En analyse

Terminale S
Les ROC d’analyse à connaître.
Vous trouverez ici les démonstrations que vous avez officiellement dues faire en cours (dans le programme).
Il est important de préciser que cela ne signifie en aucun cas qu’il ne faille pas connaître les autres…
D’autres ROC classiques seront aussi traitées, mais sachez que le jour du Bac, vous pouvez très bien avoir
une ROC que vous n’aurez jamais traité ou une ROC à démontrer différemment.
C’est pourquoi votre intérêt n’est pas d’apprendre les démonstrations par cœur, mais plutôt de comprendre
comment elles fonctionnent, quelle est l’idée directrice des raisonnements, quels sont les prérequis…
ROC sur les suites
Définition : Une suite admet pour limite +∞ si pour tout réel A, tous les termes de la suite à partir d’un
certain rang sont dans un intervalle de la forme [ A ; + ∞[ . La définition est la même pour −∞ , mais les termes
seront dans un intervalle ] − ∞ ; A] .
Autrement dit, une suite tend vers +∞ si ∀A ∈ , ∃N ∈
tel que ∀n ≥ N , on a un ≥ A .
Théorème : Si une suite (un) est croissante et non majorée, alors lim un = +∞ ; si une suite (un) est
n→+∞
décroissante et non minorée, alors lim un = −∞ .
n→+∞
Démo : Soit (un) une suite croissante et non majorée.
Par définition, comme (un) est non majorée, pour tout réel A, il existe un terme uN de la suite tel que u N > M .
Mais comme la suite est croissante, pour tout n > N, un > u N .
Nous avons donc prouvé que pour tout réel A, à partir d’un certain rang N, on aura un > M pour n > N ,ce qui
correspond à la définition de tendre vers +∞ .
La démonstration est analogue pour −∞ .
un ≤ vn
Définition : On dit que deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si :
un croissante, vn décroissante .
lim ( vn − un ) = 0
n→∞
Théorème : Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont même limite L.
De plus on a un ≤ L ≤ vn .
Démo : Soient deux suites adjacentes (un) et (vn).
On a un ≤ vn ≤ v0 car v est décroissante donc majorée par son premier terme : ainsi, la suite u est croissante et
majorée, donc elle converge. On note L sa limite.
On montre de même (faite le) que la suite v est décroissante minorée donc elle converge ; on note L’ sa limite.
Comme on a lim ( vn − un ) = 0 , on obtient L – L’ = 0 donc L = L’.
n→∞
Enfin, la suite u étant croissante, on a un ≤ L et comme v décroît, L ≤ vn d’où un ≤ L ≤ vn .
1
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Restitution Organisée de Connaissance (ROC d’analyse)
Sujets de Bac
ROC sur les fonctions : théorème des gendarmes
Définition : On dit que la fonction f tend vers le réel L quand x tend vers +∞ si le nombre f(x) peut être
rendu aussi proche de L que l’on veut, pour x assez grand. On notera lim f ( x) = L .
x →+∞
Autrement dit, en terminale, lim f ( x) = L si pour tout intervalle J qui contient L, alors J contient aussi tous
x →+∞
les f(x) pour x assez grand.
Théorème : Soit f, g, h trois fonctions définies sur un intervalle I = [ a ; + ∞ [ telles que f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g( x ) sur I.
Si lim f ( x ) = L = lim g( x ) , alors h admet une limite en + ∞ et on a lim h( x ) = L .
x →+∞
x →+∞
x →+∞
Démo : Soit J un intervalle contenant L.
Comme lim f ( x ) = L = lim g( x ) , par définition pour x suffisamment grand f(x) et g(x) sont dans J.
x →+∞
x →+∞
Comme pour tout x f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g( x ) , h(x) est également dans J pour ces mêmes valeurs de x.
Donc h vérifie la définition de lim h( x ) = L .
x →+∞
ROC sur les fonctions continues : TVI et corollaire
Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
Démo : il s’agit ici de formaliser le principe de dichotomie que vous devez connaître. Si tel n’est pas le cas,
cette démonstration vous paraîtra encore plus compliquée… Mais qu’est ce qu’elle est belle !!
