UNIVERSITÉ PARIS DAUPHINE Département MIDO(*) MASTER

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UNIVERSITÉ PARIS DAUPHINE
Département MIDO(*)
MASTER MIDO
MENTION MMD(**)
SPÉCIALITÉ ACTUARIAT
Année Universitaire : 2007-2008
Mémoire d’Actuariat présenté en Novembre 2008 devant l’Université Paris Dauphine et l’Institut des
Actuaires
Par : Aurélie GLEIZE
Tuteur : Cédric COSTE
Sujet :
Stock-Options : Problématiques liées à l’évaluation
Entreprise d’accueil : MERCER Consulting
NON CONFIDENTIEL
JURY
Membres du Jury
Fonctions / Entreprise
Christian HESS
Président du jury, Professeur à l’Université Paris-Dauphine
Florence PICARD
Pierre MATHOULIN
Jean-Pierre DIAZ
Gérard CROSET
(*) MIDO : Mathématiques, Informatique, Décision, Organisation
(**) MMD : Mathématiques, Modélisation, Décision
Table des matières
Remerciements.........................................................................................................................................6
Résumé.....................................................................................................................................................7
Abstract ....................................................................................................................................................9
Introduction............................................................................................................................................11
Chapitre 1 : Un outil de rémunération phare : les stock-options ...........................................................12
1.
Notions fondamentales .............................................................................................................12
1.1.
Principe ..............................................................................................................................12
1.2.
Option d’achat ou de souscription .....................................................................................12
1.3.
Qui peut profiter d’un P.O.A .............................................................................................13
2.
Mécanisme des stock-options ...................................................................................................13
2.1.
Etape 1 : La décision de mise en place d’un plan ..............................................................13
2.2.
Etape 2 : L’attribution des options.....................................................................................14
2.3.
Etape 3 : La période d’acquisition .....................................................................................14
2.4.
Etape 4 : La période d’exercice .........................................................................................14
2.5.
Etape 5 : La période d’incessibilité....................................................................................14
2.6.
Etape 6 : La maturité..........................................................................................................15
3. La fiscalité des stock-options en France ...................................................................................16
4. Remise en cause de ce mode de rémunération..........................................................................18
4.1.
La perte d’attractivité des plans de stock-options..............................................................18
4.2.
Panorama de différents produits de rémunération variable différée..................................18
4.2.1.
Les actions gratuites...................................................................................................18
4.2.2.
Les SAR’s (Stock Appreciation Rights) ....................................................................19
4.2.3.
Les actions fictives.....................................................................................................20
Chapitre 2 : La norme comptable internationale IFRS2 ........................................................................21
1.
Quelques fondamentaux des normes IFRS ................................................................................21
1.1.
Transcrire la réalité économique........................................................................................21
1.2.
Faciliter la comparaison.....................................................................................................21
1.3.
Prendre en compte les évolutions économiques ................................................................21
2. La norme IFRS 2........................................................................................................................22
2.1.
Historique..........................................................................................................................22
2
2.1.1.
En Europe .................................................................................................................22
2.1.2.
Les précurseurs de la norme IFRS 2 .........................................................................22
2.2.
Le point sur la norme IFRS 2............................................................................................23
2.2.1.
Les Difficultés de mise en place ................................................................................23
2.2.2.
Le champ d’action d’IFRS 2......................................................................................23
2.2.3.
Principes de comptabilisation ...................................................................................24
a) Règlement en capitaux propres : ...................................................................................24
b) Règlement en trésorerie :...............................................................................................24
2.2.4.
Les paramètres de la norme IFRS 2..........................................................................25
a) Exemple : les paramètres imposés par la norme pour l’évaluation de la juste valeur des
stock-options ..........................................................................................................................26
b) Les autres paramètres d’évaluation de la juste valeur ...................................................26
c) Les autres paramètres à prendre en compte, hors juste valeur.......................................27
2.2.5.
Obligation d’information en annexes........................................................................27
2.2.6.
Nouvel amendement de la norme IFRS 2 .................................................................28
3. Conclusion .................................................................................................................................30
3.1.
Récapitulatif de la procédure à suivre................................................................................30
3.2.
Exemples d’application de la répartition de la charge .......................................................30
3.2.1.
Cas simple : condition de service...............................................................................31
3.2.2.
Cas avec « vesting » condition hors marché..............................................................31
3.2.3.
Cas avec conditions de marché ..................................................................................32
3.2.4.
Cas avec « non vesting » conditions ..........................................................................32
Chapitre 3 : Evaluation de la juste valeur d’une stock-option dans le cadre de la norme IFRS 2.........33
Partie 1 : Estimation des paramètres......................................................................................................34
1.
Les paramètres imposés par la norme.......................................................................................34
1.1
.La date d’évaluation..........................................................................................................34
1.2
.Le cours initial de l’action sous-jacente............................................................................34
1.3.
Le prix d’exercice ..............................................................................................................34
1.4.
La maturité de l’option.......................................................................................................35
1.5.
La volatilité espérée de l’action sous-jacente ....................................................................35
1.5.1.
La volatilité implicite.................................................................................................35
1.5.2.
La volatilité historique ...............................................................................................35
1.6.
Le versement espéré de dividendes....................................................................................36
1.6.1.
L’approche rétrospective ...........................................................................................36
1.6.2.
L’approche prospective..............................................................................................37
1.7.
Le taux sans risque.............................................................................................................37
2.
Les paramètres propres aux bénéficiaires .................................................................................38
2.1.
Le seuil d’exercice .............................................................................................................38
2.2.
Le taux de rotation du personnel........................................................................................38
3
3.
Sensibilité de la juste valeur aux paramètres ............................................................................39
3.1.
Différence entre le cours initial et le prix d’exercice.........................................................39
3.2.
La volatilité ........................................................................................................................39
3.3.
La maturité .........................................................................................................................40
3.4.
Le taux de dividendes ........................................................................................................40
3.5.
Le taux sans risque.............................................................................................................41
3.6.
Le seuil d’exercice .............................................................................................................41
3.7.
Le taux de rotation du personnel post-vesting ...................................................................41
3.8.
Tableau récapitulatif des sensibilités .................................................................................42
Partie 2 : Les modèles d’évaluation de la juste valeur...........................................................................43
1.
Le modèle de Black and Scholes ..............................................................................................43
1.1.
Hypothèses et formules.....................................................................................................43
1.2.
Le modèle avec versements de dividendes : Black-Scholes-Merton.................................45
1.3.
Dans quels cas utiliser Black-Scholes-Merton ..................................................................45
1.4.
Adaptation du modèle à l’évaluation de stock-options : « la maturité espérée » ..............46
1.5.
Exemple de calcul de juste valeur avec Black-Scholes-Merton ........................................46
2.
Le modèle binomial ..................................................................................................................48
2.1.
Hypothèses et formules......................................................................................................48
2.1.1.
Hypothèses.................................................................................................................48
2.1.2.
Formules sans versement de dividendes ....................................................................49
2.1.3.
Formule avec versements de dividendes....................................................................49
2.1.4.
Comparatif avec le modèle de Black and Scholes .....................................................50
2.2.
Avantages de la méthode binomiale ..................................................................................50
2.2.1.
Exercice anticipé selon la barrière psychologique.....................................................50
2.2.2.
Introduction du taux de rotation du personnel post vesting.......................................53
2.2.3. Exemple d’application en mixant critères comportementaux et taux de rotation du
personnel ....................................................................................................................................55
3.
Le modèle trinomial..................................................................................................................56
3.1.
Hypothèses.........................................................................................................................56
3.2.
