essentiel de la présentation vidéo d`EP

Transcription

Retour sur l’élasticité
Principes de l’analyse dimensionnelle
1er ex. : impact élastique
2ème ex. : flambement
Question
Séance 7 de Mécanique des milieux continus solides et fluides
Emmanuel Plaut, Sébastien Allain,
Lucile Dézerald, Matthieu Gisselbrecht, Mathieu Jenny & Jean-Sébastien Kroll
1 Retour sur la loi de comportement des solides élastiques
2 Ouverture Recherche & Développement (S. A.)
Comportement en traction de l’acier TWIP
3 Principes de l’analyse dimensionnelle
Méthodologie de Vaschy-Buckingham - Théorème π
4 1er exemple d’application : impact élastique d’une balle
5 2ème exemple d’application : flambement d’une poutre
6 Question
Retour sur la loi de comportement des solides élastiques
Version contraintes → déformations
σ
1+ν
ν
ǫ =
σ −
(trσ) 1 = O
E
E
E
Matériau solide
Acier
Aluminium
Diamant
Verre
Caoutchouc
Béton
E [GPa]
180 à 220
70
1000
90
0,001 à 0,1
20 à 50
ν
0,28
0,33
0,2
0,22
0,49
0,2
!
Question
Question
Retour sur la loi de comportement des solides élastiques
Version déplacements et déformations → contraintes ; avec λ et µ = O(E ) :
σ = 2µ ǫ + λ (trǫ) 1 = 2µ ǫ + λ (divu) 1
du = ∇u · dX = ǫ| ·{z
dX} + Ω
· dX}
| {z
dudéf
dX2
durot
+
=
Donc sur une coupe virtuelle cercle - sphère centrée sur le point analysé :
n =
dX
||dX||
=⇒
T = σ·n =
2µ dudéf
+ λ (divu) n .
||dX||
dX1
Question
Toute grandeur physique φ rencontrée en mécanique classique a une dimension
physique produit de puissances des dimensions physiques fondamentales
masse m, longueur ℓ et temps t,
φ ≡ m α ℓβ t γ
« φ
est homogène au produit d’une masse puissance α
par une longueur puissance β
par un temps puissance γ »
(α, β, γ) exposants des dimensions fondamentales
mα ℓβ t γ fonction de dimensions de φ
Question
∀φ,
∃(α, β, γ) tels que
φ ≡
α β γ
m
ℓ t}
| {z
fonction de dimensions de φ
La fonction de dimensions de φ se déduit de sa formule de définition
physique :
φ = vitesse v =
dx
dt
=⇒
φ = accélération γ =
dv
dt
φ = force F = m γ
=⇒
φ = gradient de pression ∇p
ℓ
≡ ℓ t −1
t
v
γ ≡
≡ ℓ t −2
t
v ≡
=⇒
F ≡ m ℓ t −2
=⇒
∇p ≡ m ℓ−2 t −2
L’analyse dimensionnelle est liée au problème de la mesure des
grandeurs physiques par choix d’un système d’unités
Mesure des grandeurs fondamentales :
Comparaison à des étalons de mesure :
m
avec M = 1 kg dans le SI
M
ℓ
avec L = 1 m dans le SI
mes(ℓ) =
L
t
mes(t) =
avec T = 1 s dans le SI
T
mes(m) =
Mesure des grandeurs dérivées :
La fonction de dimensions détermine l’unité dérivée.
Par exemple
p = pression ≡ m1 ℓ−1 t −2
=⇒
1 Pa = 1 kg/(m s2 ) .
Question
Question
Toute équation de la physique doit être invariante par changement
de système d’unité donc homogène dimensionnellement :
fonctions de dimensions de tous les termes identiques.
Dans le cas contraire on a une équation
inhomogène dimensionnellement !
Vous devez toujours tester l’homogénéité dimensionnelle
de vos formules, pour éliminer des erreurs (INHD).
Exemple : 2 formules du laplacien en cylindriques se contredisent :
(F1)
⇐⇒
(F2)
⇐⇒
∂ 2 p 1 ∂p
1 ∂2p ∂2p
+
+ 2 2 + 2
2
∂r
r ∂r
r ∂θ
∂z
2
1 ∂ p
∂ 2p
1 ∂ 2 ∂p
r
+ 2 2 + 2 INHD !
∆p =
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z
∆p =
Qui a tort, qui a raison ? F2 a forcément tort. F1 a peut-être raison.
Question
Toute ambiguité concernant le choix d’un système d’unités est
extrêmement dangereuse ! ... voire mortelle !
Cf. l’exemple de la sonde américaine Mars Climate Orbiter,
construite pour la partie infrastructures et moteurs par Lockheed Martin
Astronautics pour la NASA en 1997-98 :
Coût de la sonde
≃ 200 M$
Question
lancée par la NASA, sous le contrôle du Jet Propulsion Laboratory,
en décembre 1998 :
Coût du lancement
≃ 90 M$
Question
pilotée vers Mars sous le contrôle du Jet Propulsion Laboratory,
de façon à préparer sa mise en orbite,
entre décembre 1998 et septembre 1999.
Le 23 septembre 1999 devait avoir lieu cette mise en orbite elliptique par freinage
moteur, la sonde devant passer à 140 km environ de Mars :
[
Labrot P. www.nirgal.net
]
Question
disparaı̂t à jamais le 23 septembre 1999 à 11h06 !
Sonde passée à 57 km de Mars donc brûlée dans son atmosphère !
Dans les manœuvres de pilotage de la sonde, les ingénieurs du JPL envoyaient des
commandes de poussée qu’ils croyaient en Newton au moteur de LMA qui les
interprétait en livre-force !
Coût de l’erreur d’unité
≃ 300 M$
