Espaces vectoriels normes de dimension finie

ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE
NORMES USUELLES, ÉQUIVALENCE DES NORMES
SOMMAIRE
SOMMAIRE
1. Normes sur un espace vectoriel E
2
1.1. Définition d'une norme. Citer l'inégalité triangulaire renversée.
2
1.2. Normes usuelles
3
1.3. Définition des normes équivalentes.
4
Contre-exemple dans C([0, 1], ) : fonction "triangle" de base 1/n et de hauteur n pour ||.||1 et ||.||¥.
2. Cas de la dimension finie
5
2.1. Théorème d'équivalence des normes
5
Contre-exemple : [ 2 ] = {a + b 2 , a, b Î }avec N1(a + b 2 ) = |a| + |b| et N2(a + b 2 ) = | a + b 2 |
2.2. Conséquences : continuité des applications linéaires, caractérisation des compacts etc...
Contre-exemple : l'application linéaire P
a P'
est non continue sur [X] pour || . ||¥
inx
8
9
10
2.3. Théorème de Riesz. E est de dimension finie ssi la boule fermée unité est compacte
Exemple dans C([0, 1], ), ¦n(x) = e
4
10
12
pour || . ||¥.
Dans toute la leçon, E désigne un espace vectoriel sur un corps  =  ou . (Sauf contre-exemple particulier)
Prérequis
Entre autres prérequis élémentaires, on supposera acquis les résultats suivants :
n
· Tout espace vectoriel E de dimension finie (sur  ou ) est isomorphe à  .
· Définition d'une application lipschitzienne d'un espace vectoriel normé dans un autre.
· Définition d'une application continue d'un espace vectoriel normé dans un autre.
· L'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé.
· Une partie F de E est fermée dans E si et seulement si toute suite d'éléments de F convergeant dans E
converge dans F.
· Définition d'une partie compacte X : toute suite d'éléments de X admet une valeur d'adhérence dans X.
· Un intervalle fermé borné est un compact de .
· Un produit fini de compacts est un compact.
n
· Dans  les parties compactes sont les parties fermées bornées.
· Si X est une partie fermée d'un compact A, alors X est compacte.
· Toute application continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
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1. Normes sur un espace vectoriel E
1.1. Définition d'une norme
Définition
On appelle norme sur E toute application N de E dans  telle que :
i) "x Î E,
N(x) = 0 Þ x = 0
(séparation)
ii) "(x, l) Î E ´ ,
N(lx) = |l|N(x)
(homogénéité)
iii) "(x, y) Î E ´ E,
N(x + y)  N(x) + N(y)
(inégalité triangulaire)
Notation et vocabulaire : on note N(x) = ||x||E ou N(x) = ||x|| lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté. On appelle espace
vectoriel normé, tout couple (E, || . ||) où || . || est une norme sur E.
Remarques :
· D'après ii) avec l = 0, il vient N(0) = 0.
· La condition "x Î E, N(x)  0 serait superflue dans la définition : d'après iii) et ce qui précède on a :
"x Î E : 0  N(0)  N(x - x)  N(x) + N(-x)  N(x) + |-1|N(x)  2N(x), d'où N(x)  0
· Si la propriété i) (séparation), n'est pas vérifiée, on dit que N est une semi-norme.
· Contrairement aux espaces euclidiens, deux vecteurs non liés peuvent réaliser "l'égalité" triangulaire.
Considérer, dans n, x = (1, 1, 0, ... , 0) et y = (1, 0, ..., 0) avec la norme ||x|| = sup xi .
iÎ{1;...; n}
On a alors ||x|| = ||y|| = 1, ||x + y|| = 2, donc ||x|| + ||y|| = ||x + y|| et pourtant x et y ne sont pas (positivement)
liés.
Une propriété utile : inégalité triangulaire renversée
"(x, y) Î E ´ E | ||x|| - ||y|| |  ||x - y||
Cette propriété est importante, elle permettra d'affirmer que toute norme N est continue sur E.