Formules avec versements de dividendes ..........................................................................57
3.3.
Avantages de la méthode trinomiale..................................................................................57
3.4.
Comparaison des résultats : binomial versus trinomial .....................................................58
4.
La méthode de Monte Carlo .....................................................................................................59
4.1. Hypothèses...........................................................................................................................59
4.2.
Principe et formule.............................................................................................................59
4.3.
Simulation d’une trajectoire de brownien et choix d’un algorithme .................................60
4.3.1. Convergence de l’espérance ............................................................................................61
4.3.2. Convergence de la variance .............................................................................................61
4.3.3. Test du Khi-Deux d’adéquation.......................................................................................62
4.4.
Convergence vers le modèle de Black&Scholes ...............................................................63
4.5.
Avantages du modèle de Monte Carlo...............................................................................63
4
5.
4.5.1.
Exercice anticipé : la barrière psychologique ............................................................64
4.5.1.
Exercice anticipé : le taux de rotation du personnel post-vesting..............................65
4.5.2.
Conditions de performance absolue...........................................................................66
a) Impact du seul critère de performance absolue..............................................................66
b) Performance absolue et exercice anticipé ......................................................................68
c)
Exemple de plan sous condition de performance absolue .........................................69
4.5.3.
Conditions de performance relative ...........................................................................70
a) Simulation de l’indice de référence ...............................................................................70
b) Performance relative et exercice anticipé ......................................................................72
c) Exemple de plan sous conditions de performance relative............................................73
Récapitulatif des méthodes à utiliser en fonction des types de plans ........................................75
Chapitre 4 : Processus de sauts ..............................................................................................................76
1.
Illustrations des variations brutales des cours...........................................................................77
2.
Introduction d’un processus de sauts ........................................................................................78
3.
Paramétrage du modèle.............................................................................................................80
4. Simulation avec ce modèle ........................................................................................................82
5. Impact du nouveau modèle sur la juste valeur d’une stock-option...........................................86
Conclusion .............................................................................................................................................88
Bibliographie .........................................................................................................................................89
Annexes .................................................................................................................................................91
5
Remerciements
En tout premier lieu, je tiens à remercier MERCER Consulting pour m’avoir permis de réaliser ce
mémoire dans des conditions optimales.
Ma reconnaissance se tourne vers les membres de l’équipe de la retraite internationale pour le temps
et le soutien qu’ils m’ont accordé, et tout particulièrement vers mon tuteur de stage M. Cédric Coste
pour les précieux conseils qu’il a su me dispenser.
6
Résumé
Depuis le 1er Janvier 2005, toutes les entreprises européennes publiant en IFRS 2 (International
Financial Reporting Standard 2) et mettant en place des plans de stock-options ont l’obligation de les
évaluer à la juste valeur, de les comptabiliser en charge et de publier cette évaluation.
Tout d’abord nous définirons l’outil de rémunération que sont les stock-options puis nous détaillerons
la norme IFRS 2, ses origines et les outils qui entrent dans son périmètre. Puis nous nous
concentrerons sur le sujet principal de ce mémoire : l’évaluation de plans de stock-options. Notre
objectif est d’expliciter et de comparer les différentes méthodes d’évaluation citées par la norme puis
d’engager une réflexion sur le principe même de la juste valeur en étudiant une autre méthode de
valorisation économique des instruments de capitaux propres.
Les plans de stock-options peuvent intégrer un grand éventail de caractéristiques. On distingue les
paramètres classiques (ceux des options européennes) imposés par la norme tels que la date
d’attribution, le prix d’exercice ou encore la volatilité attendue ; les paramètres propres aux salariés
qui nous permettent de déterminer les dates probables de levée des stock-options et d’intégrer leur
caractère bermudien ; et enfin des paramètres directement liés aux plans permettant de modéliser des
conditions d’acquisition ou de détention.
La norme impose de choisir son modèle d’évaluation de manière à intégrer l’ensemble des paramètres
d’un plan.
Le premier modèle étudié, celui de Black-Scholes-Merton, est le modèle de référence en
mathématiques financières pour l’évaluation d’options européennes.
Ce modèle ne peut cependant pas intégrer les paramètres liés aux bénéficiaires et ceux, propres aux
plans. Pour les modéliser il est donc nécessaire de choisir une autre méthode.
Le second modèle analysé, est celui de Cox, Ross et Rubinstein : le modèle binomial. Il s’appuie sur le
même processus de diffusion que le modèle de B-S-M, mais permet d’intégrer les critères propres aux
bénéficiaires tels que le taux de rotation du personnel ou ceux de type comportemental. Ces critères
étant des déclencheurs d’exercice, ce modèle engendre une estimation de la juste valeur plus faible
que celui de B-S-M.
Cependant le modèle binomial n’offre pas la possibilité de prendre en compte des conditions propres
aux plans comme celles de performance.
Le modèle trinomial fut introduit par Boyle. Notre choix s’est porté sur la version de ce modèle mise
au point par Kamrad et Ritchen. Il intègre les mêmes caractéristiques que le binomial et engendre des
estimations similaires. Cependant l’option supplémentaire qu’il propose (évolution constante du
cours) accroît sa vitesse de convergence par rapport au modèle Cox, Ross et Rubinstein.
Le quatrième modèle étudié s’appuie sur la méthode de simulation de Monte Carlo introduite par
Boyle. Nous utilisons encore le processus de diffusion de B-S-M. Le principe de division du temps
permet la simulation d’une trajectoire du cours du sous-jacent. La simulation d’un nombre important
de trajectoires jusqu’à la date « t », nous permet de calculer l’espérance de gain à cette date, qui selon
« la loi forte des grands nombres » est un estimateur du prix de l’option. Cette méthode de simulation
présente l’avantage de permettre d’intégrer toutes les caractéristiques possibles d’un plan et
notamment les conditions d’acquisition de performance, entraînant ainsi une valorisation inférieure du
prix d’une stock-option par rapport aux autres modèles cités par la norme.
7
Tous les modèles préconisés par la norme sont adossés à la diffusion classique de loi log-normale du
sous-jacent. Or, ce processus ne semble pas être adapté à la situation réelle des marchés. En effet il ne
tient pas compte de toutes les données économiques observables sur les marchés, telles que de
« bonnes ou mauvaises nouvelles » qui provoquent des chocs et donc des discontinuités des cours. Les
évènements rares entraînant des chocs peuvent être modélisés par l’utilisation d’un modèle de sauts
comme processus de diffusion du sous-jacent.
La diffusion avec sauts implique un nouveau paramétrage prenant en compte le nombre moyen de
sauts par période de temps, l’intensité et le signe de ces sauts. Le choix de la valeur de ces paramètres
influe considérablement sur le cours du sous-jacent et donc sur l’estimation de la juste valeur. Ces
pourquoi ce type de modèle n’est pas autorisé par la norme car il rend trop peu transparentes les
évaluations. Notre but est donc de montrer comment, par soucis de comparabilité et
d’homogénéisation des comptes, la norme IFRS 2 préconise des méthodes qui peuvent engendrer une
surestimation du prix des stock-options dans la période actuelle.
Le modèle de sauts développé n’a pour but que de refléter les chocs majeurs dans l’estimation du prix
des options. Le paramétrage de ce modèle a été mis au point en se basant sur l’observation du cours
d’indices de référence (CAC 40, Nasdaq et Dow Jones) sur les huit dernières années afin de disposer
d’une vision globale du marché tel qu’il apparaît dans la période actuelle. Il s’en dégage trois chocs
baissiers ayant engendré une chute, en quelques jours (mais non journalière), de 10 à 20% des cours.