Question
Théorème π (VB) : réduction de φ = f (φ1 , φ2 , · · · ,φn )
◮
Soit un système physique dépendant de paramètres de contrôle
φ1 , φ2 , · · · ,φn numérotés d. s. q. les 3 premières colonnes de la matrice des
exposants des dimensions
m
ℓ
t
φ1
α1
β1
γ1
φ2
α2
β2
γ2
φ3
α3
β3
γ3
···
···
···
···
φk
αk
βk
γk
···
···
···
···
φn
αn
βn
γn
forment une matrice 3×3 inversible
⇐⇒ φ1 , φ2 , φ3 grandeurs fondamentales
dimensionnellement indépendantes.
◮
Adimensionner les autres paramètres de contrôle en introduisant des
groupements π
πk =
φa1k
φk
≡ 1 pour k = 4, · · · ,n.
φb2k φc3k
Question
Théorème π (VB) : réduction de φ = f (φ1 , φ2 , · · · ,φn )
◮
Adimensionner les autres paramètres de contrôle en introduisant des
groupements π
φk
πk = ak bk ck ≡ 1 pour k = 4, · · · ,n.
φ1 φ2 φ3
◮
Adimensionner de même la grandeur physique dépendante d’intérêt φ,
i.e. introduire
φ
π0 = a0 b0 c0 ≡ 1 .
φ1 φ2 φ3
◮
Alors la relation φ = f (φ1 , φ2 , · · · , φn ) peut s’écrire
φ1 φ2 φ3
π0 = F (φ1 , φ2 , φ3 , π4 , · · · , πn ) = F
,
,
, π4 , · · · , πn
Φ1 Φ2 Φ3
et en changeant les étalons de mesure indépendants Φ1 , Φ2 , Φ3 , il vient
π0 = F (π4 , · · · , πn )
.
1er exemple d’application : impact élastique d’une balle
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V
11
00
00
11
d
◮ Grandeur dépendante : diamètre d de la zone d’impact
◮ Paramètres de contrôle : D, ρ, V , E et ν
Expériences numériques de Bathe :
Matériau
Alumine
Aluminium
Caoutchouc
E [MPa]
366000
”
”
69000
”
”
3,93
”
”
ρ [kg/m3 ]
3960
”
”
2705
”
”
1060
”
”
V [m/s]
43
59
77
80
126
345
5
7
12
ν
0,22
0,22
0,22
0,33
0,33
0,33
0,47
0,47
0,47
d/D
0,15
0,17
0,19
0,25
0,30
0,45
0,50
0,55
0,70
Symbole
•
•
•
•
•
•
•
•
•
[ Sonin 2001 The Φ basis of dimensional analysis. MIT Lecture ]
Question
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V
11
00
00
11
d
Alumine •
Aluminium •
Influence de E ?
1.0
0.8
d
D
0.6
0.4
0.2
0.0
1
100
10 4
E [MPa]
10 6
Caoutchouc
•
Question
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V
11
00
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11
d
Alumine •
Aluminium •
Influence de V ?
1.0
0.8
d
D
0.6
0.4
0.2
0.0
1
5
10
V [m/s]
50 100
500
Caoutchouc
•
Question
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V
11
00
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11
d
Analyse dim. : théorème π
→
Alumine • Aluminium • Caoutchouc •
E
E d
= F (π4 ,π5 ) = F
,ν ≃ F
π0 =
2
D
ρV
ρV 2
1.0
0.8
d
D
0.6
0.4
0.2
0.0
10
∃ une courbe maı̂tresse !
100
1000
104
π4 = E /(ρV 2 )
105
Question
2ème exemple d’application : flambement d’une poutre
Poutre cylindrique de diamètre d, axe Az, en liaison pivot en A, pivot - glissière en B :
Force appliquée F > Fc :
Pas de force appliquée :
Force appliquée F < Fc :
F
1
0
1
0
1
0
B
F
00
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11
00
00
11
h
z
0
1
1
0
0
1
A
compression pure
instabilité de flambement !
◮ Grandeur dépendante : seuil de flambement Fc .
◮ Paramètres de contrôle : diamètre d, hauteur h, module d’Young E .
Seulement 2 grandeurs dimensionnellement indépendantes : d et E .
VB → π3 = h/d ,
π0 = Fc /(d a E b ) = Fc /(d 2 E ) = f (d,E ,π3 ) = f (π3 )
Question
2ème exemple d’application : flambement d’une poutre
Poutre cylindrique de diamètre d, axe Az, en liaison pivot en A, pivot - glissière en B :
Pas de force appliquée :
Force appliquée F < Fc :
Force appliquée F > Fc :
F
00
11
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00
00
11
B
F
11
00
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11
00
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h
z
1
0
1
0
1
0
A
compression pure
instabilité de flambement !
Vaschy - Buckingham → Fc = E d 2 f (h/d)
Expériences → Fc ∝ d 4 , Fc ∝ h−2
Idée : f (h/d) = F0 (h/d)α
→ α = −2 →
Fc = F0
E d4
h2
cf. le pb. 5.1...
Question
TD : Pb 4.3
Dimensionnement d’un tuyau contenant un fluide sous pression
Rappel : équipe pédagogique pour le TD :
Chargé(e) de TD Labo.
Spécialité
L. Dézerald
IJL
Méca. et Φ des solides
M. Jenny
Lemta
Méca. et Φ des fluides
S. Allain
IJL
Méca. et Φ des solides
M. Gisselbrecht
IJL
Méca. des fluides multiphasiques
J.-S. Kroll
IJL
Méca. des fluides multiphasiques
Groupe(s)
XM1 & YM1
XM2 & YM2
XM3 & YM3
XM4 & YM4
XM5
Question ?
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc
Salle
B301
B304
B305
B306
B307-308

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