Exercice 1

S8 - E LECTIF 10
M ODÉLISATION POUR L’A IDE À LA D ÉCISION
Vincent Mousseau
E XAMEN 29 mars 2013 - durée 2h
Documents de cours et ordinateur autorisés
Exercice 1 :
Votre ami cycliste Eddy cherche à planifier son trajet pour se rendre d’un point de départ à sa destination.
Il souhaite en particulier choisir son itinéraire de sorte de rendre son trajet le plus court possible. Toutefois,
ce cycliste (prudent) souhaite éviter de parcourir des routes connues pour être dangereuses. Pour l’aider,
vous représentez le réseau routier à l’aide du graphe G = (X, U ) ci-dessous. Eddy part du lieu symbolisé
par le sommet 1 et souhaite aller au sommet 25 (du moins au lieu qui est représenté par ce sommet).
)
(4,A
)
(6,A
)
(5,A
)
(2,A
1
2
(4,A
)
(2,B
)
)
(1,C
3
4
(1,E
)
)
(1,E
5
(3,A
)
(3,B
)
)
(1,E
8
(3,B
)
)
(4,B
6
7
(7,A
)
10
12
13
(3,B
)
17
18
20
(7,A
)
)
(4,A
(3,B
)
)
(2,C
(5,A
)
)
(2,A
(1,D
)
)
(3,C
14
16
(11,
A)
)
(1,D
(7,A
)
)
(4,A
(6,A
)
)
(4,B
(1,E
)
)
(2,D
9
11
)
(7,A
21
(1,A
)
)
(2,A
(3,C
)
23
(4,A
)
)
(1,C
(2,A
)
)
(5,A
25
24
22
19
15
1. Dans un premier temps, vous souhaitez calculer la distance la plus courte de 1 à 25. Quel algorithme
pouvez-vous utiliser ? Appliquer cet algorithme et donnez la distance minimale calculée à votre ami.
2. Eddy souhaite connaître comment aller de 1 à 25 dans la distance annoncée, que lui répondez-vous ?
3. Votre réponse est loin de le satisfaire. Fin connaisseur des conditions de la circulation pour un cycliste,
Eddy juge votre proposition beaucoup trop dangereuse. Vous lui proposez alors d’associer à chaque
tronçon de route (à chaque arc u du graphe) une valeur ordinale v(u), représentant le niveau de danger
associé à u, exprimée sur une échelle A ≻ B ≻ C ≻ D ≻ E (A correspondant à une route la plus
sûre, et E à une route très dangereuse).
Une discussion avec Eddy vous permet de comprendre que pour évaluer un parcours (de 1 à 25) en
termes de sécurité, Eddy prend en compte l’arc le moins sûr du chemin. Vous considérez alors les
graphes partiels suivants Gx = (X, U x ), x ∈ {A, B, C, D, E} avec U x = {u ∈ U : v(u) ≻ x}
où v(u) représente le niveau de sécurité de l’arc u et ≻ la relation “plus sûr que”. Représentez ces
graphes et donnez en une interprétation précise.
4. Existe-t-il nécessairement un chemin du sommet 1 au sommet 25 dans les graphes Gx ? justifier formellement votre réponse et donner une interprétation à ce résultat.
5. Vous expliquez alors à Eddy que vous avez à faire à un problème de plus court chemin bi-critère.
Expliquez en termes clairs ce que représentent les chemins efficaces.
6. Déduire des questions précédentes un algorithme calculant tous les chemin bi-critères efficaces. Calculez ces chemins, et expliquez vos résultats à Eddy.
7. Vous présentez les résultats à Eddy qui reste encore préoccupé. En effet, Eddy connaît bien le carrefour
symbolisé par le noeud 12 dans le graphe, et il juge que son niveau dangerosité est D. Comment
modifier le graphe de sorte de de pouvoir utiliser le même algorithme avec cette nouvelle information.
8. Eddy vient de découvrir une nouvelle route de 11 à 12 de longueur 1 mais dont il ne connaît pas le
niveau de dangerosité (A, B, C, D ou E). En fonction du niveau de dangerosité de cette nouvelle route,
quel sera l’impact sur la frontière efficace ?
