Calcul des Rendements des Moteurs Usuels

Calcul des Rendements des Moteurs Usuels
Moteur – Cas Général :
TC
Rendement :
QC>0
énergie _ utile
W
−W
=
=
η =e =
énergie _ fournie _ machine QC
QC
W<0
Σ
QF<0
Æ Calculer W = Wcycle , (attention aux 2 méthodes).
MISSIONS :
TF
Æ Identifier correctement QC, dépend du moteur étudié.
ATTENTION : Il y a toujours 2 méthodes possibles pour le calcul du travail reçu sur le cycle Wcycle
Æ Calcul direct : ⇒ Wcycle = W AB +W BC +WCD +W DA , souvent plus compliqué
Æ Calcul avec le 2er Principe : ⇒ W + QC + Q F = 0 , en général plus simple
Cycle de Carnot :
Représentation du cycle :
P
Calculs :
Le cycle de Carnot est par définition réversible:
C IsoT
⎧W + Q C + Q F = 0
⎪
⇒ ⎨Q C Q F
⎪T + T = 0
F
⎩ C
D
IsoS
IsoS
B
A
IsoT
Et
V
Q
⎧
−W QC + Q F
= 1+ F
⎪e moteur = Q = Q
QC
⎪
C
C
⇒⎨
Q
Q
Q
T
⎪ C =− F
⇔ F =− F
⎪⎩ TC
TF
QC
TC
eCarnot = 1 +
QF
T
=1− F
QC
TC
Remarque : Pour le cycle de Carnot, la chaleur QC est fournie pendant l’évolution CD :
Cycle Diesel :
Q C = Q CD
- 1ère méthode
Représentation du cycle :
Calculs :
La chaleur est fournie lors de la combustion Q C
P
On définit les taux de compression α =
B IsoP C
= Q BC
:
V A et
V V
β= A= D
VB
VC VC
1ère méthode : Avec le 1er Principe : ⇒W + QC + Q F = 0
IsoS
D
IsoS
Et ainsi :
⎧W = −QC − Q F
⎪
⎨QC = Q BC = C P (TC −T B ) → transfo isobare
⎪
⎩Q F = Q DA = CV (T A −T D ) → transfo isochore
Donne :
ηDiesel =
IsoV
A
V
−W
QC
= 1+
C (T −T )
(T −T )
QF
= 1+ V A D = 1+ A D
QC
CP (TC −TB )
γ (TC −TB )
Exemple de Moteur Diesel :
Suite - 1ère méthode :
⎧⎡ A → B ⎤
⎦
⎪⎣
⎪
Mais on a : ⎪ ⎡B → C ⎤
⎣
⎦
⎨
⎪
⎪ ⎣⎡C → D ⎦⎤
⎪
⎩ ⎣⎡D → A ⎦⎤
VA
⎧
⎪α = V = 20
B
⎪
Taux réalistes : ⎪γ = 1, 4
⎨
⎪
V
⎪ β = A = 10
V
⎪⎩
C
−γ
−γ
(α − β ) = 65%
η Diesel = 1 −
γ (α − 1 − β − 1 )
Cycle Diesel :
ηDiesel = 1 +
(TBα1−γ −TC β 1−γ )
γ (TC −TB )
γ −1
= T BV B
γ −1
⇒ T B = T Aα
PB = PC
TCVC
γ −1
⇒
= T DV D
γ −1
γ −1
TC PC VC VC α
=
=
=
T B PB V B V B β
⇒ TC = T D β
γ −1
V A =V D
⎛ 1−γ TC 1−γ ⎞
⎜α − β ⎟
α −γ − β −γ
TB
⎠ =η
= 1+ ⎝
=
−
1
Diesel
⎛T
⎞
γ α −1 − β −1
γ ⎜ C − 1⎟
⎝T
⎠
(
)
)
(
- 2nde méthode
2nde méthode : Calcul complet de toutes les étapes :
⎧
⎪W AB
⎪
⎪
⎪W BC
⎨
⎪
Travaux : ⎪WCD
⎪
⎪W
⎩ DA
T AV A
Î Beaucoup plus complexe pour le moteur Diesel
dV PAV A γ ⎡ 1
1 ⎤⎫
=
⋅⎢
−
⎥⎪
A V γ
γ − 1 ⎣V B γ −1 V A γ −1 ⎦ ⎪
B
= − ∫ PdV = −PAV A γ ⋅ ∫
A
B
⎪
⎪
⎬ ⇒Wcycle = W AB +W BC +WCD +W DA
D
D dV
PCVC γ ⎡ 1
1 ⎤⎪
γ
= − ∫ PdV = −PCVC ⋅ ∫
=
⋅⎢
−
⎥⎪
C
C V γ
γ − 1 ⎣V D γ −1 VC γ −1 ⎦ ⎪
⎪
=0
⎭
γ
PV γ ⎡ 1
PV ⎡ 1
1 ⎤
1 ⎤
⇒Wcycle = A A ⋅ ⎢ γ −1 − γ −1 ⎥ − PB (VC −V B ) + C C ⋅ ⎢ γ −1 − γ −1 ⎥
γ − 1 ⎣V D
γ − 1 ⎣V B
VA ⎦
VC ⎦
PV
⎛α
⎞ PV
⇒Wcycle = A A ⋅ ⎡⎣α γ −1 − 1⎤⎦ − PBV B ⎜ − 1 ⎟ + C C ⋅ ⎡⎣ β 1−γ − 1⎤⎦
