Nouvelle-Calédonie - Epsilon 2000

3ème
2009 – Nouvelle-Calédonie
ENONCE
Activités numériques
Tous les calculs et toute trace de recherche, même incomplète, doivent figurer sur la copie.
Exercice 1
On considère le programme de calcul ci-dessous.
Programme de calcul :
 Choisir un nombre de départ ;
 Ajouter 1 ;
 Calculer le carré du résultat obtenu ;
 Lui soustraire le carré du nombre de départ ;
 Ecrire le résultat final.
1) a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final.
b) Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ?
c) Le nombre de départ étant x, exprimer le résultat final en fonction de x.
2) On considère l'expression P  ( x  1)2  x 2 . Développer puis réduire l'expression P.
3) Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ?
Exercice 2
Le tableau ci-dessous indique des grandeurs physiques et démographiques des pays et territoires
constituant la Mélanésie en 2005.
Densité en 2005 (nombre
Payas et territoires de Mélanésie
Superficie terrestre (en km²)
d'habitants par km²)
Iles Fidji
18 272
45
Iles Salomon
28 370
17
Nouvelle-Calédonie
18 576
13
Papouasie - Nouvelle-Guinée
462 840
13
Vanuatu
12 190
18
Source : Institut de la Statistique et des Etudes Economiques.
1) Quelle est la superficie terrestre totale de la Mélanésie.
2) Quel pourcentage de la superficie totale représente la superficie de la Nouvelle-Calédonie ? Donner le
pourcentage obtenu arrondi au dixième près.
3) Calculer le nombre d'habitants en Nouvelle-Calédonie en 2005.
Exercice 3
1) Justifier sans calcul que 850 et 714 ne sont pas premiers entre eux.
2) a) Déterminer par la méthode de votre choix, en détaillant les différentes étapes, le PGCD de 850 et
714.
850
b) En déduire la fraction irréductible égale à
.
714
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Activités géométriques
Exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Aucune justification n'est demandée
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est exacte.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
Pour chacune des cinq questions, indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la
réponse exacte.
Si tan x  54 alors la valeur approchée de x arrondie au degré
1.
1°
88°
89°
près est égale à
La valeur de a est égale à :
a
2.
77°
36°
26°
17
4,123
13
V  3v
V  9v
V  27v
sin y
cos y
tan y
103°
3.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les
coordonnées des points A et B sont : A(3 ;  2) et B(1;  1) .
La distance AR est exactement égale à
Une petite sphère a pour rayon r. Une grande sphère a pour
rayon R, tel que R  3r . Soient v le volume de la petite sphère
et V le volume de la grande sphère.
4.
r
5
5.
R
3
y
3
est égal à :
5
4
Exercice 2
La figure qui suit n'est pas en vraie grandeur. Il n'est pas demandé de la reproduire. L'unité est le
centimètre.
Le point B appartient au segment [DE] et le point A au
E
segment [CE].
On donne : ED  9 ; EB  5, 4 ; EC  12 ; EA  7, 2 ;
A
B
CD  15 .
1) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2) Calculer la longueur du segment [AB].
C
D
3) Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires.
4) a) Calculer la valeur arrondie au degré près de l'angle ECD .
b) En déduire, sans faire de calcul, celle de l'angle EAB . Justifier.
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Problème
Les parties A et B sont indépendantes.
PARTIE A
Dans un magasin de location, le gérant a comptabilisé le nombre de DVD loués au cours d'une semaine et
il a obtenu les résultats consignés dans le tableau suivant :
Lundi
Mardi
Mercredi
Jeudi
Vendredi
Samedi
Dimanche
Nombre de DVD
19
15
16
14
20
74
52
loués
1) Quel est le nombre total de DVD loués sur la semaine entière ?
2) Calculer le nombre moyen de DVD loués par jour durant la semaine.
3) Calculer le pourcentage de DVD loués pendant le week-end (samedi et dimanche) par rapport à la
semaine entière.
PARTIE B
Dans un magasin de location de DVD, on propose à la clientèle deux formules :
 Tarif plein : 500 F par DVD loué ;
 Tarif abonné : 2000 F pour l'achat d'une carte d'abonné, puis 300 F par DVD loué.
On note x le nombre de DVD loués, P( x) le prix payé au tarif plein et A( x) le prix payé au tarif abonné.
1) Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre de DVD loués : x
Prix payé avec le tarif plein :
P( x) en Franc.
Prix payé avec le tarif abonné :
A( x) en Franc.
2
5
8
12
2500
4400
2) On admettra que P est une fonction linéaire, A est une fonction affine, et donc que leurs
représentations graphiques sont des droites.
Représenter dans un repère orthogonal les deux tarifs en fonction du nombre de DVD loués. (On placera
l'origine du repère en bas à gauche, on prendra 1 cm pour 1 DVD loué en abscisse et 2 cm pour 1000 F en
ordonnée)
3) En utilisant le graphique : donner le nombre de DVD pour lequel le prix est le même dans les deux
tarifs puis, préciser le tarif le plus avantageux en fonction du nombre de DVD loués.
4) a) Exprimer P( x) et A( x) en fonction de x.
b) Retrouver par le calcul le nombre de DVD pour lequel le prix est le même quelle que soit la formule
choisie.
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CORRIGE
Activités numériques
Exercice 1
1) a) 1  1  2 ; 22  4 ; 4  12  3 .
b) 2  1  3 ; 32  9 ; 9  22  5 . Quand le nombre de départ est 2, on obtient 5.
c) Quand le nombre de départ est x, on obtient ( x  1)2  x 2 .
2) P  ( x  1)2  x2  x2  2  x 1  12  x2  x2  2 x  1  x 2  2 x  1 .
3) On veut que le résultat final soit égal à 15, donc 2 x  1  15 .
2 x  14
14
x 7
2
Le résultat final est égal à 15 lorsque le nombre choisi au départ est 7.
Exercice 2
1) 18 272  28 370  18 576  462 840  12190  540 248 . La superficie totale de la Mélanésie est de
540 248 km².
18 576
2)
100  3, 4 . La superficie de la Nouvelle-Calédonie représente 3,4% de la superficie totale de
540 248
la Mélanésie.
3) 18 576 13  241 488 . La Nouvelle-Calédonie comptait 241 488 habitants en 2005.
Exercice 3
1) 850 et 714 sont tous les deux divisibles par 2. Ils ne sont donc pas premiers entre eux.
2) a) 850  714 1  136
714  136  5  34
136  34  4  0
donc PGCD (850 ; 714)  34 .
850
850 25
b) On peut simplifier la fraction
par 34 pour la rendre irréductible. On obtient :
.

