Chapitre 2 : Expressions algébriques

Chapitre 2 : Expressions algébriques
I – Vocabulaire :
Définition :
Une expression algébrique peut contenir des nombres et des lettres qui représentent des
nombres , ainsi que des parenthèses , des symboles opératoires ( + , − , × , ÷ ) .
Exemple :
L’expression algébrique −3x +
•
•
•
2
− 2 contient :
x
Les nombres −3 , 2 et 2
La lettre ‫ݔ‬
Les opérations + , − , × , ÷
Forme d’une expression algébrique :
Il est important de savoir reconnaître la forme d’une expression algébrique : somme ,
différence , produit , quotient .
a) A + B est la somme de A et B . A et B sont les termes de cette somme .
b) A − B est la différence de A et B .
c) A × B est le produit de A par B . A et B sont les facteurs de ce produit .
A
d)
est le quotient de A par B
B
-
Méthode :
Pour savoir si l’on est en présence d’une somme , d’une différence , d’un produit ou d’un
quotient , on recherche la dernière opération effectuée .
Exemples :
Quelle est la forme de chacune des expressions algébriques suivantes :
7x
A( x ) = ( x − 1) 2 − (2 x + 5)
B( x) = 4 x 2
C ( x) =
x −9
n° 1 feuille 2 : forme expression algébrique .
n° 2 feuille 2 : traduction expressions algébriques en phrase
n° 3 feuille 2 : traduction phrase en expression algébrique
Définitions : 1) Un expression polynômiale de degré n est une expression algébrique se présentant
sous la forme d’une somme de termes de type ax n où a est une constante réelle
et ݊ un entier naturel .
2) Une expression rationnelle est une expression pouvant s’écrire comme le quotient
de deux expressions polynômiales .
1
Exemples :
3 x 2 + 5 x − 1 est un polynôme de degré 2 .
3x 2
est une expression rationnelle .
x+2
II – Développer une expression algébrique :
Définition :
Développer , c’est transformer un produit en somme .
Règles :
1) Quelque soient les réels a , b et c :
a (b + c ) = ab + ac .
2) a) Quelque soient les réels a , b , c et d :
b) Développements remarquables :
(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd .
( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
Exemples :
Développer ( et réduire si nécessaire ) les expressions algébriques suivantes :
(
A=3 2+ 5
)
D( x) = (3 x − 1) 2
-
B( x) = ( 2 + x )( 9 x − 1)
(
C = 4+ 3
E = (3 x − 5)(3 x + 5)
n° 85 page 75 : applications avec distributivité et 3 identités remarquables .
n° 88 page 75 : applications avec distributivité et différence des 2 premières identités remarquables .
n° 4 feuille 2 : applications avec des racines carrées .
n° 5 feuille 2 : applications avec 3 facteurs .
III – Factoriser une expression algébrique :
Définition :
Factoriser , c’est transformer une somme en produit .
Règles :
1) Quelque soient les réels a , b et c :
ab + ac = a (b + c ) .
a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b) 2
2) Factorisations remarquables :
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2
a 2 − b 2 = ( a − b)(a + b)
Exemples :
Factoriser les expressions algébriques suivantes :
A( x) = ( x + 2)( x − 1) + ( x + 2)( x + 3)
C ( x) = 4 x 2 − 12 x + 9
B( x) = x 2 + 2 x + 1
D( x) = x 2 − 4
2
)
2
-
n° 94 page 76 : applications avec identités remarquables .
n° 97 page 76 a et b : applications avec facteur commun .
n° 98 page 76 d : idem avec x .
n° 6 feuille 2 : applications avec « coup du 1 » .
n° 7 feuille 2 : double factorisation .
IV – Démontrer une égalité :
Question :
Démontrer que , pour tout nombre ‫ ݔ‬, on a : ( x − 4) 2 + ( x − 4) = ( x − 4)( x − 3)
1ère méthode : On part d’un des deux membres de l’égalité et on transforme son écriture pour obtenir
l’autre membre de l’égalité .
Exemple :
Pour tout réel ‫ ݔ‬:
( x − 4) 2 + ( x − 4) = ( x − 4) × ( x − 4) + ( x − 4) × 1
= ( x − 4) [ ( x − 4) + 1]
= ( x − 4)( x − 3)
2nde méthode : Séparément , on transforme l’écriture de chacun des deux membres pour démontrer
qu’ils sont tous les deux égaux à un même expression .
Exemple :
Pour tout réel ‫ ݔ‬:
( x − 4) 2 + ( x − 4) = x 2 − 8 x + 16 + x − 4
= x 2 − 7 x + 12
( x − 4)( x − 3) = x 2 − 3 x − 4 x + 12
= x 2 − 7 x + 12
Donc ( x − 4) 2 + ( x − 4) = ( x − 4)( x − 3)
3ième méthode : On transforme l’écriture de la différence entre les deux membres de l’égalité pour
obtenir 0 .
Exemple :
Pour tout réel ‫ ݔ‬:
( x − 4) 2 + ( x − 4) − ( x − 4)( x − 3) = ( x − 4) × ( x − 4) + ( x − 4) × 1 − ( x − 4)( x − 3)
= ( x − 4) [ ( x − 4) + 1 − ( x − 3) ]
= ( x − 4)( x − 4 + 1 − x + 3)
= ( x − 4) × 0
=0
2
Donc ( x − 4) + ( x − 4) = ( x − 4)( x − 3)
-
n° 8 feuille 2 : applications
n° 9 feuille 2 : idem
3
V – Résoudre une équation se ramenant à une équation - produit :
Exemple :
Résoudre l’équation : ( x − 3)( x − 1) = 5( x − 1)
Méthode pour résoudre une équation sans inconnue au dénominateur :
1) On soustrait les deux membres de l’équation pour avoir 0 dans le membre de droite .
2) On factorise le membre de gauche pour obtenir une équation – produit .
3) On résout cette équation – produit .
-
n° 104 page 76 a et b : applications avec 3ième identité remarquable .
n° 106 page 76 d : applications avec facteur commun
n° 107 page 76 a : idem .
n° 10 feuille 2 : un petit mélange .
n° 11 feuille 2 : utilisation de la forme la plus adaptée pour résoudre une équation .
n° 12 feuille 2 : problème ( avec double et cube ) .
n° 13 feuille 2 : mise en équation d’un problème géométrique historique ( aire surface formée d’un carré et
de deux rectangles ) + démontrer une égalité + équation du 2nd degré avec 3ième identité remarquable .
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