Exercices XIII

XIII. LES MIROIRS SPHERIQUES
Exercices de niveau A
Dans ces exercices, les écueils sont les mêmes que pour les lentilles : d’une part, l’utilisation
des valeurs algébriques et des unités ; d’autre part, le traitement des cas où objet ou image
sont à l’infini. Si ces difficultés subsistent vous pouvez aussi vous reporter aux exercices sur
les lentilles.
La nouvelle difficulté réside dans le discernement des rayons incident et réfléchi car tous
deux se situent avant le miroir. (Dans le cas des lentilles, le rayon émergent faisait suite au
rayon incident.)
Exercice XIII-A1
a) On utilise un miroir sphérique convexe de rayon R = 1,2 m. Quelle est la valeur algébrique de
son rayon ? Quelle est la distance focale du miroir ? Quelle est la position de l’objet dont l’image
est virtuelle, droite et deux fois plus petite que l’objet ? Quelle est la nature de l’objet ?
b) On considère un miroir sphérique concave de rayon R = 1,2 m. Quelle est la valeur algébrique
de son rayon ? Quelle est la distance focale du miroir ? Quelle est la position de l’objet dont
l’image est réelle, droite et deux fois plus petite que l’objet ? Quelle est la nature de l’objet ?
a) Par définition : R SC
1, 2 m
L’étude des miroirs a montré que :
f'
R
2
0, 6 m
A
Le miroir convexe est divergent.
L’image est droite et deux fois plus petite que
1
l’objet donc
2
i) D’après le grandissement de Newton :
FS
FA
SA SF
SA
C
b) Par définition : R SC
1, 2 m
L’étude des miroirs a montré que :
f'
R
2
0, 6 m
FA 2 FS
1, 2 m
Le miroir concave est convergent.
L’image est droite et deux fois plus petite que
FA 0, 6 1, 2
0, 6 m
l’objet donc
0, 6 m
L’objet est réel car situé avant le miroir.
ii) D’après les relations au sommet :
SA '
1
SA '
SA
2
SA
1
1
2
2
1
2
SA '
A
' F
SA SC
SA SA SC
SC
SA
0, 6 m SA '
0,3 m
2
iii) D’après les relations au centre :
CA '
1
CA '
CA
2
CA
1
1
2
2
1
2
CA ' CA CS
CA CA CS
CS
CA 3
1,8 m
2
SA SC CA 1, 2 1,8
0, 6 m
1
2
i) D’après le grandissement de Newton :
FS
FA
SA SF
SA
FA 2 FS
FA
0, 6 1, 2
1, 2 m
0, 6 m
0, 6 m
L’objet est virtuel car situé après le miroir.
ii) D’après les relations au sommet :
SA '
SA '
SA
1
1
2
SA ' SA SC
SC
SA
0,6 m
2
1
SA
2
2
1
SA SA
SA '
2
SC
0,3 m
iii) D’après les relations au centre :
CA '
1
CA '
CA
2
CA
1
1
2
2
1
2
CA ' CA CS
CA CA CS
CS
CA 3
1,8 m
2
SA SC CA
1, 2 1,8
0, 6 m
C
FA
'
A
Exercice XIII-A2 : miroir de dentiste
On imagine la scène chez un dentiste : un petit miroir placé à 1 cm d’une dent en donne une
image agrandie cinq fois. Quelle est la nature de l’image ? Quelle est la nature du miroir ? Quel
est son rayon ?
D’après les conditions d’observation, l’objet est réel
et l’image est virtuelle et agrandie. D’où trois
conclusions : le miroir est concave, l’objet est entre
le foyer et le sommet, l’image est droite.
Les relations avec origine au sommet s’imposent ici
car la position de l’objet est donnée par rapport au
miroir.
SA '
SA
1
1
SA ' SA
R
SC
SA '
2
SC
5 SA
2
5 SA
1
5 SA
2,5 cm
1
SA
SA '
2
SC
5 cm
Exercice XIII-A3 : image du Soleil
On forme l’image du Soleil, de diamètre angulaire 32’ (32 minutes d’angle) grâce à un miroir
sphérique convergent de focale 900 mm. Où se trouve cette image ? Quelle est sa taille ?
L’objet est à l’infini donc l’image est dans le plan
focal image.
'
F
'A
C
B
'
D’après la construction :
A' B '
A' B '
A' B '
F 'B'
f ' tan
32
900 tan
mm
60
8, 4 mm
L’image est renversée.
Exercices de niveau C
Le sujet des trois exercices C1 à C3 est l’association de deux miroirs sphériques. Dans ce cas
plusieurs réflexions ont lieu et la difficulté consiste à bien les appréhender puis à les
traduire correctement.
Les deux exercices C4 et C5 traitent de modélisations des télescopes de Newton et de
Cassegrain. (En réalité les formes des miroirs s’écartent de la sphère pour obtenir un
meilleur stigmatisme.)