9. Eddy voudrait maintenant raffiner la solution de sorte de pouvoir distinguer qualitativement les trajet
en fonction des dénivelés (A : pas de côte, ..., E : côte très forte et pénible) et d’agrément (A : route
très agréable, ..., E : route très désagréable). Comment adapter votre algorithme, à quelles difficultés
allez vous être confronté (en termes de calculs, en terme d’interprétation des résultats).
Exercice 2 :
United Eastern Airlines (UEA) routinely holds (from early sale) 20 seats per flight for regular business
customers who buy their tickets about 1 week before their flight. Historically the revenue per flight from
these customers is 20,000$ with probability 0.65 and 30,000$ with probability 0.35. This month however,
the UEA expects many “last-minute” customers who are typically willing to pay even more for their tickets.
These purchases occur within the last two days prior to the flight. The projected revenue per flight from
these last-minute customers is estimated to be 32,000$ x F, where F is the fraction of seats that would be
taken away from the aforementioned business customers. UEA estimates that the demand from these lastminute customers will be 8 seats with probability 0.30 and 10 seats with probability 0.70, so the company
considers reserving 8, 9 or 10 seats for these customers. If, within several hours of flight time, there are any
remaining unsold seats, then these unsold seats can typically be sold to regular business customers, but at
a 50% discount. Use a decision tree to determine if the company should modify their usual plan and hold
some seats for the very lucrative last-minute customers, and if so, determine how many seats should be held.
Perform the sensitivity analysis with respect to the probability that the revenue from business customers is
30,000$ (which currently is 0.35). At what value (if any) would your recommended strategy change ?
Exercice 3 :
Une association d’entraide humanitaire doit décider de l’affectation de ses ressources, limitées, vers deux
pays (p1 et p2 ) dont les besoins peuvent être considérés, eux, comme illimités. Les ressources sont composées de médecins, d’équipements sanitaires standards et, bien sûr, de moyens financiers. Les ressources seront envoyées et réparties dans chaque pays exclusivement sous la forme d’unités d’intervention composées
en fonction des besoins spécifiques du pays. Une unité d’intervention en p1 est composée de 0 équipement
standard, 1 médecin et d’une dotation financière de 60000e. Une unité d’intervention en p2 est composée
de 5 équipements standards, 3 médecins et d’une dotation financière de 20000e. L’association dispose de
25 équipements standards, 18 médecins et d’une dotation financière de 600000e.
On estime qu’un unité d’intervention pourra sauver 2000 vies dans le pays p1 et 3000 vies dans le pays
p2 . Une commission composée du président de l’association et d’un président de chaque pays doit décider
d’un plan d’action pour répartir “au mieux” les ressources. Pour y voir plus clair, on désire modéliser le
problème.
1. Définir les variables caractérisant un plan d’action et représenter graphiquement l’ensemble des plans
d’action réalisables.
2. Le président de l’association propose comme critère d’affectation de sauver un maximum de personnes
(indépendamment de toute notion de nationalité). Formaliser ce problème en terme de programmation
linéaire. Résoudre graphiquement ce programme. Quelle solution obtient-on ? Expliquer pourquoi le
représentant du pays p2 n’est pas d’accord.
3. Chaque représentant veut attribuer en priorité le maximum d’unités d’intervention à son pays, les ressources restantes étant utilisées par l’autre pays s’il est possible de constituer des unités d’intervention.
Donner les deux solutions correspondantes ; Quel est le niveau maximum de personnes sauvées dans
chaque cas ?
4. Aucune des solutions précédentes ne permet au comité de se mettre d’accord. Pour progresser, les
représentants accepteraient un plan d’action pour lequel le nombre de personnes sauvées est le même
dans chaque pays, en rendant évidemment maximum ce nombre. Formaliser ce nouveau problème.
Quelle est la solution ? Comparer la solution avec celle trouvée en 2).
5. Pour la solution trouvée au 4), faire le bilan des ressources consommées. Quelles sont les ressources
contraignantes (rares) pour cette politique ?
2
QRL : Question à réponse limitée (la réponse doit être donnée dans le cadre sur le sujet)
Expliquez les limites d’application de la théorie de l’utilité pour modéliser une décision en avenir incertain ?
3