1 EXERCICE 3 : Poutre encastrée soumise à un couple et une

EXERCICE 3 : Poutre encastrée soumise à un couple et une charge linéique variable
Déterminer la distribution des efforts tranchant et des moments fléchissants dans la poutre
encastrée soumise à une charge localisée R=50 kN et une charge répartie variable comme
schématisé ci-après.
1m
1,5 m
1,5 m
1m
r
R
MB=40 kN.m
A
•
B
60 kN/m
24 kN/m
REACTION AU POINT D’ENCASTREMENT
L’aire trapézoïdale représentée par la charge répartie est décomposée en une zone rectangulaire et
une zone triangulaire (Cf. schéma ci-après) :
1,5 m
1m
r
R
24 kN/m
(60-24)=36 kN/m
+
1,5 + 1
= 1,25
2
r
R1
r
R2
2(1,5 + 1)
= 1,67
3
La résultante de la partie rectangulaire vaut R1=24x2,5=60 kN et celle de la partie trapézoïdale
vaut R2=36x2,5/2=45 kN.
Les forces extérieures s’appliquant sur la poutre sont ainsi résumées :
1
© Ambroise BROU 2006
1m
1,5 m
1m
r
R
MB=40 kN.m
MA
•
B
A
1,25 m
r
R1
1,67 m
r
RA
r
R2
L’équilibre de la poutre implique que :
r
r
r
r
F
=
0
et
M
=
0
∑ y
∑ B
On a donc :
R A + R1 + R2 − R = 0 et M B − M A − R A × 1 − R × 3 + R1 × 2,75 + R2 × 3,167 = 0
d’où RA=-55 kN et MA=252,5 kN.m
Note : la valeur négative de RA signifie que sons sens est contraire à celui indiqué sur le schéma.
EFFORT TRANCHANT ET MOMENT FLECHISSANT :
La présence d’une charge concentrée, d’une charge répartie et d’un moment en un point donné
de la poutre exige d’effectuer l’analyse sur plusieurs intervalles : ]0;1[ ; ]1;2,5[ ; ]2,5;4[ et ]4;5[
• Le premier intervalle étudié est tel que 0<x<1 :
Une coupe fictive est effectuée dans cet intervalle. La portion isolée de la poutre est celle située à
gauche comme le montre le schéma.
r
x
RA
L’équilibre des forces et des moments par rapport à la section
r
donnent :
T
− R A + T = 0 Ö T=Ra=55 kN
M
M − R A .x − M A = 0 Ö M=252,5-55x
MA
A
•
1<x<2,5
1m
r
RA
r
r
F
=
0
∑ ry rÖ T=Ra=55 kN
∑ M z = 0 Ö M = M A − R A .x − M B = 212,5 − 55 x
r
T
MB=40 kN.m
MA
•
B
A
M
M
r1 m
R
r
T
•
x
60 kN/m
q = 14,4 x − 12
2
© Ambroise BROU 2006
(5-x)/2 r
2(5-x)/3
Rx1 r
Rx 2
5-x
2
,
5
<
x
<
4
La portion isolée de la poutre est celle située à droite (Cf. schéma ci-contre). La charge répartie es
décomposée comme l’indique le schéma en deux forces concentrées Rx1 et Rx2. Les résultantes de
ces deux charges sont déterminée comme suit :
R x1 = (14,4 x − 12)(5 − x)
1
R x 2 = (60 − 14,4 x + 12)(5 − x) = (36 − 7,2 x)(5 − x)
2
L’équilibre de cette portion conduit à :
T = R x1 + R x 2 − R = −7,2 x 2 + 12 x + 70
5−x
2
M = Rx1 .
+ R x 2 . ( 5 − x ) − R( 4 − x ) = 2 ,4 x 3 − 6 x 2 − 70 x + 250
2
3
• 4<x<5
Un raisonnement pareil que le précédent donne
les valeurs de l’effort tranchant et du moment
fléchissant dans cette portion de la poutre :
T = R x1 + R x 2 = (7,2 x + 24)(5 − x)
5− x
2
M = R x1 .
+ R x 2 . (5 − x) = (2,4 x + 18)(5 − x) 2
2
3
(5-x)/2
r
T
M
60 kN/m
r
Rx1
q = 14,4 x − 12
2(5-x)/3
r
Rx 2
5-x
DIAGRAMME DE L’EFFORT TRANCHANT ET DU MOMENT FLECHISSANT
x
T (kN)
M (kN.m)
0<x<1
1<x<2,5
55
55
252,5 − 55 x
2,5<x<4
− 7,2 x + 12 x + 70
212,5 − 55 x
2,4 x 3 − 6 x 2 − 70 x + 250
(2,4 x + 18)(5 − x) 2
Effort tranchant et moment fléchissant
Moment flechissant
M (kN.m)
T(kN)
60
300
40
200
20
100
0
0 0,5 1
4<x<5
(7,2 x + 24)(5 − x)
2
1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
0
x (m)
3
© Ambroise BROU 2006
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5x(m)