Acquisition, analyse et traitement de signaux : bruit et mesures ∫

Acquisition, analyse et traitement de signaux : bruit et mesures
• Rédaction du cours et travail expérimental associé :
Jean-Baptiste Desmoulins (P.R.A.G.)
mail : [email protected]
• Notions fondamentales abordées lors de cette séance :
- Mise en œuvre de la macro d’acquisition sous Igor et des macros de traitement associées.
- Notion de taille de mémoire à l’acquisition et ses conséquences sur l’exploitation qui suit.
- Caractéristiques d’un bruit gaussien.
- Définition de la mesure d’une grandeur en sciences expérimentales et exemple de mise en œuvre pratique.
- Principe et limites de la détection synchrone, mise en œuvre pratique pour extraire un signal d’un bruit.
- Obtention d’une fonction de transfert par transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle.
• Présentation : Dans ce TP, nous allons aborder différents problèmes qui n’ont pas tous un lien direct entre
eux En revanche, chaque expérience, donnera lieu à une acquisition de données numérisées sur un oscilloscope
ainsi qu’à une analyse et/ou un traitement. Par ailleurs, ce sujet donne lieu à la mise en œuvre d’une détection
synchrone, un outil important en instrumentation.
I. Etude d’un bruit gaussien : exemple du bruit synthétisé par un générateur Agilent 33220A.
Dans cette partie, nous allons étudier les caractéristiques du bruit produit par un générateur 33220A (bouton
de forme de signal « noise »). Nous allons rechercher ses caractéristiques essentielles : densité spectrale de
puissance et son évolution avec la fréquence, valeur efficace, valeur maximale en essayant de préciser ce que
signifient ces grandeurs.
I. 1. Notion de bruit gaussien :
On ne peut pas aborder les signaux aléatoires et en particulier les bruits avec les mêmes outils de
représentation que les signaux périodiques. Nous allons voir quelle démarche adopter en présence de tels
signaux.
I.1.1. Outils de représentation d’un bruit.
Nous allons supposer que le bruit avec lequel nous allons travailler sont ergodiques, c'est-à-dire que
l'évolution de ce signal aléatoire au cours du temps apporte la même information qu'un ensemble de réalisations.
Par exemple, la valeur moyenne d’un bruit sera égale à la moyenne obtenue à partir de la prise d’un nombre
suffisant d’échantillons.
I.1.1.1 Quelques définitions :
- La valeur moyenne d’un signal a(t) est donnée par
1T
∫ s( t ).dt
T →∞ T 0
a ( t ) = lim
- La valeur efficace Aeff de ce même signal est donnée par
A eff =
1T 2
∫ s ( t ).dt
T →∞ T 0
lim
Cette façon de définir la valeur efficace n’est pas forcément la plus pratique dans la mesure où le signal n’est
connu que sur une durée limitée. Nous verrons, par la suite, qu’il est parfois possible de définir une valeur
efficace à partir de l’écart-type des valeurs prises par le bruit.
1
Approche spectrale :
- La densité spectrale Da(f) de ce signal est définie par
∞
2
A eff
= ∫ D a (f ).df
0
L’intérêt de la densité spectrale de puissance, c’est qu’elle ne dépend que du bruit considéré, alors que la
valeur efficace dépend également de la bande passante de l’appareil qui donne sa valeur.
Par ailleurs, la densité spectrale de puissance d’un signal a(t) est la transformée de Fourier de sa fonction
d’autocorrélation (théorème de Wiener-Kinchine), cette dernière étant définie par
T
C aa (τ) = lim ∫ a ( t ).a ( t − τ)dt
T →∞
0
I.11.2. Comportement spectral du bruit.
On peut souvent dire que le bruit, sur la plage de fréquence sur laquelle on travaille, présente un spectre
constant. On va alors souvent supposer qu’il est constant quelle que soit la fréquence. On parle alors de bruit
blanc (par analogie avec la lumière blanche). Il existe également des bruits dont la densité spectrale fluctue avec
la fréquence. Globalement, les bruits vont avoir en général une densité qui évolue continûment avec la
fréquence. Nous allons voir que pour de tels signaux, il faut commencer par se demander ce que l’on a intérêt à
représenter : spectre d’amplitude ou densité spectrale de puissance ?
Sur un analyseur de spectre à balayage, comme sur un analyseur FFT, le niveau de spectre obtenu dépend des
caractéristiques de l’appareil : filtre de résolution sur l’analyseur à balayage et transformée de Fourier de la
fenêtre de troncation pour l’analyseur FFT. Le résultat obtenu n’est donc pas seulement une caractéristique du
signal, mais dépend aussi de la méthode et des caractéristiques du processus employé.
