Probl`emes aux valeurs propres et magnéto-hydro

Problèmes aux valeurs propres et
magnéto-hydro-dynamique: simulation des cuves de
production d’aluminium
• Jean Descloux, Michel Romerio, Michel Flueck,
Chaire du Prof. Jacques Rappaz
Institut de Mathématiques, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne,
1015 Lausanne, Switzerland
• Jacques Antille, René Von Kaenel
ALCAN, Sierre, Switzerland,
• Fonds nationaux suisses (NEFF,CTI).
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Plan la présentation
• Électrolyse industrielle de l’aluminium, motivations
• Modèle physique d’une cuve pour l’électrolyse
• Stabilité linéaire
• Problème aux valeurs propres: modes gravitationnels
• Problème aux valeurs propres: modes MHD
• Résolution du problème aux valeurs propres MHD
• Application
• Conclusions et Perspectives
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Électrolyse industrielle de l’aluminium
• cuve en coupe verticale transverse (Ω, Λ, Γ)
• 2Al2O3 + 3C → 4Al + 3CO2, 960◦C, 200kA, 5Volts, 10m×3m×1m
• motivation: stabilité de la cuve (fluides + interface), courant maximum,
conducteurs extérieurs
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Le modèle physique d’une cuve pour l’électrolyse
Deux problèmes couplés
• représentation de l’interface Γ(e
h): z = e
h(x, y, t)
• Navier-Stokes incompressible pour deux fluides immiscibles (e
u, pe, e
h)
e + (e
ρ(∂tu
u.∇)e
u) − µ∆e
u + ∇(e
p + ρgz) = e
f
dans Ω
e=0
div u
dans Ω
[e
u]Γ(eh) = 0
sur Γ(e
h)
[τi,j (e
u, pe)e
ni n
ej ]Γ(eh) = 0
sur Γ(e
h)
e .∇(z − e
h−u
h) = 0
∂te
sur Γ(e
h)
+ C.B. + C.I.
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e ϕ)
• Maxwell sans ∂t: (b,
e
e=0
div b
dans R3
div ej = 0
dans R3
e = µ0ej
rot b
dans R3
• couplage par les forces, le courant et la géométrie
e
e + gravité
f = ej ∧ b
dans Ω
ej = σ(−∇ϕ
e
e ∧ b)
e+u
dans Λ
ej = donné
en dehors de Λ
• HYP: ej est constant (en temps) en dehors de la cuve
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Stabilité linéaire - problème à l’interface
• solution stationnaire: u, p, h, ϕ, b
• problème linéarisé: qe(x, y, z, t) = q(x, y, z) + eiωtQ(x, y, z)
• modes propres, fluctuations: ω, (U, P, H, Φ, B)
• interface: e
h(x, y, t) = h(x, y) + eiωtH(x, y)
• conditions à l’interface: on ramène tout à l’interface stationnaire h:
q(x, y,e
h(x, y, t)) '
q(x, y, h(x, y)) + ∂z q(x, y, h(x, y)) eiωt H(x, y)
• par ex. [e
p] = 0 donne: [P ] + H [∂z p] = 0
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Conditions à l’interface
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Problème aux valeurs/vecteurs propres
• problème hydro-dynamique (Euler, µ = 0) :
iωρU + ∇P = F
dans Ω
div U = 0
...
[P ]Γ = gH[ρ]Γ
sur Γ
iωH − U.n = G
sur Γ
normalisation
• couplage avec les fluctuationss électromagnétiques:
F(U, H) = j ∧ B(U, H) + J(U, H) ∧ b
− ρ(U.∇) u − ρ(u.∇) U
G(U, H) = ∂z u.∇(z − h)H − u.∇H
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sur Γ
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Problème pour F(U, H)
div B = 0
dans R3,
div JD = 0
dans R3,
rot B = µ0JD
dans R3,
JD = J + H[j]ΓδΓ
dans R3,
J = σ(−∇Φ + U ∧ b + u ∧ B)
dans Λ,
J=0
dans ΛC ,
[Φ + H∂z ϕ]Γ = 0
sur Γ.
