Exercice n°1 Un sac contient une boule verte, une boule rouge et

Exercice n°1
Un sac contient une boule verte, une boule rouge et une boule bleue. On tire successivement deux boules du sac.
Mais avant de tirer la deuxième boule, on remet dans le sac la première boule après avoir noté le résultat.
Déterminer tous les tirages possibles et le nombre total de tirages possibles à l’aide d’un arbre de probabilités.
On suppose que tous les tirages sont équiprobables. Déterminer la probabilité de chacun des événements
suivants :
E1 : « On obtient une seule boule verte. »
E2 : « On obtient au moins une boule verte. »
E3 : « On n’obtient aucune boule rouge. »
Exercice n°2
Barnabé possède un ticket de grattage avec trois cases à gratter. Pour les deux premières cases, il est possible
d’obtenir les lettres A, B et C. Pour la dernière case, seule les lettres A et B peuvent être obtenues.
Déterminer le nombre de résultats possibles à l’aide d’un arbre de probabilités.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
E1 : « Barnabé obtient trois lettres identiques. »
E2 : « Barnabé obtient au plus un A. »
E3 : « Barnabé obtient trois lettres distinctes. »
E4 : « Barnabé obtient au moins un C. »
Exercice n°3
Un couple veut avoir quatre enfants. On fait l’hypothèse qu’ils auront à chaque enfant la même probabilité
d’avoir une fille ou un garçon et qu’il n’y aura qu’un seul enfant à chaque naissance.
Déterminer le nombre total d’issues possibles avec un arbre de probabilités.
Calculer les probabilités des événements suivants :
A : « lls auront quatre filles. »
B : « Ils auront trois filles. »
C : « Ils auront au plus deux filles. »
D : « Leur troisième enfant sera une fille. »
Exercice n°4
On veut placer 4 personnes autour d’une table à 4 places.
Déterminer le nombre total d’issues possibles avec un arbre de probabilités.
En déduire le nombre total d’issues possibles si on veut placer 5 personnes autour d’une table à 5 places.
Probabilités – Seconde – 2200 – Arbre de probabilités – 27.03.12
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Exercice n°1
Déterminons tous les tirages possibles et le nombre total de tirages possibles à l’aide d’un arbre de probabilités.
Tirage 1
Tirage 2
Global
V
VV
R
VR
B
VB
RV
V
V
R
R
RR
B
RB
BV
V
B
R
BR
B
BB
Le nombre total de tirages possibles est de 9.
Déterminons la probabilité de l’événement E1 : « On obtient une seule boule verte. »
Les tirages favorables à cet événement sont : VR, VB, RV et BV.
(
)
Déterminons la probabilité de l’événement E2 : « On obtient au moins une boule verte. »
Les tirages favorables à cet événement sont : VV, VR, VB, RV et BV.
(
)
Déterminons la probabilité de l’événement E3 : « On n’obtient aucune boule rouge. »
Les tirages favorables à cet événement sont : VV, VB BV, BB.
(
)
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Grattage 1
Grattage 2
Issue
Exercice n°2
Déterminons le nombre de résultats possibles
à l’aide d’un arbre de probabilités.
Le nombre de résultats possibles est de 18.
A
B
A
A
AAA
AAB
B
B
A
ABA
C
B
A
ABB
ACA
B
ACB
A
A
BAA
BAB
B
B
A
C
B
A
BBB
BCA
BCB
A
B
A
B
B
A
CAB
CBA
C
B
A
CBB
CCA
B
CCB
C
Déterminons la probabilité de l’événement E1 : « Barnabé obtient trois lettres identiques. »
Les résultats favorables à cet événement sont : AAA, BBB.
(
)
(
BBA
CAA
)
Déterminons la probabilité de l’événement E2 : « Barnabé obtient au plus un A. »
Les résultats favorables à cet événement sont : ABB, ACB, BAB, BBA, BBB, BCA, BCB, CAB, CBA, CBB, CCA, CCB.
(
)
(
)
Déterminons la probabilité de l’événement E3 : « Barnabé obtient trois lettres distinctes. »
Les résultats favorables à cet événement sont : ACB, BCA, CAB, CBA.
(
)
(
)
Déterminons la probabilité de l’événement E4 : « Barnabé obtient au moins un C. »
Les résultats favorables à cet événement sont : ACA, ACB, BCA, BCB, CAA, CAB, CBA, CBB, CCA, CCB.
(
)
(
)
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Exercice n°3
er
1 enfant
ème
2
enfant
ème
3
enfant
Déterminons toutes les issues possibles avec un arbre de probabilités.
Nous avons appelé G l’événement « avoir un garçon »
et F l’événement « avoir une fille ».
Le nombre total d’issues possibles est de 16.
ème
4
enfant
G
G
GGGG
GGGF
F
F
G
F
GGFF
G
G
GFGG
GFGF
F
F
G
GFFF
G
F
G
FGGF
F
F
G
F
FGFF
G
G
FFGG
F
F
G
FFGF
FFFG
F
FFFF
G
G
F
G
F
F
Calculons la probabilité de l’événement A : « lls auront quatre filles. »
GGFG
GFFG
FGGG
FGFG
( )
Calculons la probabilité de l’événement B : « Ils auront trois filles. »
( )
Calculons la probabilité de l’événement C : « Ils auront au plus deux filles. »
( )
Calculons la probabilité de l’événement D : « Leur troisième enfant sera une fille. »
( )
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Exercice n°4
Déterminons toutes les issues possibles avec un arbre des probabilités.
Numérotons les places de la table de 1 à 4. Notons 1 l’événement « une personne se place à la place n°1 » , 2
l’événement « une personne se place à la place n°2 » et ainsi de suite. Les personnes sont respectivement notées
Pers1, pers2, Pers3 et Pers4. L’arbre des probabilités ci-dessous n’a pas été totalement représenté (trop
fastidieux), mais on voit bien que le nombre total d’issues possibles est de 24.
Pers1
1
Pers2
2
3
2 Pers3
4
2
3
4
2
4
3
1
Pers4
4
3
4
2
3
2
3
4
1
3
2
4
1
4
2
3
Représenter toutes les issues possibles par un arbre des probabilités si on veut placer 5 personnes autour d’une
table à 5 places devient problématique.
On préfère alors raisonner ainsi : la première personne a 5 choix possibles pour se placer autour de la table, et
une fois qu’elle est placée, la deuxième n’a plus que 4 choix possibles, puis la troisième n’a plus que 3 choix
possibles, puis la quatrième n’a plus que deux choix possibles, et enfin la dernière personne n’a plus le choix.
Cela donne un nombre total d’issues possibles égal à
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