Alors que pour un signal présentant un spectre de raies, il est intéressant de représenter la valeur efficace en
fonction de la fréquence, cette représentation n’est plus intéressante dans le cas d’un bruit. Dans ce cas, il est
plus judicieux de représenter la densité spectrale de puissance. L’appareil voit une valeur efficace de bruit
globale donnée dans sa bande passante. Cette valeur efficace va se répartir sur une bande de fréquence donnée
avec une densité qui caractérise le signal. La valeur de cette densité sera obtenue en renormalisant la valeur du
spectre obtenu à partir de la bande équivalente de bruit du filtre d’un analyseur à balayage ou à partir des
caractéristiques de la fenêtre de troncation.
I.1.1. 3. Effet d’un filtre sur du bruit.
Dans le cas où l’on considère un bruit blanc comme signal d’entrée du filtre linéaire de fonction de transfert
F(f), de gain maximal Go alors, on peut écrire qu’en sortie, on a un bruit de valeur efficace beff telle que
2
b eff
=
+∞
2
∫ F(f ) .D e .df =
0
+∞
G o2 .D e .
0
∫
F(f )
2
.df = G o2 .D e .B eq
G o2
où Beq est la bande équivalente de bruit. En utilisant cet intermédiaire, on a transformé notre filtre linéaire de
gain maximum Go, en un filtre coupant abruptement, de gain maximum Go sur une bande de largeur Beq.
Les appareils qui permettent d’obtenir une valeur efficace de bruit ont une bande passante et font donc
intervenir des phénomènes de filtrage linéaire. Ainsi, le résultat affiché par l’appareil ne donnera pas directement
la valeur efficace du bruit d’entrée. Il sera alors nécessaire de corriger le résultat obtenu en fonction des
caractéristiques de l’appareil employé.
I.1.2. Bruit gaussien :
On ne peut pas prévoir quelle sera la valeur d’un bruit à un instant donné. En revanche, on peut souvent
estimer la probabilité de voir ce signal prendre une certaine valeur autour de sa moyenne.
Lorsqu’un bruit résulte de l’action indépendante de différents facteurs physiques, on va pouvoir le considérer
comme gaussien (théorème central-limite). Dans ce cas cette probabilité évolue suivant une gaussienne.
Pour un tel bruit dont la valeur moyenne est nulle et l’écart-type égal à σ, l’expression de la probabilité pour
trouver une valeur du bruit égale à x est donnée par
P( x ) =
1
1⎛x⎞
− .⎜ ⎟
.e 2 ⎝ σ ⎠
2
σ. 2.π
Dans ce cas, l’écart-type des valeurs du bruit va nous donner de nombreuses indications :
- La valeur efficace du bruit sera égale à l’écart-type σ .
- L’intervalle de largeur 2σ centré sur zéro contient environ 68% des valeurs prises par le bruit, l’intervalle
de largeur 4σ contient environ 95% des valeurs prises par le bruit et l’intervalle de largeur 6σ contient environ
99% des valeurs prises par le bruit.
2
C’est pourquoi, on peut dire que la valeur crête à crête du bruit que l’on observe peut être considérée comme
égale à 6σ environ. Si on prend un appareil affichant 512 points, 5 points seulement sortiront de la bande de
valeur de largeur 6σ. A l’œil, ces points seront peu visibles. Cette façon d’obtenir la valeur efficace de bruit n’est
bien entendu pas très précise ni très rigoureuse, mais elle permet d’avoir un ordre de grandeur assez rapidement.
En pratique, les bruits ne sont jamais parfaitement gaussiens, mais on supposera malgré tout que leur
comportement reste assez proche d’un bruit gaussien pour pouvoir adopter cette représentation.
Remarque : Il existe des bruits tels que la loi de distribution des valeurs est différente de la distribution
gaussienne. Par exemple, on peut citer le bruit de photons. Quand on considère l’arrivée d’un faisceau lumineux
monochromatique de fréquence ν de puissance moyenne constante Popt, le nombre moyen de photons reçus
pendant t est N tel que
Popt .t
N=
h.ν
Pourtant, le flux d’énergie étant une succession de quanta, le nombre de photons reçus par unité de temps
fluctue autour de N. Le nombre effectif de photons reçus sera n. La probabilité d’avoir n photons est donnée par
N n −N
.e
P( n ) =
n!
C’est une loi de Poisson de moyenne N.
