques les fonctions sinusoïdales dont la fréquence F est multiple
de Fo, F = k×Fo.
3) Définition d’une bande passante (schéma possible).
La bande passante est définie comme étant le domaine de fréquences où le gain en décibel est supérieur
ou égal à G0 - 3dB ;
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