Les écarts de valorisation sont saisissants. L’application de ce modèle, associé à une simulation de
type Monte Carlo à un de nos plans fictifs de stock-options avec condition de performance absolue,
entraîne une baisse de 35 à 57% du prix d’une option suivant le niveau de performance exigée. Un
modèle de sauts tel que celui proposé, plus adapté à la situation actuelle, engendrerait donc une
valorisation nettement inférieure à celle qu’offre les modèles préconisés par la norme IFRS 2.
La notion même de juste valeur de la norme est ici remise en question quand on voit les écarts
significatifs de valorisation que peuvent susciter l’utilisation de différentes mesures. Sur des plans
attribuant un très grand nombre de stock-options, de telles différences pèsent fortement sur le bilan
des entreprises.
8
Abstract
Since January 1st, 2005, all European companies included in the IRFS 2 scope have to estimate their
stock-options plans at their fair value, to account them and to publish the evaluation.
Firstly, we will define the remuneration tool that which are the stock-options. Then we will detail the
IFRS 2 standard, its origins and the tools that are included in its scope. The second part will be
dedicated to the major subject of this study: the evaluation of stock-options prices. Our goal is to
explain and compare the different evaluation methods quoted by the standard. Also we would like to
guide to a reflection on the principle of the fair value by studying another method of economic
valorisation of the instruments of stockholders' equities.
The stock-options plans can integrate a large range of characteristics. We distinguish the traditional
parameters (those of the European options) imposed by the standard such as the date from attribution,
the strike price or the awaited volatility; the parameters specific to the beneficiaries which enable us to
determine the probable dates of lifting of the stock-options and to integrate their “Bermudian”
character; and finally, the parameters directly related to the plans allowing to model conditions of
acquisition or detention.
The standard requires choosing its model of evaluation to integrate the whole of the parameters of a
plan.
The first model studied, Black-Scholes-Merton, is a model of reference in financial mathematics for
the evaluation of European options. However, it cannot integrate the specific parameters related to the
beneficiaries and those specific to the plans. Thus, to model them it is necessary to choose another
method.
The second analyzed model is the Cox, Ross and Rubinstein one. It is based on the same process of
diffusion that the model of B-S-M, but this one makes possible to integrate the criteria specific to the
beneficiaries, such as the turnover rate and the psychological barrier of exercise. These two criteria
start the lifting, that is the reason why this method generates a lower fair value than the B-S-M one.
However the binomial model does not make possible to take into account specific conditions of
acquisition, such as those of performance.
The trinomial model was introduced by Boyle. Our choice is related to the version of this model that
was developed by Kamrad and Ritchen. It integrates the same characteristics that the binomial one
and generates similar estimates. However the additional possibility that this method proposes, a
constant evolution of the stock price, increases its speed of convergence, when compared to the Cox,
Ross and Rubinstein model.
The fourth model studied is based on the Monte Carlo simulation method, introduced by Boyle. We
still use the process of diffusion of B-S-M. The time division principle allows the simulation of a
subjacent stock price trajectory. The simulation of numerous trajectories until the date “T”, allow us to
calculate the expected gain at this date, which; according to “the strong law of the great numbers”, is
an estimator of the option price. This method of simulation gives the advantage of allowing the
integration of all possible characteristics of a plan and, in particular, the performance acquisition
conditions, driving to a lower valorisation of the price of a stock-option compared to the other models.
9
All the models recommended in the standard are leaned with a subjacent diffusion of lognormal law.
However this process does not seem to be adapted to the real situation of the markets. Nevertheless, it
does not take into account all the perceptible economic data on the markets, such as the “good ones or
bad news” which causes clashes and stock prices discontinuities. The rare events involving these
clashes can be modelled by the use of a jumps model as subjacent diffusion process.
The diffusion with jumps implies a new parameter setting, taking into account the median number of
jumps per time period, the intensity and the sign of these jumps. The choice of the value of these
parameters influences considerably the stock price of subjacent and, as consequence, the estimate of
the fair value. That is the reason why this kind of model is not authorized by the standard, because it
does not generate enough clear evaluations. Our goal is to show how, by concerns of comparability
and a homogenisation of the accounts, the IFRS 2 standard recommends methods which can generate
over-estimate stock-options prices.
The purpose of the jumps model developed is only to reflect the major clashes in the estimations of
the options price. The parameter setting of this model was developed based on the observation of the
level of the index of reference (CAC 40, Nasdaq and Dow Jones) over the last eight years. This, in
order to have a global view of the market such as it appears during the current period. It releases three
bear clashes, which generated a fall, in few days, from 10 to 20% of the financial markets.
The spread of valorisations are hitting. The application of this model associated with a simulation of
the Monte Carlo, with one of our fictitious plans (stock-options with condition of absolute
performance) involves a fall from 35 to 57% of the price of an option according to the performance
level required. A model of jumps such as the one proposed, which is more adapted to the current
situation, would generate a valorisation definitely lower than the ones given by the models
recommended by standard IFRS 2.
The concept of fair value can be put in question when seeing the significant spreads of valorisation
can cause the use of different measurements. For plans giving out an important number of stockoptions, such differences represent a lot on Companies Balance Sheets.
10
Introduction
Depuis le 1er janvier 2005, toutes les entreprises européennes publiant en norme IFRS 2 et mettant en
place des plans de stock-options ont l’obligation de les évaluer à la « juste valeur », de les
comptabiliser en charge et de publier cette évaluation.
Tout d’abord nous définirons l’outil de rémunération que sont les stock-options puis nous détaillerons
la norme IFRS 2, ses origines et les outils qui entrent dans son périmètre. La seconde partie sera
consacrée au sujet principal de ce mémoire : l’évaluation des plans de stock-options. Notre objectif est
d’expliciter et de comparer les différentes méthodes d’évaluation citées par la norme puis d’apporter
une réflexion sur une autre méthode de valorisation économique des instruments de capitaux propres
Les plans de stock-options peuvent intégrer un grand éventail de caractéristiques. La norme impose de
choisir son modèle d’évaluation de manière à intégrer l’ensemble des paramètres du plan évalué.
Les modèles proposés par la norme sont tous basés sur la modélisation des marchés de référence en
mathématiques financières, celle du modèle développé par Black, Scholes et Merton ; à savoir une
diffusion log-normale des cours. Cependant le modèle de Black-Scholes-Merton ne permet pas
d’intégrer toutes les caractéristiques qu’un plan peut comporter.
C’est pourquoi d’autres modèles, préconisés par la norme IFRS 2 seront développés, tels que le
binomial de Cox, Ross et Rubinstein ou le trinomial de Kamrad et Ritchen pour modéliser les critères
propres aux bénéficiaires des plans ; ou encore un modèle basé sur des simulations dites de Monte
Carlo afin d’intégrer les conditions propres aux plans eux-mêmes.
Il s’avère, qu’aujourd’hui le comportement des marchés apporte une nouvelle polémique. La méthode
de diffusion de Black-Sholes-Merton citée par la norme montre des limites quant à la modélisation des
cours, notamment en période de crise. En effet, elle ne tient pas compte de toutes les données
économiques observables sur les marchés qui peuvent entraîner des chocs sur les cours. Nous avons
choisi d’intégrer ces évènements rares en utilisant un modèle de sauts comme processus de diffusion
du sous-jacent des stock-options.
