TD15_01b Liaison isostatique equivalente

CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
TD15_01b
LIAISON ISOSTATIQUE ÉQUIVALENTE
On prend le cas de 2 liaisons pivot glissant en parallèle
Recherche de la liaison équivalente :
A
z
0
0
 et
{υ B }=  0
0
γ
wA 
B B
0
{υ A }=  0
γ
A A
B
 0
 
=  0
 γ
 A B
0
0
w
B
0 

− a.γ B 
w 
B
r
r
r
V A = VB + AB ∧ Ω
(On pose AB = a.x )
{υ } = {υ } = {υ }
a
eq
A
B
a 0
0 0
0 γB
⇒ a.γγB = 0
y
x
Soit
{υ }
eq
0 0 


= 0 0  ce qui correspond à une liaison glissière
0 w

A
m = 1 et h = Ns – rs = (4+4)-5 = 3
Recherche de la liaison permettant d’avoir une liaison équivalente isostatique :
La liaison pivot glissant a 2 ddl
La liaison glissière a 1 ddl
Pour passer de l’une à l’autre, il ne faut donc supprimer qu’1 ddl
Or, la 2ème pivot glissant en supprime 4, elle supprime donc 3ddl en trop ce qui introduit 3 degrés
d’hyperstatisme.
On doit mettre en place une liaison qui ne supprime qu’1ddl, donc qui possède 5ddl : c’est donc une
liaison sphère-plan.
ATTENTION : il reste à orienter correctement cette nouvelle liaison.
r r
r
3 possibilités : la normale de la liaison sphère plan peut être portée par x , y ou z
r
1- normale portée par x
B
A
z
a
y
0
{υ A }=  0
γ
A A
α B
0

 et
0  {υ B }= β B
γ
wA 
B B
B
u'B 

v' B 
w' 
B
υ
Nota : il est important ici de rechercher eq en exprimant ses
composantes au point A, car si on les exprime au point B on ne
verra pas apparaître la forme la plus simple
x
M Salette- Lycée Brizeux- Quimper
0  α B
 
v B =  β B
w  A γ B
{υ } = {υ }
eq
A
α = 0 = αB
0 0 
β = 0 = βB


= {υB}soit
donc {υeq } = 0 0 
γ =γA =γB
γ w

A
u = 0 = u′
B
v = 0 = v′B
w = wA = wB
m = 2 et h = Ns – rs = (4+1)-4 =1
Cette liaison a les mêmes mobilités que la liaison pivot glissant seule, mais on a introduit 1 degré
d’hyperstatisme !! (tout cela est donc à priori fort peu utile)
: TD15_01b Liaison isostatique equivalente.docCréé le 12/10/2010 – Source :
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TD15_01b
r
2- normale portée par y
0
{υ A }=  0
γ
A A
B
A
z
− b.γ A 
α B
 et
a.γ A  {υ B }= β B
γ
wA 
B B
0  0
 
0 =  0
wA  B γ A
a
r
r
r
VB = VA + BA ∧ Ω
−b 0
0
γA
x
{υ } = {υ } = {υ }
eq
A
B
B
−a 0
b
y
uB 

0
w 
α = 0 = αB → α = 0
β = 0 = βB → β = 0
→ γ = 0 donc
soit γ = γ A = γ B
u = −b.γ A = uB
→u =0
v = a.γ A = 0 → γ A = 0
{υ }
eq
0 0 


= 0 0  liaison glissière
0 w

A
w = wA = wB
m = 1 et h = Ns – rs = (4+1)-5 =0 : système isostatique
r
3- normale portée par z
0 
0 0  0

 
{υ A }=  0 0 =  0 a.γ A 
γ
wA  B γ A wA 
A A
et
α B
{υ B }= β B
γ
B B
r
r
r
VB = VA + BA ∧ Ω
uB 

vB 
0 
H
c
z
eq
A
B
a
x
α = 0 = αB →α = 0
soit β = 0 = β B → β = 0 donc
γ =γA =γB
u = 0 = uB
B
y
−a 0
0
0
c
γA
{υ } = {υ } = {υ }
A
→u =0
{υ }
eq
 0 0


= 0 v  mauvais choix du point
γ 0

B
v = a.γ A = v B
w = wA = 0 → w = 0
d’expression du torseur : on ne voit pas apparaître une liaison connue que l’on pense trouver !
Il faut exprimer le torseur en A
α = 0 = αB
→α = 0
0 0 
α
u
α
u
'




B
B
B
B
{υ A }=  0 0  et {υ B }= β B vB = β B v'B  soit β = 0 = β B → β = β B = 0
γ =γA =γB
γ
γ
 γ

wA 
0
a
.
β
A A
u
= 0 = u ′B
→u =0
 A B
B
B B
v = 0 = v′B
→v=0
→w=0
w = w A = a.β B
soit
{υ }
eq
 0 0


= 0 0 liaison pivot, m = 1 et h = Ns – rs = (4+1)-5 =0 : système isostatique
γ 0

A
: TD15_01b Liaison isostatique equivalente.docCréé le 12/10/2010 – Source :
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