Correction du contrôle

CORRECTION DU SUJET A
Exercice 1
1) Les nombres 2584 et 1241 sont-ils premiers entre eux ? Justifier votre réponse.
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Calculons PGCD (2584 ; 1241) en utilisant l’algorithme d’Euclide
Etapes
1
2
3
a
2584
1241
102
b
1241
102
17
Restes
102
17
0
Conclusion: PGCD (2584 ; 1241) = 17 et donc 2584 et 1241 ne sont premiers entre eux.
2) a) Calculer le PGCD de 663 et 969 en utilisant la méthode de votre choix.
Pour calculer PGCD (663 ; 969), on utilise l’algorithme d’Euclide
Etapes
1
2
3
a
969
663
306
b
663
306
51
Restes
306
51
0
Conclusion: PGCD (969 ; 663) = 51
b) En déduire la forme irréductible de la fraction
969
.
663
Pour rendre une fraction irréductible, on la simplifie par le PGCD de son numérateur et de son
dénominateur.
969 969: 51 19
=
=
663 663: 51 13
Exercice 2
Une grossiste en fleurs a reçu un lot de 5815 tulipes et 3489 roses. Elle veut réaliser des bouquets
tous identiques, composés de roses et de tulipes en utilisant toutes les fleurs.
1) Quel nombre maximal de bouquets peut-elle composer ?
J’appelle N le nombre de bouquets que cette grossiste peut former. J’appelle a le nombre de tulipes par
bouquet et j’appelle b le nombre de roses par bouquet.
Si on multiplie le nombre de bouquets par le nombre de tulipes par bouquet, on obtient 5815.
De même, si on multiplie le nombre de bouquets par le nombre de roses par bouquet, on obtient 3489.
On a donc les relations : N × a = 5815
et
N × b = 3489.
Cela signifie que N est un diviseur de 5815 et de 3489, c’est donc un diviseur commun de ces deux
nombres.
De plus, on veut que N soit le plus grand, N sera donc le plus grand diviseur commun de 5815 et 3489.
Donc N = PGCD (5815; 3489).
Je détermine N en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Etapes
1
2
3
a
5815
3489
2326
b
3489
2326
1163
Restes
2326
1163
0
Donc N = PGCD (5815; 3489) = 1163
Conclusion cette grossiste pourra faire au maximum 1163 bouquets identiques.
2) Quel est alors la composition de chaque bouquet ?
Cette question revient à calculer a et b.
On sait que N × a = 5815 et N × b = 3489. Or N = 1163
Donc 1163 × a = 5815 et 1163 × b = 3489.
Donc a = 5 et b = 3.
Conclusion Chaque bouquet est formé de 5 tulipes et 3 roses.
Exercice 3
1) On lance un dé non truqué à six faces. Compléter le tableau.
Les réponses sont écrites en bleu.
Evénements
Elémentaire Impossible Certain
Obtenir un nombre inférieur à 6
(strictement inférieur à 6)
Obtenir 2
Obtenir un diviseur de 7
Obtenir un multiple de 5
Obtenir le nombre 7
Non
élémentaire
x
x
x
x
x
2) Un dé a la forme d'un icosaèdre régulier. Les vingt faces sont numérotées de 1 à 20 et, si on lance
le dé, on a autant de chances d'obtenir chacune des faces.
Donner la probabilité de chacun des événements suivants:
a) A = « Obtenir un multiple de 2 ».
On est en situation d’équiprobabilité, c’est-à-dire que toutes les faces ont la même chance de sortir.
On peut décrire de façon précise l’événement A :
A = « 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20 »
Donc P (A) =
!"
!"
=
!
!
b) B = « Obtenir un multiple de 3 ».
On peut ici aussi décrire l’événement B de façon précise :
B = « 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 »
Donc : P (B) =
!
!
= !"
!"
c) C = « Obtenir un numéro impair ».
On peut ici aussi décrire l’événement C de façon précise :
C = « 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 »
Donc P (C) =
!"
!
= !
!"
Autre méthode pour calculer P (C)
!
!
Les événements A et C sont contraires. Donc P(C) = 1 − ! = !
d) D = « Obtenir un numéro qui ne soit ni un multiple de 2 ni un multiple de 3 ».
On peut ici aussi décrire l’événement D de façon précise :
D = « 1 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 »
Donc P (D) =
!
