exercice agrégation additive

A IDE
À
O PTION /M ASTER G ÉNIE I NDUSTRIEL
LA DÉCISION - A NALYSE DES RISQUES
Vincent Mousseau
E XERCICE AGRÉGATION ADDITIVE
.
Michel vient de créer une société fun4all.com de vente par internet spécialisé dans les produits
technologiques destinés à une clientèle jeune (console de jeux, lecteurs mp3, ...). Michel souhaite optimiser la gamme de produits proposés sur son site marchand. En particulier, il souhaite que les produits
soient attractifs pour sa jeune clientèle. Dans le même temps, sa jeune société ne peut pas se permettre
d’avoir un catalogue trop grand.
Pour identifier les modèles de lecteurs mp3 qu’il propose à la vente, Michel a fait appel à un
cabinet d’étude marketing qui, sur un panel de jeunes acheteurs potentiels, a permis d’évaluer la qualité
perçue des lecteurs existants sur le marché, et ceci sur trois dimensions : la capacité de stockage,
l’autonomie, l’ergonomie/design (chaque modèle étant évalué, pour chacune des dimensions, sur une
échelle [0,100]). Une partie des résultats de l’étude est synthétisée dans le tableau ci-dessous.
M1
M2
M3
M4
M5
M6
..
.
Dimension 1
10
34
40
30
60
49
..
.
Dimension 2
50
56
90
10
80
56
..
.
Dimension 3
70
84
45
70
45
54
..
.
Pour apprécier l’attractivité relative des modèles, Michel souhaite établir un classement et se fonde
sur une évaluation globale g(Mi ) synthétisant les trois dimensions par une somme pondérée : g(Mi ) =
w1 .g1 (Mi ) + w2 .g2 (Mi ) + w3 .g3 (Mi ) avec w1 + w2 + w3 = 1 et wi ≥ 0, i = 1, 2, 3.
a) Sans connaître la valeur de w1 , w2 et w3 , dans quel intervalle varie g(M1 ) ?
b) Le schéma ci-dessous représente l’espace des valeurs acceptables pour le vecteur poids (w1 , w2 , w3 )
compte tenu de la contrainte de normalisation. A quel vecteurs correspondent les points A, B et
C du graphique ? Sur quel axe peut-on représenter w3 sur ce schéma ? tracer cet axe.
w2
w1
0
0
1
c) Pour mieux comprendre les préférences de sa jeune clientèle, Michel demande à son neveu
Antonin de comparer certains des modèles étudiés dans l’enquête. Antonin lui affirme :
– Le modèle M1 est au moins aussi attractif que le modèle M4
– Le modèle M5 n’est pas pire que le modèle M3
– Le modèle M2 est au moins aussi bien que le modèle M6 .
Par ailleurs, Michel considère raisonnable d’ajouter la contrainte selon laquelle aucune des 3
dimensions ne peut contribuer de plus de la moitié de l’évaluation globale. Montrer que ces
affirmations peuvent être représentées dans le modèle de somme pondérée par des contraintes
linéaires sur w1 , w2 et w3 , puis identifier l’espace des valeurs pour les vecteurs poids compatibles avec ces affirmations. Les contraintes étant linéaires, cet espace est un polyèdre que l’on
notera D ; représentez D.
d) soient w et w′ deux vecteurs poids. Notons gw (Mi ) la somme pondérée des évaluations du
modèle Mi considérant le jeu de poids w. Montrer que si la somme pondérée conduit à préférer
Mi à Mj pour les deux vecteurs w et w′ alors cette conclusion reste vraie pour tout vecteur
′ (M ) >
correspondant à une combinaison linéaire de w et w′ , i.e., si gw (Mi ) > gw (Mj ) et gw
i
′
α
′
gw (Mj ), alors gwα (Mi ) > gwα (Mj ) avec w = αw + (1 − α)w .
