Pyramide et Cône de révolution

Pyramide et Cône de révolution
I°) Pyramide
1°) Présentation :
a) Une pyramide est un solide constitué d’un polygone appelé base dont les sommets
sont reliés à un point, n’appartenant pas au plan de base, appelé sommet de la
pyramide.
b) Dessin :
•
Règles de représentation plane d’un objet de l’espace
- Des arêtes à supports parallèles sur l’objet sont représentées par des
segments de supports parallèles sur le dessin.
- Toute face de l’objet, situé dans un plan vertical de face (position frontale),
est dessinée sans déformation : il ya conservation des angles et des
rapports de longueurs.
- Les arêtes visibles sont représentées par des « traits pleins » et les arêtes
cachées par des « traits pointillés ».
•
Dessin d’une pyramide
- Le polygone ABCDE (pentagone) est la base de la pyramide.
- Le point S est le sommet de la pyramide.
- Les segments [SA], [SB], [SC], [SD] et [SE] sont les arêtes latérales de la pyramide.
- Les triangles SAB, SBC, SCD, SDE et SEA sont les faces latérales de la pyramide.
c) Hauteur d’une pyramide
On appelle hauteur d’une pyramide la droite qui passe par son sommet et qui est
perpendiculaire au plan de sa base.
(- Une droite est perpendiculaire à un plan lorsqu’elle est perpendiculaire à deux droites
sécantes de ce plan.
- Si une droite est perpendiculaire à un plan en un point alors elle est perpendiculaire à
toute droite de ce plan passant par ce point d’intersection.)
Exemple : La droite (SO) est la hauteur de la pyramide SABCDE (ci-dessus).
Le mot hauteur désignera, selon le contexte, la droite (SO), le segment [SO]
ou la distance SO.
d) Volume d’une pyramide
Soit
le volume d’une pyramide, ℬ l’aire de sa base et h sa hauteur.
=
1
×ℬ×h
3
e) Aire totale d’une pyramide
L’aire totale d’une pyramide est égale à la somme de l’aire latérale et l’aire de sa base.
L’aire latérale d’une pyramide est égale à la somme des aires des faces latérales.
L’aire de sa base est l’aire du polygone de base.
Soit
T
T
l’aire totale,
=
L
+
L
l’aire latérale et
B
l’aire de sa base.
B
f) Tétraèdre
Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle.
2°) Pyramide régulière
a) On dit qu’une pyramide est régulière lorsque :
- sa base est un polygone régulier
(Un polygone régulier est un polygone qui a tous ses côtés égaux et tous ses angles
égaux. Il admet un cercle circonscrit et un cercle inscrit.)
- sa hauteur passe par le centre du polygone de base
- ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables.
b) Exemple : Pyramide régulière à base carrée
- Dessin
ABCD est un carrée : AB = BC = CD = DA
SA = SB = SC = SD
OA =OB = OC = OD.
O est le milieu de [AC] ; O est le milieu de [BD]
(SO) ⊥ (OA) ; (SO) ⊥ OB
- Patron
c) Aire latérale d’une pyramide régulière
- L’aire latérale d’une pyramide régulière est égale à l’aire d’une face latérale multipliée
par le nombre de côtés du polygone régulier de base.
Exemple : L’aire latérale
L
=
de la pyramide régulière à base carrée ci-dessus est :
L
DC × SI
×4
2
- Autre méthode :
Soit
L l’aire
latérale de la pyramide régulière, P le périmètre du polygone régulier de
base et a l’apothème de la pyramide régulière.
L
=
P×a
2
(L’apothème d’une pyramide régulière est la hauteur d’une face latérale issue du
sommet de la pyramide).
Exemple : L’aire latérale
L
=
L
de la pyramide régulière à base carrée ci-dessus est :
( DC × 4) × SI
2
d) Tétraèdre régulier
Le tétraèdre régulier est constitué de quatre triangles équilatéraux identiques.
3°) Section d’une pyramide par un plan parallèle à la base
a) Propriété
La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base un polygone de même
nature que cette base.
C’est une réduction du polygone constituant la base de la pyramide. Les côtés de ces
polygones sont parallèles deux à deux.
b) Exemple : Section d’une pyramide régulière par un plan parallèle à la base
SABCD est une pyramide régulière, sa base est le carré ABCD. Le plan (P) est parallèle à
la base. Donc, la section est le carré A’B’C’D’.
On a : (AB) // (A’B’), (BC) // (B’C’), (CD) // (C’D’), (DA) // (D’A’), (AO) // (A’O’) …
(On peut utiliser le théorème e Thalès. Exemple : A’ ∈ [SA], O’ ∈ SO et AO // A’O’ SA' SO' A'O'
doncd’aprèslethéorèmedeThalès:
=
=
SA SO AO
Le carré A’B’C’D’ est une réduction du carré ABCD.
La pyramide SA’B’C’D’ est une pyramide régulière à base carrée, réduction de pyramide
régulière à base carrée SABCD.
Dans une réduction (ou un agrandissement), si les longueurs sont multipliées par un
nombre k, alors les aires sont multipliées par k2 et les volumes par k3
Le coefficient de réduction des longueurs k est :
k=
longueur obtenue SO' SA' SB'
A'B' B'C'
=
=
=
= ... =
=
= ...
longueur initiale
SO SA SB
AB BC
(Exemple: SO’ = k × SO)
k2 =
aire obtenue aire de la base A'B'C'D'
=
aire initiale
aire de la base ABCD
(Exemple : aire de la base A’B’C’D’ = k2 × aire de la base ABCD)
k3 =
volume obtenu volume de la pyramide réduite SA'B'C'D'
=
volume initial
volume de la pyramide initiale SABCD
(Exemple :
Volume de la pyramide réduite SA’B’C’D’ = k3 × volume de la pyramide SABCD).