!"
CORRECTION DU SUJET B
Exercice 1
1) Les nombres 1339 et 2821 sont ils premiers entre eux ? Justifier votre réponse.
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Calculons PGCD (2821 ; 1339) en utilisant l’algorithme d’Euclide
Etapes
1
2
3
4
5
a
2821
1339
143
52
39
b
1339
143
52
39
13
Restes
143
52
39
13
0
Conclusion: PGCD (2821 ; 1339) = 13 et donc 2821 et 1339 ne sont premiers entre eux.
2) a) Calculer le PGCD de 2546 et 1159 en utilisant la méthode de votre choix.
Pour calculer PGCD (2546 ; 1159), on utilise l’algorithme d’Euclide
Etapes
1
2
3
a
2546
1159
228
b
1159
228
19
Restes
228
19
0
Conclusion: PGCD (2564 ; 1159) = 19
1159
.
2546
Pour rendre une fraction irréductible, on la simplifie par le PGCD de son numérateur et de son
dénominateur.
b) En déduire la forme irréductible de la fraction
1159 1159: 19
61
=
=
2546 2546: 19 134
Exercice 2
Une association organise une compétition sportive, 144 filles et 252 garçons se sont inscrits.
L’association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même
dans chaque équipe, et le nombre de garçons doit lui aussi le même dans chaque équipe. Tous les
inscrits doivent être dans une équipe.
1) Quel est le nombre maximal d’équipes cette association peut-elle former ? Justifier.
J’appelle N le nombre d’équipes que cette association peut former. J’appelle a le nombre de garçons par
équipe et j’appelle b le nombre de filles par équipe.
Si on multiplie le nombre d’équipes par le nombre de filles par équipe, on obtient 144.
De même, si on multiplie le nombre d’équipes par le nombre de garçons par équipes, on obtient 252.
On a les relations : N × a = 252 et N × b = 144.
Cela signifie que N est un diviseur de 252 et de 144, c’est donc un diviseur commun de ces deux
nombres.
De plus on veut que N soit le plus grand, N sera donc le plus grand diviseur commun de 252 et 144.
Donc N = PGCD (252; 144).
Je détermine N en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Etapes
1
2
3
a
252
114
108
b
144
108
36
Restes
108
36
0
Donc N = PGCD (252 ; 144) = 36
Conclusion le nombre maximal d’équipes que cette association peut former est 36
2) Quel est alors la composition de chaque équipe ?
Cette question revient à calculer a et b.
On sait que N × a = 252 et N × b = 144. Or N = 36
Donc 36 × a = 252 et 36 × b = 144.
Donc a = 7 et b = 4.
Conclusion Chaque équipe est formée de 7 garçons et 4 filles.
Exercice 3
1) On lance un dé non truqué à six faces. Compléter le tableau.
Les réponses sont écrites en bleu.
Evénements
Elémentaire Impossible Certain
x
x
Obtenir un nombre inférieur à 4
Obtenir un diviseur de 9
Obtenir 3
Obtenir un multiple de 4
Non
élémentaire
x
x
Obtenir un nombre positif
x
2) Un dé a la forme d'un icosaèdre régulier. Les vingt faces sont numérotées de 1 à 20 et, si on lance
le dé, on a autant de chances d'obtenir chacune des faces.
Donner la probabilité de chacun des événements suivants:
a) A = « Obtenir un multiple de 6 ».
On est en situation d’équiprobabilité, c’est-à-dire que toutes les faces ont la même chance de sortir.
On peut décrire de façon précise l’événement A :
Donc P (A) =
A = « 6 ; 12 ; 18 »
!
!"
b) B = « Obtenir un multiple de 5 ».
On peut ici aussi décrire l’événement B de façon précise :
Donc : P (B) =
!
B = « 5 ; 10 ; 15 ; 20 »
!
!"
= !
c) C = « Obtenir un numéro impair ».
On peut ici aussi décrire l’événement C de façon précise :
Donc P (C) =
!"
!"
!
= !
C = « 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 »
d) D = « Obtenir un numéro qui ne soit ni un multiple de 5 ni un multiple de 6 ».
On peut ici aussi décrire l’événement D de façon précise :
Donc P (D) =
!"
!"
D = « 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 13 ; 14 ; 16 ; 17 ; 19 »