Théorie des ensembles Définir la notion d`ensemble - (CUI)

Théorie des ensembles
Langage formel de la théorie des ensemble
Objectif:
On prend le langage de la logique du 1er ordre avec
Définir la notion d’ensemble axiomatiquement
• Comment construire des ensembles ?
les symboles de prédicat
•
Qu’est-ce que l’appartenance à un ensemble, l’égalité d’ensembles ?
•
Comment définir des relations et fonctions ?
‘=’ (binaire)
’égalité des ensembles, --> à distinguer des autres égalités.
Peut-on éviter les contradictions entre axiomes ?
‘∈’ (binaire)
Y a-t-il un ensemble des ensembles ?
appartenance d’un objet à un ensemble
les variables : x, y, z, x1, x2, …
Référence
R. Cori, D. Lascar. Logique mathématique I et II, Masson, Paris, 1993
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les constantes : a, b, c, a1, a 2, …
Notation: F[x1, …, xn] une formule ouverte où x1, …, xn sont les
variables libres.
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Théorie de Zermelo Fraenkel (ZF)
Axiome d’extensionnalité
Axiome d’extensionnalité (égalité d’ensembles)
Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils possèdent les mêmes
éléments.
Axiomes de construction :
Même extension :
Axiome de la paire
∀x.∀y.(∀z. z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y
Axiome de la réunion
Notion de sous-ensemble
Axiome des parties
on note
Axiome de compréhension
x⊆y
Axiome de remplacement
la formule
Théorie ZFC
∀z. z ∈ x ⇒ z ∈ y
Axiome de choix
Et encore...
par l’axiome : si x ⊆ y et y ⊆ x alors x = y
Axiome de fondation , axiomes de grands cardinaux, …
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Axiome de la paire
Axiome de la réunion
Avec deux ensembles x1 et x2
On peut construire
on peut construire un ensemble y qui les contient les deux.
l’ensemble y qui est la réunion de tous les ensembles faisant partie
d’un ensemble donné x.
∀x.∃y.∀z.(z ∈ y ⇔ ∃u.u ∈ x ∧ z ∈ u)
∀x1.∀x2.∃y.∀z. z ∈ y ⇔ (z = x1 ∨ z = x2)
notation : y = ∪ x
On note {a, b} l’ensemble satisfaisant cette formule pour x1 = a et x2
= b.
x
Si a = b, on note {a} la paire {a, a}
Q
Remarque.
∪x
M
R
Q
S
B
{a, b} = {a', b'} ssi a = a' et b = b' ou a = b' et b = a'
Q
R
H
S
B
M
H
M
{a} = {a'} ssi a = a'
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Propriétés de la réunion
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Axiome des parties
Si x est la paire {a, b}, l’ensemble y satisfaisant
On peut former un ensemble dont les éléments sont tous les sousensemble d’un ensemble donné x. On note cet ensemble P(x).
∀x.∃y.∀z.(z ∈ y ⇔ ∃u.u ∈ x ∧ z ∈ u)
∀x.∃y.∀z. z ∈ y ⇔ ∀u.(u ∈ z ⇒ u ∈ x))
est la réunion a ∪ b.
On a :
z ∈a∪ b⇔z∈ a∨z∈ a
{a, b} ∪ {c} est noté {a, b, c}
bc
b
abc
ab
a
x
On a :
z ∈ {a, b, c} ⇔ z ∈ {a, b} ∨ z ∈ {c} ⇔ z = a ∨ z = b ∨ z = c
c
a, b, c
ac
P(x)
Si x a n éléments, Il y a 2n sous-ensembles
etc.
D’où la notation alternative pour P(x) : 2x
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Schéma d’axiome de compréhension
Une conséquence
Etant donné
Si on prend comme formule F[z] : ¬ (z = z)
•
un ensemble x
•
une formule F du langage des ensembles,
On a
∀x∃y∀z (z ∈ y ⇔ (z ∈ x ∧ ¬ (z = z)))
on peut former l’ensemble y de tous les éléments de x qui satisfont F.
Il s’agit d’une infinité d’axiomes de la forme:
Comme aucun z ne peut satisfaire ¬ (z = z)
∀v1∀v2…∀vn ∀x∃y∀z (z ∈ y ⇔ (z ∈ x ∧ F[z, v1, v2…, vn]))
•
il n’y a aucun élément dans y
•
donc il existe un ensemble vide
où F est une formule du langage des ensembles et n est un entier.
Par l’axiome d’extensionalité il est unique
Si a1, a2…, an sont des ensembles, on note l’ensemble y par
Notation:
Ø ou {}
{ w ∈ x | F[w, a 1, a 2…, a n]}.