(Pour démontrer la propriété, on écrit x = (x - y) + y et y = (y - x) + x puis on utilise l'inégalité triangulaire)
Norme sur un sous-espace vectoriel : si F est un sous-espace vectoriel de E, la restriction de N à F est
évidemment une norme sur F appelée norme induite.
Distance associée à une norme :
À partir de toute norme N sur E, on peut construire une distance d par :
d : E ´ E ®
(x, y) a N(x - y)
L'application d ainsi définie vérifie alors les 3 propriétés :
1) "(x, y) Î E ´ E, d(x, y) = d(y, x)
2) d(x, y) = 0 Þ x = y
3) "(x, y, z) Î E3, d(x, z)  d(x, y) + d(y, z)
Ce qui en fait bien une distance.
Ainsi tout espace vectoriel normé est un espace métrique et la norme N engendre une topologie sur E.
Noter qu'il existe des distances ne découlant pas d'une norme, comme par exemple, la distance discrète :
ì0 si x = y
d(x, y) = í
î1 si x ¹ y
En effet, l'application N obtenue en posant N(x) = d(x, 0) ne vérifie pas l'axiome d'homogénéité.
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1.2. Normes usuelles
On montre que les applications ci-dessous sont des normes :
i) E =  ou  : x a |x|
æ
ii) E =  ou  , x = (x1, ... , xn) Î  , p Î ]0 ; +¥[ : x a ||x||p = ç
ç
è
n
n
n
n
åx
ö
÷÷
ø
p
i
i =1
1
p
(surtout pour p = 1 ou 2)
iii) E =  ou  , x = (x1, ... , xn) Î  : x a ||x||¥ = sup xi .
n
n
n
iÎ{1;...; n}
iv) Norme d'une application linéaire continue u Î C(E, F) où (E, || . ||E) et (F, || . ||F) sont deux espaces
vectoriels normés de dimension finie :
u a ||u|| = sup
u ( x)
xÎB (0,1)
F
où B (0, 1) désigne la boule fermée unité : B (0, 1) = {x Î E tels que ||x||E  1}
Note : une application linéaire u Î (E, F) est continue sur E si et seulement si :
$M Î  tel que "x Î E : ||u(x)||F  M||x||E
n
v) E = n[X] , P =
åa X
i
i=0
i
Î n[X] : P a ||P|| = sup ai .
iÎ{0;...; n}
Preuve :
i) Évident
ii) Toutes les conditions de la définition se démontrent aisément sauf l'inégalité triangulaire, qui est l'inégalité
de Minkowski qui se démontre de façon technique à l'aide de la convexité (non triviale) de la fonction
æ
homogène suivante : x a çç
è
n
å
i =1
xi
p
ö
÷÷
ø
1
p
(voir leçon sur la convexité)
n
iii) Inégalité triangulaire pour || . ||¥. Soit (x, y) Î  de coordonnées x = (x1, ..., xn) et y = (y1, ..., yn).
On a (inégalité triangulaire classique sur ) :
"i Î 1, n, |xi + yi |  |xi | + |yi |  sup xi + sup yi
iÎ{1;...; n}
iÎ{1;...; n}
En particulier, pour l'indice i tel que |xi + yi | soit maximal :
sup xi + yi  sup xi + sup yi
iÎ{1;...;n}
iÎ{1;...; n}
iÎ{1;...; n}
||x + y||¥  ||x||¥ + ||y||¥
D'où :
iv) Inégalité triangulaire pour || . || sur (E, F). Soient u, v Î (E, F).