I.2. Travail expérimental.
Nous allons faire l’acquisition du signal de bruit par un générateur Agilent 33220A (généré touche de signal
« noise »). Le constructeur indique que ce bruit est gaussien et que la bande équivalente de bruit est voisine de
10 MHz. Nous allons vérifier que c’est le cas en faisant un histogramme des valeurs de l’échantillon acquis et en
calculant sa densité spectrale de puissance. Pour que cette expérience donne des résultats satisfaisants, il va
cependant falloir réfléchir aux conditions dans lesquelles faire l’acquisition (durée et nombre de point) et
également réfléchir à la façon de construire l’histogramme.
I.2.1. Acquisition du signal.
L’acquisition sera faite en utilisant la macro Igor permettant de récupérer les points numérisés sur des
oscilloscopes DSO6012A ou DSO5012A via une interface GPIB-USB. Pour plus d’informations sur ce point,
reportez vous à la notice d’utilisation de cette macro.
I.2.1.1. Le choix du nombre de points.
Le programme de macro permet de récupérer le signal avec simplement 1000 points ou avec quelques
centaines de milliers en utilisant un sous programme particulier. Vous allez faire les deux types d’acquisitions
afin de voir ensuite les effets du nombre de points sur les analyses qui seront faites ensuites.
I.2.1.2. Le choix de la base de temps (et donc de la largeur de plage spectrale étudiée).
Pour l’analyse spectrale, nous allons avoir un bruit dont la densité spectrale chute après 10 MHz environ. Il
nous faut donc une fenêtre d’analyse (égale à la moitié de la fréquence d’échantillonnage) supérieure à cette
valeur. On choisira une plage d’analyse de 50 MHz. Connaissant la relation entre le nombre de points acquis, la
base de temps et la fréquence d’échantillonnage, on en déduit la durée de base de temps utiliser.
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● Expérience :
- Générer un bruit de 2V efficace avec le générateur 33220A et observer ce signal à l’oscilloscope avec une
durée de base de temps déduite de la discussion précédente (valeur différente suivant le nombre de points).
Notez la mesure donnée par la fonction de mesure « sdev » de l’oscilloscope. Comparer à la valeur efficace
indiquée par le générateur.
- En faire l’acquisition avec 1000 points puis quelques centaines de milliers et récupérer les deux waves
correspondantes sous Igor. On fera en sorte de ne garder qu’une voie de l’oscilloscope active. Que se passe-t-il
si les deux voies sont actives ? En utilisant la commande WaveStats, relever, pour chaque acquisition, l’écarttype de la séquence acquise. Comparer à la valeur efficace affichée par le générateur.
I.2.2. Analyse des données acquises :
Nous allons commencer par vérifier que la distribution des valeurs est bien gaussienne et que les valeurs
obtenues sont bien celles attendues. Ensuite, nous nous intéresserons à la densité spectrale de puissance du bruit.
● Expérience :
- Calculer l’histogramme des deux séries de valeurs, entre -8V et +8V avec un pas de 0 ,25V. Comment faiton le choix de ces paramètres pour l’histogramme ? Faire un ajustement par une gaussienne de l’histogramme
obtenu. Peut-on dire que la distribution des valeurs du bruit sur les deux séquences étudiées est
gaussienne ? Déduire l’écart-type de l’ajustement (attention, la fonction gaussienne de fit d’Igor ne donne pas
directement l’écart-type).
Notez la valeur maximale indiquée par le générateur pour la valeur efficace de 2V. Peut-on donner le
rapport entre ces deux grandeurs sans précisions supplémentaires ? Pourquoi ? Que signifie « valeur
maximale » pour un bruit gaussien ?
- Refaire l’histogramme avec un pas plus faible de 0.05V. Que constate-t-on ? Expliquer comment estimer la
limite minimum du pas qui permet d’éviter ce problème. Refaire un histogramme juste au-dessus de cette limite.
- Calculer la densité spectrale de puissance avec le bouton de la macro permettant l’acquisition sur le plus
grand nombre de points possible. Lisser cette densité spectrale avec la macro correspondante ajoutée à Igor (Cf
notice de la macro Igor). La relation entre la valeur efficace, la bande de fréquence dans laquelle se distribue le
bruit et la densité spectrale obtenue pour les plus basses fréquences est-elle cohérente ?