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I avec a ≤ b .
Soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Définissons maintenant deux suites (an) et (bn) :
•
On pose a0 = a et b0 = b : on a donc k ∈ [ f (a0 ) ; f (b0 ) ]
•
Supposons que les termes an et bn soient construits et tels que k ∈ [ f ( an ) ; f ( bn ) ] , et définissons les
termes suivants (récurrence…). Plaçons nous alors dans l’intervalle [ an ; bn ] et calculons
u= f
an + bn
2
.
an + bn
, bn+1 = bn .
2
a +b
Si k est inférieur à u, nous posons an+1 = an , bn+1 = n n .
2
Dans tous les cas on sera sûr que k ∈ [ f ( an+1 ) ; f ( bn+1 ) ] .
Si k est supérieur à u, nous posons an+1 =
•
Par construction, an est croissante, bn est décroissante et en plus, comme à chaque fois on prend le
1
2
milieu de l’intervalle, bn+1 − an+1 = ( bn − an ) .
La suite ( bn − an ) est donc géométrique de raison ½ donc elle tend vers 0.
•
Ces deux suites sont donc adjacentes, donc elles convergent. Notons c leur limite commune.
Comme f est continue, lim f (an ) = lim f (bn ) = f (c) .
n →∞
n →∞
2
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Restitution Organisée de Connaissance (ROC d’analyse)
Sujets de Bac
•
Enfin, pour tout n, f (an ) ≤ k ≤ f (bn ) par construction, et d’après le théorème des gendarmes,
k = lim f (an ) = lim f (bn ) = f (c) .
n →+∞
n →+∞
Théorème des valeurs intermédiaires (bis) : Soit f une fonction continue, strictement monotone sur un
intervalle I, a et b deux réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c compris
entre a et b tel que f(c) = k.
Démo : L’existence de c a été démontrée ci-dessus. Démontrons maintenant son unicité pour les fonctions
strictement monotones.
Supposons que f est strictement croissante par exemple.
Soit c’ un autre antécédent de k.
Si c < c’, par monotonie de f, f(c) < f(c’), cad k < k ! Absurde !
Il est clair que si c > c’, la même absurdité apparaît. On a donc c’ = c, d’où l’unicité.
ROC sur la dérivation
Définition : Soit f une fonction définie sur I, et a un réel de I (qui ne soit pas une borne de I).
On dit que la fonction f est dérivable en a si lim
x→ a
On notera alors f '
(a) = lim
x→a
f ( x) − f (a )
existe et est finie.
x−a
f ( x) − f (a)
, nombre dérivé de la fonction en a.
x−a
Théorème : Soient u et v deux fonctions telle que la composée soit définie sur I.
Si u et v sont dérivables alors u v est dérivable et on a ( u v ) '= v '
× u '( v ) cad ( u v ) '
( x) = v '
( x) × u '( v( x) ) .
Principe de la démo : Soient u et v deux fonctions dérivables.
On a
u v( x) − u v(a) u ( v( x) ) − u ( v(a) ) u ( v( x) ) − u ( v(a) ) v( x) − v(a )
=
=
×
.
x−a
x−a
v( x) − v(a )
x−a
Posons X = v(x) et A = v(a) : alors
u v( x) − u v(a) u ( X ) − u ( A ) v( x) − v(a)
=
×
. Regardons la limite de ces
x−a
X −A
x−a
rapports quand x tend vers a.
• Comme v est dérivable, elle est continue et donc lim v( x) = v(a) cad lim X = A .
Par conséquent, lim
x→ a
•
u( X )−u( A)
X −A
Comme v est dérivable, lim
x→ a
x →a
= lim
X →A
u( X )−u( A)
X −A
x →a
=u'
( A) puisque u est dérivable.
v ( x) − v(a)
=v'
(a ) .
x−a
u v( x) − u v(a)
=v'
(a ) × u '
( A) = v '
(a) × u '( v(a) ) .
x→ a
x−a
Ainsi, par produit, lim
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Sujets de Bac
ROC sur l‘intégration et les primitives
L’objectif est ici d’établir l’existence d’une primitive pour les fonctions continues, croissantes et positives, et
le lien avec la notion d’aire sous la courbe.