Comme || . ||F est une norme sur F, on a :
"x Î E, ||(u + v)(x)||F  ||u(x)||F + ||v(x)||F
En particulier :
"x Î B (0, 1) , ||(u + v)(x)||F  ||u(x)||F + ||v(x)||F  sup
u ( x)
xÎB (0,1)
F
+
sup
xÎB (0,1)
v( x)
F
Et en passant à la borne supérieure pour x Î B (0, 1) , il vient :
sup
xÎB (0,1)
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(u + v)( x)
F
 sup
xÎB (0,1)
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u ( x)
F
+ sup
xÎB (0,1)
v( x)
F
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||u + v||  ||u|| + ||v||
D'où :
v) Inégalité triangulaire pour || . || sur n[X].
n
n
Soient P, Q Î n[X], P =
å
ai X i et Q =
åb X
i
i
i=0
i=0
On a (inégalité triangulaire classique sur ) :
"i Î 0, n, |ai + bi |  |ai | + |bi |  sup ai + sup bi
iÎ{0;...; n}
iÎ{0;...; n}
En particulier, pour l'indice i tel que |ai + bi | soit maximal :
sup ai + bi  sup ai + sup bi
iÎ{0;...;n}
iÎ{0;...; n}
iÎ{0;...; n}
||P + Q||  ||P|| + ||Q||
D'où :
1.3. Normes équivalentes
Définition
Deux normes N1 et N2 sur E sont dites équivalentes si :
( )
$(l, m) Î +*
2
tels que : "x Î E, lN1(x)  N2(x)  mN1(x)
On note alors N1 ~ N2 sur E. La relation ainsi définie est bien une relation d'équivalence :
· On a N1 ~ N1 en choisissant l = m = 1 d'où la réflexivité.
· Si lN1(x)  N2(x)  mN1(x) alors
1
1
N2(x)  N1(x) 
N2(x) d'où la symétrie.
m
l
· Si lN1(x)  N2(x)  mN1(x) et l'N2(x)  N3(x)  m'N2(x) alors ll'N1(x)  N3(x)  mm'N1(x)
D'où la transitivité.
Remarques :
· deux normes N1 et N2 sur E sont équivalentes si et seulement si l'application Id : (E, N1) ® (E, N2) est
bicontinue (ou encore "si l'identité est un homéomorphisme").
· deux normes N1 et N2 sont non équivalentes si et seulement si il existe une suite (xn) d'éléments de E telle
æ N (x ) ö
que la suite ç 2 n ÷ ne soit pas bornée.
è N1 ( xn ) ø
n
Exemple : sur  , les normes || . ||1, || . ||2 et || . ||¥ sont équivalentes.
En effet on montre sans difficultés que :
n
"x Î  , ||x||¥  ||x||1  n||x||¥ et ||x||¥  ||x||2 
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n ||x||¥
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Contre-exemple : sur E = C([0 ; 1], ), on considère les normes || . ||1 et || . ||¥ définies par :
||¦||1 =
ò
1
¦ (t ) dt
||¦||¥ = sup ¦ (t )
et
t Î[ 0 ; 1]
0
ì- n2 x + n si x Î é0 ;
ï
ë
On considère la suite (¦n) d'éléments de E définie par : ¦n(x) = í
1
ïî0 si x Î éë n ; 1ùû
ò
||¦n||¥ = sup ¦ n (t ) = n et ||¦n||1 =
On a :
t Î[ 0 ; 1]
0
¦ n (t ) dt =
.
n
1
2
0
¦n ¥
= 2n
¦n 1
D'où :
1
1
ù
nû
+¥
¾¾¾¾
®
n ®¥
1
n
"n Î , ||¦n||¥  M||¦n||1
Donc il n'existe pas de réel M tel que :
Donc les normes || . ||1 et || . ||¥ ne sont pas équivalentes.
2. Cas de la dimension finie.
Dans tout ce paragraphe, E désigne un espace vectoriel normé sur  ( =  ou ).
2.1. Équivalence des normes
L'intérêt du théorème suivant est que, en dimension finie, on n'aura plus à préciser quelle est la norme utilisée
dans les diverses propriétés topologiques (telles que la continuité ou la compacité).
Théorème
Attention !
Soit E un e.v.n. sur  ou .
Ce théorème est faux si le corps de
base n'est pas complet !
Si E est dimension finie, alors toutes les normes sur E sont équivalentes.