II. Obtention de la fonction de transfert d’un diapason par transformée de Fourier de sa réponse
impulsionnelle : intérêt d’une translation de fréquence
Dans cette partie, nous allons rechercher la fonction de transfert d’un diapason. Il n’est pas question, dans ce
cas, de passer par le relevé classique d’un diagramme de Bode pour des questions techniques. Aussi va-t-on
relever la réponse impulsionnelle du système avant d’en calculer la transformée de Fourier. Le résultat est
directement la fonction de transfert. Quand l’acquisition peut se faire sur un nombre de points important, la
transformée de Fourier permet de calculer un nombre de points suffisant dans plage de fréquence étroite dans
laquelle le système répond. Si l’acquisition se fait sur un nombre de points plus limité (typiquement 1000 à 2500
points pour des oscilloscopes d’entrée de gamme), les ordres de grandeur conduisent par transformée de Fourier
à un résultat qui n’est pas interprétable. On peut cependant parvenir au résultat en réalisant une translation de
fréquence. C’est ce que nous expliquerons à la fin de cette partie.
II.1. Quelques précisions sur le principe de l’expérience.
Nous allons commencer par calculer l’ordre de grandeur du nombre de points qu’il faudra acquérir pour
obtenir un résultat convenable, ainsi que sur la durée d’analyse à utiliser suivant le facteur de qualité. Suivant le
nombre de points disponibles sur le système d’acquisition, nous verrons quelle stratégie choisir.
II.1.1. Fonction de transfert et transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle.
On considère un signal impulsionnel e(t) = A.δ(t). Sa transformée de Fourier est E(f)=A. On applique ce
signal en entrée d’un système linéaire de fonction de transfert F(f). Alors, en sortie de ce dernier, on récupère un
signal de sortie s(t) dont la transformée de Fourier est S(f)=A.F(f). Le spectre du signal de sortie correspond
donc, un à facteur multiplicatif réel près, à la fonction de transfert du système linéaire.
II.1.2. Nombre de points nécessaires pour obtenir directement la fonction de transfert par transformée de
Fourier de la réponse impulsionnelle.
II.1.2.1. Relations importante dans l’analyse FFT :
On fait l’acquisition d’un signal pendant une durée To, à la fréquence d’échantillonnage Fe ce qui nous
permet de récupérer N points. Avec l’oscilloscope, N est imposé (il varie néanmoins avec la base de temps si on
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interroge toute la profondeur mémoire de l’appareil sur les appareils dont la profondeur est de quelques centaines
de milliers de points). On règle To ce qui fixe implicitement Fe. On a évidemment
N=To.Fe
La transformée de Fourier est calculée sur N/2 points sur une plage de calcul allant de 0 à Fe/2. Le pas de
calcul en fréquence est donc ∆F=(Fe/2)/(N/2)=Fe/N=1/To soit
∆F=1/To.
II.1.2.2. Caractéristiques du diapason et choix des paramètres de la FFT :
Le diapason est un filtre passe bande. On supposera que sa fréquence centrale vaut fc et que son facteur de
qualité vaut Q.
Pour que la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle qui donne la fonction de transfert soit
satisfaisante, il faut calculer suffisamment de points dans la bande passante ∆f du filtre qui vaut
∆f=fc/Q
Pour que la transformée de Fourier nous convienne, il faut donc que
(1)
∆F << ∆f ou encore 1/To << fc/Q
Par ailleurs, il faut respecter le critère de Shannon, ce qui signifie que le spectre doit être calculé avec
(2)
Fe/2 > fc
AN : Supposons que fc = 440 Hz ; Q = 5000
(2) impose que Fe >2.440Hz =880Hz. On s’imposera Fe > 1000 Hz. Il faudra donc prendre assez de points
dans les pseudo-périodes du signal observé.
(1) impose que 1/To << 440/5000 ce qui signifie qu’il nous faut 1/To << 1/10 environ. On prendra To >> 10s.
Cette relation signifie qu’il faudra observer le signal assez longtemps pour pouvoir juger correctement la
décroissance de l’amplitude des pseudo-oscillations.
En regroupant les deux inégalités précédentes, on trouve que la FFT sera correcte à condition de disposer
d’un nombre N de points tel que
N >> 10000 (3)
Pour obtenir directement le résultat par transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle, il faut donc
disposer d’un oscilloscope avec une profondeur mémoire supérieur à ce que les appareils d’entrée de gamme
fournissent (1000 points pour un HP54600, 2500 pour un TDS210, …). On peut, par exemple utiliser des
oscilloscopes DSO5012A (jusqu’à 1Mpts sur une voie) ou DSO6012A (avec l’extension 8M soit jusqu’à 8 Mpts
sur une voie).
