Couplage automatique des équations de Navier–Stokes et

Couplage automatique
des équations de Navier–Stokes et de la chaleur
Christine Bernardi
Laboratoire Jacques-Louis Lions
C.N.R.S. & Université Pierre et Marie Curie
avec Frédéric Coquel et Pierre-Arnaud Raviart
L’écoulement d’un fluide visqueux incompressible dépend de la température là où cette température présente de grandes variations, ce qui
arrive en général seulement sur une partie du domaine de calcul. Dans
ce cas, il semble raisonnable de ne coupler les équations de Navier–
Stokes et de la chaleur que sur ce sous-domaine.
L’analyse a posteriori permet de déterminer numériquement le sousdomaine où ces équations doivent être couplées.
• Introduction aux estimations a posteriori
• Le modèle complet
• Le modèle simplifié
• Le problème discret
• Analyse a posteriori
• Une stratégie pour le couplage automatique
• Et un peu de turbulence
Introduction aux estimations a posteriori
Soit X un espace de Banach, et A une application continue de X dans X.
Pour un élément f de X, on s’intéresse à la discrétisation de l’équation :
Trouver u dans X tel que
A(u) = f.
δ : paramètre positif
On considère le problème :
Trouver uδ dans Xδ tel que
Aδ (uδ ) = fδ ,
où Xδ est un sous-espace de dimension finie de X, Aδ une approximation
de A et fδ une approximation de f dans Xδ .
Estimations a priori
ku − uδ kX ≤ F (δ, u) + H(δ, f ).
La quantité F (δ, u) est en général une puissance de δ multipliée par une
certaine norme de u, elle fait donc appel à la régularité de u (la plupart
du temps inconnue).
=⇒
prouve la convergence de la méthode.
Estimations a posteriori
ku − uδ kX ≤ G(δ, fδ , uδ ) + K(δ, f ).
La quantité G(δ, fδ , uδ ) peut se calculer explicitement une fois la solution
discréte uδ calculée.
=⇒
permet de vérifier des critères de sécurité.
Application de base : adaptation de maillages
ku − uδ kX ≤ G(δ, fδ , uδ ) + K(δ, f ).
P
1
2 2
Si l’on suppose que la quantité G(δ, fδ , uδ ) s’écrit c
k ηk , où les ηk sont
des quantités “locales” (liées à des sous-domaines de petites tailles),
les ηk forment une famille d’indicateurs d’erreur.
Critère d’optimalité : Une famille d’indicateurs d’erreur (ηk )k est optimale s’il existe des constantes c1 et c2 indépendantes de δ telles que
ku − uδ kX ≤ c1
X
1
2
ηk 2 + K1(δ, f ),
k
ηk ≤ c2 ku − uδ kXk + K2k (δ, f ),
où Xk désigne l’espace des restrictions des fonctions de X à un domaine
de petite taille.
Lorsque la famille d’indicateurs d’erreur est optimale, on peut penser
que les ηk forment une bonne carte de l’erreur.
Stratégie d’adaptation :
η : moyenne des ηk .
Lorsque un des ηk est supérieur à η, on raffine le maillage dans le sousdomaine correspondant à cet ηk .
Sous des hypothèses convenables et pour un maillage initial fixé, on
peut prouver la convergence de la méthode.
W. Dörfler
P. Binev, W. Dahmen, R. DeVore
Application à la discrétisation multi-étapes
Dans de nombreuses exemples de discrétisations d’équations aux dérivées
partielles, un ou plusieurs problèmes intermédiaires (non discrets) interviennent entre le problème continu et le problème discret final.
Problème initial : Trouver u appartenant à X tel que A(u) = f.
Problème intermédiaire : Trouver uε appartenant à X tel que Aε(uε) = f.
Problème discret : Trouver uεδ appartenant à Xδ tel que Aεδ (uεδ ) = fδ .
Des indicateurs d’erreur ne dépendant que de la solution discrète peuvent
être construits pour chaque étape de la discrétisation.
Dans ce cas, le paramètre de discrétisation est souvent multiple. Le but
est d’optimiser chacune de ses composantes, donc de découpler autant
que possible l’erreur issue des différentes étapes (ce n’est pas toujours
le cas pour les majorations a posteriori). Plusieurs familles d’indicateurs
d’erreur sont nécessaires pour cela.
La notion d’estimation locale doit être abandonnée ou pour le moins
modifiée dans certaines estimations. Mais l’optimisation des différents
paramètres doit rester compatible avec l’adaptation de maillage et les
indicateurs liés à la discrétisation par éléments finis doivent rester
locaux.
• Équations paraboliques (ou hyperboliques simples)
Problème intermédiaire : problème semi-discret en temps
Paramètres de discrétisation : pas de temps et taille du maillage
? Équation de la chaleur linéaire ou semi-linéaire
A. Bergam, C.B., Z. Mghazli
? Équations de Stokes
C.B., R. Verfürth
? Équation des ondes
C.B., E. Süli
? Équations de Darcy instationnaire
C.B., V. Girault, K.R. Rajagopal
• Développement asymptotique
Problème intermédiaire : équations vérifiées par chaque coefficient du
développement
Paramètres de discrétisation : ordre de troncature et taille du maillage
? Problèmes de plaques et de coques
M. Dauge, E. Faou
? Traitement de domaines tridimensionnels axisymétriques
Z. Belhachmi, C.B., S. Deparis, F. Hecht
• Méthodes de stabilisation et de pénalisation
Problème intermédiaire : problème continu stabilisé
Paramètres de discrétisation : paramètre de stabilisation et taille du
maillage
? Le problème de Stokes pénalisé
C.B., V. Girault, F. Hecht
C.B., A. Blouza, N. Chorfi, N. Kharrat
? Un modèle régularisé de fluide de grade 2
M. Amara, C.B., V. Girault, F. Hecht
? Un algorithme de décomposition de domaine
C.B., T. Chacón Rebollo, E. Chacón Vera, D. Franco Coronil
• Modélisation automatique
Problème intermédiaire : modèle réduit
Paramètres de discrétisation : géométrie de la décomposition suivant
les modèles utilisés et taille du maillage
? Analyse a posteriori dans un cadre abstrait
M. Braack, A. Ern
? Réduction de dimension dans un estuaire
M. Amara, D. Capatina-Papaghiuc, D. Trujillo
? Insertion automatique d’un modèle de turbulence
C.B., T. Chacón Rebollo, F. Hecht, R. Lewandowski
? Couplage automatique des équations de Navier–Stokes et de la
chaleur
C.B., F. Coquel, P.-A. Raviart
• Algorithmes itératifs en tous genres
Problème intermédiaire : problème résolu à chaque itération
Paramètres de discrétisation : numéro de l’itération et taille du maillage
? Analyse a posteriori dans un cadre abstrait
A.L. Chaillou, M. Suri
L. El Alaoui, A. Ern, M. Vohralı́k
Le modèle complet
Ω : ouvert connexe borné de IRd, d = 2 ou 3, à frontière lipschitzienne.



