ECHANTILLONNAGE

ECHANTILLONNAGE
Déterminer un intervalle de fluctuation
Théorème : Pour une proportion théorique comprise entre 0,2 et 0,8 et un échantillon de
taille supérieure à 25 mais petit par rapport à la population totale on peut
montrer que l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est à peu près :
1
1
I= p–
,p+
.
[]
n
n
f est la fréquence observée d’un caractère dans l’échantillon.
p est la proportion théorique, la probabilité du caractère dans l’échantillon
n est la taille de l’échantillon.
Exemple :
On considère qu’il y a autant de garçon que de fille dans la population.
On a étudié le dossier de 100 élèves pris au hasard dans les élèves de toutes les grandes
écoles de France. On a observé que parmi ces dossiers 36 élèves étaient des filles et 64 des
garçons. On se demande s’il est raisonnable de penser que la disproportion est due au seul
hasard ou si on peut penser que les filles sont effectivement moins présentes dans les grandes
écoles.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
2. Conclure
1. Les conditions de détermination d’un intervalle de fluctuation au seuil de 95% étant
vérifiées, on applique le théorème.
Ici p = 0,5 et n = 100
(Au besoin voir « Comprendre les données dans un exercice sur les intervalles de
fluctuation »)
donc :
p – 1 = 0,5 – 1 = 0,4
100
n
et
p + 1 = 0,5 + 1 = 0,6
100
n
d’où I = [0,4 ; 0,6]
2. Les filles sont 34 sur 100, donc f = 0,34. f
I donc on peut penser que les filles sont
effectivement moins présentes dans les grandes écoles avec une marge d’erreur de 5%.
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Déterminer un intervalle de fluctuation
Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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ECHANTILLONNAGE
Déterminer un intervalle de fluctuation
Exercice 1
Un pisciculteur possède un bassin qui contient 3 variétés de truites en théorie en proportions
égales : communes, saumonées et arc-en-ciel. Il effectue, au hasard, 400 prélèvements d’une
truite avec remise et obtient les résultats suivants :
Variétés
Effectifs
Commune
146
Saumonée
118
Arc-en-ciel
136
Il se demande s’il est raisonnable de penser que la disproportion est due au seul hasard ou si
on peut penser que les truites saumonées sont effectivement moins présentes dans son
bassin.
Les données permettent d’utiliser l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
2. Conclure.
Corrigé – Revoir les explications du cours
Exercice 2
Un meunier a besoin pour sa farine, d’un mélange de quatre variétés différentes de grains de
blé, d’égales quantités chacune et notées A, B, C, D.
Il prélève, à la sortie du silo, un échantillon de 100 grains de blé rendus radioactifs par des
marqueurs différents selon les variétés. Il obtient les résultats suivants :
Variété
Nombre de
grains
A
B
C
D
18
27
35
20
Le meunier veut savoir si les graines de la variété C sont en excès dans son silo ou si la
différence peut être imputée à une fluctuation d’échantillonnage.
Déterminer la fréquence f, la proportion théorique p et la taille n de l’échantillon.
Les données permettent d’utiliser l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
2. Conclure.
Corrigé– Revoir les explications du cours
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Déterminer un intervalle de fluctuation
Corrigé 1
Un pisciculteur possède un bassin qui contient 3 variétés de truites : communes, saumonées et
arc-en-ciel. Il effectue, au hasard, 400 prélèvements d’une truite avec remise et obtient les
résultats suivants :
Variétés
Effectifs
Commune
146
Saumonée
118
Arc-en-ciel
136
Il se demande s’il est raisonnable de penser que la disproportion est due au seul hasard ou si
on peut penser que les truites saumonées sont effectivement moins présentes dans son
bassin.
Déterminer la fréquence f, la proportion théorique p et la taille n de l’échantillon.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
 La taille
n de l’échantillon est 400.
 La proportion théorique est
p=1
3
33%
0,33
 L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est : [0,33 –
1
; 0,33 +
400
1
] soit
400
[0,28 ; 0,38]
2. Conclure.
 Pour la fréquence, le caractère étudié est « truite saumonée » donc
f = 118 = 0,295
400
 0,295
[0,28 ; 0,38] donc il est raisonnable de penser que la disproportion est due au
seul hasard avec une marge d’erreur de 5%.
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Déterminer un intervalle de fluctuation
Corrigé 2
Un meunier a besoin pour sa farine, d’un mélange de quatre variétés différentes de grains de
blé, d’égales quantités chacune et notées A, B, C, D.
Il prélève, à la sortie du silo, un échantillon de 100 grains de blé rendus radioactifs par des
marqueurs différents selon les variétés. Il obtient les résultats suivants :
Variété
Nombre de
grains
A
B
C
D
18
25
37
20
Le meunier veut savoir si les graines de la variété C sont en excès dans son silo ou si la
différence peut être imputée à une fluctuation d’échantillonnage.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
 La taille
n de l’échantillon est 100.
 La proportion théorique est
p = 1 = 0,25
4
 l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est donc [0,25 –
1
; 0,25 +
100
1
] soit
100
[0,15 ; 0 ;35]
2. Conclure.
 Pour la fréquence, le caractère étudié est « Graine de variété C » donc
f = 37 = 0,37
100
 0,37 [0,15 ; 0 ;35] donc il est raisonnable de penser que la disproportion n’est pas
due au seul hasard avec une marge d’erreur de 5%.
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Fiche originale réalisée par Thierry Loof
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