Dans le cas où la profondeur mémoire des oscilloscopes disponibles n’est pas suffisante, il va falloir réaliser
un traitement analogique préalable à l’acquisition. Nous allons détailler cette technique dans le paragraphe
suivant.
II.1.3. Traitement à mettre en œuvre quand le nombre de points acquis n’est pas assez important.
II.1.3.1. Approche analogique.
Supposons que l’on dispose d’un signal sinusoïdal dont on contrôle précisément la valeur de fréquence notée
fd. Si on multiplie la réponse impulsionnelle du diapason par la sinusoïde à fd, en appelant fc la fréquence de
résonance du diapason, le spectre du produit présentera un comportement de type passe-bande autour de fc-fd et
fc+fd. En filtrant avec un filtre passe-bas qui élimine au mieux fc+fd, on trouve la fonction de transfert du
diapason translatée en fréquence de fd vers la gauche. Il suffit de faire en sorte que fc-fd soit beaucoup plus faible
que fc+fd afin de rendre le filtrage le plus simple possible à réaliser tout en s’assurant que fc-fd >>∆f, bande
passante du diapason.
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Il ne reste plus qu’à faire l’acquisition du signal en sortie du filtre et à en calculer la transformée de Fourier.
Pour que la transformée de Fourier nous convienne, il faut donc que
(1) (inchangée)
∆F << ∆f ou encore 1/To << fc/Q
Par ailleurs, il faut respecter le critère de Shannon, ce qui signifie que le spectre doit être calculé avec
Fe/2 > fc-fd
(3)
On va donc pouvoir se permettre de travailler avec une fréquence d’échantillonnage beaucoup plus faible que
précédemment. Si on prend fd = 438Hz, on doit avoir Fe > 4Hz et To >>10s. Cette fois, il nous faut N >> 40
points. Cette condition est satisfaite pour tous les oscilloscopes numériques.
II.1.3.2. Approche numérique.
On peut également procéder de façon purement numérique. On commence par faire une translation de
fréquence. Pour ça, si x(k.Te) est la valeur de du kième échantillon, on transforme cette valeur de façon à obtenir
xd(k.Te) tel que :
x d (k.Te ) = x (k.Te ).e −2. j.π.f d .k.Te = x (k.Te ).[cos(2.π.f d .k.Te ) − j. sin( 2.π.f d .k.Te )]
Si on calcule la FFT à partir de ces nouveaux échantillons, on obtient
k .n
n
n
N −1
N −1
N −1
− 2. j.π.k .Te
− 2. j.π.k .Te
− 2. j.π.
n
N.Te
N.Te
N =
Xd (
)=
x d (k.Te ).e
x d (k.Te ).e
=
x (k.Te ).e − 2. j.π.f d .k.Te .e
N.Te
k =0
k =0
k =0
∑
∑
∑
Soit
n
n
) = X(
+ fd )
N.Te
N.Te
Ce qui revient bien à décaler le spectre vers la gauche de fd.
Xd (
Ensuite, on filtre numériquement afin de supprimer toutes les composantes que la translation de fréquence à
fait apparaître dans la plage d’analyse. Si l’acquisition permet d’avoir une fréquence d’échantillonnage assez
faible pour disposer de suffisamment de points du spectre calculé dans la zone intéressante, on peut envisager
d’exploiter la figure obtenue de la même façon que pour l’approche directe quand on dispose d’une acquisition
avec un nombre de points assez important.
Remarque : cette technique est utilisée dans les analyseurs de spectre numériques pour réaliser un zoom
numérique. On réalise la translation de fréquence d’un pas connu très précisément. On réalise ensuite un filtrage
numérique pour supprimer les composantes de fréquence de repliement qui apparaissent dans la plage d’analyse
à cause de la translation. Ensuite, on réalise un sous échantillonnage du signal translaté en fréquence et filtré afin
de diminuer la fréquence d’échantillonnage Fe et donc la largeur de la fenêtre d’analyse égale à Fe/2. Il suffit
pour ça de ne prendre qu’un point tous les m parmi ceux calculer, ce qui revient à diviser la plage d’analyse par
m. En parallèle, on fera l’acquisition sur une durée multipliée par m. Le nombre de points du spectre calculés est
donc inchangé, mais les points sont calculés sur une plage de fréquence beaucoup plus étroite, et donc avec un
pas de calcul plus faible ce qui permet de davantage détailler le spectre, autour d’une fréquence choisie par la
translation.
II.2. Travail expérimental.
