Résultats théoriques et numériques pour une méthode XFEM

Résultats théoriques et numériques pour une méthode XFEM
non conforme et pour Spider XFEM.
Elie CHAHINE, Institut de Mathématiques de Toulouse - INSA
Patrick LABORDE, Institut de Mathématiques de Toulouse
Yves RENARD, Institut Camille Jordan
Mots-clés : mécanique de la rupture, éléments finis, méthodes XFEM, estimations d’erreur, vitesse de
convergence, condition de raccord de type mortar, enrichissement singulier approché.
Différents travaux ont été menés pour exploiter les performances de la méthode XFEM, on cite notamment
[1] et [2]. Dans ces deux papiers, les auteus introduisent la méthode XFEM avec surface d’enrichissement
fixe qui permettra d’obtenir une convergence optimale. Cependant, cette dernière methode augmente
significativement le coût de calcul. Pour remédier à cet inconvénient, on introduit dans [4] une variante
XFEM avec enrichissement singulier globalisé via une fonction cut-off. On remarque que dans cette
dernière, la zone de transition influence la qualité de l’approximation (voir [2, 3, 4]).
La première méthode que nous présentons est la méthode XFEM avec raccord intégral. Cette variante
untilise une condition de type mortar pour raccorder la zone d’enrichissement singulier et la zone non
enrichie. L’enrichissement globalisé réduit le coût de calcul tout en conservant une convergence optimale. On présente un résultat mathématique de convergence optimale pour ce type de méthode. De
plus, la condition de raccord supprime la zone de transition et améliore ainsi l’erreur commise (voir [3, 5]).
Par ailleurs, l’utilisation de XFEM devient très coûteuse quand il s’agit de modiliser des fissures dont
les singularités sont compliquées (voire impossible quand les singularités sont partiellement inconnues).
Ceci par exemple est le cas des fissures qui se propagent sur l’interface entre deux matériaux différents
(voir [7]). Nous présentons dans [6] la méthode Spider XFEM qui permet de traiter de tels cas. En
notant par (r, θ) les coordonées polaires par rapport au fond de la fissure, on considère un enrichissement
singulier dont la dépendence en θ est approchée par une méthode d’éléments finis classique définie sur un
maillage circulaire (le maillage spider ). Cette strategie diminue le nombre des fonctions d’enrichissement
ce qui réduit le coût de calcul de certains problèmes complexes. Elle peut être utilisée aussi quand la
singularité est partiellement inconnue. On démontre un résultat de convergence mathématique optimal
sous certaines conditions sur le maillage du spider (voir [3, 6]).
Références
[1] E. Béchet, H. Minnebo, N. Mos and B. Burgardt, Improved implementation and robustness
study of the X-FEM for stress analysis around cracks, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 64: 1033–
1056, 2005.
[2] P. Laborde, Y. Renard, J. Pommier, M. Salaun, High Order Extended Finite Element Method
For Cracked Domains, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 64: 354–381, 2005.
[3] E. Chahine, P. Laborde, Y. Renard, Thèse, Université de Toulouse, 2008.
[4] E. Chahine, P. Laborde, Y. Renard, Crack tip enrichment in the XFEM method using a cutoff
function, Int. J. Numer. Meth. Engng., in press.
[5] E. Chahine, P. Laborde, Y. Renard, Error estimates for an extended finite element method
with integral matching, In preparation
[6] E. Chahine, P. Laborde, Y. Renard, Spider XFEM: an extended finite element method for
partially unknown crack-tip displacement, Revue Européenne de Mécanique Numérique submitted.
[7] N. Sukumar and Z. Y. Huang and J.-H. Prévost and Z. Suo, Partition of unity enrichment
for bimaterial interface cracks, Int. J. Numer. Meth. Engng., Vol. 59: 1075–1102, 2004.
Elie CHAHINE, GMM INSA Toulouse, 135 avenue de Rangueil, 31077 Toulouse Cedex 4
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