Le principe est ici de montrer que la notion de « juste valeur »IFRS 2 est très complexe à estimer
lorsque des évolutions brusques du marché entrent en compte et dans une situation chaotique telle que
celle que nous vivons actuellement; mais aussi de se demander si les préconisations de la norme, par
souci de lisibilité et de comparabilité, sont aujourd’hui justifiées, les écart de valorisation qu’elles
engendrent pesant directement sur le résultat des entités soumises à IFRS 2.
11
Chapitre 1 : Un outil de rémunération phare : les stockoptions
Les plans de stock-options, aussi appelés P.O.A (Plans d’Options sur Actions) sont des outils de
rémunération variable et différée. La part variable de la rémunération présente un double intérêt :
octroyer un revenu supplémentaire aux salariés et servir les intérêts de l’entreprise en les poussant à la
performance.
1.
Notions fondamentales
1.1.
Principe
Une option d’achat est un produit dérivé, qui confère le droit à son détenteur d’acheter le sous-jacent à
des conditions fixées à l’avance (prix, date(s),…).
Une stock-option est une option d’achat particulière :
-
-
1.2.
il n’existe pas de marché secondaire pour les stock-options, i.e. elles ne peuvent être
revendues ;
elle présente un délai de détention obligatoire durant lequel elle ne peut être exercée, ce qui en
fait une option bermudienne. Une option bermudienne se place à mi-parcours entre une option
européenne et une option américaine. Une option européenne ne peut être exercée qu’à sa
maturité, une option américaine peut être exercée à n’importe quel instant de son existence et
une option bermudienne ne peut être levée qu’à certains moments de son existence, dans notre
cas la période d’exercice ;
le sous-jacent est une action de la société quand celle-ci est cotée.
Option d’achat ou de souscription
Le terme « stock-options » regroupe deux types d’options : les options d’achat et les options de
souscription. La différence de terminologie porte sur l’origine du sous-jacent de l’option.
Une option d’achat à pour sous-jacent une action précédemment rachetée, alors qu’une option de
souscription porte sur une nouvelle action, émise au moment de la levée.
L’utilisation de plan d’options d’achat est plus classique, en effet les options de souscription font
appel à une opération exceptionnelle d’augmentation du capital.
12
1.3.
Qui peut profiter d’un P.O.A
Selon le code du commerce (article L225-182) les bénéficiaires potentiels d’un P.O.A sont :
-
tous les salariés de la société émettrice ;
tous les salariés du groupe ;
certains dirigeants de la société émettrice (à savoir que depuis 2001, pour les entreprises non
cotées l’attribution d’options d’achat et de souscription est interdite aux dirigeants de filiales) ;
des personnes externes à l’entreprise, tel que des consultants.
Cependant toute personne des catégories citées ci-dessus, ne peut bénéficier de l’attribution de stockoptions que si elle détient moins de 10% du capital de l’entreprise.
Dans les faits, la sélection des bénéficiaires de plans de stock-options, est généralement très restreinte.
Elle comprend essentiellement des cadres supérieurs et des dirigeants. Cette sélection est en accord
avec les principaux objectifs des POA :
-
la rémunération supplémentaire et la fidélisation des employés pivots de l’entreprise ;
encourager et améliorer leur performance, les intérêts des bénéficiaires étant alors étroitement
liés à la bonne santé de l’entreprise.
Une étude réalisée au par le cabinet Mercer sur les plans des entreprises du CAC 40, montre qu’une
majorité des plans mis sur pied sont destinés à une poignée de salariés très influents et aux membres
de la Direction.
Selon un rapport de la Cour des comptes, sur 10.000 bénéficiaires de stock-options en 2005, en
moyenne, les 10 principaux bénéficiaires des entreprises concernées s’étaient vu attribués le quart des
titres distribués et les chefs d’entreprise un peu moins de 10%. Autrement dit, un tiers des stockoptions allaient aux hauts responsables.
Les stock-options sont donc un outil de rémunération qui s’adresse tout particulièrement aux cadres
dirigeants.
2.
Mécanisme des stock-options
Toutes les entreprises qu’elles soient cotées ou non peuvent mettre en place un P.O.A.
La vie d’une stock-option passe toujours par les mêmes étapes. Certaines de ces étapes peuvent être
simultanées suivant les conditions du plan et le comportement du détenteur.
2.1.
Etape 1 : La décision de mise en place d’un plan
Cette décision est prise par une Assemblée générale exceptionnelle. L’élaboration du plan sera elle,
confiée au Conseil d’administration (ou au Directoire).
13
2.2.
Etape 2 : L’attribution des options
C’est le rôle du Conseil d’administration. Il détermine toutes les modalités du P.O.A telles que la
population des bénéficiaires (il n’a pas le droit de désigner les bénéficiaires individuellement), le
nombre d’options attribuées, le prix d’exercice, la date d’expiration, les conditions d’acquisitions, les
conditions d’exercice, la période de portage, etc. Ces modalités ont des contraintes légales, mais toute
entreprise est libre de les adapter ou de les compléter dans les limites de la législation du pays.
Tous ces détails sont répertoriés dans un document officiel : le «plan d’option » qui est transmis aux
bénéficiaires, accompagné d’un « contrat » qui stipule clairement le nombre d’options qu’ils se sont
vu attribuer et le prix d’exercice, qui sont les deux éléments les plus important du plan, car les plusvalues en dépendent directement.
La date d’attribution, précisée dans ces documents, vaudra comme date d’évaluation dans la norme
IFRS 2.
2.3.
Etape 3 : La période d’acquisition
Certains plans comprennent des conditions d’acquisition particulières, autres que la présence au sein
de l’entreprise. Ces conditions doivent être validées au cours de la période d’acquisition pour que les
bénéficiaires acquièrent définitivement les options qui leur ont été préalablement octroyées, sous
peine de les perdre définitivement.
2.4.
Etape 4 : La période d’exercice
C’est la période durant laquelle, le détenteur peut lever ses options. C’est-à-dire qu’il peut acheter
quand il le désire, tout au long de cette période, l’action sous-jacente au prix d’exercice définit dans le
« plan d’option ».
Quand la période de lever expire, les options qui n’ont pas été exercées sont alors définitivement
perdues.
Durant cette période les détenteurs choisissent d’exercer leurs options quand ils estiment faire une
plus-value d’acquisition acceptable (définition exacte de la plus-value d’acquisition dans le
paragraphe 3 de ce chapitre, sur la fiscalité des P.O.A).
2.5.
Etape 5 : La période d’incessibilité
Certains plans prévoient, une période durant laquelle les actions issues d’un P.O.A. ne peuvent être
vendues, c’est la période d’incessibilité.
En effet, suite à la levée, pour matérialiser son gain, il faut vendre les titres détenus ; c’est la cession.
Cette vente peut intervenir au moment de l’exercice, ou plus tard et engendrer ainsi une éventuelle
plus-value de cession (définition exacte de la plus-value de cession dans le paragraphe 3 de ce
chapitre sur la fiscalité des P.O.A).
Or, en France, les règles fiscales diffèrent en fonction de la date à laquelle la cession a lieu. Il s’avère
que pour que les plus-values soient le moins imposables possible, tant pour la société que pour les
14
détenteurs, il faut que les titres soient vendus au minimum 4 ans après la date d’attribution (5 ans
quand l’attribution est antérieure au 27 Avril 2000).
Cette période d’incessibilité fiscale est donc une modalité, qui permet aux entreprises et aux
bénéficiaires de respecter la durée d’incessibilité fiscale et de se prémunir, l’un comme l’autre, contre
un coût social élevé. Ce principe a été mis en place par les autorités, afin d’inciter à la détention sur
une longue période. Ainsi les stock-options ne sont pas détournées de leur objectif premier : être un
outil de rémunération « différée » poussant les bénéficiaires à la performance.