En déduire que si le modèle Mi est préféré au modèle Mj pour chaque sommet du polyèdre D
de valeurs acceptables pour les poids, alors tout jeu de poids de ce polyèdre conduira à la même
conclusion.
e) Identifier les jeux de poids correspondant aux sommets du polyèdre D obtenu à la question c).
Montrer que l’on ne peut déterminer lequel des modèles M2 et M5 est jugé comme le meilleur
pour l’ensemble de ces jeux de poids.
f) Face à cette difficulté inattendue, Michel souhaite disposer d’une méthode permettant comparer
deux à deux les modèles Mi et Mj compte tenu de l’information imprécise dont il dispose sur
les poids (le polyèdre de valeurs acceptables D). Plus précisément, il souhaite déterminer si :
– Situation 1 : gw (Mi ) > gw (Mj ), ∀w ∈ D
– Situation 2 : gw (Mj ) > gw (Mi ), ∀w ∈ D
– Situation 3 : aucune des deux précédentes situation n’est vérifiée.
Donner une interprétation de ces 3 situations.
Pour déterminer la comparaison entre deux modèles Mi et Mj , Michel construit les deux programmes mathématiques suivants :
– P rog1 : M axw∈D (gw (Mi ) − gw (Mj ))
– P rog2 : M axw∈D (gw (Mj ) − gw (Mi ))
Comment peut-on interpréter la valeur optimale de ces deux programmes ?
Montrer que : M axw∈D (gw (Mi ) − gw (Mj )) < 0 ⇔ M inw∈D (gw (Mj ) − gw (Mi )) > 0
2
Correction :
g(M1 ) = 10w1 + 50w2 + 70w1 . g(M1 ) est maximum pour le jeu de poids (0,0,1), g(M1 ) = 70 et g(M1 ) est
minimum pour le jeu de poids (1,0,0), g(M1 ) = 10. Donc g(M1 ) ∈ [10, 70]. Correction :
w2
0
1
ut
ut
A
w3
C
ut
B
w1
0
1
0
– A = (0, 12 , 12 ).
– B = ( 31 , 13 , 13 ).
– C = ( 12 , 21 , 0).
Correction :
– M1 SM4 : 10w1 + 50w2 + 70w3 ≥ 30w1 + 10w2 + 70w3 d’où (50 − 10)w2 ≥ (30 − 10)w1 c’est-à-dire
2w2 ≥ w1 .
– M5 SM3 : 60w1 + 80w2 + 45w3 ≥ 40w1 + 90w2 + 45w3 d’où (60 − 40)w1 ≥ (90 − 80)w2 c’est-à-dire
2w1 ≥ w2 .
– M2 SM6 : 34w1 + 56w2 + 84w3 ≥ 49w1 + 56w2 + 54w3 d’où (84 − 54)w3 ≥ (49 − 34)w1 c’està-dire 2w3 ≥ w1 . pour représenter sur le schéma, comme w3 = 1 − w1 − w2 , la contrainte devient
2(1 − w1 − w2 ) ≥ w1 d’où 2 − 2w1 − 2w2 ≥ w1 donc 2 ≥ 3w1 + 2w2 .
– “aucune des 3 dimensions ne peut contribuer de plus de la moitié de l’évaluation globale” ⇒ wi ≤
1
2 , i = 1, 2, 3
3w1 + 2w2 = 2
w2
1
B
C
w2 =
1
2
A
D
w1
E
0
1
0
w1 = 2w2
2w1 = w2
w1 =
1
2
w3 =
1
2
Correction :
Soit x = (x1 , x2 , ..., xn ) le vecteur d’évaluation de Mi et y = (y1 , y2 , ..., yn ) le vecteur d’évaluation de Mj .
Soit w = (w1 , w2P
, ..., wn ) et w′ = (w1′ , w2′ , ..., wn′ ) deux vecteurs poids.
n
on note gw (x) = i=1 wi xi la somme pondérée des évaluation du vecteur x considérant le vecteur poids w.
supposons que Mi est meilleur que Mj selon les deux jeux de poids w et w′ .