714
714 21
Activités géométriques
Exercice 1
1) x  tan 1 (54)  89 .
2) a  180  2  (180 103)  180  2  77  180 157  26 .
3) AB2   1  3   1  (2)   16  1  17 donc AB  17 .
2
2
4) Si les longueurs sont multipliées par 3, alors les volumes sont multipliés par 33  27 donc V  27v .
3
5)  sin y .
5
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Exercice 2
EB 5, 4
EA 7, 2
EB EA
1)
. Les points E, B et D sont alignés et les points E,

 0, 6 et

 0, 6 donc

ED
9
EC 12
ED EC
A et C sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que
les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
2) Les points E, B et d sont alignés. Les points E, A et C sont alignés. Les droites (AB) et (CD) sont
EB EA AB
parallèles. D'après le théorème de Thalès :
.


ED EC CD
5, 4 7, 2 AB
7, 2 15
donc AB 


 9cm .
9
12 15
12
3) Dans le triangle CDE, [CD] est le côté le plus long.
CD2  152  225
ED2  EC 2  92  122  81  144  225
Donc CD2  ED2  EC 2 . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que CDE est un
triangle rectangle en E.
4) a) Dans le triangle rectangle CDE :
DE
sin( ECD) 
DC
9
donc ECD  sin 1 (9 :15)  37 .
sin( ECD) 
15
b) Les droites (AB) et (CD) sont parallèles et coupées par (EC). Les angles EAB et ECD sont des
angles correspondants donc ils ont la même mesure donc EAB  37 .
Problème
PARTIE A
1) 19  15  16  14  20  74  52  210 . 210 DVD on tété loués durant la semaine.
2) 210 : 7  30 . 30 DVD sont loués en moyenne par jour.
3) 74  52  126 . 126 DVD sont loués durant le week-end.
126
100  60 . 60% des DVD sont loués durant le week-end.
210
PARTIE B
1)
Nombre de DVD loués : x
Prix payé avec le tarif plein :
P( x) en Franc.
Prix payé avec le tarif abonné :
A( x) en Franc.
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2
5
8
12
1000
2500
4000
6000
2600
3500
4400
5600
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2)
^ Prix (en Franc)
P
A
1000
nombre de DVD loués
0
1
10
>
3) Pour moins de 10 DVD loués, le tarif plein est le plus avantageux. Pour 10 DVD loués, les deux tarifs
sont les mêmes. Pour plus de 10 DVD loués, l'abonnement est le plus avantageux.
4) a) P( x)  500 x et A( x)  2000  300 x
b) Les deux prix sont les mêmes signifie : 500 x  2000  300 x
500 x  300 x  2000  300 x  300 x
200 x  2000
2000
x
 10
200
Les deux prix sont les mêmes pour 10 DVD loués.
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