Espérance d`une variable aléatoire réelle

Transcription

Exemple introductif
Définition
Propriétés
Variable aléatoire réelle centrée
Probabilités
Espérance d’une variable aléatoire réelle
Julian Tugaut
Télécom Saint-Étienne

Julian Tugaut
Probabilités
Sommaire
1
Exemple introductif
2
Définition
Espérance d’une variable aléatoire discrète
Espérance d’une variable aléatoire continue
3
Propriétés
Espérance d’une variable aléatoire réelle constante
Espérance d’une fonction de variable aléatoire réelle
Linéarité de l’espérance
Espérance d’une variable aléatoire réelle de signe constant
Espérance d’un produit de variables aléatoires réelles
Inégalité de Markov
4
Plan
1
Exemple introductif
2
Définition
3
Propriétés
4
Exemple introductif - 1
On se donne un jeu de hasard tel qu’à chaque partie, on ait la
probabilité
0.2 de perdre deux euros.
0.3 de perdre un euro.
0.1 de ne rien perdre ni gagner.
0.2 de gagner un euro.
0.2 de gagner deux euros.
probabilité
Quel est le gain moyen par partie ? (On parle aussi d’espérance
mathématique)
probabilité
Quel est le gain moyen par partie ? (On parle aussi d’espérance
mathématique)
Supposons que l’on joue un grand nombre N de parties. On note
N−2 le nombre de parties où l’on a perdu 2 euros, N−1 le nombre
de parties où l’on a perdu 1 euro, N0 le nombre de parties où l’on
n’a ni perdu ni gagné. On note également N1 le nombre de parties
où l’on a gagné 1 euro et N2 le nombre de parties où l’on a gagné
2 euros.
Par définition, on a
N−2 + N−1 + N0 + N1 + N2 = N .
N−2 + N−1 + N0 + N1 + N2 = N .
Et, la somme totale que l’on a gagnée au bout des N parties est
SN := (−2) × N−2 + (−1) × N−1 + 0 × N0 + 1 × N1 + 2 × N2 .
N−2 + N−1 + N0 + N1 + N2 = N .
SN := (−2) × N−2 + (−1) × N−1 + 0 × N0 + 1 × N1 + 2 × N2 .
Ainsi, en moyenne, la somme que l’on a gagnée à chaque partie est
sN :=
SN
N−2
N−1
N0
N1
N2
= (−2)×
+(−1)×
+0×
+1×
+2×
.
N
N
N
N
N
N
N−2 + N−1 + N0 + N1 + N2 = N .
SN := (−2) × N−2 + (−1) × N−1 + 0 × N0 + 1 × N1 + 2 × N2 .
Ainsi, en moyenne, la somme que l’on a gagnée à chaque partie est
sN :=
SN
N−2
N−1
N0
N1
N2
= (−2)×
+(−1)×
+0×
+1×
+2×
.
N
N
N
N
N
N
En faisant tendre le nombre de parties vers l’infini, le gain moyen
par partie est égal à
s∞ = (−2) × 0.2 + (−1) × 0.3 + 0 × 0.1 + 1 × 0.2 + 2 × 0.2 = −0.1 .
Plan
1
Exemple introductif
2
Définition
3
Propriétés
4
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Espérance d’une variable aléatoire discrète - 1
Définition
Soit une variable aléatoire réelle discrète X . On pose
X (Ω) = {xi : i ∈ I } où I est un ensemble dénombrable d’indices.
On dit que X admet une espérance si l’on a
X
|xi |P (X = xi ) < ∞ .
i∈I
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Définition
Soit une variable aléatoire réelle discrète X . On pose
On dit que X admet une espérance si l’on a
X
|xi |P (X = xi ) < ∞ .
i∈I
Dans ce cas, l’espérance de X est égale à
E [X ] :=
X
xi P (X = xi )
i∈I
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Exemple
On considère l’expérience aléatoire e qui consiste à jeter un dé.
Soit X la variable aléatoire réelle qui a pour réalisation la face
obtenue sur le dé. Calculons l’espérance de X :
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Exemple
On considère l’expérience aléatoire e qui consiste à jeter un dé.
Soit X la variable aléatoire réelle qui a pour réalisation la face
obtenue sur le dé. Calculons l’espérance de X :
E [X ] =1 × P (X = 1) + 2 × P (X = 2) + 3 × P (X = 3)
+ 4 × P (X = 4) + 5 × P (X = 5) + 6 × P (X = 6)
1
1
1
1
1
1
=1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 ×
6
6
6
6
6
6
21
=
6
=3.5 .
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Exercice
On considère l’expérience aléatoire e qui consiste à jeter deux dés,
un bleu et un rouge. Soit X la variable aléatoire réelle qui a pour
réalisation la somme des deux faces obtenues sur les dés. Calculer
l’espérance de X sans utiliser de résultats sur l’espérance autres
que ceux déjà énoncés.
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Espérance d’une variable aléatoire continue - 1
Définition
