TES spé. Évaluation 2 - Correction EX 1 : (5 points) Soit (un) la suite
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TES spé. Évaluation 2 - Correction EX 1 : (5 points) Soit (un) la suite
TES spé. Évaluation 2 - Correction E X 1 : (5 points) ♣ Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 300 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0, 75 × u n + 200 . 1. Utiliser les droites d’équations y = x et y = 0, 75x + 200 pour construire les quatre premiers termes de la suite (u n ) . (Cette construction est à faire sur le graphique de l’annexe ci-dessous) Pour obtenir la représentation des quatre premiers termes de la suite (u n ) : – Placer le terme initial u 0 = 300 sur l’axe des abscisses. – Comme u 1 = 0, 75 × u 0 + 200, u 1 est l’ordonnée du point de la droite d’équation y = 0, 75x + 200 d’abscisse 300. – À l’aide de la droite d’équation y = x on rabat l’ordonnée u 1 sur l’axe des abscisses. – Poursuivre le procédé pour représenter les termes u 2 et u 3 . Annexe ∆ 9 00 C 8 00 7 00 6 00 5 00 4 00 3 00 2 00 1 00 u0 1 00 2 00 3 00 u1 4 00 u2 5 00 u3 6 00 7 00 8 00 9 00 10 00 Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n ) ? Graphiquement, la suite (u n ) semble converger vers l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Vérifions que 800 est la bonne valeur : Si, lorsque n tend vers +∞ la suite un admet une limite finie ℓ alors ℓ est solution de l’équation ℓ = 0, 75 × ℓ + 200 ⇐⇒ 0, 25ℓ = 200 ⇐⇒ ℓ = 800 Si, la suite (u n ) admet une limite finie quand n tend vers + ∞ alors cette limite est égale à 800 2. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n, par v n = u n − 800. a. Démontrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Pour tout entier n, v n+1 = u n+1 − 800 = 0, 75 × u n + 200 − 800 = 0, 75 × u n − 600 = 0, 75 × (u n − 800) = 0, 75 × v n Pour tout entier n, v n+1 = 0, 75 × v n alors la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 0, 75. Calculons le premier terme de la suite (v n ) : v 0 = u 0 − 800 Soit v 0 = 300 − 800 = −500 Ainsi, la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 0, 75 et de premier terme v0 = −500 b. Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 800 − 500 × 0, 75n . v n est une suite géométrique de raison 0, 75 et de premier terme v 0 = −500 alors pour tout entier n, v n = −500 × 0, 75n . Comme pour tout entier n, v n = u n − 800 alors u n = v n + 800. Donc pour tout entier n, u n = 800 − 500 × 0, 75n c. La suite (u n ) est-elle convergente ? 0 < 0, 75 < 1 Soit donc lim 0, 75n = 0 d’où, lim 800 − 500 × 0, 75n = 800. n→+∞ lim u n = 800 n→+∞ La suite un converge vers 800. n→+∞ 3. Une salle de spectacle propose un abonnement pour l’année. En 2010, il y avait 300 abonnés. On estime que chaque année, il y a 200 nouveaux abonnés et que d’une année sur l’autre, 75 % des abonnés renouvellent leur abonnement. On note u n le nombre d’abonnés pour l’année 2010 + n ; on a donc u 0 = 300 et u n+1 = 0, 75 × u n + 200. a. Dans combien d’années, le nombre d’abonnés sera-t-il supérieur à 790 ? L’évolution du nombre d’abonnés est modélisée par la suite (u n ). D’après la question précédente, on a u n = 800 − 500 × 0, 75n . Par conséquent, le nombre d’abonnés sera supérieur à 790 pour le plus petit entier n tel que : 800 − 500 × 0, 75n > 790 −500 × 0, 75n > −10 0, 75n 6 0, 02 ¡ ¢ ln 0, 75n 6 ln0, 02 :Division par un réel négatif :La fonction ln est strictement croissante :Pour tout réel a strictement positif, ln a n = n ln a n ln 0, 75 6 ln0, 02 n> ln 0, 02 ln 0, 75 : ln 0, 75 < 0 Soit n > 14 . Le nombre d’abonnés sera supérieur à 790 à partir de 2024 b. Dans ces conditions, est-il possible pour le gérant de la salle de spectacle d’espérer 1000 abonnés ? ¡ ¢ Pour tout entier n, u n+1 − u n = 800 − 500 × 0, 75n+1 − (800 − 500 × 0, 75n ) = −500 × 0, 75n+1 + 500 × 0, 75n = −500 × 0, 75n × 0, 75 + 500 × 0, 75n = 500 × 0, 75n × 0, 25 = 125 × 0, 75n Ainsi, pour tout entier n, u n+1 − u n > 0 donc la suite (u n ) est croissante. La suite (u n ) est croissante et converge vers 800 alors pour tout entier n, u n 6 800. Il n’est pas possible d’envisager un nombre d’abonnés supérieur à 800 avec ce modèle E X 2 : (2 points) Observation d’une suite de nombres 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 un + + + + 0 1 2 3 + + + + + + + + + + + + 4 5 6 7 8 n 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1. On donne ci-dessus la représentation graphique des 16 premiers termes d’une suite (u n ) dans le plan muni d’un repère orthogonal. Conjecturer la limite de la suite (u n ). D’après la représentation graphique, la limite de la suite un semble être égale à 20 2. Les quatre premiers termes de la suite (u n ) ont été calculés avec un tableur : 0 161 n un 1 104,6 2 70,76 3 50,456 La suite (u n ) peut-elle être une suite géométrique ? On justifiera la réponse donnée. u2 u1 = 104, 6161 ≃ 0, 65 et = 70, 76104, 6 ≃ 0, 68 u0 u1 Il n’existe pas de réel q tel que pour tout entier n, u n+1 = q × u n donc la suite (u n ) n’est pas une suite géométrique E X 3 : (3 points) Le graphe ci-dessous représente le plan d’une ville. Le sommet A désigne l’emplacement des services techniques. Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les emplacements de jardins publics. Une arête représente l’avenue reliant deux emplacements et est pondérée par le nombre de feux tricolores situés sur le trajet. 1 B D 2 2 1 A 3 5 4 C 3 3 5 E 1 G 6 2 F On s’intéresse au graphe pondéré. Proposer un trajet comportant un minimum de feux tricolores reliant A à G. La réponse sera justifiée par un algorithme. On cherche un trajet minimum reliant A à G en utilisant l’algorithme de Dijkstra. A B C D E F G 0 ∞ 0 + 2 = 2 (A) 1+2 = 3 > 2 2(A) ∞ 0 + 1 = 1(A) ∞ ∞ 1 + 4 = 5 (C) ∞ ∞ 1 + 3 = 4 (C) ∞ ∞ 1 + 5 = 6 (C) ∞ ∞ ∞ Sommet sélectionné A(0) C(1) B(2) 2 + 1 = 3(B) 2+3 = 5 > 4 4(C) 3+3 = 6 > 4 4(C) 6 (C) ∞ D(3) 3+6 = 9 > 6 6(C) 4 + 1 = 5(E) 3 + 5 = 8 (D) E(4) 8(D) 5 + 2 = 7(F) F(5) G(7) Le trajet à l’envers est G-F-E-C-A. Le trajet comportant un minimum de feux tricolores est A-C-E-F-G avec sept feux tricolores