−div ν(T ) ∇u + (u · ∇)u + grad p =










div u = 0





f
−α ∆T + (u · ∇)T = g








u=0








 T =T
0
dans Ω,
dans Ω,
dans Ω,
sur ∂Ω,
sur ∂Ω.
Inconnues : vitesse u, pression p, température T .
Ce modèle semble réaliste dans un certain nombre de situations.
Données : f , g et la température sur la frontière T0.
Le paramètre α est une constante positive. Dans ce qui suit, nous
travaillons sans restriction avec une viscosité qui est tronquée
∀ξ ∈ IR,
et régularisée : ν ∈ W 2,∞(IR).
ν1 ≤ ν(ξ) ≤ ν2,
Formulation variationnelle
1
Trouver (u, p, T ) dans H01(Ω)d × L2
0 (Ω) × H (Ω) tel que
T = T0
sur ∂Ω,
et
∀v ∈ H01(Ω)d,
Z
Ω
ν(T ) ∇ u : ∇ v dx +
Z
Ω
(u · ∇)u · v(x) dx
−
∀q ∈ L2
0 (Ω),
∀S ∈ H01(Ω),
α
Z
Ω
−
Z
Ω
Z
Ω
(div v)(x)p(x) dx = hf , vi,
(div u)(x)q(x) dx = 0,
grad T · grad S dx +
Z
Ω
(u · ∇)T · S(x) dx = hg, Si.
On vérifie facilement l’équivalence de ce problème avec le système
précédent.
Résultat d’existence
Relèvement de la trace T0 grâce à une version simplifiée du lemme de
Hopf, plus deux théorèmes de base :
• le point fixe de Brouwer,
• la convergence dominée de Lebesgue.
Théorème. Pour toutes données f dans H −1(Ω)d, g dans H −1(Ω) et T0
1
dans H 2 (∂Ω), le problème a une solution (u, p, T ) dans H01(Ω)d × L2
0 (Ω) ×
H 1(Ω). De plus, cette solution vérifie
ν1 kukH 1(Ω)d ≤ c kf kH −1(Ω)d ,
ν2
1
2
kpkL2(Ω) ≤ c (1 + ) kf kH −1(Ω)d + 2 kf kH −1(Ω)d ,
ν1
ν1
α kT kH 1(Ω) ≤ c kf kH −1(Ω)d + kgkH −1(Ω) + α kT0k 1
.
2
H (∂Ω)
Unicité de la solution si elle est assez régulière et si les données sont
suffisamment petites.
Une propriété de régularité
N.G. Meyers
On suppose pour simplifier que Ω est un polygone ou un polyèdre.
Proposition. Il existe
(i) un réel q0 > 2 dépendant de la géométrie de Ω et du rapport ν2/ν1,
(ii) un réel q1 > 1 ne dépendant que de la géométrie de Ω,
tels que, pour tout q, 2 < q ≤ q0, et q 0, 1 < q 0 ≤ q1, et pour toutes
q0
données (f , g) dans W −1,q (Ω)d × L (Ω) et T0 dans W
solution (u, p, T ) du problème appartient à
2− 10 ,q 0
q
(∂Ω), toute
0
W 1,q (Ω)d × Lq (Ω) × W 2,q (Ω).
4 pour un domaine Ω quelconque et ≥ 2
Il est bien connu que q1 est ≥ 3
lorsque Ω est convexe.
Le modèle simplifié
Nous introduisons une décomposition du domaine sans recouvrement :
Ω = Ωs ∪ Ωf ,
Ωs ∩ Ωf = ∅.
L’idée de base de ce travail est la suivante : nous avons décidé de
remplacer ν(T ) par une constante positive ν0 sur la partie Ωs du domaine.
On suppose pour simplifier : ν0 ≤ ν2.
∀ξ ∈ IR,
ν ∗(x, ξ) =

ν(ξ)
ν
0
pour presque tout x in Ωf ,
pour presque tout x in Ωs,
On peut noter que la fonction : ξ 7→ ν ∗(·, ξ) vérifie exactement les mêmes
propriétés que la fonction ν(·), par exemple
∀ξ ∈ IR,
min{ν0, ν1} ≤ ν ∗(x, ξ) ≤ ν2
pour presque tout x in Ω.