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Elimination des fluctuations électromagnétiques
+ Continuation sur le courant
• pour (U, H) donné, on peut éliminer les grandeurs électromagnétiques (Φ, B):
fonction F(U, H), linéaire en (U, H)
F(U, H) =j ∧ B(U, H) + J(U, H) ∧ b
− ρ(U.∇) u − ρ(u.∇) U
• on calcule les N premiers modes gravitationnels (cuve sans courant)
• continuation sur le courant à partir des modes gravitationnels:
trajectoires de valeurs propres dans le plan complexe avec le courant comme
paramètre
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Courant nul - Modes gravitationnels
• Modes gravitationnels
iωρU + ∇P = 0
dans Ω
div U = 0
...
[P ]Γ = gH[ρ]Γ
sur Γ
iωH − U.n = 0
sur Γ
• formulation variationnelle en P (V = H 1(alu) × H 1(électrolyte)) :
Trouver ω ∈ C et P ∈ V tq:
−ω
2
Z
1
[P ]Γ[q]Γ +
g[ρ]
Γ
Γ
Z
1
∇P.∇q = 0,
ρ
Ω
∀q ∈ V
• il existe une suite 0 < ω12 < ω22 < . . . de valeurs propres réelles:
on cherche les N premiers modes
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Modes (parallélipipède rectangle)
• Ω = [0, Lx] × [0, Ly ] × [−L1, L2]
• H m,n(x, y) = cos kxx cos ky y
• Puissance inverse avec shift sur N premiers modes en partant des parallélipipèdes
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Modes MHD
• Modes MHD:
iωρU + ∇P = F(U, H)
dans Ω
div U = 0
...
[P ]Γ = gH[ρ]Γ
sur Γ
iωH − (U, n) = G(U, H)
sur Γ
• formulation variationnelle en (U, H) dans Z = W × H 1/2(Γ):
Trouver ω ∈ C, (U, H) ∈ Z tq :
Z
Z
ω
ρU.V + g[ρ]ΓHKdσ = . . . ,
Ω
∀(V, K) ∈ Z.
Γ
avec W = {w : Ω 7→ C3 | div w = 0} !!
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Résolution du Problème aux valeurs propres MHD
• formulation variationnelle en P, (U, H):
Trouver ω ∈ C, (U, H) ∈ Z et P ∈ V tq :
Z
Z
1
1
[P ]Γ[Q]Γ +
∇P.∇Q
Ωρ
Γ g[ρ]Γ
Z
1
=
F(U, H).∇Q,
∀q ∈ V
ρ
Ω
•
−ω 2
•
iωρU + ∇P = F(U, H)
•
[P ]Γ = gH[ρ]Γ
• normalisation
• linéarisation: ω + δω, U + δU, P + δP, H + δH
• Galerkin sur la formulation (U, H)
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Réalisation informatique
• maillage éléments finis en hexaèdres (10’000):
– approx. éléments finis Q1 pour P, P (U, H), Φ, A , (B = rot A)
– tableaux de valeurs aux points de Gauss pour U, H
• nombre de modes calculés N = 12:
• nombre de pas de continuation sur le courant : 10
• nombre d’évaluations de F(U, H) : 200000
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Exemple de diagramme calculés
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Conclusions et Perspectives
• Code utilisé par ALCAN pour
– La construction de nouvelles cuves
– L’optimisation de halles de cuves existantes
• Comportement ferromagnétique du ”caisson” d’acier contenant la cuve
• Termes visqueux pour la stabilité
• Thermique stationnaire, solidification au bord
• Effet des bulles de gaz
• Comparaisons avec un modèle évolutif
• Optimisation de la disposition des barres
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