Soit (e1, ..., en) une base de E et N une norme quelconque sur E. Munissons E de la norme || . ||¥ :
n
Rappelons que pour x =
å x e , on a :
||x||¥ = sup xi
i i
iÎ{1;...; n}
i =1
Lemme
Si E est de dimension finie, alors toute norme N est une application continue de (E, || . ||¥) dans (, | . |).
Preuve du lemme :
Nous allons montrer que l'application N est lipschitzienne.
æ n
ö
N(x) = N çç
xi ei ÷÷
è i =1
ø
å
Soit x Î E, on a :
D'après l'inégalité triangulaire et l'homogénéité de la norme N, on a :
æ n
ö
N çç
xi ei ÷÷ 
è i =1
ø
å
n
åx
i
n
N (ei ) 
i =1
å N (e ) ||x||
i
¥
i =1
n
Posons M =
å N (e ) . (M > 0 car, les e étant non nuls, on a N(e ) ¹ 0).
i
i
i
i =1
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N(x)  M ||x||¥
D'où :
$M > 0 tel que : "(x, y) Î E2, N(x - y)  M ||x - y||¥
On peut donc écrire :
Or, d'après l'inégalité triangulaire renversée :
|N(x) - N(y)|  N(x - y)
$M > 0 tel que : "(x, y) Î E2, |N(x) - N(y)|  M ||x - y||¥
On peut donc écrire :
Ce qui signifie que l'application N : (E, || . ||¥) ® (, | . |) est M-lipschitzienne donc continue (sur E).
Démonstration du théorème :
Premier cas : E est un e.v.n. sur .
n
Comme, E est de dimension finie, il est isomorphe à  .
n
Il suffit donc de démontrer le théorème dans le cas où E =  .
On va montrer que N est équivalente à || . ||¥. Considérons la sphère unité S pour || . ||¥ :
S = {x Î 
n
tels que ||x||¥ = 1} = {x Î 
n
· L'ensemble P =
Õ [-1 ; 1] est un compact de 
n
n
n
tels que sup xi = 1} Ì
iÎ{1;...; n}
Õ [-1 ; 1]
i =1
: en effet, l'intervalle [-1 ; 1] est un compact de . De
i =1
n
plus, un produit fini d'espaces compacts est compact donc P =
Õ [-1 ; 1] est un compact  .
n
i =1
n
· S est bornée dans  (puisque contenue dans la boule fermée unité pour || . ||¥)
· S est fermée dans  : en effet, l'application ¦ :  ® , x a ||x||¥ est continue (d'après le lemme) donc
n
n
l'image réciproque d'un fermé est un fermé. Or, S = ¦-1({1}) et le singleton {1} est un fermé de (, |.|), donc
n
S est fermée dans  .
n
Bilan : S est fermée et contenue dans le compact P donc S est compacte dans  .
n
On sait que N est continue sur  donc N est continue sur le compact S.
Donc l'application N est bornée et atteint ses bornes sur S :
( )
$(m, M) Î +
2
tels que "x Î S : m  N(x)  M
Mais N atteint ses bornes, donc pour un certain x0 Î S : N(x0) = m
Or, x0 ¹ 0 (car x0 Î S) donc N(x0) ¹ 0 et m > 0.
( )
$(m, M) Î +*
Donc :
2
tels que "x Î S : m  N(x)  M
n
Il ne reste plus qu'à étendre le résultat ci-dessus à  :
n
Soit x Î  \ {0}. Posons x' =
x
.
|| x ||¥
Il est clair qu'ainsi x' Î S donc on a :
Or,
D'où :
Espaces vectoriels normés
m  N(x')  M
æ x
N(x') = N ç
è || x ||¥
ö
1
÷ = || x || N(x)
ø
¥
m||x||¥  N(x)  M||x||¥
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Enfin, cette double inégalité est toujours vraie si x = 0.
n
On a donc démontré que N et || . ||¥ sont équivalentes sur  . Donc, par transitivité, toutes les normes sont
n
équivalentes sur  .
