Géométrie Différentielle, Exercises 1. 1. Montrer que (R,φ) est

Géométrie Différentielle, Exercises 1.
1. Montrer que (R, φ) est une carte de R, ou φ(x) = x3 pour x ∈ R. Pourquoi ce n’est pas compatible avec
la carte (R, id)?
2. Pourquoi forment-ils les couples (R × {a}) pour a ∈ R un atlas de R2 ?
3. Montrer que S n est une variété difféntiable de dimension n pour tous n ∈ ‘N bb.
4. Montrer que le n-tore, Tn , = Rn /Zn , est une variété difféntiable. Qu’est que c’est la dimension de Tn .
5. Montrer que T1 et S 1 sont diffeomorphiques. [Indication: utilisez le function h(t)=(cos 2πt, sin 2πt).]
6. (La bande de Möbius.) La bande de Möbius, M , est le quotient de [0, 1]×]0, 1[ avec la relation d’equivalence
qui identifie les points (0, x) et (1, 1 − x) pour x ∈]0, 1[. Montrer que M peut être munie d’une structure
différentielle.
7. Verifiquer que multiplication en On et A 7→ A−1 sont C ∞ .
8. Montrer que SLn (R) = { M ∈ Mn (R) | det(M ) = 1 } peux être munie d’une structure différentielle.
9. Considérer le dernier proposition que j’ai demonstré dans la classe 17.3.05: “Soit F : U −→ Rm une
appication de classe C ∞ sur un ouvert U ⊆ Rn+m , soit c ∈ Rm , e supposons que DFa e surjectif pur tous
a ∈ F −1 (c) . . . ”
a) Qu’est que c’est qu’on peux deduir quand n = 0?
b) Ou se on commence avec une application lisse entre variétés difféntielles?
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