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Tentative de simplification de l’ax. de compréhension
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(suite) Paradoxe de Russel
on a :
∃y∀z z ∈ y ⇔ (z ∉ z)
∀v1∀v2…∀vn∃y∀z (z ∈ y ⇔ F[z, v1, v2…, vn])
c’est à dire
si on prend z = y
y = { w | F[w, a1, a2…, an]}
y ∈ y ⇔ (y ∉ y).
on prend
est toujours faux, donc l’axiome est inconsistant
F[z] = z ∉ z
pour définir l’ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas euxmêmes.
Avec l’axiome complet on a :
d’après l’axiome simplifié:
•
∀x∃y∀z z ∈ y ⇔ z ∈ x ∧ z ∉ z
•
pour z=y: y ∈ y ⇔ y ∈ x ∧ y ∉ y,
•
qui est satisfaisable (y ∉ y et y ∉ x).
∃y∀z z ∈ y ⇔ (z ∉ z)
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L’ensemble de tous les ensembles …
(suite)
∀z.z ∈ b ⇔ (z ∈ a ∧ z ∉ z)
Peut-on avoir un ensemble a qui contient tous les autres comme
éléments ?
MAIS
a doit satisfaire la formule ∀v.v ∈ a
lorsque z = b on a
l’axiome de compréhension avec la formule z ∉ z est:
b ∈ b ⇔ (b ∈ a ∧ b ∉ b)
∀x∃y∀z.z ∈ y ⇔ (z ∈ x ∧ z ∉ z)
comme a contient tout le monde
ça doit être vrai pour x = a
b ∈ a doit être vrai
donc on a un ensemble b tel que
donc b ∈ b ⇔ (b ∈ a ∧ b ∉ b) = b ∈ b ⇔ (b ∉ b) est faux
∀z.z ∈ b ⇔ (z ∈ a ∧ z ∉ z)
donc ∀z.z ∈ b ⇔ (z ∈ a ∧ z ∉ z) est faux
donc un axiome serait faux !
Donc b ∉ a
Donc a n’existe pas
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Axiome de remplacement
Paires
Formule F[x, y] fonctionnelle si
La paire ordonnée (a, b) est l’ensemble
{{a}, {a, b}}
∀x.∀y1.∀y2.F[x, y 1] ∧ F[x, y 2] ⇒ y1 = y2.
On démontre
si (a, b) = (a', b') alors a = a' et b = b'
Schéma d’axiome de remplacement
F[x, y] fonctionnelle ⇒ (∀x.∃y.∀z.z ∈ y ⇔ ∃w. w ∈ x ∧ F[w, z])
{{a}, {a, b}} = {{a'}, {a', b'}}
⇔ ({a} = {a'} ∧ {a, b} = {a', b'}) ∨ ({a} = {a', b'} ∧ {a, b} = {a'})
⇔ ({a} = {a'} ∧ {a, b} = {a', b'})
y est l’image de x par la «fonction» F
⇔ (a = a' et b = b')
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n-tuples et produits
Relations et Applications
triple : (a, b, c) = (a, (b, c))
Relation n-aire sur a : sous-ensemble de a × a × … × a (n fois) = an
n-tuple : (a1, a2, …, an) = (a1, (a 2, …, a n)) = (a1, (a2, (…, an))) = …
Relation n-aire sur a1, a 2, …, a n, sous-ensemble de a1 × a2 × …× an
produit cartésien : e1 × e2 × … × en
l’unique ensemble p tel que :
Application f : un ensemble de paires ordonnées (x, y) qui satisfait :
∀x.x ∈ p ⇔ ∃x1…∃xn. x1∈ e 1 ∧ … ∧ xn ∈ en ∧ x = (x 1, …, xn)
AB
∀x.∀y1.∀y2.(x, y1) ∈ f ] ∧ (x, y2) ∈ f ] ⇒ y1 = y2
domaine (ensemble de départ) de f,
(A, C, D)
(A, C, E)
×
C
{ x ∈ ∪ ∪ f | ∃y. (x, y) ∈ f }
image (ensemble d’arrivée) de f
(A, C, K)
...
{ y ∈ ∪ ∪ f | ∃x. (x, y) ∈ f }
(B, C, K)
Application de a dans b :
application dont le domaine est a et l’image b
DEK
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Produits et axiome de choix
Si I est un ensemble
Une famille d’ensembles indexée par un ensemble I est une
application dont le domaine est I
a : une famille indexée par I, ai = a(i) = image par a de i ∈ I
Produit Π i ∈ I a i =
l’ensemble des applications f telles que pour tout i ∈ I, f(i) ∈ ai.
Différence (intuitive) avec le produit cartésien: I peut être infini
Axiome de choix
si aucun ai n’est vide alors Π i ∈ I a i est non vide.
Ça à l’air complètement évident mais ça ne l’est pas, on ne peut le
déduire des autres axiomes !
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