Cependant ce délai de portage, qui va de la date d’attribution à la fin de la période d’incessibilité, ne
peut excéder les 3 ans. Pour couvrir le risque fiscal, il est donc nécessaire de dissocier d’un an la date
d’attribution et la possibilité effective de cession. Cette dissociation, complétée par le délai de portage,
exclut le risque de cession hors régime de faveur fiscale.
2.6.
Etape 6 : La maturité
C’est la période de temps allant de la date d’attribution à la date d’expiration, à laquelle si les options
n’ont pas été exercées, elles sont définitivement caduques.
Schéma récapitulatif des étapes :
Présence/
Conditions
d’acquisition
Assemblée
Générale
Conseil
d’administration
Date
d’expiration
Date
d’attribution
Période
d’acquisition
Période
d’incessibil
ité
Délai de portage
Période
d’exercice
15
3.
La fiscalité des stock-options en France
Les stock-options sont imposables sur trois valeurs :
-
le rabais : différence entre le cours de l’action à la date d’attribution et le prix d’exercice ;
la plus-value d’acquisition : différence entre le cours de l’action à la date d’acquisition et le
prix d’acquisition ;
la plus-value de cession : différence entre le cours de l’action au moment de la vente et celui à
la date d’exercice.
évolution du
cours du titre
Cours à la
cession
Plus-value de
cession
Cours à
l’exercice
Plus-value
d’acquisition
Cours du titre
Rabais(5%)
à l’attribution
Rabais
excédentaire
Prix
d’exercice
Date
d’attribution
Date
d’exercice
Date de
cession
Nous allons parler ici des P.O.A attribuées depuis le 27 Avril 2000, car la fiscalité appliquée pour les
précédents diffère un peu. En effet, en France, depuis cette date, le délai de pénalisation fiscale est
porté à 4 ans à compter de la date d’attribution. Il s’agit d’une pénalisation fiscale car certains gains
issus de la vente de l’actif provenant d’une option d’achat sont plus fortement taxés lorsqu’ils sont
réalisés avant cette période de 4 ans.
16
Le tableau ci-dessous récapitule la fiscalité applicable aux stock-options en France sur les trois points
cités ci-dessus :
● Rabais >5% :
soumis aux cotisations sociales et imposable au même titre que le salaire
Rabais
● Rabais ≤ 5% :
application du régime des plus-values mobilières
● Non respect de la période d’indisposition fiscales de 4 ans : soumis
aux cotisations sociales et imposable au même titre que le salaire (a)
Plus-value
d’acquisition
● Respect de la période d’indisposition fiscale :
- vente moins de deux ans plus tard :
application du régime des plus-values mobilières à hauteur de 30% et de
40% si on dépasse le seuil de 152 500€ (b)
- vente plus de deux ans après :
application du régime des plus-values mobilières à hauteur de 16% et de
30% si on dépasse le seuil de 152 500€ (b)
Plus-value de
cessions
● application du régime des plus-values mobilières à hauteur de
16% et de 29% si on dépasse le seuil de 25 000€
(a) sauf décès, licenciement, retraite et invalidité
(b) ces taux comprennent les charges sociales supplémentaires : CSG + CRDS
Depuis le 19 Décembre 2007, les P.O.A sont soumis à une nouvelle taxe, qui a pour but d’accroître la
contribution au financement de la Sécurité Sociale. Cette réforme est détaillée dans l’article « L-13713 du Code de la Sécurité Sociale ».
Elle stipule que les employeurs des bénéficiaires de stock-options (et d’actions gratuites) attribuées
depuis le 16 Octobre 2007, doivent verser une nouvelle contribution sociale au taux de 10%. Il
subsiste une liberté de choix, laissée à l’employeur, concernant l’assiette sur laquelle porte cette
contribution :
-
soit elle est égale à 25% du cours du sous-jacent sur lequel porte les stock-options à la date
d’attribution (100% du cours en cas d’attribution d’actions gratuites) ;
17
-
soit elle est égale à 100% de la juste valeur des stock-options (ou actions gratuites) estimée
selon les normes comptables internationales IFRS 2.
Une estimation optimale de la juste valeur peut ainsi permettre d’avoir une assiette imposable
moindre.
4.
Remise en cause de ce mode de rémunération
4.1.
La perte d’attractivité des plans de stock-options
Certaines critiques sont portées contre les stock-options. Elles ne sont pas récentes, mais elles
perdurent :
-
-
-
Il y a de nombreuses polémiques relatives aux manques de transparence de leur attribution ;
Cet outil de rémunération a été entaché de scandales, tel que des délits d’initiés ;
Même si elles permettent d’acheter des titres à des conditions privilégiées (notamment grâce
au rabais), la mauvaise santé des marchés rend les gains espérés nettement plus faibles, voir
nuls ; les stock-options sont ainsi bien moins attractives pour les bénéficiaires ;
Dans le cas d’option de souscription (augmentation du capital), les actionnaires doivent faire
face à un double effet de dilution. Premièrement une dilution du contrôle, car l’attribution
d’action par l’intermédiaire des stock-options augmente le nombre d’actionnaire ayant un droit
de vote. Deuxièmement une dilution du « bénéfice par action » ; le bénéfice reste inchangé
alors que le nombre de dividende à verser, lui, croît ;
Depuis la fin 2007, la fiscalité les concernant s’est endurcie.
Si les stock-options restent un outil privilégié de rémunération variable différée pour les hauts
dirigeant, certaines entreprises élargissent leur gamme d’outils de rémunération. En particulier, elles
se tournent vers d’autres produits pour rémunérer un plus grand nombre de salariés.
4.2.
Panorama de différents produits de rémunération variable différée
4.2.1. Les actions gratuites
En France, l’attribution d’actions gratuites est autorisée depuis 2005, selon « l’article 83 de la Loi des
Finances ».
Principe :
À la différence des P.O.A qui permettent l’achat d’action à un prix privilégié, les plans d’actions
gratuites permettent à l’entreprise d’offrir des actions aux salariés et dirigeants de son choix.
18
Avantages :
Tout d’abord, en France, les plans d’actions gratuites sont beaucoup plus simples à mettre en place.
Par ailleurs, les actions gratuites présentent un réel avantage pour les bénéficiaires. En effet elles
remédient au manque d’attractivité des stock-options face à la baisse des cours. En se voyant attribuer
une action gratuite le bénéficiaire est certain de percevoir un gain même si les cours baissent. Alors
que dans le cas des stock-options un gain nécessite une hausse substantielle des cours.
Cet avantage pour les bénéficiaires ne sert pas l’entité. En effet les actions gratuites incitent bien
moins à la performance que les stock-options. C’est pourquoi, cet outil est plis souvent utilisé pour
rémunérer les salariés moins influants et moins les hauts dirigeants.
Un grand nombre d’entreprises couplent dorénavant stock-options et actions gratuites, chaque outil
ayant sa population de bénéficiaires privilégiée.
4.2.2. Les SAR’s (Stock Appreciation Rights)
On retrouve tout particulièrement cet outil aux U.S.A, il est très peu utilisé en France. Mais certains
grands groupes français l’utilisent via leurs filiales aux U.S.A.
Principe :
Ce sont des dérivées des stock-options. La différence réside dans le fait que les bénéficiaires n’ont pas
à payer de prix d’exercice, ils touchent simplement au moment de l’exercice la différence de valeur
entre le prix du titre à la date d’attribution et celui à la date d’exercice. Le paiement peut se faire en
titre ou en trésorerie. Dans le cas de ces outils, la juste valeur est réajustée à chaque exercice.