Le résultat sera ensuite admis pour les fonctions continues.
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est
dérivable et si pour tout x de I, F’(x) = f(x).
Théorème : Soit f une fonction continue, croissante et positive sur [a ;b]. Alors F admet une primitive sur cet
intervalle.
a≤x≤b
.
0 ≤ y ≤ f(x)
Démo : Soit D le domaine défini par l’ensemble des points M(x ; y) tels que :
Soit x0 dans [a ;b], F(x0) l’aire du domaine défini par
•
a ≤ x ≤ x0
.
0 ≤ y ≤ f(x)
Pour tout h > 0 tel que x0+h soit dans I, F(x0+h) − F(x0) est l’aire du domaine
x0 ≤ x ≤ x0 + h
0 ≤ y ≤ f ( x)
,
hachurée en bleu sur le graphique.
•
On peut alors encadrer cette aire par l’aire du petit rectangle de coté h / f ( x0 ) et par l’aire du grand
rectangle de coté h / f ( x0 + h) . On obtient donc h × f ( x0 ) ≤ F ( x0 + h) − F ( x0 ) ≤ h × f ( x0 + h) , cad
f ( x0 ) ≤
•
F ( x0 + h) − F ( x0 )
≤ f ( x0 + h) .
h
Renouvelons cet encadrement pour h < 0, il vient f ( x0 + h) ≤
F ( x0 + h) − F ( x0 )
≤ f ( x0 ) .
h
La fonction f étant continue, on a lim f(x0+h) = f(x0) : par conséquent, d’après le théorème des gendarmes,
h→0
lim
h→0
F ( x0 + h) − F ( x0 )
= f ( x0 ) . Par définition, la fonction F est donc dérivable en x0 et on a F '
( x0 ) = f ( x0 ) .
h
La fonction f admet donc une primitive, F.
y
y=f(x)
f(xo+h)
f(xo)
1
a
0
1
h
x0
x0+h b
x
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Restitution Organisée de Connaissance (ROC d’analyse)
Sujets de Bac
Théorème (admis) : On admet que le résultat précédent se généralise aux fonctions continues, cad que si f est
définie et continue sur un intervalle I alors f admet une primitive sur I.
Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un point de I.
x
Alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(a) = 0 : cette primitive sera notée F( x ) =
a
f ( t)dt .
Démo :
Existence : D’après le théorème précédent, l’existence d’une primitive de f sur I est établie. Soit donc G une
primitive de f sur I. Alors, la fonction F(x) = G(x) – G(a) est bien une primitive de f qui s’annule en a.
Unicité : Soient F et G deux primitives de f sur I telles que F(a) = G(a) = 0.
On a F’(x) = G’(x) = f(x) donc sur I, (F-G)’ = 0 donc la fonction F – G est constante sur I : il existe donc un
réel k tel que F = G + k.
Comme F(a) = G(a), on trouve k = 0 et donc F = G. F est bien unique.
ROC sur la construction de l’exponentielle
Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur
telle que f ’ = f et f(0) = 1.
Résultat Préliminaire : Si f est une fonction dérivable sur
s’annule pas sur .
telle que f ’ =k f et f(0) = 1 alors f ne
Démo : Soit g(x) = f(x)f(-x), dérivable sur .
On a g’(x) = f ’(x)f(-x) –f(x)f ’(-x) = kf(x)f(-x) –f(x)( kf(-x) ) = 0 : g est donc constante et comme
g(0) = 1, pour tout x on a g(x) = 1.
Comme g(x) = f(x)f(-x), g ne peut donc pas s’annuler.
Unicité
Soient f et g deux fonctions solution de notre équation y’ = y avec f(0) = g(0) = 1 : posons alors h =
s’annule pas, résultat préliminaire), fonction dérivable sur
On a h '=
.
f 'g − g 'f
fg − gf
=
= 0 puisque f’ = f et g’ = g : la fonction h est donc constante sur
2
g
g2
h(0) = 1, pour tout x,
f
(g ne
g
, et comme
f ( x)
= 1 d’où f = g. L’unicité est démontrée.
g ( x)
Existence
→ L’existence est en général (plus ou moins démontrée) à l’aide de la méthode d’Euler et des approximations
affines.