3
Ceci se traduit par :
gw (x) > gw (y) ⇒
n
X
′
′
gw
(x) > gw
(y) ⇒
i=1
n
X
wi xi >
n
X
wi yi
(1)
wi′ xi >
i=1
n
X
wi′ yi
(2)
i=1
i=1
supposons α ∈ [0, 1], on a :
(1) ⇒
α
(2) ⇒ (1 − α)
Pn
i=1
Pn
wi xi > α
Pn
i=1
′
i=1 wi xi > (1 − α)
wi yi ⇒
n
X
Pn
i=1
n
X
′
i=1 wi yi ⇒
i=1
αwi xi >
n
X
αwi yi
(3)
i=1
(1 − α)wi′ xi >
n
X
(1 − α)wi′ yi
(4)
i=1
Pn
Pn
Pn
Pn
or (3)P
et (4) ⇒ i=1 αwi xi + i=1
(1 − α)wi′ xi > i=1 αwi yi + i=1 (1 − α)wi′ yi
P
donc ni=1 (αwi + (1 − α)wi′ )xi > ni=1 (αwi + (1 − α)wi′ )yi
cqfd.
Correction :
Les jeux de poids (w1 , w2 , w3 ) correspondant aux sommets du polyèdre sont A = ( 16 , 31 , 12 ), B = ( 14 , 12 , 14 ),
C = ( 13 , 12 , 61 ), D = ( 12 , 14 , 41 ), E = ( 13 , 16 , 12 ).
On a M2 = (34, 56, 84) et M5 = (60, 80, 45) ;
avec B = ( 41 , 21 , 14 ), g(M2 ) = 0.25x34 + 0.5x56 +0.25x84 = 57.5 et g(M5 ) = 0.25x60 + 0.5x80 + 0.25x45 =
66.3
avec E = ( 13 , 16 , 12 ), g(M2 ) = 0.33x34+0.16x56+0.5x84 = 62, 6 et g(M5 ) = 0.33x60+0.16x80+0.5x45 =
55, 8
Compte tenu de la connaissance sur le vecteur poids, on ne peut donc pas savoir lequel des modèles M2 ou M5
est préféré.
Correction :
– Dans la situation 1, la valeur de la moyenne pondérée est plus grande pour Mi que pour Mj quel que soit
le jeu de poids choisi dans l’espace D des vecteurs poids admissibles. Compte tenu de la connaissance
imparfaite du jeu de poids, on peut affirmer que Mi est préféré à Mj .
– Dans la situation 2, la valeur de la moyenne pondérée est plus grande pour Mj que pour Mi quel que soit
le jeu de poids choisi dans l’espace D des vecteurs poids admissibles. Compte tenu de la connaissance
imparfaite du jeu de poids, on peut affirmer que Mj est préféré à Mi .
– Dans la situation 3, la comparaison des valeurs de la moyenne pondérée pour Mi et Mj dépend du jeu
de poids choisi dans l’espace D. Compte tenu de la connaissance imparfaite du jeu de poids, il n’est pas
possible d’affirmer lequel des modèles Mi ou Mj est préféré.
– Si la valeur de la fonction objectif du programme P rog1 est négative, on est assuré que la valeur de la
moyenne pondérée est plus grande pour Mi que pour Mj quel que soit le jeu de poids choisi dans l’espace
D des vecteurs poids admissibles.
– Si la valeur de la fonction objectif du programme P rog2 est négative, on est assuré que la valeur de la
moyenne pondérée est plus grande pour Mj que pour Mi quel que soit le jeu de poids choisi dans l’espace
D des vecteurs poids admissibles.
– Si la valeur de la fonction objectif des deux programmes P rog1 ou P rog2 est positive, il est impossible
de déterminer lequel des deux modèles Mj ou Mi est préféré (ce qui correspond à la situation 3).
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