Exemple :
Soit une entreprise A et une entreprise B dont le cours de l’action à la date 0 (date d’attribution) est
S 0 = 100 et le prix d’exercice K vaut lui aussi 100. Supposons qu’à la date T le cours du sous-jacent
vaut ST = 200 et que l’on désire générer un gain net de 200.
L’entreprise A met en place un plan de stock-options. Pour gagner 200, un bénéficiaire doit exercer
deux stock-options et sera donc en possession de deux titres.
L’entreprise B met en place un plan de SAR’s. Pour gagner 200, un détenteur exerce deux SAR’s et
recevra soit 200€ en trésorerie, soit un titre.
Avantages :
C’est un outil qui répond aux attentes des actionnaires. Le produit stimule la performance des
bénéficiaires puisque leur gain espéré dépend de la croissance du cours de l’actif, mais l’effet de
dilution est considérablement réduit comme le montre l’exemple ci-dessus.
19
4.2.3. Les actions fictives
Principe :
C’est un outil dérivé des actions gratuites. L’entreprise offre des actions fictives, dont la valeur est
calquée sur le cours des actions réelles, si l’entreprise est cotée, ou estimée dans le cas contraire.
Quand le bénéficiaire décide de vendre ses actions fictives, l’entreprise lui verse la différence entre la
valeur de celle-ci au moment de la vente et sa valeur à la date d’attribution.
La valeur des actions fictives au moment de leur vente est elle aussi en accord avec le cours des
actions de l’entreprise si celle-ci est cotée, sinon il faut développer une formule qui estime l’évolution
du cours des actions fictives.
Avantages :
Cet outil cumule les avantages des deux précédents, à savoir une quasi certitude de gain et la non
dilution du contrôle de l’entreprise et des bénéfices par actions des actionnaires.
Cependant, il présente des désavantages :
-
le gain est soumis à l’impôt sur le revenu au même titre qu’un salaire ;
le gain est rarement versé immédiatement ; il est généralement versé plusieurs années après,
voir au moment de la retraite.
Tous ces produits sont des outils de rémunération variable différée basés sur des actions. Dés lors
qu’une entreprise européenne décide de mettre en place un plan, elle est soumise à la norme
comptable internationale IFRS 2. Dans une seconde partie, nous allons détailler les principes de cette
norme.
20
Chapitre 2 : La norme comptable internationale IFRS2
Dans le contexte d’une mondialisation grandissante, rendre les comptes des entreprises lisibles en les
homogénéisant était devenu nécessaire. En 1973 les normes comptables internationales IAS
(International Accounting Standards) furent édictées dans le but d’homogénéiser les présentations
comptables afin de tendre vers une comparabilité accrue des entités situées dans le monde entier. Mais
dans les années 2000 d’énormes scandales financiers, tel que celui d’Enron, éclatent. Les normes IAS
sont alors remaniées pour améliorer la sécurité financière en intégrant le principe de comptabilisation
à la juste valeur. La refonte de normes IAS prend alors le nom de normes IFRS (International
Financial Reporting Standards).
Le principe des normes IFRS est donc de fournir une information complète et universelle permettant
de satisfaire les besoins de lisibilité des investisseurs.
1.
Quelques fondamentaux des normes IFRS
1.1.
Transcrire la réalité économique
Ces normes doivent permettre de refléter fidèlement la situation économique de l’entité à un instant
précis.
Elles impliquent la mise en place d’un autre principe que le coût historique, qui apparaît comme plus
transparent et plus juste.
La comptabilisation tient compte de l’identité des porteurs de risque et de celle des bénéficiaires de
l’opération.
1.2.
Faciliter la comparaison
C’est le principe même qui a poussé à l’élaboration de ces normes. Un investisseur doit pouvoir
comparer la santé économique de deux entités quelque soit l’endroit où elles sont implantées.
1.3.
Prendre en compte les évolutions économiques
Les normes comptables internationales intègrent des théories financières qui n’étaient jusqu’alors pas
présentes dans la littérature comptable, telles que l’actualisation des cash-flows futurs ou encore
l’utilisation de modèles mathématiques pour l’évaluation des stock-options.
21
2.
La norme IFRS 2
La norme IFRS 2 (International Financial Reporting Standards : Share based payments), publiée le 19
Février 2004 et adoptée par la Commission européenne le 20 Décembre 2004, est la norme qui porte
sur la comptabilisation et la mesure des transactions dont le paiement est fondé sur des actions.
Elle impose la comptabilisation à la « juste valeur » des biens et services et de fournir des
informations très détaillées, quant aux plans de rémunération basés sur actions, en annexe des comptes
2.1.
Historique
Passons en revue les principales réglementations qui étaient en vigueur en matière de paiements
fondés sur actions, avant l’adoption de IFRS 2.
2.1.1. En Europe
Avant la parution des normes IFRS, la communauté européenne ne demandait aucune forme de
comptabilisation particulière en ce qui concerne les paiements sur base d’actions tels que les stockoptions par exemple.
Les sociétés avaient toutefois un devoir d’information à l’égard des salariés, des actionnaires et des
mandataires sociaux. Par exemple, en France, ces exigences portaient sur trois points :
-
-
Information de l’administration : afin de bénéficier des avantages fiscaux liés à ce type
d’opérations, les sociétés ainsi que les bénéficiaires devaient se soumettre à des obligations
déclaratives à l’Etat;
Information de l’assemblée : l’assemblée générale de la société était tenue de rendre un rapport
annuel distinct, décrivant le nombre et le prix des options préalablement consenties ;
Information en annexes : il devait être porté en annexes des comptes, jusqu’à l’exercice de fin
de vie des options accordées : le nombre total d’actions susceptibles d’être émises, l’effet de
dilution potentiel sur le bénéfice par action, les caractéristiques des options consenties au cours
de l’exercice et le nombre cumulé d’options déjà consenties depuis l’entrée en vigueur du plan.
2.1.2. Les précurseurs de la norme IFRS 2
Les principes de la norme IFRS 2 viennent des normes comptables américaines US GAAP (Generally
Accepted Accounting Principles in the United States), établies par le FASB (Financial Accounting
Standards Board).Aux Etats-Unis, la mission du FASB est d’établir et d’améliorer les normes
comptables et financières dans le but d’informer au mieux le public et tout particulièrement les
émetteurs, les auditeurs et les utilisateurs d’informations financières. C’est le pouvoir réglementaire à
la profession comptable aux U.S.A.
Il paraît normal que l’IASB (International Accounting Standards Board), équivalent européen du
FASB, se soit inspiré des US GAAP, dans son souci d’universalisation et de comparabilité.
22
En 1972, les US GAAP intègrent le règlement APB 25 (Accounting for Stock issued to Employees)
au sujet du traitement comptable des stock-options. Il impose alors l’enregistrement de la « valeur
intrinsèque » de ces outils en charge de rémunération. La « valeur intrinsèque » est définit comme la
différence entre le cours de l’action sous-jacente et le prix d’exercice.
Une seconde norme est adoptée en 1995, le FAS 123 (Financial Accounting Standard). C’est avec
cette norme qu’apparaît le principe de comptabilisation à « la juste valeur ». Le coût des instruments
de paiements basés sur actions est mesuré à la date d’attribution en fonction du prix d’exercice et est
actualisé sur la période d’acquisition des droits.
Notons que la norme FAS 123 n’est pas venue remplacer la norme APB 25. C’est ce qui était
initialement prévu, mais celle-ci ne satisfaisait pas certains grands groupes outre atlantique ; les
entreprises américaines se sont donc vues longtemps accorder le droit de choisir entre l’une ou l’autre
des deux normes.