Deuxième cas : E est un e.v.n. sur .
n
On se ramène au cas précédent en identifiant  à 2n . Cette identification est expliquée ci-dessous.
n
Déjà, on muni 2n de la norme || . ||¥ et  de la norme || . ||¥. On définit l'application ¦ par :
¦ : 2n ® 
(x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn) a (x1 + iy1, x2 + iy2, ... , xn + iyn)
n
Montrons que ¦ est un isomorphisme d'e.v.n. (i.e. ¦ est linéaire, bijective et bicontinue)
· La linéarité est évidente (découle de celle des applications Re et Im)
· La bijectivité aussi (car "z Î , $!(x, y) Î 2 tel que z = x + iy)
· Continuité de ¦.
On montre que ¦ est continue en 0 :
Soit e Î  *+ . Pour tout (x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn) Î 2n , on a :
||¦(x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn)||¥ = ||(x1 + iy1, x2 + iy2, ... , xn + iyn)||¥  max {|xk + iyk|}
1k n
Or, pour tout k Î 1, n :
|xk + iyk|  |xk| + |yk|  2 max {|xj| ; |yj|}  2 ||(x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn)||¥
1 j n
||¦(x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn)||¥  2 ||(x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn)||¥
Donc :
Il suffit donc de choisir h 
e
pour assurer :
2
||(x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn)||¥  h Þ ||¦(x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn)||¥  e
Donc ¦ est continue en 0, et par linéarité, continue sur 2n .
· Continuité de ¦-1.
Même type de raisonnement que ci-dessus. Cela découle des inégalités :
||¦-1(x1 + iy1, x2 + iy2, ... , xn + iyn)||¥ = ||(x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn)||¥ = max {|xj| ; |yj|}
1 j n
Or, pour tout j Î 1, n :
||¦-1(x1 + iy1, x2 + iy2, ... , xn + iyn)||¥  max {|xk + iyk|}
Donc :
C'est-à-dire :
|xj|  |xj + iyj| et |yj|  |xj + iyj|
1k n
||¦-1(x1 + iy1, x2 + iy2, ... , xn + iyn)||¥  ||(x1 + iy1, x2 + iy2, ... , xn + iyn)||¥
n
On en déduit que ¦-1 est continue en 0, et par linéarité, continue sur  .
n
Cette identification entre les e.v.n.  et 2n étant faite, on peut légitimement ramener le cas complexe au cas
réel.
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Contre-exemple : normes non équivalentes en dimension finie.
E = [ 2 ] = {a + b 2 où a, b Î }
On considère :
On vérifie facilement que E est un -espace vectoriel de dimension 2.
(E est sous-ensemble non vide de 2, ses éléments
sont "stables" par addition et par multiplication par un rationnel, ce qui justifie que E un e.v. (en tant que s.e.v. de 2). Enfin, on montre que E est
isomorphe à 2 (considérer l'application j : 2
® E, (a, b) a a + b
2 . j est clairement surjective. De plus, j est injective car
2 est
irrationnel). On a donc dimE = 2)
On considère, sur E, les deux applications suivantes :
N1 : E ® 
N2 : E ® 
et
a + b 2 a |a| + |b|
a+b 2 a|a+b 2 |
Vérifions que ce sont des normes :
Séparation :
N1(a + b 2 ) = 0 Þ |a| + |b| = 0 Þ a = b = 0
N2(a + b 2 ) = 0 Þ | a + b 2 | = 0
2 irrationnel
Þ
a=b=0
Homogénéité :
"l Î ,
N1(l(a + b 2 )) = N1(la + lb 2 ) = |la| + |lb| = |l| N1(a + b 2 )
N2(l(a + b 2 )) = |l( a + b 2 )| = |l| N2(a + b 2 )
Inégalité triangulaire :
N1(a + b 2 + a' + b' 2 )  |a + a'| + |b + b'|  |a| + |a'| + |b| + |b'|  N1(a + b 2 ) + N1(a' + b' 2 )
N2(a + b 2 + a' + b' 2 )  |a + a' + b 2 + b' 2 |  |a + b 2 | + |a' + b' 2 |  N2(a + b 2 ) + N2(a' + b' 2 )
Donc N1 et N2 sont bien des normes sur E.
