Évry : Lycée du Parc des Loges – Grenoble 2010

Évry : Lycée du Parc des Loges – Grenoble 2010
Polyèdres platoniciens :
Un polyèdre est un solide limité de toutes parts par des polygones plans. Un polyèdre sans
trous est un solide qui fabriqué en caoutchouc et gonflé aurait une forme un peu semblable à une
sphère ou à un ballon de foot ou....
Si ses faces sont régulières combien peut-on en concevoir (en fabriquer)?
On pourra chercher une formule qui relie entre eux le nombre des sommets, des arêtes et des
faces de ces volumes (cf. Euler Léonhard). Pour y parvenir on pourra explorer quelques
polygones du plan avant de chercher dans les solides...ou …
Problème de Syracuse :
Choisissez un nombre entier ;
_ s'il est pair, divisez-le par 2 ; mais s'il est impair, multipliez-le par trois et ajoutez 1 au résultat ;
_ recommencez avec le résultat obtenu ; puis avec le nouveau résultat ; et recommencez encore ; et
encore ; … (« Cent fois sur le métier remettez votre ouvrage,
Polissez-le sans cesse et le repolissez... » Boileau in « l'Art Poétique »)
Les nombres originels :
Prenons un nombre entier quelconque (ex : 143), ajoutons lui la somme de ses chiffres, nous
obtenons 151 (143 + 8). Recommençons avec 151, nous obtenons 158, puis 172, 182, 193.....
Nous dirons que 143 engendre le nombre 151, ou que 143 est un générateur de 151.
Certains nombres possèdent un seul générateur, d'autres plusieurs ; enfin, ceux qui n'en ont
aucun sont les nombres originels...
Explorez cette généalogie originale, ses ascendants, ses descendants...
Les pavages :
l'art mathématique des pavages :
Si carrés, rectangles et hexagones sont les formes les plus courantes utilisées pour les
carrelages, bien d'autres formes ont la propriété de paver une surface, c'est-à-dire en s'assemblant
de manière parfaite, sans recouvrement ni lacune.
Vous utiliserez des pavages réalisés avec une seule forme de base (appelée pièce ou tuile).
La plupart des dallages imaginés par l'homme sont périodiques : des motifs sont disposés
régulièrement en réseaux comme les papiers peints et les tissus imprimés. Mais des pavages non
périodiques sont également possibles...
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En utilisant un « polymino », ce terme désigne un assemblage de carrés tous égaux collés
entre eux, chaque case étant reliée au corps de la « tuile » par au moins un côté, vous démarrerez
votre étude sur les pavages. Voici quelques exemples de « polyminos » :
·c.o"
Ainsi un polymino composé de deux cases
est un domino.
[IIJ
Un polymino composé de trois cases est un trimino.
Un polymino composé de quatre cases est un tétramino:
tétramino « T» L(3J tétramino «L» c:r:a tétramino «1» 1 1 1 1 1 tétramino «S»
cBJ
)L'harmonium à deux dimensions: Non, ce n'est pas un instrument de musique! !! Prenons une grille de
forme quelconque sur
le bord de laquelle on dispose
-
des nombres entiers positifs.
12 15 20 15 120
-21258 186 11 1491
rn
-
Dans un premier temps, on remplit tou tes les cases intérieures avec la plus petite valeur du bord: début
du jeu
15 11250 20
-125125186285 154
591
Le but du jeu est d'augmenter les valeurs à l'intérieur en respectant la règle suivante: chaque valeur est un
entier positif ne dépassant pas la moyenne des quatre valeurs contenues dans les cases adjacentes.
On s'arrête quand on ne peut plus augmenter ces valeurs sans enfreindre la règle. On est alors bloqué dans un
ÉTAT FINAL.
une éta e dujeu 14
?2
18
201110 5 11
5 6 5 5 59 12 8 5 16 1511
5 18
20 25
Quelle est l'influence des nombres de départ? De la forme de la grille? Peut-on ajouter deux grilles? ... Peuton caractériser l'ÉTAT FINAL ?
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