∗
∗
∗
∗ · ∇)u∗ + grad p∗ =

−div
ν
(·,
T
)
∇
u
+
(
u









∗=0

div
u





−α ∆T ∗ + (u∗ · ∇)T ∗ = g








u∗ = 0








 T∗ = T
0
f
dans Ω,
dans Ω,
dans Ω,
sur ∂Ω,
sur ∂Ω.
Formulation variationnelle
1
Trouver (u∗, p∗, T ∗) dans H01(Ω)d × L2
0 (Ω) × H (Ω) tel que
T ∗ = T0
sur ∂Ω,
et
∀v ∈ H01(Ω)d,
Z
Ω
ν ∗(x, T ∗) ∇ u∗ : ∇ v dx +
Z
Ω
(u∗ · ∇)u∗ · v(x) dx
−
∀q ∈ L2
0 (Ω),
∀S ∈ H01(Ω),
α
Z
Ω
−
Z
Ω
Z
Ω
(div v)(x)p∗(x) dx = hf , vi,
(div u∗)(x)q(x) dx = 0,
grad T ∗ · grad S dx +
Z
Ω
(u∗ · ∇)T ∗ · S(x) dx = hg, Si.
Les propriétés énoncées dans les écrans qui suivent se démontrent par
exactement les mêmes arguments que pour le modèle complet.
Résultat d’existence
Théorème. Pour toutes données f dans H −1(Ω)d, g dans H −1(Ω) et T0
1
dans H 2 (∂Ω), le problème a une solution (u∗, p∗, T ∗) dans H01(Ω)d ×L2
0 (Ω)×
H 1(Ω). De plus, cette solution vérifie
min{ν0, ν1} ku∗kH 1(Ω)d ≤ c kf kH −1(Ω)d ,
ν2
1
∗
2
kp kL2(Ω) ≤ c (1 +
) kf kH −1(Ω)d +
kf kH −1(Ω)d ,
2
min{ν0, ν1}
min{ν0, ν1}
α kT ∗kH 1(Ω) ≤ c kf kH −1(Ω)d + kgkH −1(Ω) + α kT0k 1
.
2
H (∂Ω)
Une propriété de régularité
N.G. Meyers
On suppose pour simplifier que Ω est un polygone ou un polyèdre.
Proposition. Il existe un réel q0∗ > 2 dépendant de la géométrie de Ω et
du rapport ν2/ min{ν0, ν1} tel que, pour le réel q1introduit précédemment,
for any q, 2 < q ≤ q0∗ , and q 0, 1 < q 0 ≤ q1, et pour toutes données (f , g)
1
0
2− ,q
0
dans W −1,q (Ω)d × Lq (Ω) et T0 dans W q0 (∂Ω), toute solution (u∗, p∗, T ∗)
du problème simplifié appartient à
0
1,q
d
q
2,q
W (Ω) × L (Ω) × W
(Ω);
On note toutefois que le réel q0∗ tend vers 2 quand le quotient
ν2/ min{ν0, ν1}
tend vers +∞.
Un résultat de consistance
Proposition. Soit (Ωn)n une suite croissante de domaines à frontière
lipschitzienne qui converge vers Ω. Si (un, pn, T n) désigne une solution
n
du problème simplifié avec Ωf = Ωn et Ωs = Ω \ Ω , il existe une sous0
0
0
suite (un , pn , T n )n0 qui converge vers une solution (u, p, T ) du problème
complet.
Ce résultat est bien sûr insuffisant pour évaluer la distance
ku − u∗kH 1(Ω)d + kp − p∗kL2(Ω) + kT − T ∗kH 1(Ω).
Seule l’analyse a posteriori fournira un résultat plus précis mais numérique.
Le problème discret
(Th)h : famille régulière de triangulations de Ω telle que chaque élément
de Th soit contenu soit dans Ωs soit dans Ωf .
Éléments finis de Taylor–Hood
Xh =
n
o
d
vh|K ∈ P2(K) ,
n
o
1
2
Mh = qh ∈ H (Ω) ∩ L0(Ω); ∀K ∈ Th, qh|K ∈ P1(K) .
vh ∈ H01(Ω)d; ∀K ∈ Th,
Yh =
n
o
1
Sh ∈ H (Ω); ∀K ∈ Th, Sh|K ∈ P2(K) ,
Y0h = Yh ∩ H01(Ω).
Soit finalement T0h l’interpolé de Lagrange de T0 à valeurs dans l’espace
des traces de Yh.
Trouver (uh, ph, Th) dans Xh × Mh × Yh tel que
Th = T0h
sur ∂Ω,
et
∀vh ∈ Xh,
Z
Ω
ν ∗(x, Th) ∇ uh : ∇ vh dx +
Z
Ω
(uh · ∇)uh · vh(x) dx
−
∀qh ∈ Mh,
∀Sh ∈ Y0
h,
α
Z
Ω
−
Z
Ω
Z
Ω
(div vh)(x)ph(x) dx = hf , vhi,
(div uh)(x)qh(x) dx = 0,
grad Th · grad Sh dx +
Z
Ω
(uh · ∇)Th · Sh(x) dx = hg, Shi.
L’analyse a priori de ce problème fait appel au théorème des fonctions
implicites discret de F. Brezzi, J. Rappaz, P.-A. Raviart. Il faut donc
introduire une formulation un peu différente du problème simplifié et
aussi du problème discret.
Soit S(ξ) l’opérateur dit de Stokes qui, à une distribution F dans H −1(Ω)d,
associe la partie u de la solution du problème de Stokes