Montrons que N1 et N2 ne sont pas équivalentes :
Il suffit de considérer la suite (un) définie par :
(
un = 1 - 2
)
n
La formule du binôme fait apparaître deux suites (an) et (bn) d'entiers telles que :
un = an - bn 2
(
On montre facilement que la suite (vn) définie par vn = 1 + 2
)
n
vérifie :
vn = an + bn 2
En conséquence la suite (an) vérifie :
Et puisque lim un = 0 (car 1 n®+¥
an =
un + vn
2
2 Î ]-1, 1[) et lim vn = +¥ (1 + 2 > 1), la suite (an) diverge vers +¥.
n®+¥
Or, on a N1(un) = |an| + |bn| donc :
la suite (N1(un)) diverge vers +¥
Et N2(un) = |1 - 2 |n donc :
la suite (N2(un)) converge vers 0
æ N (u ) ö
La suite ç 1 n ÷ n'est donc pas bornée. Donc les normes N1 et N2 ne sont pas équivalentes.
è N 2 (un ) ø
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2.2. Quelques conséquences du théorème :
Proposition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps .
1) Soit F un espace vectoriel normé (de dimension quelconque) sur le même corps  que E. Alors :
toute application linéaire ¦ de E dans F est continue.
2) Une partie X de E est compacte si et seulement si X est fermée bornée.
3) E est complet (toute suite de Cauchy d'éléments de E converge dans E)
4) Tout sous-espace vectoriel F de E est fermé.
Preuve :
1) Soit (ei ) une base de E. Munissons E et F de leur || . ||1 respective. On a :
æ
"x Î E : ||¦(x)||1 = ¦ ç
ç
è
¦ étant linéaire :
n
D'après l'inégalité triangulaire :
å x ¦ (e )
i
i =1
Et en posant M = sup
iÎ{1;...; n}
{ ¦ (ei ) 1} , il vient :
D'où finalement :
D'où :
Et comme ¦ est linéaire :
i =1
å
i =1
n
åx
i
i =1
1
n
=
i i

i
ö
n
å x e ÷÷ø
n
å x ¦ (e )
i
i =1
1
i
1
¦ (ei ) 1
xi ¦ (ei ) 1  M
n
åx
i
i =1
"x Î E, ||¦(x)||1  M ||x||1.
"(x, y) Î E2 : ||¦(x -y)||1  M ||x - y||1
"(x, y) Î E2 : ||¦(x) -¦(y)||1  M ||x - y||1
Donc ¦ est M-lipschitzienne sur E donc continue sur E relativement à || . ||1 donc relativement à toute norme
d'après le théorème.
2) Supposons X compacte dans E.
Montrons que X est fermée :
Soit (xn) une suite d'éléments de E convergeant vers y Î E. Comme X est compacte, la suite (xn) admet une
valeur d'adhérence l Î X. Mais comme (xn) converge, l = y, donc y Î X. D'où X est fermée.
Montrons que X est bornée.
Si X n'était pas bornée, on aurait : (quelque soit la norme choisie)
"A Î , $x Î X tel que ||x||  A
En particulier, on peut construire une suite (xn) d'éléments de X telle que :
"n Î N, ||xn||  n
Un telle suite n'admet pas de valeur d'adhérence, ce qui contredirait le fait que X est compacte.
Donc X est bornée.
Réciproquement, supposons X fermée bornée dans E.
n
Soit f une application linéaire bijective de E dans  . Comme f est une application linéaire entre espaces
n
vectoriels de dimension finie, elle est continue (d'après 1)) donc f(X) est fermée bornée dans  donc compact
n
de  . Comme f-1 est également continue, on en déduit que X est compact dans E.