1
γ
β
−
( )
⎝
⎠ ( γ − 1)
⎛α
⎞
⇒Wcycle = CV T A ⋅ ⎡⎣α γ −1 − 1⎤⎦ − PBV B ⎜ − 1 ⎟ + CV TC ⋅ ⎡⎣ β 1−γ − 1⎤⎦
⎝β
⎠
⎛α
⎞
⎧Q AB = 0
−C V T A ⋅ ⎡⎣α γ −1 − 1⎤⎦ + PBV B ⎜ − 1 ⎟ − C V TC ⋅ ⎡⎣ β 1− γ − 1⎤⎦
⎪
β
W
−
⎝
⎠
Chaleurs : ⎪Q BC = C P (TC −T B )
η Diesel =
=
⎨
Q
C
T
T
−
C
P ( C
B )
⎪QCD = 0
⎪Q = C (T −T )
V
A
D
⎩ DA
= − ∫ PdV = −PB (VC −V B )
C
B
Après de nombreux calculs, on arrive enfin à :
ηDiesel
⎛α ⎞
⎛α ⎞
+CVTB ⎜ −1⎟ −αCVTB β −γ −α −γ + PBVB ⎜ −1⎟
−γ
−γ
α −γ − β −γ
⎝β ⎠
⎝ β ⎠ = +CV + nR − β −α =η
1
=
=
−
Diesel
CP
⎛α ⎞
γ β −1 −α −1
γ α −1 − β −1
CPTB ⎜ −1⎟
⎝β ⎠
(
)
Remarque : Cycle Diesel mixte, dit de Seiliger
Les moteurs Diesel sont plus efficaces que les moteurs à
essence classiques (cycle Beau de Rochas), mais ont nécessité des
améliorations pour augmenter leurs performances, notamment les
pompes à injection haute pression du carburant (HDi = High
Pressure Direct Injection), pression qui peut monter jusqu’à 100
bars pour une meilleure pulvérisation et plus grande vitesse
d’injection. Le cycle peut alors être un peu différent, avec une
combustion partielle à P = Cstte et à V = Cstte.
(
)
)
(
(
)
)
(
P
C IsoP
IsoV
IsoS
B
IsoS
D
IsoV
A
V
Cycle de Stirling :
Représentation du cycle :
Calculs :
P
Attention, le moteur de Stirling est un moteur à combustion
externe, ce qui fait une grosse différence avec les autres moteurs
(Diesel ou Essence).
C
IsoV
La chaleur est donc fournie par la source chaude sur 2 évolutions :
IsoT
B
[BÆC] et [CÆD]. Ainsi : Q C
D
IsoT
On définit les taux de compression α =
IsoV
A
V
2nde méthode : Calculs directs
⇒ Wcycle =W AB +W BC +WCD +W DA
⎧W =−QC −QF
⎪
⎨QC =QBC +QCD =CV (TC −TB ) −WCD →IsoV + IsoT
⎪
⎩QF =QDA +QAB =CV (TA −TD ) −WAB →IsoV + IsoT
Î Cette méthode ici ne sera pas plus rapide, car il
est aussi nécessaire de calculer les travaux…
⎧W AB = nRT A ln (α )
Travaux : ⎪
⎨W BC = 0 = W DA
⎪W = −nRT ln α
( )
C
⎩ CD
B
B nRT dV
⎧
A
= nRTA ln (α )
⎪WAB = −∫A PdV = −∫A
V
Travaux : ⎪W = 0 =W
⎨ BC
DA
⎪
D
D nRT dV
C
⎪WCD = −∫ PdV = −∫
= −nRTC ln (α )
C
C
V
⎩
Chaleurs : ⎧⎪Q BC = CV (TC −T B )
⎨
⎪⎩QCD = −WCD = nRTC ln (α )
Et :
ηStirling =
−W
QC
=
ηStirling =
−W
QC
=
→ Isochore
→ Isotherme
nR (TC −TA ) ln(α )
CV (TC −TA ) + nRTC ln(α )
ηStirling =
(voir les détails colonne de droite)
ηStirling =
V A VD
=
VB VC
Faisons une Comparaison des 2 méthodes :
1ère méthode : Avec le 1er Principe :
⇒ W + QC + Q F = 0
Ainsi :
= Q BC + Q CD
1
T
1
+ C
(γ −1) lnα ΔT
−CV (TC −TA ) +WCD −CV (TA −TC ) +WAB
CV (TC −TA ) + nRTC ln(α )
Î 2nde méthode plus efficace dans ce cas
WCD +WAB
CV (TC −TA ) + nRTC ln (α )
Attention, à bien réfléchir à la meilleure méthode