∗


 −div ν (·, ξ) ∇u + grad p =
F
dans Ω,
dans Ω,
sur ∂Ω.
div u = 0


 u=0
Soit L l’opérateur de Laplace inverse qui, à une distribution G dans
1
−1
2
H (Ω) et à une fonction R0 dans H (∂Ω), associe la solution T de
l’équation de Laplace
(
Avec la notation U ∗ =
−α ∆T = G
T = R0
dans Ω,
sur ∂Ω.
!
∗
u
, le problème simplifié peut s’écrire de façon
T∗
plus compacte
F∗(U ∗) = U ∗+
S(T ∗)
0
0
L
!
G∗(U ∗) = 0,
avec
(u · ∇)u − f
G∗(U ) = (u · ∇)T − g, T0
!
.
Soit Sh(ξ) l’opérateur qui, à une distribution F dans H −1(Ω)d, associe la
partie uh dans Xh de la solution du problème de Stokes discret
∀vh ∈ Xh,
Z
Ω
ν ∗(x, ξ) ∇ uh : ∇ vh dx −
∀qh ∈ Mh,
−
Z
Ω
Z
Ω
(div vh)(x)ph(x) dx = hF, vhi,
(div uh)(x)qh(x) dx = 0.
Soit Lh l’opérateur qui, à une distribution G dans H −1(Ω) et à une
1
fonction R0 continue sur ∂Ω et appartenant à H 2 (∂Ω), associe la solution
Th dans Yh, égale à l’interpolé de Lagrange de R0 sur ∂Ω, de l’équation
de Laplace discrète
∀Sh ∈ Y0
h,
α
Z
Ω
grad Th · grad Sh dx = hG, Shi.
!
uh
Avec la notation Uh =
, le problème discret s’écrit
Th
Fh(Uh) = Uh +
Sh(Th) 0
0
Lh
!
G∗(Uh) = 0.
À propos des opérateurs discrets :
• Propriétés de stabilité
Pour tout F dans H −1(Ω)d,
kSh(ξ)FkH 1(Ω)d ≤ c kFkH −1(Ω)d ,
et, pour tout G dans H −1(Ω),
kLh(G, 0)kH 1(Ω) ≤ c kGkH −1(Ω).
• Propriétés de convergence
Pour un nombre réel s, 0 ≤ s ≤ 2,
s
k S(ξ) − Sh(ξ) FkH 1(Ω)d ≤ c h kS(ξ)FkH s+1(Ω)d + kFkH s−1(Ω)d ,
5,
et, avec d−1
<
σ
≤
2
2
k(L − Lh)(G, R0)kH 1(Ω) ≤ c hs kLGkH s+1(Ω) + hσ kR0k σ+ 1
.
2
H
(∂Ω)
Y = H01(Ω)d × H01(Ω).
Hypothèse 1. On considère une solution (u∗, p∗, T ∗) du problème simplifié
• qui appartient à H s+1(Ω)d × H s(Ω) × H s+1(Ω) pour un nombre réel s,
d − 1 < s ≤ 2,
2
• telle que DF∗(U ∗) soit un isomorphisme de Y.
hmin = min hK .
K∈Th
Hypothèse 2. On définit λh comme égal à | log hmin| pour d = 2, à h−1
min
pour d = 3. La propriété suivante est vérifiée
lim λh hs = 0.
h→0
En combinant tout ceci, on peut démontrer les lemmes suivants.
Lemme. Il existe un h0 > 0 tel que, pour tout h ≤ h0, DFh(U ∗) soit
un isomorphisme de Y. En outre, la norme de son inverse est bornée
indépendamment de h.
Lemme. L’application Fh vérifie la propriété de Lipschitz, pour tous V1
et V2 dans un borné de Y,
kDFh(V1) − DFh(V2)kE(Y) ≤ c λh kV1 − V2kY .
Lemme. L’estimation suivante est vérifiée pour une constante c(u∗, p∗, T ∗)
ne dépendant que de la solution (u∗, p∗, T ∗)
kFh(U ∗)kY ≤ c(u∗, p∗, T ∗) hs.
F. Brezzi, J. Rappaz, P.-A. Raviart
Théorème. Sous les hypothèses 1 et 2, il existe des nombres réels
positifs κ et h∗0 tels que, pour tout h ≤ h∗0,
• le problème discret a une solution unique (uh, ph, Th) telle que (uh, Th)
appartienne à la boule de Y de centre (u∗, T ∗) et de rayon κ λ−1
h ,
• cette solution vérifie
ku∗ − uhkH 1(Ω)d + kp∗ − phkL2(Ω) + kT ∗ − ThkH 1(Ω) ≤ c(u∗, p∗, T ∗) hs,
où la constante c(u∗, p∗, T ∗) ne dépend que de la solution (u∗, p∗, T ∗).
Conclusions
• L’estimation précédente est parfaitement optimale et fournit une
convergence d’ordre h2 pour une solution régulière.
• L’hypothèse de régularité sur la solution est vraisemblable en dimension d = 2 mais ne l’est pas en dimension d = 3.
Toutefois la convergence de la discrétisation peut être prouvée sous la
seule condition
lim λh h2 = 0,
h→0
qui est beaucoup plus vraisemblable.
• Des résultats similaires sont vrais pour tout triplet (Xh, Mh, Yh) (d’ordre
au moins 2 en dimension 3) tel qu’on ait une condition inf-sup optimale
entre Xh et Mh.
Analyse a posteriori
L’idée, maintenant usuelle pour les discrétisations multi-étapes, consiste
à évaluer séparément les différentes parties de l’erreur, c’est-à-dire
• l’erreur due à la simplification du modèle,
• l’erreur due à la discrétisation.
L’analyse a posteriori du problème fait appel au théorème des fonctions
implicites non discret de J. Pousin, J. Rappaz pour majorer ces deux
erreurs.
Quelques notations
(f )
Th
: ensemble des éléments de Th qui sont contenus dans Ωf ,
(s)
Th : ensemble des éléments de Th qui sont contenus dans Ωs.
For each K in Th,
• EK : ensemble des côtés (d = 2) ou faces (d = 3) de K qui ne sont pas
contenus dans ∂Ω,
• ωK : union des éléments de Th qui partagent au moins un côté (d = 2)
ou une face (d = 3) avec K.
fh et gh : approximations (constantes par élément) des données f et g.
Remarque. Pour la mise en œuvre de la discrétisation, ν(·) est en général
remplacé par son interpolé de Lagrange.
Pour toute fonction ξ continue sur Ω, on note νh(ξ) la fonction
• telle que sa restriction à chaque élément K de Th appartient à P1(K),
• qui est égale à ν(ξ) en tous les sommets de K.
∀ξ ∈ IR,

ν (ξ)
h
∗
νh(x, ξ) =
ν
0
si x appatient à Ωf ,
si x appartient à Ωs,
Évaluation de l’erreur due à la simplification du modèle
Soit S0 l’opérateur de Stokes qui, à une distribution F dans H −1(Ω)d,
associe la partie u de la solution du problème de Stokes