Nous allons ici démontrer l’existence de cette fonction d’une manière « plus propre », à l’aide du logarithme
népérien.
• La fonction 1/x est continue sur ]0 ; + ∞[ , elle admet donc une unique primitive qui s’annule en 1 sur
cet intervalle (théorème précédent) : nous notons ln(x) cette fonction, et donc ln(1) = 0.
Par dérivation des fonctions composées on a : ( ln f
) '=
f'
.
f
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Sujets de Bac
•
Comme f ne s’annule pas (résultat préliminaire), l’équation f’ = f devient alors
f'
( x)
=1
f ( x)
ln f ( x) = x + K par intégration. De plus, comme f(0) = 1, il vient ln 1 = 0 + K
K =0.
Ainsi, ln f ( x) = x .
•
Remarquons maintenant que la fonction ln est bijective (à l’aide du TVI) et a donc une fonction
réciproque.
Nous l’appelons exponentielle, notée exp(x) : ainsi f ( x ) = exp( x ) ⇔ f ( x ) = ± exp( x ) .
•
Comme f(0) = 1, on en déduit que f ( x) = exp( x) , et par construction exp(x) est solution de f’ = f.
ROC sur les propriétés de l’exponentielle
Définition : D’après le paragraphe précédent, il existe une unique fonction solution de f ’ = f avec f(0) = 1.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, notée exp(x).
Propriété : L’exponentielle ne s’annule pas sur
et on a exp(-x) =
1
.
exp( x)
Démo : elle a été faite au paragraphe précédent (vous devez savoir la refaire).
Avec g ( x) = f ( x) f (− x) , nous avons prouvé que g(x) = 1 d’où le second résultat.
Propriété : L’exponentielle est strictement positive sur
.
Démo : Supposons le contraire cad qu’il existe un réel a tel que exp(a) ≤ 0 : on a forcément exp(a) < 0
puisque exp ne s’annule pas.
Mais la fonction exp est continue sur
(car dérivable) et on a exp(0) = 1 > 0, exp(a) < 0 donc d’après le TVI,
0 admet un antécédent entre 1 et a : absurde car exp est toujours non nul.
Propriété : L’exponentielle est strictement croissante sur
.
Démo : évident puisque exp’(x) = exp(x) > 0.
Propriété : Pour tout réel a et b, exp(a+b) = exp(a)exp(b).
Démo : posons g( x ) = f ( x + a)f ( − x ) : g est dérivable et
g'
( x) = f '
( x + a)f ( − x ) + f ( x + a)( − f '
( − x )) = ex + a e− x − ex + a e− x = 0 .
g est donc constante et comme g(0) = exp(a), pour tout x on a
g ( x) = g (a) ⇔ exp( x + a) × exp(− x) = exp(a) ⇔ exp( x + a) = exp( x ) × exp(a) puisque exp(-x) =
1
.
exp( x)
Cette dernière propriété est à la base de la notation puissance exp( x) = e x , elle caractérise même la fonction
exponentielle.
Les propriétés de la fonction exponentielle se déduisent pour la plus grande partie de ces derniers résultats, en
utilisant le fait que ces deux fonctions sont des bijections réciproques l’une de l’autre.
Allez voir votre cours !
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Sujets de Bac
ROC sur les croissances comparées
Tout part de ce résultat !