Exercice XIII-C1 : deux réflexions successives
Un miroir sphérique concave et un miroir sphérique convexe de même rayon R = 30 cm ont leurs
faces réfléchissantes en regard, leurs sommets étant distants de 60 cm. Un objet de 6 cm de
hauteur est placé à 24 cm du miroir concave, perpendiculairement à l’axe.
Déterminer la position et la grandeur de l’image donnée par les miroirs en envisageant d’abord
une réflexion sur le miroir concave puis une réflexion sur le miroir convexe. (Bien entendu la
lumière continue à se réfléchir mais on ne considère que ces deux premières réflexions. Voir
aussi l’exercice XIII-C2.)
Les réflexions successives produisent les images
suivantes :
AB
M1
A1B1
M2
A' B '
Pour le premier miroir, d’après les relations au
sommet :
1
S1 A1
1
S1 A
2
S1C1
1
S1 A1
2
S1C1
1
S1 A
1
S1 A1
2 4
30 4
S1 A1
40 cm
1
S1 A1
S1 A
1
S2 A '
2 2
30 2
5
24 5
40
24
1
cm
24
3
120
1
cm
40
1
5 3
3 7
1 2
S2 A1
S 2 S1 S1 A1
60 40
1
S2 A '
2
S 2 C2
2
30
3
 0, 43
7
5

7
0,71
L’image est renversée et réduite par rapport à
l’objet.
B
L’image intermédiaire est renversée et agrandie.
Pour le second miroir, d’après les relations au
sommet :
1
S 2 A1
1
L’image est droite et réduite par rapport à l’image
intermédiaire.
Le grandissement total s’écrit :
1
5
 1, 7
3
1
S2 A '
7
cm
60
60
cm  8, 6 cm
7
S2 A '
60 1
7
20
S2 A1
S2 A '
2
2
30
3
20 3
C1 A1
S1
S2
A'
A
C2
B'
2
S 2C 2
B1
1
S 2 A1
20 cm
1
cm
20
1
Un rayon issu de B se réfléchit sur M1 en passant
par B1 puis sur M2 en semblant provenir de B’. Le
rayon tracé est très incliné sur l’axe et l’objet n’est
pas à la même échelle que le rayon des miroirs. En
réalité le rayon peut ensuite se réfléchir sur M1 et
encore sur M2 et ainsi de suite.
Exercice XIII-C2 : suite de XIII-C1
Reprendre l’exercice précédent en envisageant d’abord une réflexion sur le miroir convexe et
ensuite une réflexion sur le miroir concave.
Les réflexions successives produisent les images
suivantes :
AB
M2
A2 B2
M1
A '' B ''
D’abord pour le miroir M2, d’après les relations au
sommet :
1
S2 A2
1
S2 A
a
180
cm  10, 6 cm
17
S 2 A2
180 1
17
36
S2 A
5
17
0, 71
L’image intermédiaire est droite et réduite.
Puis pour le miroir M1, d’après les relations au
sommet :
2
S 2 C2
S2 A S2 S1 S1 A
S 2 A2
60 24
1
S2 A2
2
S 2 C2
1
S2 A
1
S2 A2
2 6
30 6
5
36 5
2
30
36 cm
1
cm
36
17
cm
180
1
1
1
S1 A ''
1
S1 A2
S1 A2
S1S2
2
S1C1
S2 A2
60
180
17
1200
cm
17
1
S1 A ''
2
S1C1
1
S1 A2
2
17
cm
30 1200
1
S1 A ''
2 40
17
30 40 1200
63
1200
400
S1 A ''
cm  19, 0 cm
21
S1 A ''
400 17
b
21 1200
S1 A2
1
21
cm
400
B
1
A''
S1
17
 0, 27
63
a b
5
17
17
63
C1
B2
A
S2
A2
C2
Un rayon issu de B se réfléchit sur M2 en semblant
provenir de B2 puis sur M1 en passant par B’’. Le
rayon tracé est très incliné sur l’axe et l’objet n’est
pas à la même échelle que le rayon des miroirs. En
réalité le rayon peut ensuite se réfléchir sur M2 et
encore sur M1 et ainsi de suite.
Certaines armoires de toilette ou des penderies
permettent de voir ces successions d’image mais
leurs miroirs étant plans les images sont toutes de
la même taille.
L’image est renversée et réduite par rapport à
l’image intermédiaire.
Le grandissement total s’écrit :
'
B''
5
 0, 08
63
L’image est renversée et réduite par rapport à
l’objet.
Exercice XIII-C3 : équivalence d’un système de deux miroirs
Un miroir sphérique concave de rayon R1 reçoit la lumière émise par un objet ponctuel A situé
sur son axe optique. La lumière réfléchie frappe un deuxième petit miroir sphérique convexe de
rayon R2. Les deux miroirs sont concentriques (leurs centres sont confondus en un point O). La
lumière émergente sort du système par une petite ouverture réalisée autour du sommet du
premier miroir. On note A1 l’image intermédiaire et A’ l’image finale. Etablir la relation de
conjugaison du système en prenant O comme origine. Etablir de même l’expression du
grandissement. Commenter le résultat.