 −ν0 ∆u + grad p =


F
dans Ω,
dans Ω,
sur ∂Ω.
div u = 0
u=0
On peut ainsi écrire l’équation du résidu sous la forme
U − U∗ +
S0 0
0 L
! G∗(U ) − G∗(U ∗) +
S0 0
0 L
où le résidu R est donné par
div (ν(T ∗) − ν ∗(·, T ∗)) ∇u∗
R=
(0, 0)
!
.
!
R = 0,
Hypothèse 1(F). On considère une solution (u, p, T ) du problème complet telle que
1,ρ
• U = (u, T ) appartienne à W0 (Ω)d × W 1,ρ(Ω), ρ > d,
• DF (U ) soit un isomorphisme de H01(Ω)d × H01(Ω).
J. Pousin, J. Rappaz
1,ρ
Si cette hypothèse est vérifiée, il existe un voisinage de U dans W0 (Ω)d×
W 1,ρ(Ω) et une constante c ne dépendant que de U tels qu’on ait l’estimation suivante pour toute solution (u∗, p∗, T ∗) du problème réduit avec
U ∗ = (u∗, T ∗) dans ce voisinage
∗
∗
∗
∗
∗
ku − u kH 1(Ω)d + kT − T kH 1(Ω) ≤ c k ν (·, T ) − ν(T ) ∇u∗kL2(Ω)d×d .
• Indicateurs pour l’erreur due à la réduction du modèle
(s)
ηK = k ν0 − νh(Th) ∇uhkL2(K)d×d .
Une première difficulté technique.
Nous devons évaluer l’erreur due à l’interpolation de la fonction ν, plus
précisément la quantité
εK = k ν(Th) − νh(Th) ∇uhkL2(K)d×d .
Lemme. On a l’estimation
εK ≤ c hK kgrad ThkL∞(K)d k∇uhkL2(K)d×d .
Théorème. Sous l’hypothèse H1(F), si la solution U ∗ = (u∗, T ∗) dans un
1,ρ
voisisnage de U appartient à W0 (Ω)d × W 1,ρ(Ω), ρ > d, on a l’estimation
a posteriori suivante
ku − u∗kH 1(Ω)d + kp − p∗kL2(Ω) + kT − T ∗kH 1(Ω)
≤c
X
(s)
(ηK )2 + ε2
K
12
0
∗
∗
+ c ku − uhkH 1(Ωs)d + kT − ThkH 1(Ωs) ,
(s)
K∈Th
où les constantes c and c0 ne dépendent que des normes de u∗ et T ∗.
Démonstration. L’estimation précédente, plus des inégalités triangulaires, plus une condition inf-sup pour le terme de pression.
Proposition. Soit (u∗, p∗, T ∗) une solution du problème simplifié telle que
1,ρ
U ∗ = (u∗, T ∗) appartienne à W0 (Ω)d × W 1,ρ(Ω), ρ > d. On a l’estimation
(s)
suivante pour les indicateurs ηK correspondants
X
1
(s) 2 2
(ηK )
≤ c ku − u∗kH 1(Ω)d + kp − p∗kL2(Ω) + kT − T ∗kH 1(Ω)
(s)
K∈Th
+ ku∗ − uhkH 1(Ωs)d + kT ∗ − ThkH 1(Ωs) +
X
ε2
K
1 2
.
(s)
K∈Th
Démonstration. On utilise les mêmes inégalités triangulaires que précédemment. Il faut alors majorer la quantité
∗
∗
∗
k ν (·, T ) − ν(T ) ∇u∗kL2(Ω)d×d ,
ce qui s’effectue à partir de la forme variationnelle de l’équation du
résidu.
Évaluation de l’erreur due à la discrétisation
• Indicateurs pour l’erreur due à la discrétisation par éléments finis
(d)
(d)1
ηK = ηK
(d)2
+ ηK
,
avec
(d)1
∗
ηK = hK kfh + div νh(·, Th) ∇uh − (uh · ∇)uh − grad phkL2(K)d
1
X
+
he2 kνh∗(·, Th) [∂nuh]ekL2(e)d + kdiv uhkL2(K),
e∈EK
et
1
X
(d)2
ηK = hK kgh + α ∆Th − (uh · ∇)ThkL2(K) +
he2 kα [∂nTh]ekL2(e).
e∈EK
J. Pousin, J. Rappaz
Théorème. Soit (u∗, p∗, T ∗) une solution du problème simplifié telle que
1,ρ
U ∗ = (u∗, T ∗) appartienne à W0 (Ω)d × W 1,ρ(Ω), ρ > d, et que DF∗(U ∗)
soit un isomorphisme de H01(Ω)d × H01(Ω). On a l’estimation a posteriori
suivante
ku∗ − uhkH 1(Ω)d + kp∗ − phkL2(Ω) + kT ∗ − ThkH 1(Ω)
≤c
X
K∈Th
+ c00
X
K∈Th
(d)
(ηK )2
1
2
+ c0
ε2
K
X
1
2
(f )
K∈Th
2
2
h2
k
f
−
f
k
+
kg
−
g
k
2
d
h
h
K
L2 (K)
L (K)
21
+ c000 kT0 − T0hk
,
1
H 2 (∂Ω)
pour toute solution (uh, ph, Th) du problème discret dans un voisinage
fixé de (u∗, p∗, T ∗).
Les arguments d’analyse a posteriori usuels (c’est-à-dire des choix appropriés de la fonction V dans l’équation du résidu) mènent aux résultats
suivants.
Proposition. Soit (u∗, p∗, T ∗) une solution du problème simplifié telle que
1,ρ
U ∗ = (u∗, T ∗) appartienne à W0 (Ω)d × W 1,ρ(Ω), ρ > d. On a l’estimation
(d)1
suivante pour les indicateurs ηK
(d)2
et ηK
correspondants, K ∈ Th,
(d)1
ηK ≤ c ku∗ − uhkH 1(ω )d + kp∗ − phkL2(ω ) + kT ∗ − ThkH 1(ω )
K
K
K
X +
hκ kf − fhkL2(κ)d + εκ .
κ⊂ωK
(d)2
ηK
≤ c ku∗ − uhkH 1(ω )d + kT ∗ − ThkH 1(ω ) +
K
K
X
κ⊂ωK
hκ kg − ghkL2(κ) .
Conclusions