Espaces vectoriels normés
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3) Soit (un) une suite de Cauchy dans E. Comme (un) est bornée, il existe un réel r > 0 tel que la boule fermée
B (0, r) contienne {un, n Î }. Or, B (0, r) est compacte (puisque fermée bornée). Donc toute suite de B (0, r)
admet une valeur d'adhérence. Or, toute suite de Cauchy qui admet une valeur d'adhérence converge. Donc (un)
converge, et comme B (0, r) est fermée, (un) converge dans B (0, r) donc dans E. Donc E est complet.
Remarque : un espace vectoriel normé de dimension finie (donc complet) s'appelle un espace de Banach.
4) Comme F est dimension finie, il est complet (d'après3)). Montrons qu'alors F est fermé :
Soit (xn) une suite d'éléments de F convergeant vers un élément l de E. Puisque (xn) converge, elle est de
Cauchy et comme F est complet, (xn) converge dans F, donc l Î F et par suite F est fermé.
Contre-exemple : il existe, en dimension infinie, des applications linéaires non continues.
Considérons l'espace vectoriel E = [X] (qui est de dimension infinie) muni de la norme || . ||¥ et l'application
linéaire de dérivation j :
j : [X] ® [X]
P a P'
Considérons la suite (Pn) définie sur *, par :
Pn =
1
||Pn||¥ =
n
On a, d'une part :
Intuitivement, que montre ce contre-exemple ?
On sait que la dérivée du polynôme nul, c'est
le polynôme nul. Or, il existe des polynômes
1 n
X
n
très "proches" du polynôme nul (pour la
norme || . ||¥) dont la dérivée n'est pas "proche"
¾¾¾¾
®
n ®¥
0
||j(Pn)||¥ = ||Xn-1||¥ = 1
Et d'autre part :
du polynôme nul. L'opération de dérivation
n'est donc pas continue pour la norme || . ||¥.
Ainsi, la suite (Pn) converge vers 0 pour la norme || . ||¥ tandis que la suite (j(Pn)) ne converge pas vers 0.
On en déduit que j n'est pas continue en 0. (Et comme j est linéaire, j n'est continue en aucun point de E)
2.3. Caractérisation de la dimension finie par une propriété topologique
Théorème de Riesz
Soit (E, N) un espace vectoriel normé. Alors :
E est de dimension finie Û La boule fermée unité B (0, 1) est compacte
Démonstration :
Preuve de "Þ" :
Supposons E de dimension finie.
Comme la boule fermée B (0, 1) est fermée (image réciproque du fermé [0, 1] par l'application norme qui est
continue, puisque E est de dimension finie) et bornée (clair) donc elle est compacte.
Preuve de "Ü" :
Lemme 1
Soit (E, N) un espace normé.
Soit F un sous-espace vectoriel de E, de dimension finie.
xÎF
On note d la distance induite par N.
Alors :
Espaces vectoriels normés
On rappelle que :
d(a, F) = inf { N ( a - x )}
"a Î E, $b Î F, N(a - b) = d(a, F)
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(Cette borne inférieure existe bien car
l'application ¦a : F ® , x a N(a - x) est
continue car F est de dimension finie)
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Démonstration du lemme 1 :
Comme F est de dimension finie, F est fermé dans E.
Soit a Î E.
Si a Î F, on choisit b = a.
E
a
Si a Ï F, alors F étant fermé, a Ï F . Donc :
d(a, F)
d(a, F) > 0
F
D'après les propriétés de la borne inférieure, il existe une suite (bn)
d'éléments de F telle que N(a - bn)
¾¾¾¾
®
n®¥
d(a, F) :
"e Î  *+ , $n0 Î , "n Î , (n  n0 Þ |N(a - bn) - d(a, F)|  e)
En particulier avec e = 1 :
$n0 Î , "n Î , (n  n0 Þ N(a - bn)  1 + d(a, F))
Mais d'après l'inégalité triangulaire renversée :
|N(a) - N(bn)|  N(a - bn)
D'où : $n0 Î , "n Î , (n  n0 Þ |N(bn) - N(a)|  1 + d(a, F) Þ 0  N(bn)  N(a) + 1 + d(a, F))
La suite (bn) est donc bornée dans un espace de dimension finie. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass,
on peut en extraire une sous-suite (bs(n)) convergeant vers un certain élément b.