Les réflexions successives produisent les images
suivantes :
AB
M1
A1B1
M2
Les relations de grandissement avec origine au
centre donnent :
A' B '
1 2
Les relations de conjugaison avec origine au centre
donnent :
1
OA1
1
OA
1
1
OA ' OA1
2
OS1
2
R1
2
OS 2
f'
(2)
A
2
R2
2
R1
2
R1 R2
R1 R2
O
R1R2
2 R1 R2
Cette distance est positive.
Le système est équivalent à une lentille sphérique
mince convergente, placée en O.
On obtient en soustrayant (1) de (2) :
1
1
OA ' OA
OA '
OA
Ce sont les relations de Descartes (conjugaison et
grandissement) pour une lentille sphérique mince
de distance focale image :
(1)
2
R2
OA1 OA '
OA OA1
A1
S2
A'
S1
Exercice XIII-C4 : télescope de Newton
Un télescope de Newton est constitué d’un miroir sphérique concave de rayon 1800 mm (c’est
l’objectif du système), d’un petit miroir plan qui sert uniquement à renvoyer la lumière sur le
côté de l’instrument et d’un oculaire, en général un doublet de lentilles, simplifié ici en une
lentille sphérique mince convergente de distance focale image f ’2 = 9 mm.
Le télescope est pointé vers Mars dont le diamètre angulaire est alors = 20’’ (ce diamètre
dépend de la distance Terre-Mars qui est très variable). Calculer la taille de l’image
intermédiaire, le diamètre angulaire de l’image finale et le grossissement du télescope.
F1'
F2
F1''
F’1 est le foyer image du miroir sphérique concave. F’’1 en est l’image donnée par le petit miroir
plan. F2 est le foyer objet de l’oculaire. Le trajet d’un rayon lumineux incident parallèle à l’axe
optique du miroir concave montre le fonctionnement du télescope. Il émerge parallèlement à
l’axe optique de l’oculaire.
i) Image intermédiaire : L’objet (Mars) est à l’infini
donc son image intermédiaire se forme dans le plan
focal image de l’objectif.
B'
O
F'1 A'
'
F2 A'
C
B'
Dans le triangle A’B’C rectangle en C, par définition
de la tangente, il vient :
A' B '
tan
d ' où A ' B ' CF '1 tan  CF '1
CF '1
avec
et CF '1
20''
R
2
20
60.60
20
.
rad
60.60 180
900 mm
d’où A ' B '  900.
20
mm
60.60 180
soit A ' B '  8, 7.10 2 mm .
D’après le schéma, l’image intermédiaire est
renversée.
ii) Image finale : L’image intermédiaire est située
au foyer objet de l’oculaire lorsqu’il est réglé.
L’image finale est donc rejetée à l’infini.
Dans le triangle A’B’O rectangle en O, par
définition de la tangente, il vient :
tan '
A' B '
OF2
soit
'
A ' B ' CF '1

OF2
OF2
-3
α’ ≈ 9,7.10 rad ≈ 33’
D’après le schéma, l’oculaire ne redresse pas
l’image. L’image finale reste renversée.
iii) Par définition du grossissement du télescope :
'
G
avec :
d’où : G
'
f '1
f '2
f '1
f '2
G
900
100
9
Exercice XIII-C5 : télescope de Cassegrain
Un télescope de Cassegrain est constitué d’un miroir sphérique concave de rayon 3000 mm, de
sommet S1 et d’un petit miroir sphérique convexe de rayon 1000 mm, de sommet S2. Le miroir
principal est percé en son sommet d’une petite ouverture qui laisse passer la lumière émergente.
L’observateur est placé derrière cette ouverture et observe l’image donnée par les miroirs à
l’aide d’un oculaire. Quelle doit être la distance S1S2 pour que l’image A’ se situe en S1 ?
Il s’agit d’un télescope donc l’objet observé se
trouve à l’infini ! L’image intermédiaire se forme
donc dans le plan focal image du premier miroir. Ce
qui se résume par le diagramme :
M1
A
A1
F '1
L’image intermédiaire sert d’objet pour le second
miroir qui doit en donner une image située en S1.
Ce qui se résume par le diagramme :
A1
F '1
M2
1
x
x
f1
2x
x x
f1
f1
f2 2 x
x2
x
S1
1
2
1
f2
1
f2
f1
x x
f1 2 f 2 x
f1
f1 f 2
0,500 x 0, 750 0
0
avec x en m
La relation de conjugaison avec origine au sommet
donne alors :
Résolvons cette équation du second degré :
1
S2 S1
1
S2 S1
x
1,151 ou 0, 6514
D’après la géométrie du problème, seule la solution
positive convient :
S1S2 ≈ 1,151 m
1
S2 F '1
1
S2 F2
1
S2 S1 S1F '1
1
S2 F2
0, 250 3, 000 3, 250  1,803
2
Pour alléger les notations, posons :
S2 F2
F2
f2
S1F '1
F1
f1
S2 S1
S2
x
S1