• Les estimations précédentes sont parfaitement optimales !
Aux termes portant sur les données près
X
K∈Th
2
2
h2
K kf − fh kL2 (K)d + kg − gh kL2 (K)
21
et
kT0 − T0hk
,
1
2
H (∂Ω)
l’erreur totale
E = ku − u∗kH 1(Ω)d + kp − p∗kL2(Ω) + kT − T ∗kH 1(Ω)
+ ku∗ − uhkH 1(Ω)d + kp∗ − phkL2(Ω) + kT ∗ − ThkH 1(Ω)
vérifie la propriété d’équivalence suivante
c
X
(s)
K∈Th
(s)
(ηK )2 +
X (d)
(ηK )2 − ε2
K
21
≤E
K∈Th
E ≤ c0
X
(s)
K∈Th
(s)
(ηK )2 +
X (d)
(ηK )2 + ε2
K
12
,
K∈Th
avec des constantes d’équivalence indépendantes de la décomposition
en Ωs et Ωf et de h.
(d)
• La borne supérieure pour les ηK est locale. On peut donc penser
que ces indicateurs constituent un outil efficace pour l’adaptation de
maillage.
(s)
• Même si aucune estimation locale n’est prouvée pour les ηK , on peut
espérer qu’ils fournissent une bonne représentation de l’erreur due à la
simplification du modèle.
Une stratégie pour le couplage automatique
Le point clé consiste à déterminer une partition du domaine Ω en deux
sous-domaines Ωs and Ωf .
• Sur Ωs, les équations de Navier–Stokes et de la chaleur sont découplées.
• Sur Ωf , il faut résoudre les équations de Navier-Stokes couplées avec
l’équation de la chaleur.
La décomposition est optimale si les erreurs due à la simplification du
modèle et à la discrétisation par éléments finis sont du même ordre.
Initialisation : On choisit une triangulation Th0 du domaine Ω qui permet
de construire une approximation correcte des données.
W. Dörfler
On prend
Ω0
f =∅
et
Ω0
s = Ω,
et on résout les équations de Navier-Stokes “discrètes” sur Ω, puis
l’équation de la chaleur.
Étape d’adaptation : On suppose donnée une solution calculée avec la
n
n
décomposition en Ωn
s et Ωf et une triangulation Th .
(s)
ηh =
1
n(s)
](Th
X
)
X
1
(d)
(d)
η
.
ηh =
K
n
](Th ) K∈T n
h
(s)
ηK ,
n(s)
K∈Th
Trois sous-étapes sont nécessaires pour l’adaptation :
• Première s-sous-étape : Tous les éléments K de Thn tels que
(s)
(s)
ηK ≥ η h
ou
(s)
(s)
(d)
ηK ≥ min{η h , η h }
fn+1.
sont insérés dans Ωn
pour
obtenir
un
nouveau
sous-domaine
Ω
f
f
fn+1 est régularisé pour définir une nou• Seconde s-sous-étape : Cet Ω
f
n+1
velle partition de Ω en Ωn+1
et
Ω
.
s
f
(d)
(d)
• d-sous-étape : En comparant les ηK à leur moyenne η h , on construit
une nouvelle triangulation Thn+1 qui vérifie la propriété suivante :
Le diamètre d’un nouveau triangle ou tetraèdre contenant K ou contenu
(d) (d)
dans K est du même ordre que hK fois le rapport η h /ηK .
P. Frey, P.-L. George
Prouver la convergence de l’adaptation de maillage fait appel à des
arguments maintenant bien connus.
W. Dörfler
P. Binev, W. Dahmen, R. DeVore
Mais il semble que la convergence de la décomposition ne puisse être
vérifiée que par des expériences numériques !
Plus deux algorithmes
• Découplage des inconnues
m ) dans X × M tel que
,
p
Trouver (um
h
h
h
h
∀vh ∈ Xh,
Z
Ω
νh∗(x, Thm−1) ∇ um
h : ∇ vh dx +
Z
−
∀qh ∈ Mh,
−
Z
Ω
m · v (x) dx
(um
·
∇)
u
h
h
h
Ω
Z
Ω
(div vh)(x)pm
h (x) dx = hf , vh i,
(div um
h )(x)qh (x) dx = 0,
Trouver Thm dans Yh tel que
∀Sh ∈ Yh,
α
Z
Ω
grad Thm · grad Sh dx +
Z
Ω
m · S (x) dx = hg, S i.
(um
·
∇)T
h
h
h
h
La convergence de cet algorithme vers une solution du problème discret
est prouvée pour des données assez petites.
T. Chacón Rebollo, S. Del Pino, D. Yakoubi
• Traitement du terme non linéaire dans les équations de Navier–Stokes
par la méthode des caractéristiques
O. Pironneau
Quatre algorithmes itératifs sont mis en jeu, si l’on ne tient pas compte
du gradient conjugué final.
Bien sûr on peut mélanger toutes les itérations.
Et un peu de turbulence
Travail commun avec
Tomás Chacón Rebollo, Frédéric Hecht et Roger Lewandowski
Le modèle complet
Ω : ouvert connexe borné de IRd, d = 2 ou 3, à frontière lipschitzienne.