Depuis, la législation a évolué outre atlantique. La FASB a publié la FAS 123R, qui a pris effet fin
2005. Cette règle vient remplacer la FAS 123 et l’APB 25. Elle impose dorénavant la comptabilisation
à la juste valeur à la date d’attribution et sa représentation en charge. La FAS 123R est extrêmement
similaire à l’IFRS 2. Elle a permis d’homogénéiser et donc de simplifier les normes US GAAP et
surtout de rapprocher significativement les visions US GAAP et IFRS.
2.2.
Le point sur la norme IFRS 2
2.2.1. Les Difficultés de mise en place
La norme IFRS 2 fut publiée en Février 2004, comblant ainsi le vide réglementaire (au niveau
international et tout particulièrement européen) au sujet des paiements sur base d’actions.
La principale difficulté de mise en place, résidait, comme pour la norme FAS 123 de 1995, dans le
principe de comptabilisation des coûts de ces outils en charge. En effet ce mode de comptabilisation
impacte directement et négativement le résultat de l’entité en question.
La norme s’applique à tous les plans attribués à partir du 1er Janvier 2005, cependant une application
anticipée fut encouragée.
2.2.2. Le champ d’action d’IFRS 2
Cette norme vise toutes les transactions fondées sur actions, qu’elles concernent le personnel ou
d’autres tiers tels que les fournisseurs. Elle s’applique donc aux :
-
transactions dont le paiement est fondé sur des actions et se fait en instruments de capitaux
propres tels que des actions ou des options sur actions, i.e. quand les bénéficiaires exercent ces
outils ont leur remet un titre;
23
-
transactions dont le paiement est fondé sur des actions et se fait en trésorerie ; i.e. quand les
bénéficiaires exercent ces outils ils perçoivent directement leur gain en cash.
transactions mixtes, pour lesquelles soit l’entreprise, soit les bénéficiaires ont le choix entre un
règlement en trésorerie ou un règlement en instruments de capitaux propres.
transactions fondées sur les actions d’une entité secondaire ; par exemple l’émission d’option
de la société mère par une filiale.
Cependant, quelques transactions dont le règlement est fondé sur des actions sont exclues du champ
d’action de la norme IFRS 2, telles que :
-
celles dont les règlements sont dus à un regroupement d’entreprises ;
celles qui concernent des instruments dérivés sur actions propres (qui relèvent de IAS 32) ;
tous les plans de stock-options sont soumis à IFRS 2, cependant son application n’est
nécessaire que si son effet est significatif.
2.2.3. Principes de comptabilisation
Dans la comptabilisation en norme IFRS 2, les coûts liés aux instruments de paiement basé sur action
sont comptabilisés de façon étalée.
Par ailleurs, il nous faut distinguer deux types de transactions car leur traitement comptable n’est pas
similaire : celles dont le paiement se fait en instruments de capitaux propres et celles dont le paiement
se fait en trésorerie (en cash).
a)
Règlement en capitaux propres :
Dans ce cas, la norme impose de comptabiliser une charge de personnel qui est évaluée comme le
produit de la juste valeur de l’instrument par le nombre d’instruments réellement acquis alloués à
l’exercice.
La comptabilisation s’étale sur toute la période d’acquisition.
b)
Règlement en trésorerie :
Deux éléments sont à comptabiliser.
Le premier est une charge de personnelle évaluée comme « le produit de la juste valeur de l’outil par
le nombre réel d’options acquises à la clôture ». Notons que dans ce cas de figure, la juste valeur de
l’outil est réévaluée à chaque clôture.
Le deuxième est un passif qui est la contrepartie de la charge explicitée ci-dessus et qui s’élève au
cumul des charges passées.
La comptabilisation se fait jusqu’à la date de clôture ou jusqu’à la date d’expiration.
24
Evaluation
du coût
Impact
comptable
Calcul de la JV à la date
d’attribution
-Augmentation
Coût
Paiement en
titres
de
la
compensation
propres
des
(impact
sur
fonds
les
annuelle : juste valeur* nbr
capitaux propres)
potentiel de titres acquis
-comptabilisation sur période
Attribution des
outils de
rémunération
Calcul de la JV à chaque
variable
clôture
Comptabilisation en charge
des services et biens reçus au
cours de l’exercice.
différée
Paiement en
trésorerie
Coût
de
annuelle :
la
compensation
juste
valeur
nombre de titres acquis
*
-Augmentation du passif
(impact sur la provision)
-Comptabilisation jusqu’à la
date d’exercice ou
Donc la comptabilisation en IFRS 2 nécessite la mesure de deux valeurs : la juste valeur et le nombre
d’instruments qu’on s’attend à voir acquérir.
2.2.4. Les paramètres de la norme IFRS 2
La juste valeur d’un actif est la valeur d’échange dont conviendraient deux parties compétentes,
agissant en toute liberté, dans des conditions de concurrence normales. Elle ajoute au concept de
valeur intrinsèque, une dimension temporelle. Le principe de base des normes IFRS repose sur la
comptabilisation à la juste valeur ; au préalable c’est la valeur historique qui était comptabilisée,
aujourd’hui on tente de comptabiliser la valeur des instruments.
La norme stipule que s’il existe un prix de marché pour les outils de paiements basés sur actions, alors
ils doivent être comptabilisés à ce prix. Cependant, les outils de rémunération différée variable
présentent des caractéristiques très particulières et il est donc très rare que ce prix existe.
Dans le cas, le plus probable, où ce prix n’existe pas, la juste valeur doit être estimée selon les
principes énoncés dans la norme IFRS 2. Celle-ci n’impose pas de méthodes précises, mais demande
que les méthodes de valorisations utilisées soient cohérentes avec la nature et les caractéristiques de
l’outil à évaluer.
25
Néanmoins, suivant le type de produits à évaluer, la norme détaille des paramètres dont l’utilisation
est obligatoire pour l’évaluation de la juste valeur.
a)
Exemple : les paramètres imposés par la norme pour l’évaluation de la juste valeur des stockoptions
Prenons l’exemple de l’évaluation de la juste valeur d’option d’achat. Quelque soit le modèle
mathématique choisi, il doit au minimum intégrer les paramètres suivant :
-
le prix d’exercice de l’option
le cours de l’action sous-jacente à la date
d’évaluation
la maturité de l’option
d’évaluation
la volatilité espérée de l’action sousjacente
le versement espéré de dividende (s’il en
est prévu)
Valeur
intrinsèque
Valeur
temps
Dans les faits, il s’avère que les trois méthodes qui sont les plus usitées, en fonction des
caractéristiques des plans, et qui sont par ailleurs citées dans la norme, sont le modèle de
Black&Scholes, le modèle binomial et la méthode de Monte Carlo.
b)
Les autres paramètres d’évaluation de la juste valeur
La juste valeur se doit d’intégrer les critères de types financiers de l’instrument tels que ceux qui ont
été présentés ci-dessus pour les stock-options. Mais nombre de plans, prévoient aussi d’autres
conditions qu’il est nécessaire d’intégrer au calcul de la juste valeur (cf l’amendement de Janvier
2008 au paragraphe 2.2.6 de ce chapitre).
Parmi ces conditions, on distingue les conditions d’acquisition de marché, dites conditions de
performance.
Il existe deux principales catégories de performances de marché (dites aussi performances
boursières) : la performance absolue et la performance relative.
Performance absolue : Elle consiste à observer l’évolution du cours initial du titre sous-jacent en
fonction de sa valeur initiale.