Et comme F est fermé, b Î F.
On a vu que :
Donc, on a également :
N(a - bn)
¾¾¾¾
®
n®¥
N(a - bs(n))
d(a, F)
¾¾¾¾
®
n®¥
d(a, F)
N(a - b) = d(a, F)
Et par continuité de N :
Lemme 2
Soit (E, N) un espace normé de dimension infinie
Soit F un sous-espace vectoriel de E, de dimension finie.
On note d la distance induite par N.
Alors :
$x Î B (0, 1), d(x, F) = 1
Démonstration :
Soit a Î E \ F.
D'après le lemme 1 :
$b Î F, N(a - b) = d(a, F)
Comme a Î E \ F, d(a, F) est non nul. Posons :
x=
a-b
N (a - b)
Il est clair que x Î B (0, 1).
D'une part, comme 0 Î F, on a :
d(x, F)  d(x, 0)  N(x)  1
(1)
D'autre part, pour tout y Î F, on peut écrire :
x-y=
Ainsi :
Espaces vectoriels normés
N(x - y) =
a-v
N (a - b)
N ( a - v)
d (a, v )
=
1
N (a - b) d (a, F )
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où v = b + N(a - b)y Î F
car v Î F
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Par passage à la borne inférieure, on obtient :
d(x, F)  1
(2)
d(x, F) = 1
D'après (1) et (2), on déduit :
Ce qui prouve le lemme 2.
Venons-en maintenant à la démonstration de l'implication "Ü" . Raisonnons par contraposition.
Supposons E de dimension infinie.
Soit e1 Î B (0, 1). On pose F1 = Vect(e1).
Alors, il existe e2 Î B (0, 1) tel que d(e2, F1) = 1. Puis, on pose F2 = Vect(e1, e2).
Alors, il existe e3 Î B (0, 1) tel que d(e3, F2) = 1. Puis, on pose F3 = Vect(e1, e2, e2).
Et ainsi de suite.
Comme E est de dimension infinie, on construit ainsi une suite infinie (en) telle que :
"(i, j), (i ¹ j Þ N(ei - ej)  1)
Il sera donc impossible d'en extraire une sous-suite convergente.
Donc B (0, 1) n'est pas compacte.
On conclut par contraposition.
On dispose donc d'un "critère" pour savoir si un espace vectoriel normé est de dimension infinie :
Exemple : E = C([0, 2p], ) muni de la norme de la convergence uniforme :
"¦ Î E, ||¦||¥ =
sup
xÎ[0 , 2 p ]
¦ ( x)
On considère la suite (¦n) de fonctions de E définies par ¦n(x) = e inx .
On a |¦n| = 1, donc les ¦n sont éléments de B (0, 1).
Or ||¦n - ¦p||¥ = sup
xÎ[0 , 2 p ]
e
inx
e inx - eipx = 2 car :
-e
ipx
= e
æ n+ pö é æ n- pö
iç
iç
÷x
÷x
è 2 ø ê è 2 ø
ê
ë
e
-e
æ n- pö ù
- iç
÷x
è 2 ø ú
éæ n - p ö ù
Donc einx - eipx = 2 cosêç
÷ x ú et ,(particulariser x = 0),
ëè 2 ø û
æ n+ p ö
÷x
2 ø
éæ n - p ö ù içè
= 2 cosêç
÷ xú e
ú
ëè 2 ø û
û
sup
xÎ[0 , 2 p ]
e inx - eipx = 2.
Comme on a ||¦n - ¦p||¥ = 2, il est impossible d'extraire une sous-suite de (¦n) qui converge pour || . ||¥, donc
B (0, 1) n'est pas compacte et E est de dimension infinie.
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