−div ν(k) ∇u + (u · ∇)u + grad p =










div u = 0





−α ∆k = ν(k) |∇u|2









u=0








k=0
f
dans Ω,
dans Ω,
dans Ω,
sur ∂Ω,
sur ∂Ω.
Inconnues : vitesse u, pression p, énergie cinétique turbulente k.
Ce système est juste une première esquisse du modèle complet !
α est une constante positive.
B. Mohammadi, O. Pironneau
La viscosité ν est en général donnée par
∀ξ ≥ 0,
ν(ξ) = ν0 + ν1
q
ξ.
Ici, on travaille sans restriction avec une viscosité qui est tronquée
∀ξ ∈ IR,
et régularisée : ν ∈ W 2,∞(IR).
ν0 ≤ ν(ξ) ≤ ν2,
Formulation variationnelle
r>d
et
1
1
+ 0 = 1.
r
r
1,r0
1
d
2
Trouver (u, p, k) dans H0 (Ω) × L0(Ω) × W0 (Ω) tel que
Z
Z
∀v ∈ H01(Ω)d,
ν(k) ∇ u : ∇ v dx + (u · ∇)u · v(x) dx
Ω
Ω
Z
−
∀q ∈ L2
0 (Ω),
1,r
∀χ ∈ W0 (Ω),
α
Z
Ω
−
Z
Ω
Ω
(div v)(x)p(x) dx = hf , vi,
(div u)(x)q(x) dx = 0,
grad k · grad χ dx =
Z
Ω
ν(k) |∇u|2 χ(x) dx.
L’équivalence de ce problème avec le système précédent est facile à
vérifier.
• Un résultat d’existence :
T. Gallouët, R. Herbin
R. Lewandowski
C.B., T. Chacón Rebollo, R.L., F. Murat
J. Lederer, R.L.
• Unicité seulement d’une solution en dimension d = 2 pour des données
plus régulières et suffisamment petites.
• Un faible résultat de régularité.
Le modèle réduit
Nous introduisons une décomposition du domaine sans recouvrement
Ω = Ωt ∪ Ω`,
Ωt ∪ Ω` = ∅.
L’idée de base est la suivante :
• Sur Ω`, on résout seulement les équations de Navier–Stokes.
• Sur Ωt, on résout le problème complet.

ν(ξ) ' ν + ν √ξ
pour presque tout x dans Ωt,
0
1
∀ξ ∈ IR,
ν ∗(x, ξ) =
ν
pour presque tout x dans Ω`,
0
Il faut noter que la fonction : ξ 7→ ν ∗(·, ξ) vérifie exactement les mêmes
propriétés que la fonction ν(·). Par exemple,
∀ξ ∈ IR,
ν0 ≤ ν ∗(x, ξ) ≤ ν2
for a.e. x in Ω.

