Inégalités

Inégalités
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Inégalités
La question générale est la suivante : en partant d’une ou plusieurs inégalités données,
quelles autres inégalités peut-on en déduire, dans quelles conditions, et s’agit-il
d’équivalences ou seulement d’implication ?
I)
Signes
1)
Règle des signes pour la multiplication et la division
Si
Si
Si
Si
a>0
a>0
a<0
a>0
et
et
et
et
b > 0,
b < 0,
b < 0,
b > 0,
alors
alors
alors
alors
ab > 0. Réciproque fausse.
ab < 0. Réciproque fausse.
ab > 0. Réciproque fausse.
a
> 0. Réciproque fausse.
b
a
Si a > 0 et b < 0, alors < 0. Réciproque fausse.
b
a
Si a < 0 et b > 0, alors < 0. Réciproque fausse.
b
a + + − −
b + − + −
ab + − − +
Est-ce que ab < 0 équivaut à (a < 0 ou b < 0) ? Non.
Contre-exemple : a = −1 et b = −2, ab > 0.
Dans ce cas, on a bien : (a < 0 ou b < 0) (c’est le sens mathématique du mot « ou »).
2)
3)
Pour étudier le signe de f (x), il ne suffit pas de trouver pour quels x on a f (x) = 0.
Cela ne dira pas où on met les « + » et les « − » dans le tableau.
Il y a quelques cas où cela suffit parce qu’on dispose de règles. Mais ces cas sont très
limités : signe d’un binôme ax + b, signe d’un trinôme ax2 + bx + c.
Dans tous les autres cas, l’étude de signe ne doit pas commencer par « quand a-t-on
f (x) = 0 ? », mais par « quand a-t-on f (x) > 0 ? » (on résout une inégalité, pas une
égalité).
II)
1)
Ajouter ou soustraire un même nombre
La fonction x 7→ x + k est strictement croissante sur R (quel que soit k réel), donc :
quels que soient a, b et k réels
a<b⇔a+k <b+k
Si a > 0 et b > 0, alors a + b > 0. Réciproque fausse.
Si a < 0 et b < 0, alors a + b < 0. Réciproque fausse.
+ −
− +
? ?
Appliquer une même fonction aux deux membres
Est-ce que a < b est équivalent à f (a) < f (b) ?
Cela dépend essentiellement des réponses aux questions suivantes :
Quel est le sens de variation de f ? Sur quel intervalle ? Est-ce que a et b appartiennent
tous les deux à cet intervalle ?
Règle des signes pour l’addition
a
+
b
+
a+b +
Trouver les zéros ne suffit pas
−
−
−
Remarque : non seulement les réciproques sont fausses, mais en plus les règles ne sont
pas complètes : il y a des cas où on ne peut pas conclure. Ne pas confondre avec les
règles pour la multiplication.
2)
Multiplier ou diviser par un même nombre
La fonction x 7→ kx est strictement croissante sur R si k > 0 et strictement décroissante
sur R si k < 0, donc : quels que soient a, b réels
Si k > 0 alors on a l’équivalence : a < b ⇔ ka < kb
Si k < 0 alors on a l’équivalence : a < b ⇔ ka > kb
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3)
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Prendre l’opposé
7)
Elever à une puissance
L’opposé d’un nombre est le produit de ce nombre par −1. Donc, pour tous a et b réels : Prudence : la fonction x 7→ xn n’est pas toujours croissante. Cela dépend du signe de n
et aussi de l’intervalle considéré.
a < b ⇔ −a > −b
Pour n > 0, la fonction est toujours strictement croissante sur ]0; +∞[
Sur ] − ∞; 0[, c’est moins pratique parce que la fonction est décroissante si n est un
(on change le sens)
entier pair et croissante si n est un entier impair. De plus, elle n’est pas définie si n n’est
pas entier. Le cas pratique à retenir est :
4)
Elever au carré
Si a > 0 et b > 0 et n > 0 alors on a l’équivalence : a < b ⇔ an < bn
La fonction carré est strictement croissante sur [0; +∞[, donc :
Pour n < 0, la fonction est toujours décroissante sur ]0; +∞[
Si a > 0 et b > 0 alors on a l’équivalence : a < b ⇔ a2 < b2
Si a > 0 et b > 0 et n < 0 alors on a l’équivalence : a < b ⇔ an > bn
On pourrait écrire d’autres règles mais celle-là est la seule qui soit vraiment pratique,
et on cherche toujours à s’y ramener. Prudence dans tous les autres cas.
Mais attention : si on a a + b > 0 et c > 0 tels que a + b < c, alors on ne peut pas en
déduire a2 + b2 < c2 .