On réalise le montage suivant :
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On veillera a ajuster l’amplitude du coup de marteau sur la bras du diapason afin d’éviter de faire saturer la
sortie de l’amplificateur associé au microphone. Les données sont numérisées par l’oscilloscope, transmise à un
ordinateur via une interface GPIB/USB et analysées sous Igor.
Remarque : Il existe plusieurs types de microphones. Ceux qui sont amplifiés peuvent être envoyés
directement sur le système d’acquisition. Les autres doivent être amplifiés en tension afin de délivrer un niveau
de signal suffisant.
II.2.1. Acquisition avec plusieurs centaines de milliers de points (DSO5012A ou DSO6012A).
Avec un oscilloscope DSO5012A ou DSO6012A, on fait l’acquisition de la réponse impulsionnelle du
diapason observée avec le microphone. Pour ça, on choisira une durée de base de temps raisonnable (calculer
l’ordre de grandeur avant).
• Mesures :
Calculer le nombre de points nécessaires lors de l’acquisition du signal temporel pour que la TF de la
réponse impulsionnelle soit calculée pour un nombre de points satisfaisant dans la plage de fréquence
dans laquelle le diapason répond. Ceci étant fait, choisir la base de temps qui permet d’envisager
d’obtenir un résultat interprétable, puis faire l’acquisition avec cette base de temps au moyen de la
macro permettant de récupérer tous les points acquis (et non pas seulement 1000 points). On travaillera
en mode monocoup et on fera en sorte que le début de la montée de la réponse soit le plus à gauche
possible de l’écran. Noter le nombre de points récupéré. Est-ce suffisant ?
Calculer la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle que l’on vient d’acquérir. Choisir une
échelle de fréquence qui permet de bien visualiser la partie utile de la fonction de transfert du diapason.
Faire l’ajustement de la réponse par le module de la fonction de transfert d’un filtre passe-bande du
premier ordre donné par la formule suivante
GO
F(f ) =
1 + Q 2 .(f fo − fo f ) 2
En déduire un encadrement pour le facteur de qualité et la fréquence centrale du diapason. Commenter
les résultats. Pour l’ajustement, on pensera à n’ajuster que sur les points situés dans la plage de
fréquence dans laquelle le diapason répond (utiliser les curseurs disponibles dans « Graphe/Show
info »). Pourquoi l’ajustement ne converge-t-il pas correctement si on essaie d’ajuster sur tous les
points calculés ?
II.2.2. Translation de fréquence et filtrage avant acquisition (par exemple avec un TDS210).
On enregistre la réponse impulsionnelle du diapason que l’on multiplie analogiquement par un signal
sinusoïdal de fréquence 442Hz et d’amplitude 1V crête. Le multiplieur utilisé est de type AD633. On fera en
sorte de placer un suiveur entre le microphone et le multiplieur. On réalise ensuite un filtrage analogique du
produit au moyen d’un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure 20 Hz environ.
• Mesures pour l’approche analogique:
Le filtre passe-bas est de type RC avec R=1MΩ et C=10nF. En mode monocoup, faire l’acquisition du
signal récupéré en sortie du filtre passe-bas en faisant en sorte que le début de la réponse soit le plus à
gauche possible de l’écran. On travaille cette fois avec une acquisition sur 1000 points pour un
oscilloscope DSO5012A ou DSO6012A (on ne cherche pas à récupérer toute sa mémoire !).
Calculer la transformée de Fourier du signal acquis et en observant cette transformée autour de 2Hz,
en déduire, par un ajustement sur un filtre passe-bande du premier ordre le facteur de qualité du
diapason ainsi qu’un encadrement de la fréquence centrale du diapason. Les résultats obtenus sont-ils
cohérents avec ceux obtenus par la méthode directe quand on dispose du nombre de points suffisant en
mémoire.
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• Mesures pour l’approche purement numérique:
A suivre…
III. Mise en œuvre d’une détection synchrone : acquisition de la sortie analogique afin d’obtenir une
grandeur de sortie définie le plus rigoureusement possible
La détection synchrone est un procédé de traitement analogique qui permet d’obtenir la valeur efficace d’une
harmonique d’un signal pour un rapport signal sur bruit très défavorable à la mesure. Dans cette partie, nous
allons essayer de mesurer la valeur efficace d’un signal sinusoïdal de 20mV noyé dans un bruit gaussien de 2V
efficace. Nous verrons les différentes options offertes par la détection pour obtenir un résultat correct et nous
essaierons de définir le plus rigoureusement possible le résultat obtenu en faisant une acquisition sur un grand
nombre de points et sur une longue durée de la sortie analogique du système de mesure.