∗ · ∇)u∗ + grad p∗ =
∗
∗
∗


+
(
u
−div
ν
(·,
k
)
∇
u








∗=0


div
u





−α ∆k∗ = ν ∗(·, k∗) |∇u∗|2







∗=0


u







 k∗ = 0
f
dans Ω,
dans Ω,
dans Ω,
sur ∂Ω,
sur ∂Ω,
Formulation variationnelle
r>d
et
1
1
+ 0 = 1.
r
r
1,r0
∗
∗
∗
1
d
2
Trouver (u , p , k ) dans H0 (Ω) × L0(Ω) × W0 (Ω) tel que
Z
Z
∀v ∈ H01(Ω)d,
ν ∗(x, k∗) ∇ u∗ : ∇ v dx + (u∗ · ∇)u∗ · v(x) dx
Ω
Ω Z
− (div v)(x)p∗(x) dx = hf , vi,
Ω
Z
∗ )(x)q(x) dx = 0,
∀q ∈ L2
(Ω),
−
(div
u
0
Ω
Z
Z
1,r
∀χ ∈ W0 (Ω),
α
grad k∗ · grad χ dx =
ν ∗(x, k∗) |∇u∗|2 χ(x) dx.
Ω
Ω
Les mêmes arguments que pour le problème complet mènent au résultat
d’existence.
Le problème discret
(Th)h : famille régulière de triangulations de Ω telles que chaque élément
de Th soit contenu dans Ωt ou bien dans Ω`.
Éléments finis de Taylor–Hood
Xh =
o
d
vh|K ∈ P2(K) ,
n
o
1
2
Mh = qh ∈ H (Ω) ∩ L0(Ω); ∀K ∈ Th, qh|K ∈ P1(K) .
n
vh ∈ H01(Ω)d; ∀K ∈ Th,
Yh =
o
1,r
χh ∈ W0 (Ω); ∀K ∈ Th, χh|K ∈ P2(K) .
n
Trouver (uh, ph, kh) dans Xh × Mh × Yh tel que
∀vh ∈ Xh,
Z
Ω
ν ∗(x, kh) ∇ uh : ∇ vh dx +
Z
Ω
(uh · ∇)uh · vh(x) dx
−
∀qh ∈ Mh,
∀χh ∈ Yh,
α
Z
Ω
−
Z
Ω
Z
Ω
(div vh)(x)ph(x) dx = hf , vhi,
(div uh)(x)qh(x) dx = 0,
grad kh · grad χh dx =
Z
Ω
νh(kh) |∇uh|2 χh(x) dx.
L’analyse a priori de ce problème utilise là encore le théorème des
fonctions implicites discret dû à F. Brezzi, J. Rappaz, P.-A. Raviart.
Toutefois, on a besoin d’une hypothèse supplémentaire.
Hypothèse 3. On a la propriété de stabilité
kLhGkL∞(Ω) ≤ c kLGkL∞(Ω).
A.H. Schatz, L.B. Wahlbin
Théorème. Si les hypothèses 1, 2 et 3 sont vérifiées, il existe des réels
positifs κ et h0 tels que, pour tout h ≤ h0,
• le problème discret a une solution unique (uh, ph, kh) où (uh, kh) appartient à la boule de Y de centre (u∗, k∗) et de rayon κ λ−2
h ,
• cette solution vérifie
ku∗ − uhkH 1(Ω)d + kp∗ − phkL2(Ω) + kk∗ − khkH 1(Ω)∩L∞(Ω) ≤ c(u∗, p∗, k∗) hs,
où la constante c(u∗, p∗, k∗) ne dépend que de la solution (u∗, p∗, k∗).
Conclusions
• L’estimation précédente est parfaitement optimale et fournit une
convergence d’ordre h2 pour une solution régulière.
• L’hypothèse de régularité sur la solution est vraisemblable en dimension d = 2 mais ne l’est pas en dimension d = 3.
Toutefois la convergence de la discrétisation peut être prouvée sous la
seule condition
lim λh h2 = 0,
h→0
qui est beaucoup plus vraisemblable.
Analyse a posteriori
Soient ρ et ρ0 vérifiant
2 < ρ < q0 en dimension d = 2
and
ρ = 3 en dimension d = 3,
1
1
+ 0 = 1.
ρ
ρ
1,ρ
1,ρ
X = W0 (Ω)d × W0 (Ω).
Comme d’habitude en discrétisation multi-étapes, l’idée est d’évaluer
séparément les deux parties de l’erreur, c’est-à-dire
• l’erreur due à la réduction du modèle,
• l’erreur due à la discrétisation.
Évaluation de l’erreur due à la réduction du modèle
• Indicateur pour l’erreur due à la réduction du modèle
m
η = kdiv (ν0 − ν(kh) ∇uh kW −1,ρ(Ω)d + k ν0 − ν(kh) |∇uh|2kW −1,ρ(Ω).
Dans la définition précédente, Ω peut être remplacé par Ω`.
Une hypothèse de régularité. En dimension d = 3, il existe un réel q̃0 > 3
tel que, pour tout q, 2 ≤ q ≤ q̃0, et pour toute donnée f dans W −1,q (Ω)d,
toute solution (u, p, k) du problème réduit ou complet appartienne à
W 1,q (Ω)d × Lq (Ω) × W 1,q (Ω).
Théorème. Sous l’hypothèse précédente et pour toute solution (u, p, k)
du problème complet telle que DF (U ) soit un isomorphisme de X , on a
l’estimation a posteriori suivante
ku − u∗kW 1,ρ(Ω)d + kp − p∗kLρ(Ω) + kk − k∗kW 1,ρ(Ω)
∗
m
∗
≤ c η + c(f ) ku − uhkW 1,ρ(Ω )d + kk − khkW 1,ρ(Ω ) ,
`
`
où (u∗, p∗, k∗) est une solution du problème réduit dans un voisinage fixé
de (u, p, k).
Il est aussi facile de majorer l’indicateur d’erreur η m.
Évaluation de l’erreur due à la discrétisation
La même difficulté technique qu’auparavant, due au remplacement de
ν(kh) par νh(kh).
R. Verfürth
εS
K = hK kdiv
∗
ν (·, kh) − νh(kh) ∇uh kLρ(K)d
1
X
ρ
∗
+
he k[ ν (·, kh) − νh(kh) ∂nuh]ekLρ(e)d ,
e∈EK
L
∗
εK = hK k ν (·, kh) − νh(kh) |∇uh|2kLρ(K).
Lemme. On a les estimations suivantes
εS
K ≤ c hK kgrad kh kL∞ (K)d k∇uh kLρ (ωK )d×d ,
2
2
εL
K ≤ c hK kgrad kh kL∞ (K)d k∇uh kL2ρ (K)d×d .
• Indicateurs pour l’erreur due à la discrétisation
Pour tout K dans Th,
S + ηL ,
ηK = ηK
K
avec
S
ηK = hK kfh + div νh(kh) ∇uh − (uh · ∇)uh − grad phkLρ(K)d
+
X
1
ρ
he k[νh(kh) ∂nuh]ekLρ(e)d + kdiv uhkLρ(K),
e∈EK
L = h kν (k ) |∇u |2 + α ∆k k
ηK
K
h h
h
h Lρ (K) +
X
e∈EK
1
ρ
he k[α ∂nkh]ekLρ(e).
J. Pousin, J. Rappaz
Théorème. Sous l’hypothèse précédente et pour toute solution (u∗, p∗, k∗)
du problème réduit telle que DF∗(U ∗) soit un isomorphisme de X , on a
l’estimation a posteriori suivante
ku∗ − uhkW 1,ρ(Ω)d + kp∗ − phkLρ(Ω) + kk∗ − khkW 1,ρ(Ω)
X 1ρ
ρ
ρ + (εL )ρ + hρ kf − f kρ
ηK + (εS
)
≤c
,
h Lρ (K)d
K
K
K
K∈Th
où (uh, ph, kh) est une solution du problème discret dans un voisinage
fixé de (u∗, p∗, k∗).
S et η L , K ∈ T , par l’erreur
Il est aussi facile de majorer les indicateurs ηK
h
K
locale.
Conclusions : Les estimations préédentes sont parfaitement optimales :
Toutefois, en vue de l’insertion automatique du modèle de turbulence
(c’est-à-dire du choix de Ωt et Ω`), nous préférons remplacer ηm par des
quantitiés locales.
m
∗
η = kdiv µ (·, kh) ∇uh kW −1,ρ(Ω)d + kµ∗(·, kh) |∇uh|2kW −1,ρ(Ω).
Th` : ensemble des éléments de Th qui sont contenus dans Ω`.
Pour tout K dans Th`, on pose
1
m
∗
∗
ηK = kµ (·, kh) ∇uhkLρ(K)d×d + kµ (·, kh) 2 ∇uhk2
.
Lρ (K)d×d
Lemme. On a la majoration suivante
ηm ≤
X
1
m
ρ
(ηK ) ρ .
K∈Th`
La stratégie pour l’insertion automatique du modèle de turbulence est
exactement la même que précédemment.
Une première expérience numérique
effectuée sur le code FreeFem++ de F. Hecht and O. Pironneau
Conclusions
La convergence dépend des valeurs de ν0 et ν1. Mais cet algorithme
mène à de bons résultats dans des situations presque réalistes.
Au vu de ces premières expériences, nous espérons que
le couplage automatique de modèles
sera un instrument efficace pour traiter des problèmes tridimensionnels
issus d’autres disciplines et, parmi eux, de vrais fluides instationnaires.
Pensez à l’océan...
Un grand merci pour votre attention.