TD 4 - Value - Delta Gamma

D. Herlemont
Mesure de Risque de Marché
TD 4 - Value - Delta Gamma
1. Une institution financière a un desk taux d’intérêts et un desk options exotiques. Quatre
comptes-rendus de gestion du risque sont fournis en utilisant différentes méthodes, lesquelles sont
les plus appropriées:
a) Simulation de Monte Carlo pour les 2 desks
b) Delta Normal pour les 2 desks
c) Delta Gamma pour le desk options exotiques et delta normal pour le desk taux d’intérêts.
d) Delta Gamma pour les deux desks.
Justifier la réponse.
Corrigé: Réponse: C, cf cours
2. Soit V (St , t) la valeur à la date t d’un portefeuille de produits dérives (par exemple un call) en
fonction du sous jacent St . On s’intéresse à la Valeur à Risque pour un niveau de confiance α (α =
0.99 par exemple) à l’horizon T − t, T > t. On suppose que la fonction V est monotone croissante
et la fonction de répartition du sous jacent F est supposée connue. On note ST∗ = F −1 (1 − α).
A) Exprimer la VaR du portefeuille en fonction de V , St et ST∗
B) Comment modifier ce résultat, si V (., T ) est décroissante (par exemple un put)
Corrigé: Réponse
Soit Vt = V (St , t), le P&L est
X(ST , T ) = V (ST , T ) − Vt
P rob(ST ≤
ST∗ )
= 1 − α, V est croissante, d’ou, P rob(V (ST , T ) ≤ V
(1)
(ST∗ , T ))
=1−α
P rob(X(ST , T ) ≤ V (ST∗ , T ) − Vt ) = 1 − α
(2)
V aR = V (ST∗ , T ) − Vt
(3)
d’ou la VaR
Dans le cas de fonction décroissante, il suffit de considérer ST∗ le quantile au niveau α P rob(ST <
= α, et donc P rob(ST ≥ ST∗ ) = 1 − α, et avec V décroissante, on obtient P rob(V (ST , T ) ≤
∗
V (ST , T )) = 1 − α et donc la VaR
ST∗ )
V aR = V (ST∗ , T ) − Vt
Daniel Herlemont
(4)
1
3. Un portefeuille est constitué d’un option de vente (put) à la monnaie, sur un sous jacent S(t)
et d’échéance T > t. La valeur du portefeuille à la date t est pt . Quelle est la Valeur à Risque de
ce portefeuille pour l’horizon T − t (date T )
Corrigé: Réponse−pt
√
On peut appliquer le résultat précédent, avec un payoff décroissant, S ∗ (T ) = St exp(2.33σ T − t),
cette valeur est largement au dessus du strike K = St , la valeur du put V (S ∗ (T )) est nulle, d’ou
le résultat
ou plus simplement lorsque l’option est à la monnaie, la probabilité que la valeur de l’option soit
nulle est de l’ordre de 50%, dans les autres cas la valeur est strictement positive. La Value at Risk
est donc égale à la valeur du portefeuille pour tout niveau de VaR habituel (99% ou 95%).
4. On considère le risque d’une position longue en options d’achat. La valeur du sous jacent est
de 2M d’euros et sa VaR est de 3%. L’option est à la monaie. Considérant le gamma de l’option,
la VaR de la position en option est
a) légèrement inférieure à 30 000 euros,
b) légèrement supérieure à 30 000 euros,
c) légèrement inférieure à 60 000 euros,
d) légèrement supérieure à 60 000 euros,
Justifier la réponse en donnant le développement limité à l’ordre 2 (en ∆ Γ) des variations de
l’option en fonction des variations du sous jacent.
Corrigé: réponse A
dV = ∆dS + 1/2ΓdS 2
Pour une option a la monaie, le delta est de 0.5, donc la VaR est de l’ordre de −0.5 ∗ 0.03 ∗ 2M
soit 30 000 euros. Le Γ d’un call est positif, il aura donc un effet positif sur la VaR qui sera donc
légèrement inférieure à 30 000 euros
Daniel Herlemont
2
5. On considère un portefeuille d’options sur un meme sous jacent. Le delta est nul (un straddle
par exmple). Montrer que l’on peut approcher la VaR du portefeuille à l’aide du Γ et que cette
VaR s’écrit
√
V aR = zα S 2 σ 2 Γ/ 2
avec zα le quantile normal pour le niveau de confiance α de la VaR, S le prix du sous jacent et σ
la volatilité du sous jacent.