Soit une variable aléatoire réelle absolument continue X . Soit fX la
densité de probabilité de la variable aléatoire réelle X . On dit que
X admet une espérance si l’on a
Z
|x|fX (x)dx < ∞ .
R
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Définition
Soit une variable aléatoire réelle absolument continue X . Soit fX la
densité de probabilité de la variable aléatoire réelle X . On dit que
X admet une espérance si l’on a
Z
|x|fX (x)dx < ∞ .
R
Dans ce cas, l’espérance de X est égale à
E [X ] :=
Z
xfX (x)dx
R
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Exemple
Soit X une variable aléatoire réelle absolument continue de loi
uniforme sur l’intervalle [0; 1], U[0;1] . Ici, on a fX (x) = 1[0;1] .
Calculons l’espérance de X :
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Exemple
Soit X une variable aléatoire réelle absolument continue de loi
uniforme sur l’intervalle [0; 1], U[0;1] . Ici, on a fX (x) = 1[0;1] .
Calculons l’espérance de X :
E [X ] =
=
Z
xfX (x)dx
R
Z 1
xdx
0
=
Julian Tugaut
1
.
2
Probabilités
Plan
1
Exemple introductif
2
Définition
3
Propriétés
4
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Soit une variable aléatoire réelle X qui a toujours la même
réalisation a. En d’autres termes, pour tout ω ∈ Ω, on a X (ω) = a.
L’ensemble des réalisations de X est donc X (Ω) = {a}. Et, la loi
de probabilité de X est PX −1 = δa c’est-à-dire que l’on a
P(X = a) = 1.
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
P(X = a) = 1. Par définition, on a donc
E[X ] = a × P(X = a) = a .
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
E[X ] = a × P(X = a) = a .
Si a est une constante réelle, on a donc
E[a] = a .
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
E[X ] = a × P(X = a) = a .
Si a est une constante réelle, on a donc
E[a] = a .
En particulier, pour toute variable aléatoire réelle X , on a
E{E[X ]} = E[X ].
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
discrète - 1
Soit maintenant une variable aléatoire réelle X définie sur un
espace fondamental Ω muni d’une probabilité P. Soit une fonction
réelle g de R dans R. Alors, g (X ) est une variable aléatoire réelle .
On cherche à calculer l’espérance de g (X ).
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
discrète - 1
Soit maintenant une variable aléatoire réelle X définie sur un
espace fondamental Ω muni d’une probabilité P. Soit une fonction
réelle g de R dans R. Alors, g (X ) est une variable aléatoire réelle .
On cherche à calculer l’espérance de g (X ).
Théorème
Supposons que X soit une variable aléatoire réelle discrète avec
Alors, on a
X
E [g (X )] =
g (xi )P (X = xi ) .
i∈I
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
discrète - 2
Donnons un exemple classique de ce résultat.
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
discrète - 2
Donnons un exemple classique de ce résultat.
Exemple
Soit n ∈ N∗ . Prenons gn (x) := x n . On peut alors calculer, si elle
existe, la quantité
E [X n ] =
X
xin P (X = xi ) .
i∈I
Cette quantité est appelée “moment d’ordre n de la variable
aléatoire réelle X ”.
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
continue - 1
Théorème
Supposons que X soit une variable aléatoire réelle continue de loi
de probabilité fX . Alors, on a
E [g (X )] =
Z
g (x)fX (x)dx .
R
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
continue - 2
Exemple
Soit n ∈ N∗ . Prenons gn (x) := x n . On peut alors calculer, si elle
existe, la quantité
n
E [X ] =
Z
x n fX (x)dx .
R
Cette quantité est appelée “moment d’ordre n de la variable
aléatoire réelle X ”.
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Soient deux variables aléatoires réelles X et Y définies sur le même
espace fondamental. Soit λ ∈ R. On suppose que les deux variables
aléatoires réelles X et Y admettent chacune une espérance.
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
aléatoires réelles X et Y admettent chacune une espérance. On a
alors
E [λX + Y ] = λE[X ] + E[Y ] .
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
aléatoires réelles X et Y admettent chacune une espérance. On a
alors