En effet, « élever au carré » ne veut pas dire « élever au carré séparément chaque terme
de la somme a + b », mais « élever au carré toute la somme elle-même : (a + b)2 », ce qui
n’est pas la même chose puisque le machin du truc n’est pas égal au truc du machin :
(a + b)2 6= a2 + b2 .
Contre exemple : 2 + (−1) < 2, mais 22 + (−1)2 > 22
5)
Prendre l’inverse
1
La fonction inverse x 7→ est strictement décroissante sur ]0; +∞[, donc :
x
Si a > 0 et b > 0 alors on a l’équivalence : a < b ⇔
Conseil : regardez les courbes de x1/2 , x, x2 , x3 , x−1 , x−2
8)
Prendre le cosinus et le sinus
Prudence : vérifier sur quel intervalle on est et quel est le sens de variation sur cet
intervalle. Par exemple : h πi
π
π
0 <
⇒ cos(0) > cos
car cos est décroissante sur 0;
(vérifier sur le cercle
2
2
2
trigonométrique et sur la courbe de la fonction).
III)
1)
Combiner des inégalités
Addition
1
1
<
b
a
a<b
⇒ a + a0 < b + b0
a0 < b0
C’est la seule règle vraiment pratique. Prudence dans les autres cas. Se ramener à cette
La réciproque est fausse, parce qu’à partir d’une seule information a + a0 < b + b0 on ne
règle quand c’est possible
peut pas en déduire deux informations séparées (pas dans ce cas).
6)
Prendre la racine carrée
La fonction racine carrée x 7→
√
x est strictement croissante sur ]0; +∞[, donc :
Si a > 0 et b > 0 alors on a l’équivalence : a < b ⇔
√
√
a<
√
Mais attention : si a > 0, alors a < b2 n’implique pas a < b.
2
Mais pourtant
√ a et b sont tous les deux positifs !
2
Oui, mais b n’est pas forcément égal à b, cela dépend du signe de b.
Contre-exemple : 1 < (−2)2 et pourtant −2 < 1.
b
2)
Soustraction
C’est un piège et une source d’erreurs fréquentes :
On ne peut pas soustraire membre à membre des inégalités
On peut éventuellement écrire quelque chose, mais c’est rarement intéressant. En effet,
soustraire c’est additionner l’opposé. Donc on peut combiner la règle sur l’opposé et la
règle sur l’addition :
a0 < b0 , donc −b0 < −a0 , donc en additionnant : a − b0 < b − a0 .
Mais cela ne permet pas de comparer a − a0 et b − b0 .
Inégalités
3)
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Multiplication
C’est aussi un piège et une source d’erreurs fréquentes :
En général, on ne peut pas multiplier membre à membre des inégalités.
Le seul cas pratique où on peut le faire, c’est lorsque tous les membres sont positifs
Si x > 0 et a > 0, comment comparer x et ax ?
Si 0 < a < 1, alors ax < x
Si a > 1, alors ax > x
2)
Diviser par un nombre positif
Même problème
0
0
Si a, b, a et b sont positifs, alors :
a<b
⇒ aa0 < bb0
a0 < b0
La réciproque est fausse.
4)
x
Si x > 0 et a > 0, comment comparer x et ?
a
x
Si 0 < a < 1, alors > x
a
x
Si a > 1, alors < x
a
Division
C’est aussi un piège et une source d’erreurs fréquentes :
On ne peut pas diviser membre à membre des inégalités
3)
Comparer un nombre positif et son carré
L’erreur consiste à croire qu’un nombre est toujours plus petit que son carré, ce qui est
faux (contre -exemple : (0, 5)2 = 0, 25 < 0, 5).
On peut éventuellement écrire quelque chose, mais c’est rarement intéressant. En effet, Si a > 0, comment comparer a et a2 ?
diviser c’est multiplier par l’inverse. Donc on peut combiner la règle sur l’inverse et la
Si 0 < a < 1, alors a > a2
règle sur la multiplication :
Si a > 1, alors a < a2
Pour a, b, a0 , b0 positifs :
Même genre de problème et de règle pour comparer a et an pour n > 0.
1
1
Conseil : regardez les courbes de x2 et de x.
Si a0 < b0 , alors 0 < 0 .
b
a
a
b
Donc, si a < b, en multipliant : 0 < 0 .
4) Comparer un nombre positif et son inverse
b
a
a
b
Mais cela ne permet pas de comparer 0 et 0
L’erreur consiste à croire que l’inverse d’un nombre est toujours plus petit que ce
a
b
1
nombre, ce qui est faux (contre-exemple :
= 2 > 0, 5).
