TES spé. Évaluation 2 - Correction EX 1 : (5 points) Soit (un) la suite

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TES spé. Évaluation 2 - Correction EX 1 : (5 points) Soit (un) la suite
TES spé. Évaluation 2 - Correction
E X 1 : (5 points)
♣
Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 300 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0, 75 × u n + 200 .
1. Utiliser les droites d’équations y = x et y = 0, 75x + 200 pour construire les quatre premiers termes de la suite (u n ) .
(Cette construction est à faire sur le graphique de l’annexe ci-dessous)
Pour obtenir la représentation des quatre premiers termes de la suite (u n ) :
– Placer le terme initial u 0 = 300 sur l’axe des abscisses.
– Comme u 1 = 0, 75 × u 0 + 200, u 1 est l’ordonnée du point de la droite d’équation y = 0, 75x + 200 d’abscisse 300.
– À l’aide de la droite d’équation y = x on rabat l’ordonnée u 1 sur l’axe des abscisses.
– Poursuivre le procédé pour représenter les termes u 2 et u 3 .
Annexe
∆
9 00
C
8 00
7 00
6 00
5 00
4 00
3 00
2 00
1 00
u0
1 00
2 00
3 00
u1
4 00
u2
5 00
u3
6 00
7 00
8 00
9 00
10 00
Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n ) ?
Graphiquement, la suite (u n ) semble converger vers l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Vérifions
que 800 est la bonne valeur :
Si, lorsque n tend vers +∞ la suite un admet une limite finie ℓ alors ℓ est solution de l’équation
ℓ = 0, 75 × ℓ + 200 ⇐⇒ 0, 25ℓ = 200 ⇐⇒ ℓ = 800
Si, la suite (u n ) admet une limite finie quand n tend vers + ∞ alors cette limite est égale à 800
2. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n, par v n = u n − 800.
a. Démontrer que (v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout entier n, v n+1 = u n+1 − 800
= 0, 75 × u n + 200 − 800
= 0, 75 × u n − 600
= 0, 75 × (u n − 800) = 0, 75 × v n
Pour tout entier n, v n+1 = 0, 75 × v n alors la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 0, 75.
Calculons le premier terme de la suite (v n ) : v 0 = u 0 − 800 Soit v 0 = 300 − 800 = −500
Ainsi, la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 0, 75 et de premier terme v0 = −500
b. Exprimer, pour tout entier naturel n, v n en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 800 − 500 × 0, 75n .
v n est une suite géométrique de raison 0, 75 et de premier terme v 0 = −500
alors pour tout entier n, v n = −500 × 0, 75n . Comme pour tout entier n, v n = u n − 800 alors u n = v n + 800.
Donc pour tout entier n, u n = 800 − 500 × 0, 75n
c. La suite (u n ) est-elle convergente ?
0 < 0, 75 < 1
Soit
donc
lim 0, 75n = 0 d’où, lim 800 − 500 × 0, 75n = 800.
n→+∞
lim u n = 800
n→+∞
La suite un converge vers 800.
n→+∞
3. Une salle de spectacle propose un abonnement pour l’année. En 2010, il y avait 300 abonnés.
On estime que chaque année, il y a 200 nouveaux abonnés et que d’une année sur l’autre, 75 % des abonnés renouvellent leur abonnement.
On note u n le nombre d’abonnés pour l’année 2010 + n ; on a donc u 0 = 300 et u n+1 = 0, 75 × u n + 200.
a. Dans combien d’années, le nombre d’abonnés sera-t-il supérieur à 790 ?
L’évolution du nombre d’abonnés est modélisée par la suite (u n ). D’après la question précédente, on a u n =
800 − 500 × 0, 75n .
Par conséquent, le nombre d’abonnés sera supérieur à 790 pour le plus petit entier n tel que :
800 − 500 × 0, 75n > 790
−500 × 0, 75n > −10
0, 75n 6 0, 02
¡
¢
ln 0, 75n 6 ln0, 02
:Division par un réel négatif
:La fonction ln est strictement croissante
:Pour tout réel a strictement positif, ln a n = n ln a
n ln 0, 75 6 ln0, 02
n>
ln 0, 02
ln 0, 75
: ln 0, 75 < 0
Soit n > 14 . Le nombre d’abonnés sera supérieur à 790 à partir de 2024
b. Dans ces conditions, est-il possible pour le gérant de la salle de spectacle d’espérer 1000 abonnés ?
¡
¢
Pour tout entier n, u n+1 − u n = 800 − 500 × 0, 75n+1 − (800 − 500 × 0, 75n )
= −500 × 0, 75n+1 + 500 × 0, 75n
= −500 × 0, 75n × 0, 75 + 500 × 0, 75n
= 500 × 0, 75n × 0, 25
= 125 × 0, 75n
Ainsi, pour tout entier n, u n+1 − u n > 0 donc la suite (u n ) est croissante.
La suite (u n ) est croissante et converge vers 800 alors pour tout entier n, u n 6 800.
Il n’est pas possible d’envisager un nombre d’abonnés supérieur à 800 avec ce modèle
E X 2 : (2 points)
Observation d’une suite de nombres
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
un
+
+
+
+
0
1
2
3
+ +
+ + + + + + + + + +
4
5
6
7
8
n
9 10 11 12 13 14 15 16 17
1. On donne ci-dessus la représentation graphique des 16 premiers termes d’une suite (u n ) dans le plan muni d’un
repère orthogonal.
Conjecturer la limite de la suite (u n ).
D’après la représentation graphique, la limite de la suite un semble être égale à 20
2. Les quatre premiers termes de la suite (u n ) ont été calculés avec un tableur :
0
161
n
un
1
104,6
2
70,76
3
50,456
La suite (u n ) peut-elle être une suite géométrique ? On justifiera la réponse donnée.
u2
u1
= 104, 6161 ≃ 0, 65 et
= 70, 76104, 6 ≃ 0, 68
u0
u1
Il n’existe pas de réel q tel que pour tout entier n, u n+1 = q × u n donc la suite (u n ) n’est pas une suite géométrique
E X 3 : (3 points) Le graphe ci-dessous représente le plan d’une ville.
Le sommet A désigne l’emplacement des services techniques.
Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les emplacements de jardins publics. Une arête représente l’avenue reliant deux
emplacements et est pondérée par le nombre de feux tricolores situés sur le trajet.
1
B
D
2
2
1
A
3
5
4
C
3
3
5
E
1
G
6
2
F
On s’intéresse au graphe pondéré.
Proposer un trajet comportant un minimum de feux tricolores reliant A à G.
La réponse sera justifiée par un algorithme.
On cherche un trajet minimum reliant A à G en utilisant l’algorithme de Dijkstra.
A
B
C
D
E
F
G
0
∞
0 + 2 = 2 (A)
1+2 = 3 > 2
2(A)
∞
0 + 1 = 1(A)
∞
∞
1 + 4 = 5 (C)
∞
∞
1 + 3 = 4 (C)
∞
∞
1 + 5 = 6 (C)
∞
∞
∞
Sommet
sélectionné
A(0)
C(1)
B(2)
2 + 1 = 3(B)
2+3 = 5 > 4
4(C)
3+3 = 6 > 4
4(C)
6 (C)
∞
D(3)
3+6 = 9 > 6
6(C)
4 + 1 = 5(E)
3 + 5 = 8 (D)
E(4)
8(D)
5 + 2 = 7(F)
F(5)
G(7)
Le trajet à l’envers est G-F-E-C-A.
Le trajet comportant un minimum de feux tricolores est A-C-E-F-G avec sept feux tricolores