III.1. Présentation de la détection synchrone.
III.1.1. Principe.
On considère un signal électrique sinusoïdal s(t) noyé dans du bruit. On cherche à en extraire la valeur
efficace. Pour ça, on va multiplier notre signal par une sinusoïde r(t) strictement de même fréquence (valeur
efficace V), puis, on va filtrer au moyen d’un filtre passe-bas (ou d’un intégrateur).
III.1.2. Mise en œuvre de la détection synchrone utilisée avec un signal peu bruité.
Nous allons chercher à mesurer la valeur efficace d’un signal dont nous connaissons les caractéristiques avec
une détection synchrone. Pour cela, nous allons choisir un signal s(t) sinusoïdal que nous considérerons peu
bruité. On note
s( t ) = S. 2 . cos(ω.t + ϕ)
A priori, ϕ n’est pas connue. On injecte un signal de référence r(t) que l’on note
r ( t ) = R. cos(ω.t )
Pour la référence, deux entrées sont possibles sur la détection: « AC input » permet d’injecter n’importe
quelle forme de signal, pourvu qu’il y ait deux passages par zéro sur chaque période et que l’amplitude dépasse
100mVpic à pic. « TTL input » peut être utilisé quand la référence est un signal en créneaux avec un niveau bas
défini entre 0 et 0,4V et un niveau haut défini entre 2,5V et 5V.
Nous allons choisir AC Input dans nos mesures, ce qui signifie que le déphasage affiché sur la détection ne
permettra plus de connaître précisément le déphasage entre la composante à mesurer et la référence mais
seulement le déphasage introduit sur la référence (la détection se fait quand la référence atteint 100mV en
amplitude).
III.1.2.1. Qu’obtient-on en sortie ?
Pour interpréter la valeur affichée, il faut savoir que 10 correspond à la valeur maximale de la gamme
choisie. Il existe donc un rapport K entre ce que l’appareil affiche et la tension qu’il récupère, rapport qui varie
avec la gamme de tension sur laquelle on travaille. Ainsi, sur la gamme 1V, un affichage de 10 correspond à 1V,
alors que sur la gamme 300mV, un affichage de 10 correspond à 300 mV. La détection va nous afficher priori
une tension K.S.cosϕ. On ne peut donc pas encore connaître S puisqu’on ne connaît pas ϕ.
III.1.2.2 action sur la phase de la détection pour détecter la valeur efficace.
La détection synchrone permet de faire fluctuer de ∆ϕ le déphasage entre le signal d’entrée et la référence.
C’est en faisant varier ce paramètre qu’on pourra déterminer la valeur efficace S recherchée, ainsi que ϕ si ce
paramètre nous intéresse.
Pour faire une mesure précise, on va rechercher l’état de déphasage à appliquer pour que la détection
synchrone affiche un résultat le plus proche de zéro possible. On est alors en quadrature de phase entre signal et
la référence. C’est l’état que l’on peut repérer le plus précisément possible, car c’est la zone où l’indication de
l’appareil varie le plus brutalement avec ϕ. On peut alors faire un saut de phase avec un pas de 90° au moyen
d’un bouton spécial sur l’appareil, jusqu’à obtenir une valeur positive. Si le repérage de l’annulation a été
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initialement correctement repéré, on peut vérifier qu’on se situe alors au maximum de l’indication de l’appareil
quand on fait varier ∆ϕ. La valeur affichée correspond alors à K.V et ∆ϕ permet de remonter à ϕ.
III.1.2. 3. Choix du filtre : Effet sur la qualité de la mesure et sur le temps de réponse.
Pour obtenir un résultat peu perturbé par le bruit, il est nécessaire de travailler avec un filtre présentant une
fréquence de coupure fc la plus petite possible. Diminuer fc permet en effet d’augmenter le rapport signal sur
bruit en sortie du système en diminuant la plage de fréquence sur laquelle le bruit sera observé, ce qui permet
d’en réduire notablement la valeur efficace. Cependant, travailler avec une fréquence de coupure basse rend la
réponse de la détection plus lente. C’est ce compromis entre vitesse d’analyse et qualité de mesure que nous
allons mettre en évidence dans ce paragraphe.
III.2. Travail expérimental.