Théorème :
lim
x →+∞
ln x
=0
x
Démo : Il s’agit de comparer ln(x) et x ; lorsqu’on trace ln, on voit que sa courbe ressemble pas mal à celle de
ln x
ln x
. Etudions la fonction f ( x ) =
:
x →+∞
x
x
x d’où l’idée de regarder plutôt lim
1
1
x−
ln x
2
2 − ln x
x
2
x
f'
( x) =
=
, donc f a un maximum en x = e2 , qui est f ( e2 ) = .
e
x
2x x
Par ailleurs si on prend x > 1, il est clair que f est positive. On peut donc écrire 0 ≤ f ( x ) ≤
tout par
1 ln x
2
ln x
2
≤
⇔0≤
≤
.
x
x x e x
e x
x qui est positif, 0 ≤
2
d’où en divisant
e
ln x
=0.
x →+∞ x
D’après le théorème des gendarmes, lim
ln x
= 0 , (2) lim x n ln x = 0 ,
x →+∞ x n
x → 0+
Propriété :
lim
Démo : Utilisons le théorème précédent :
1
(1) En multipliant par
x
n−1
qui tend également vers 0 on a lim
x →+∞
(2) En faisant le changement de variable X =
Propriété :
ex
= +∞
x →+∞ x
1
, X tend vers 0+ et lim − X n ln X = 0 ⇔ lim x n ln x = 0 .
x
X →0 +
x →0 +
lim xex = 0
(1) lim
ln x
=0.
xn
lim x n ex = 0
x →−∞
x →−∞
Démo :
(1) En faisant le changement de variable x = eX ⇔ X = ln x on a :
eX
= +∞ ;
X →+∞ X
ln x
ln x
X
= 0 = lim n = lim X
x →+∞ x
x →+∞ x
X →+∞ e
lim
lim
e−Y
1
= +∞ ⇔ lim
= −∞ ⇔ lim YeY = 0 ⇔ lim xex = 0 .
Y →−∞ −Y
Y →−∞ YeY
Y →−∞
x →−∞
(2) en posant Y = –X, lim
(3) lim
x →+∞
x
e
xn
= lim
x →+∞
x
en
n
x
x
en
= lim
x →+∞
x
n
n
n
=
1
nn
lim
x →+∞
x
en
x
n
n
=
1
nn
lim
X →+∞
eX
X
n
= +∞ ; de la même manière que
précédemment on a lim x n ex = 0 .
x →−∞
En conclusion : à l’infini (+ ou –) l’exponentielle l’emporte sur n’importe quel polynôme, lequel l’emporte
toujours sur ln en +∞ .
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ROC sur l’intégration par parties (IPP)
Théorème : Soit u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] admettant des dérivées u’ et v’ continues, alors
b
a
u'
( t)v( t)dt = [ u( t)v( t) ] a −
b
b
a
u( t)v '
( t)dt .
Démo
Il suffit de dériver uv : [ u( t)v( t) ] '= u '
( t)v( t) + u( t)v '
( t) : toutes les fonctions considérées sont continues on peut
intégrer cette relation entre a et b, ce qui donne le résultat.
ROC sur les équations différentielles
Théorème : Soit a un réel. Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay sont les fonctions de la forme
f ( x) = Keax , K ∈ .
Démo
Une démonstration possible est la suivante (rappelons que si y’ = ay, on a déjà vu que y ne s’annulait pas).
On a y’ = ay soit
y'
=a
y
ln y = ax + K ⇔ y = eax + K = eK eax ⇔ y = ±Ceax , C réel positif non nul.
Théorème : Soient a et b deux réels (donc constants !). Soit (E) l’équation différentielle y’ = ay + b.
Il existe une unique fonction f solution de (E) et telle que f ( x0 ) = y0 .
Démo
→ Cherchons une solution particulière de (E) qui soit constante. Posons f(x) = c.
f 0 est solution de (E) si 0 = ac + b donc la fonction f 0 ( x) = −
b
est une solution particulière de (E).
a
→ Ainsi, f est solution de (E) ⇔ f '
− af = b = f 0 '
− af 0 ⇔ ( f − f 0 ) '= a ( f − f 0 ) donc ssi la fonction f − f 0 est
solution de l’équation y’ = ay.
→ D’après le théorème précédent, on en déduit qu’il existe un réel K tel que f ( x) − f ( x) = Ke ax et donc, les
0
solutions de (E) sont les fonctions f ( x) = Ke ax + f 0 ( x) , K réel.
→ A l’aide de la condition initiale f ( x ) = y , on définit alors K de manière unique.
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