Î On retrouve exactement le même calcul
Exemple de Moteur Stirling :
VA
⎧
⎪α = V = 1 0
B
Taux réalistes : ⎪⎪
γ
=
1,
4
⎨
⎪T = 1 0 0 0 K
⎪ C
⎪⎩ Δ T = 7 0 0 K
⇒ ηStirling =
1
= 40%
T
1
+ C
(γ − 1) ln α ΔT
encore à améliorer…
Æ Il est difficile d’obtenir des valeurs optimisées, puisqu ce moteur n’a pas fait l’objet d’applications
industrielles, mais il peut atteindre des rendements plus élevés que ses frères Diesel et Beau de Rochas (à
combustion interne), et surtout il est possible d’optimiser plus facilement la combustion qui est externe
Cycle Beau de Rochas :
(Moteurs Essence – 2 temps et 4 temps)
Représentation du cycle :
Calculs :
= Q BC
La chaleur est fournie lors de la combustion Q C
P
C
On définit le taux de compression α =
IsoV
:
VA
VB
1ère méthode : Avec le 1er Principe : ⇒W + QC + Q F = 0
IsoS
Æ Va mieux fonctionner grâce aux transfos adiabatiques Î Q = 0…
B
D
Et ainsi :
⎧W = −QC − Q F
⎪
⎨QC = Q BC = CV (TC −T B ) → transfo isochore
⎪
⎩Q F = Q DA = CV (T A −T D ) → transfo isochore
Donne :
ηBdeRochas =
IsoV
IsoS
A
V
Exemple de Moteur Essence :
V
⎧
α = A = 10
Taux réalistes : ⎪
VB
⎨
⎪γ = 1, 4
⎩
⇒ η BeaudeRochas = 1 − α 1−γ = 60%
−W
QC
= 1+
C (T −T )
(T −T )
QF
= 1 + V A D = 1+ A D
QC
CV (TC −TB )
(TC −TB )
⎧
Mais on a : ⎪⎣⎡ A → B ⎤⎦ T AV A = T BV B
⎨
γ
γ
⎩⎪ ⎡⎣C → D ⎤⎦ TCVC = T DV D
γ −1
γ −1
−1
Donc :
ηBdeRochas
(T
= 1+
A
−TCα1−γ
γ −1
⇒ TC = T D α
γ −1
) =1+ α (T α
(T −T α )
γ −1
C
(Les rendements réels sont moins
importants dus aux rendements
mécaniques… plutôt 30 ou 40%…
−1
⇒ T B = T Aα
A
1−γ
γ −1
A
−TC
(T −T α )
C
γ −1
) =1−α
1−γ
A
ηBeaudeRochas = 1 − α 1−γ
On obtient :
2ème méthode : Calculs directs : ⇒Wcycle =WAB +WBC +WCD +WDA
Æ Ne va rien apporter, avec des calcules plus complexes, similaire au cas du Diesel…
Cycle de Brayton-Joule :
(Moteurs à réaction)
Représentation du cycle :
Calculs :
La chaleur est fournie lors de la combustion Q C
P
On définit le taux de compression a =
B IsoP C
= Q BC
:
PB
PA
1ère méthode : Avec le 1er Principe : ⇒W + QC + Q F = 0
IsoS
IsoS
On a :
A IsoP
D V
Donne :
⎧
Exemple concret :
P
⎧
a= A =5
⎪
Taux réalistes : ⎨
PB
⎪γ = 1, 4
⎩
⇒ η BraytonJoule = 1 − a
⎧W = −QC − Q F
⎪
⎨QC = Q BC = C P (TC −T B ) → transfo isobare
⎪
⎩Q F = Q DA = C P (T A −T D ) → transfo isobare
C (T −T )
(T −T )
Q
−W
ηBJoule =
= 1+ F = 1+ P A D = 1+ A D
QC
QC
C P (TC −TB )
(TC −TB )
1−γ
γ
= 37%
γ
γ
1− γ
1−γ
Mais on a : ⎪⎣⎡ A → B ⎤⎦ T A PA = T B PB ⇒ T A = T B ⋅ a
1− γ
γ
⎨
1− γ
⎪ ⎡C → D ⎤ T γ P 1−γ = T γ P 1−γ ⇒ T = T ⋅ a γ
C
C
D
D
D
C
⎦
⎩⎣
1−γ
Donc :
ηBraytonJoule = 1+ a
γ
1−γ
⎛
γ ⎞
−
⋅
T
T
a
⎜ A C
⎟
1−γ
⎝
⎠ =η
γ
a
1
=
−
BraytonJoule
1−γ
⎛
⎞
γ
⎜TC ⋅ a −TA ⎟
⎝
⎠