E [λX + Y ] = λE[X ] + E[Y ] .
Théorème
Soient n variables aléatoires réelles X1 , · · · , Xn définies sur un
même espace fondamental Ω muni d’une probabilité P. Soient
λ0 , λ1 , · · · , λn des réels. On a alors
E [λ0 + λ1 X1 + · · · + λn Xn ] = λ0 + λ1 E[X1 ] + · · · + λn E[Xn ] .
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Soit une variable aléatoire réelle X qui a toutes ses réalisations
possibles positives. Alors son espérance est positive. De même, si la
variable aléatoire réelle X est négative alors son espérance est
négative :
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Soit une variable aléatoire réelle X qui a toutes ses réalisations
possibles positives. Alors son espérance est positive. De même, si la
variable aléatoire réelle X est négative alors son espérance est
négative :
X ≥ 0 =⇒ E[X ] ≥ 0
et X ≤ 0 =⇒ E[X ] ≤ 0 .
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Propriété
même espace fondamental Ω muni d’une probabilité P. Supposons
que les n variables aléatoires réelles sont mutuellement
indépendantes. On suppose également que chacune de ces
variables aléatoires réelles admet une espérance.
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Propriété
indépendantes. On suppose également que chacune de ces
variables aléatoires réelles admet une espérance. Alors, la variable
aléatoire réelle X1 × · · · × Xn admet une espérance et de plus :
E [X1 × · · · × Xn ] = E[X1 ] × · · · × E[Xn ] .
Julian Tugaut
Probabilités
Théorème
indépendantes. Soient n fonctions bornées f1 , · · · , fn .
Théorème
indépendantes. Soient n fonctions bornées f1 , · · · , fn . Alors, la
variable aléatoire réelle f1 (X1 ) × · · · × fn (Xn ) admet une espérance
et de plus :
E [f1 (X1 ) × · · · × fn (Xn )] = E[f1 (X1 )] × · · · × E[fn (Xn )] .
Théorème
indépendantes. Soient n fonctions bornées f1 , · · · , fn . Alors, la
variable aléatoire réelle f1 (X1 ) × · · · × fn (Xn ) admet une espérance
et de plus :
E [f1 (X1 ) × · · · × fn (Xn )] = E[f1 (X1 )] × · · · × E[fn (Xn )] .
Propriété
que l’Égalité est vérifiée pour toutes les fonctions bornées, alors les
n variables aléatoires réelles X1 , · · · , Xn sont mutuellement
indépendantes.
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Théorème : Inégalité de Markov
Soit une variable aléatoire réelle X définie sur un espace
fondamental Ω muni d’une probabilité P. Supposons qu’elle
admette une espérance finie c’est-à-dire que l’on ait E[|X |] < ∞.
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Théorème : Inégalité de Markov
Soit une variable aléatoire réelle X définie sur un espace
fondamental Ω muni d’une probabilité P. Supposons qu’elle
admette une espérance finie c’est-à-dire que l’on ait E[|X |] < ∞.
Alors, pour tout R > 0, on a
P (|X | ≥ R) ≤
Julian Tugaut
E[|X |]
.
R
Probabilités
Plan
1
Exemple introductif
2
Définition
3
Propriétés
4
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Définition
On dit qu’une variable aléatoire réelle X est centrée lorsque son
espérance mathématique est nulle.
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Définition
Centrer une variable aléatoire réelle X , c’est lui retrancher son
espérance, c’est-à-dire considérer la variable aléatoire réelle
X − E[X ].
Julian Tugaut
Probabilités
Exemple introductif
Définition
Propriétés
Définition
Centrer une variable aléatoire réelle X , c’est lui retrancher son
espérance, c’est-à-dire considérer la variable aléatoire réelle
X − E[X ]. En effet, d’après la linéarité de l’espérance, on a
E {X − E[X ]} = E[X ] −
E [E[X ]]
| {z }
= E[X ], E[X ] étant constant
Julian Tugaut
Probabilités
= 0.

Espérance d`une variable aléatoire réelle

Transcription

Documents pareils

Examen de probabilités

Devoir surveillé sur les probabilités en première S

colle 9 EXERCICE 1 On dispose d`une pi`ece de monnaie donnant

ouvrir le document - maths

Contrôle continu Probabilités - IRMA

Fonction de répartition et densité

Devoir Maison No2 - Licence MASS 2`eme année. Exercice. Une

TD Probabilités : Exercices “de base”

TD n˚3 Lois de Probabilités, Variables aléatoires

Introduction `a R