Nous allons commencer par mettre en œuvre la détection synchrone dans le cas le plus simple, celui d’un
signal à étudier non bruité. Nous essaierons ensuite de faire la même mesure dans le cas d’un rapport signal sur
bruit très défavorable, en sommant au signal précédent un niveau de bruit important. Le bruit sera généré par un
générateur 33220A, celui que nous avons étudié lors de la première partie de ce travail. Cette expérience sera
l’occasion de réfléchir à une bonne définition du résultat de sortie. Nous allons rechercher un intervalle de
confiance associé à une probabilité. Nous en profiterons pour établir le rapport signal sur bruit pour lequel ce
résultat est obtenu.
III.2.1 travail expérimental préliminaire
On commence par réaliser l’expérience suivante :
L’état de phase initial des deux générateurs est aléatoire. La synchronisation des appareils garantit une même
fréquence si on affiche par exemple 1 kHz sur les deux, en revanche, l’état de phase est inconnu et sera différent
si on remonte l’expérience. Le signal à caractériser sera pris égal à 20 mV crête et de fréquence 1 kHz.
Mesures :
- Relever l’indication de l’appareil en fonction du déphasage ∆ϕ appliqué au signal de référence. Pour les
mesures, prendre une constante de temps du filtre de 0.1s et une atténuation de 12 dB. Le signal étant peu bruité,
ce choix suffit pour obtenir un résultat de bonne qualité avec un temps d’analyse assez bref. Faire en sorte
d’annuler l’indication de l’appareil. Puis faire un saut de phase de 90°. En déduire la valeur efficace
recherchée. Pourquoi ne pas avoir cherché directement le maximum ?
III.2.2 Recherche de la valeur efficace d’un signal noyé dans du bruit.
Le signal à mesurer est délivré par un générateur 33220A. Son amplitude est de 20mV et sa fréquence de
1kHz. Cette valeur est connue très précisément. Ce sera cette valeur de référence que l’on cherchera à extraire du
bruit au moyen de la détection synchrone. Au signal utile s(t), on va ajouter au moyen d’un circuit sommateur à
amplificateur opérationnel un bruit b(t) de valeur efficace 2V délivré par un générateur 33220A.
C’est la somme de ces deux signaux, sb(t) que nous allons avoir à étudier. Afin d’obtenir une référence de
bonne qualité et de niveau suffisant, on va synchroniser un troisième générateur 33220A sur la source de signal
et lui demander de délivrer un signal strictement à la même fréquence et injecté sur l’entrée de référence « AC
Input » de la détection synchrone. Globalement, l’expérience se présente de la façon suivante :
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On récupèrera le résultat soit directement sur l’afficheur, soit sur la sortie analogique de la détection
synchrone (« Output ») envoyée sur l’une des voies d’un oscilloscope DSO5012A ou DSO6012A.
• Mesures :
-Une fois les signaux générés (vérifier les valeurs et les fréquences), associer les différents éléments du
circuit. Comme pour l’expérience précédente, jouer sur le déphasage appliqué à la référence afin d’obtenir un
résultat affiché nul. Faire alors un saut de phase de 90° et noter la valeur donnée par l’afficheur. Est-ce bien le
résultat attendu ? Notez l’incidence des caractéristiques du filtre (ordre et temps caractéristique) sur la durée
nécessaire pour obtenir un résultat final et sur la stabilité de ce résultat. Le résultat que l’on conservera sera
celui qui conduit au résultat final le plus stable à l’afficheur.
- Une fois le résultat final stabilisé, faire l’acquisition de la sortie analogique de la détection synchrone
(« Output ») avec un filtre de temps caractéristique «3s » et « 0.1s » en prenant une base de temps de 50s par
carreau (chaque acquisition dure donc 500s soit plus de 8 minutes), en mode monocoup (« single »). Commentez
les évolutions temporelles puis faire un histogramme des valeurs obtenues. Ajuster chaque histogramme par une
gaussienne dont on extrait l’écart-type. Comparer à l’écart-type obtenu directement. Déduire de la distribution
des valeurs une valeur scientifiquement correcte (un intervalle de confiance avec une probabilité).
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Annexe : Brochage des composants AD633 .
La relation entre les différentes entrées et la sortie est telle que
(X − X 2 )(. Y1 − Y2 )
W= 1
+Z
10V
En pratique, on mettra X2 et Y2 à la masse et se contentera de X1 et de Y1 comme entrée. L’entrée Z sera elle
aussi mise à la masse si on cherche à faire un simple produit (ne surtout pas laisser X2,Y2 et Z « en l’air »)
• La réponse en fréquence de ce composant commence à se dégrader au-delà de 100 kHz.
• Il faut faire attention aux saturations si les tensions d’entrée deviennent trop importantes
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