Corrigé: On considère la décomposition en ∆ et Γ d’un portefeuille de valeur V en fonction
du sous-jacent S. Les variations du portefeuille peuvent être approchées par:
1
δV = ∆δS + Γ(δS)2
2
Ici le delta est nul
δV =
1
Γ(δS)2
2
La variance de δV est
V ariance(δV ) =
1 2 4
Γ S V ariance[(δS/S)2 ]
4
posons X = δS/S, variable aléatoire normalement distribuée de moyenne nulle et variance σ 2
variance(X 2 ) = E[X 4 ] − E[X 2 ]2 = E[X 4 ] − σ 4
X étant gaussienne, la kurtosis est égale à 3, d’ou E[X 4 ] = 3σ 4 , donc, variance(X 2 ) = 2σ 4
d’ou
1
variance(δV ) = Γ2 S 4 σ 4
2
d’ou
√
V aR = zα S 2 σ 2 Γ/ 2
6. On considère la décomposition en ∆ et Γ d’un portefeuille de valeur V en fonction du sousjacent S. Les variations du portefeuille peuvent être approchées par:
1
δV = ∆δS + Γ(δS)2
2
en notant δx = δS/S
1
δV = ∆Sδx + S 2 Γ(δx)2
2
En supposant que les variations relatives δx est une gaussienne de moyenne nulle et variance σ 2 ,
montrer que les deux premiers moments des variations du portefeuille sont:
E[δV ]
E[(δV )2 ]
=
1 2 2
S Γσ
2
3
= S 2 ∆2 σ 2 + S 4 Γ2 σ 4
4
Corrigé: La réponse pour E[δV ] est évidente, δx étant de moyenne nulle et E[(δx)2 ] = σ 2 .
Pour le deuxième moment, on peut calculer la variance, la covariance de δx et (δx)2 étant nulle,
on obtient facilement
1
var(δV ) = ∆2 S 2 var(δx) + S 4 Γ2 var((δx)2 )
4
var((δx)2 ) = E[(δx)4 ] − (E[(δx)2 ])2
Daniel Herlemont
3
δx étant gaussienne, la kurtosis est égale à 3, d’ou E[(δx)4 ] = 3σ 4 , donc, var((δx)2 ) = 2σ 4
1
var(δV ) = ∆2 S 2 σ 2 + S 4 Γ2 σ 4
2
d’ou le résultat en utilisant:
E[(δV )2 ]
= var(δV ) + E[(δV )]2
=
1
∆2 S 2 σ 2 + S 4 Γ2 σ 4 +
2
1 2 2
S Γσ
2
2
7. On considère une obligation de maturité T dont le coupon annuel est de c et de facial (ou
principal) F . On rappelle que le prix de l’obligation en fonction du yield est
V (y) =
T
X
c/(1 + y)i + F/(1 + y)T
i=1
On suppose que y0 = c/F . Quel est le prix de l’obligation (sas faire de calcul) ?
Sur l’horizon du calcul de la VaR, on suppose que le yield varie autour de y0 suivant une loi
normale avec σ = 0.5%.
Calculer la Value at Risk pour un niveau de confiance α
ˆ en utilisant la monotonie de V en fonction de y
ˆ en effectuant un développement limité au premier ordre avec la duration
ˆ en faisant intervenir la convexité
Application numérique: T = 2 ans, c = 5, F = 100, σ = 0.5% et α = 99%
Comparer et commenter les résultats
Corrigé: Le taux d’intéret étant égal au taux de coupon, l’obligation cote au pair, c’est à dire
P = F (F euros aujourd’hui est identique à F euros à l’échance T en euros ”constant” si le taux
de coupon est le même que le taux d’intéret).
Le P&L X(y) = V (y) − V (y0 ) est décroissant avec y. On peut donc appliquer le fait que
Q(X(y), 1 − α) = X(Q(y, α)), avec Q la fonction quantile.
Q(y, α) = y0 + zα ∗ σ le quantile normal.
Autrement dit, la VaR est V (y0 ) − V (y0 + zα ∗ σ)
La méthode dite delta normale consiste à assimiler effectuer un developpement limité à l’ordre
1, avec
dV = −D∗ V dy
D∗ = −1/V dV /dy la duration modifiée.
Dans ce cas, la VaR Delta Normale est
V aR∆ = D∗ V (y0 ) ∗ zα ∗ σ
Expression qu’on aurait pu trouver en faisant un développement limité à partir de l’expression de
la VaR exacte.
La VaR Delta Gamma fait intervenir le développement limité à l’ordre 2
dV = −D∗ V dy + 0.5CV dy 2
avec C la convexité C = 1/V d2 V /dy 2 .
On peut ici à nouveau appliquer le fait que dV est décroissant en fonction de dy et par conséquent
V aRΓ = D0∗ V0 V aRy − 0.5C0 V0 V aRy2
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4
avec V aRy = zα σ
Application numérique
Les resultats sont: V aR = 2.13 V aRDelta = 2.16 V aRDeltaGamma = 2.16
On voit que la VaR detla est une bonne approximation de la VaR tout en sur estimant légèrement la VaR, en raison de la concavité. La Var Delta Gamma n’apporte rien.
8. Un gérant de portefeuille peut investir dans deux fonds: un fonds commun de placement
français dont la valeur est notée S1 et un panier d’actions japonaises dont la valeur est notée S2 .
1. On suppose que, sur la période [t, T ], les portefeuilles ont des P& L gaussiens d’espérances
nulles et volatilités σ1 et σ2 . Que pensez-vous de cette hypothèse?
2. Calculez la Value-at-Risk (VaR) à 1% d’une position de φ1 unités du fonds S1 .
3. On compose un portefeuille Π1 en combinant φ1 unités du fonds S1 et φ2 unités du fonds
S2 . On note ρ la corrélation des deux fonds. Calculez la VaR à 1% du portefeuille Π1 en
fonction de φ1 , φ2 , σ1 , σ2 et ρ.