II°) Cône de révolution
1) Présentation
a) – Un cône de révolution est un solide dont la base est un disque et le sommet est
un point appartenant à l’axe du disque et n’appartenant pas au plan du disque.
(L’axe d’un disque est la droite passant par le centre du disque et perpendiculaire
au plan du disque).
Autre définition :
– Lorsque l’on fait tourner un triangle rectangle autour de l’un des côtés de l’angle
droit, on obtient un solide appelé cône de révolution.
b) Dessin :
- Tout segment qui joint le sommet du cône de révolution et un point du cercle de
base est appelé une génératrice.
Dans le dessin ci-dessus, [SA] et [SB] sont des génératrices.
Toutes les génératrices d’un cône de révolution ont la même longueur.
c) Hauteur d’un cône de révolution
La hauteur d’un cône de révolution est la droite qui passe par le sommet et qui est
perpendiculaire au plan du disque de base en son centre.
Dans le dessin ci-dessus, (SO) est la hauteur du cône de révolution.
(SO) est perpendiculaire au plan du disque de base en son centre O et A est un point
du cercle donc : (SO) ⊥ (OA).
(SO) ⊥ (OA) donc SOA est un triangle rectangle en O. D’après le théorème de
Pythagore, on a: SO2 + OA2 = SA2
h2 + r2 = g2
g=
h2 + r2
h2 + r2 = g2
h2 + r2 = g2
h2 = g2 − r2
r2 = g2 − h2
h=
g2 − r2
r=
g2 − h2
Remarque :
- Le mot hauteur désignera, selon le contexte, la droite (SO), le segment [SO]
ou la distance SO.
- Le mot rayon désignera, selon le contexte, le segment [OA] ou la distance OA.
2) Volume d’un cône de révolution
Soit
le volume d’un cône de révolution, ℬ l’aire de sa base et h sa hauteur.
=
1
×ℬ×h
3
La base du cône de révolution étant un disque de rayon r donc : ℬ = π × r2
=
=
1
1
× ℬ × h = × π × r2 × h.
3
3
1
× π × r2 × h
3
3) Patron d’un cône de révolution
Soit g la longueur de la génératrice du cône de révolution,
x° la mesure de l’angle au centre du secteur circulaire
représentant la surface latérale et ℓ AB la longueur de l’arc de
cercle AB :
ℓ AB =
π × g × x°
180°
La longueur ℓ AB de l’arc de cercle AB est égale au périmètre du
disque de base de rayon r : ℓ AB = 2 π r
ℓ AB =
π × g × x°
180°
et ℓ AB = 2 π r donc :
π × g × x°
180°
=2πr
x° = 360° ×
Soit
L l’aire
latérale d’un cône de révolution :
L=
r
g
π×g×r
Justification :
- Propriété : L’aire d’un secteur circulaire est proportionnelle à la longueur de l’arc de
cercle.
L
l’aire latérale du cône de révolution est proportionnelle à ℓ AB la longueur de l’arc
AB qui est égale au périmètre du disque de base (ℓ AB = 2 π r).
l’aire du disque de rayon g (
2
= π g ) (disque qui a engendré la surface latérale
du cône de révolution) est proportionnelle à la longueur de l’arc qui est égale au
périmètre du disque (2 π g)
L est
2
proportionnelle à 2 π r et π g est proportionnelle à 2 π g donc :
AL
2π r
=
2
πg
2π g
AL
r
=
2
πg
g
2
L
×g=πg ×r
L
=
L
= π ×g × r
Soit
T
T
π g2 × r
g
T l’aire
=
L
= πg×r
totale d’un cône de révolution,
L l’aire
latérale et ℬ l’aire de sa base :
+ ℬ = π × g × r + π × r2
= π g r + π r2
4) Section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base
Propriété :
La section d’un cône de révolution par un plan à sa base est un disque.
b) Exemple : Section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base
Le plan (P) est parallèle au plan du disque de base. Donc la section est un disque.
Le disque de rayon r’ est une réduction du disque de rayon r.
Le cône de révolution de sommet S et de rayon de base r’ est une réduction du cône de
révolution de sommet S et de rayon r.
On a : (OA) // (O’A’)
(On peut utiliser le théorème e Thalès. Exemple : A’ ∈ [SA], O’ ∈ SO et OA)//(O’A’)
SA' SO' O'A'
doncd’aprèslethéorèmedeThalès:
=
=
)
SA SO OA
Dans une réduction (ou un agrandissement), si les longueurs sont multipliées par un
nombre k, alors les aires sont multipliées par k2 et les volumes par k3
Le coefficient de réduction des longueurs k est :
k=
longueur obtenue SO ' SA ' O ' A '
=
=
=
longueur initiale
SO SA
OA
(Exemple: SO’ = k × SO)
k2 =
aire obtenue airedu disque de rayon r'
=
aire initiale
aire du disque de rayon r
(Exemple : aire du disque de rayon r’ = k2 × aire du disque de rayon r
k3 =
volume obtenu volume du cône réduit
=
volume initial volume du cône initial
(Exemple :
Volume du cône réduit = k3 × volume du cône initial.