0, 5
IV)
Confusion entre « positif » et « supérieur à 1 »
1
Si a > 0, comment comparer a et ?
a
Quand on demande à quelqu’un de citer un nombre strictement positif, en général il
1
pense à un nombre supérieur ou égal à 2 (et en général à un nombre entier).
Si 0 < a < 1, alors > 1 > a
a
Cela conduit à des erreurs fréquentes, parce que cela amène à croire que tout nombre
1
1
Si a > 1, alors < 1 < a
strictement positif est strictement supérieur à 1, ce qui est faux (contre-exemples : ,
a
2
1
1).
Conseil : regardez les courbes de et de x.
x
1)
Multiplier par un nombre positif
5)
Comparer un nombre positif et sa racine carrée
L’erreur consiste à croire que, lorsqu’on multiplie x par un nombre a > 0, on obtient
L’erreur consiste à croire que la racine carrée√d’un nombre est toujours plus petite que
un nombre ax qui est plus grand que x.
ce nombre, ce qui est faux (contre-exemple : 0, 25 = 0, 5 > 0, 25).
1
3
C’est faux. Contre-exemple : a = , x = 3, mais ax = < 3
2
2
Inégalités
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√
Si a > 0, comment comparer
a et a ?
√
a>a
Si 0 < a < 1, alors
√
Si a > 1, alors a < a
√
Conseil : regardez les courbes de x et de x.
4, 5
V)
1)
« Tendance » 6= propriété toujours vraie
Comparaison des fonctions et comparaison de leurs limites
0
0
1
3
L’erreur consiste à croire que, si f (0) < g(0) et lim f (x) < lim g(x), alors on aurait
x→+∞
x→+∞
f (x) < g(x) pour tout x de [0; +∞[.
2)
C’est très faux, suivant le principe suivant : une limite dit ce qui se passe « au voisinage
de l’infini », mais elle ne dit pas ce qui se passe sur tout un intervalle donné. Entre 0 et
+∞, il peut se passer beaucoup de choses, les fonctions peuvent se croiser, changer de
position relative (et cela même si elles sont toutes les deux croissantes par exemple).
L’erreur consiste à confondre « f (x) finit par devenir beaucoup plus grande que g(x) »
et « pour tout x, f (x) > g(x) ». Ce n’est pas du tout la même chose.
Par exemple x3 finit par devenir beaucoup plus grand que 10x2 , car x3 est d’un ordre
de grandeur supérieur à 10x2 pour x grand, mais cela ne veut pas dire que x3 > 10x2
pour tout x de [0; +∞[. Ce n’est vrai que pour x > 10.Sur cet exemple, il est possible
de savoir à partir de quand exactement on a f (x) > g(x), mais en général c’est difficile.
- Je ne vois pas comment c’est possible !
Oui, mais dire « je ne vois pas comment une propriété P est possible » n’est jamais
une démonstration mathématique que P est impossible. P peut très bien être possible
même si on ne voit pas comment. Vous ne voyez pas, mais il y en a d’autres qui voient.
VI)
Ordre de grandeur
Inégalités et dérivées
Dans l’exemple cité, tout ce qu’on peut affirmer est : à partir d’une certaine 1) On ne peut pas dériver une inégalité
abscisse, on aura f (x) < g(x). Le problème est qu’on ne sait pas quelle est cette Le fait que f < g n’implique pas que f 0 < g 0 , et la réciproque est fausse aussi.
abscisse, et qu’elle peut être très grande.
• Exemple : f (x) =
3
9
6x
et g(x) = x + (fonctions croissantes sur [0; +∞[)
x+1
4
4
f (0) < g(0), et la limite de f est 6, la limite de g est +∞.
Pour 0 < x < 1, on a f (x) < g(x)
Pour 1 < x < 3, on a f (x) > g(x)
Pour x > 3, on a f (x) < g(x)
2)
Etudier le signe d’une fonction grâce à sa dérivée
Il est parfois possible de déduire le signe d’une fonction du signe de sa dérivée, mais ce
n’est pas direct.
L’idée est que le signe de la dérivée f 0 permet de déterminer le sens de variation de la
fonction f . Si de plus on connaı̂t certaines valeurs particulières ou limites de f , et si ces
valeurs sont « bien placées » par rapport au sens de variation, alors on peut déterminer
le signe de f .
Par exemple, si f admet un minimum en a et que f (a) > 0, alors f (x) > 0 pour tout x.
Si f est croissante et que f (a) = 0, alors f (x) 6 0 pour x 6 a et f (x) > 0 pour x > a.