4. On ne dispose pas de données fiables sur la corrélation entre les deux fonds. Que proposez
vous pour la valeur de ρ pour calculer la VaR?
5. Donnez une borne supérieure pour la VaR à 1% du portefeuille Π1 (VaR pessimiste).
On considère une option de vente (put) de maturité T et de prix d’exercice K sur l’actif
S1 (t). On compose un portefeuille Π2 en combinant une position longue dans l’option de
vente avec φ1 unités du fonds S1 .
6. Tracez l’allure, en fonction de S1 (t), de la valeur de l’option de vente à l’instant t dans les
deux cas t = T et t < T .
7. Ecrire le P& L du portefeuille Π2 à l’horizon T .
8. Calculez la VaR à 1% du portefeuille Π2 pour φ1 ≥ 1
Corrigé:
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5
1. En réalité, les P&L ne sont pas tout a fait gaussiens, ils ont des queues épaisses. Cependant,
le modèle gaussien est acceptable en première approche.
2.
V aR = 2.33φ1 σ1
3.
V aRP = 2.33σP
avec la variance du portefeuille
σP2 = φ21 σ12 + φ22 σ22 + 2 ∗ φ1 φ2 ρσ1 σ2
4. On se place dans le cas le plus défavorable, avec ρ = 1.
5. Dans le cas ρ = 1, la volatilité du portefeuille est alors
σ P = φ1 σ 1 + φ2 σ 2
Dans ce cas (et ce cas seulement) la Value at Risk du portefeuille est égale à la somme des
VaR des positions dans les fonds.
V aRP = 2.33 ∗ σP = 2.33 ∗ φ1 σ1 + 2.33 ∗ φ2 σ2 = V aR1 + V aR2
Dans le cas rho < 1, la VaR sera inférieure à la somme des VaR. Notons que ce résultat n’est
pas toujours vrai d’autres distributions des P&L.
50
Valeurs de l'option
0
10
20
prix
30
40
à la date t
a l'échéance
60
80
100
120
140
prix sous−jacent
6.
Daniel Herlemont
6
7. la valeur du portefeuille à la date t est
V (t) = p(t) + φ1 S(t)
avec p(t) le prix du put a la date t.
La valeur du portefeuille à la date T est
V (T ) = max(K − S, 0) + φ1 S(T )
le P&L est donc
X(S(T )) = V (T ) − V (t) = max(K − S(T ), 0) + φ1 S(T ) − p(t) − φ1 S(t)
Il s’agit d’une fonction affine par morceau en S(T ) avec X(0) = K − p(t) − φ1 S(t) X(K) =
φ1 K − p(t) − φ1 S(t)
8. exemple, avec φ1 = 1.5
−30
−20
−10
P&L
0
10
20
P&L
50
60
70
80
90
100
110
120
prix sous−jacent
9. Pour φ1 ≥ 1, la fonction du P&L est croissante avec S1 (T ) et dans ce cas
V aR(X(S)) = X(V aR(S))
avec V aR(S) = V aR(S − St) + St = −2.33σ1 + St
V aR(X) = K − V aR(S) + φ1 V aR(S) − p(t) − φ1 S(t)
V aR(X) = 2.33(1 − φ1 )σ1 + K − St − p(t)
Notons que si φ1 = 1, la VaR ne dépend plus du niveau de confiance. Pour φ1 < 1 la fonction
n’est plus monotone et le calcul de la VaR plus complexe.
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7
9. On considère un actif dont le prix est S(t), les taux de rendements sont supposés normalement
distribués de moyenne nulle et volatilité σ
1. Cacluler la Valeur à Risque d’un portefeuille composé de 50% de l’actif risqué pour un niveau
de confiance α et un horizon T − t.
On considère deux options sur l’actif risqué: une option d’achat (call) de maturité T et de
prix d’exercice K. une option de vente (put) de même maturité T et de même prix d’exercice
K. On suppose que les options sont à la monnaie, que la valeur du call est c(t) et celle du
put p(t).
2. Tracez l’allure, en fonction de S(t), de la valeur des options à l’instant t dans les deux cas
t = T et t < T . Pour t < T , quelles sont les valeurs (approchées des deltas des deux options)
ainsi que les signes des Gamma.
On compose un portefeuille composé des deux options (achat straddle).
3. Tracez l’allure, en fonction de S(t), de la valeur du portefeuille à l’instant t dans les deux
cas t = T et t < T .
4. Quelles est la valeur approchée du delta. En quoi la méthode dite delta normale n’est pas
adaptée pour le calcul de la VaR. Indiquer les différentes méthodes de calcul de la Valeur à
Risque les mieux adaptées pour ce type de portefeuilles.
5. Ecrire le P& L du portefeuille à l’horizon T . Déduire l’allure, en fonction de S(T ), du P& L
du portefeuille à l’horizon T .
6. Calculez la VaR du portefeuille à l’horizon T − t pour un niveau de confiance α
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