Performance relative : Elle consiste à regarder l’évolution du cours de l’action relativement à celle de
son secteur, via le cours du titre d’une autre entreprise ou d’un indice du secteur de l’entreprise.
26
Avantages et inconvénients des deux types de performance boursière :
La performance absolue :
-
permet de traduire des objectifs précis, car l’acquisition se fait dès que le cours atteint un
certain niveau ;
elle comporte le biais suivant : la hausse du cours peut ne pas être vraiment due aux bonnes
initiatives de l’équipe dirigeante, mais à l’essor global du secteur ou de l’économie.
La performance relative :
-
permet de mettre en évidence la performance par rapport au marché. Par exemple, si le
contexte général est mauvais et que le cours se maintient ou baisse légèrement l’équipe
dirigeante se voit tout de même récompensée.
Succès des plans de performance :
Les plans de stock-options sont de plus en plus associés à ces conditions de performance. Ils sont dans
ce cas là tout spécialement, l’apanage des hauts dirigeants du fait de leur implication essentielle dans
la performance de l’entreprise.
c)
Les autres paramètres à prendre en compte, hors juste valeur
La répartition de la charge dépend du nombre d’outils que l’on s’attend à voir acquérir. Pour évaluer
ce nombre, la norme impose de tenir compte des conditions de service sur la période d’acquisition et
des « non vesting conditions » (cf l’amendement de Janvier 2008 au paragraphe 2.2.6 de ce chapitre).
Dans les faits, initialement, un certain nombre d’instruments sont attribués, une période de
comptabilisation est imposée et il est alors décidé d’une répartition de la charge sur cette période. Au
fil des exercices, les conditions de service ont la possibilité d’être validées et le nombre de titre qui
seront acquis en fin de période ce profile. En réajustant les hypothèses de taux de présence et
d’annulations de titres à chaque exercice il est ainsi possible de réajuster la répartition de la charge.
A la fin du chapitre, nous verrons des exemples à propos de la méthodologie du calcul du nombre
d’instruments potentiellement acquis et de la répartition de la charge.
2.2.5. Obligation d’information en annexes
En annexes des comptes la norme demande de retrouver tous les éléments afférents aux plans : les
dates d’attribution, d’acquisition et de cessibilité, la maturité, les conditions du plan, la méthode
d’évaluation de la juste valeur, la valeur des paramètres estimés utilisés et les méthodes d’estimation
de ceux-ci.
27
2.2.6. Nouvel amendement de la norme IFRS 2
Un amendement de la norme IFRS 2 est paru en Janvier 2008. Il a pour objet de préciser la définition
des conditions d’acquisition dites « vesting conditions », d’introduire la notion de « non vesting
conditions » et de spécifier le traitement comptable à appliquer en cas de non respect de l’une de ces
conditions.
Différence entre « vesting » et « non vesting » conditions :
Les « vesting » conditions regroupaient auparavant toutes les conditions de service et de performance.
L’amendement de Janvier 2008 restreint l’appellation de « vesting » conditions à celles nécessitant de
fournir un service. Les « non vesting » conditions désignent donc toute condition d’acquisition
n’impliquant pas la fourniture d’un service.
Traitement comptable des « vesting » et « non vesting » conditions :
L’amendement impose de traiter les « non vesting » conditions au même titre que les conditions de
marché.
Donc à ce jour, sont pris en compte dans l’évaluation de la juste valeur :
-
les conditions de marché ;
les « non vesting » conditions.
Par ailleurs, l’entité doit reconnaître la charge des biens et services reçus quand toutes les conditions
d’acquisition, dites « vesting » conditions sont satisfaites, que les « non vesting » conditions et celles
de marché soient satisfaites ou non.
28
Traitement comptable lorsque les conditions ne sont pas remplies :
Ces conditions doivent être satisfaites au cours de la période d’acquisition. Dans le cas contraire, la
marche à suivre n’est pas la même suivant le type de conditions. Les différentes procédures sont
résumées dans le tableau suivant :
Type de conditions
-de service (a)
- « vesting » hors marché (a)
-de marché (b)
Exemples
Traitement comptable
Présence durant 2 ans
Succès d’une offre publique
assortie d’une période de
service
Ajustement de la charge
passée
Atteinte d’un seuil pour le
cours de l’action
-« non vesting » dans le cas
où la satisfaction de la
Objectif fixé par rapport à un
condition ne dépend ni de la
indice
volonté de l’entité ni de celle
des bénéficiaires (b)
où les bénéficiaires peuvent
choisir
de
remplir
la
condition (b)
Paiement de contribution
où l’entité peut choisir de
remplir la condition (b)
Maintient du plan en vigueur
Aucun impact, la charge est
reconnue sur la période
restante
Annulation, l’entité reconnaît
immédiatement la charge
qu’elle aurait reconnue sur la
période restante
(a) : non reflété dans la juste valeur.
(b) : reflété dans la juste valeur.
Date d’application :
Tous les plans de rémunération dont le paiement est basé sur des actions entrant dans le cadre de IFRS
2 attribués à compter du 1er Janvier 2009 doivent respecter les principes de cet amendement.
Cependant une application anticipée est autorisée.
Par ailleurs, une application antérieure est requise concernant deux autres points :
-
la prise en compte des « non vesting » conditions dans le calcul de la juste valeur ;
la révision des définitions des notions d’acquisition et des conditions d’acquisition.
29
3.
Conclusion
3.1.
Récapitulatif de la procédure à suivre
Pour évaluer un plan de stock-options selon les règles établies par la norme IFRS 2, voici les trois
étapes par lesquelles il faut passer :
1)
Tout d’abord, il faut déterminer clairement le type de plan auquel on à affaire, toutes ses
modalités, les données historiques et statistiques à disposition et les « vesting » et « non vesting »
conditions. Après avoir pris connaissance de ces éléments on peut alors choisir le modèle financier
d’évaluation de la juste valeur le mieux adapté à notre plan
2)
La seconde étape consiste à estimer les différents paramètres du plan et à modéliser toutes ses
conditions. On peut alors estimer la juste valeur d’une stock-option du plan.
3)
Enfin, à chaque clôture, une révision des critères entrant en compte dans la répartition de la
charge nous permet de réajuster le nombre d’outils réellement acquis (et la juste valeur dans le cas
d’outil avec un paiement en trésorerie) et donc de réajuster notre charge annuelle.
3.2.
Exemples d’application de la répartition de la charge
Ce mémoire est consacré aux diverses méthodes pour estimer la juste valeur des stock-options, c’est
pourquoi dans ces exemples les étapes permettant d’évaluer la juste valeur ne seront pas traitées et que
l’attention sera portée sur le mécanisme de répartition de la charge d’option d’achat (donc avec un
règlement en capitaux propres).
Nous allons traiter quatre scénarios qui nous permettrons de passer en revue les principaux
mécanismes :
1.
2.
3.
4.
Cas simple ;
Cas avec « vesting condition » hors marché ;
Cas avec conditions de marché ;
Cas avec « non vesting » conditions.
Hypothèses communes aux quatre exemples :
L’entreprise A octroie 200 000 options d’achat, soit une par salarié, en Janvier 2005 (dans ces
exemples on attribue une seule stock-option par salarié par souci de simplification, en règle générale
chaque bénéficiaire s’en voit attribuer plusieurs).
La juste valeur d’une option est égale à 10€.
30
3.2.1. Cas simple : condition de service
L’unique condition d’acquisition de ce plan est une condition de service : être présent 3 ans au sein de
l’entreprise (la période d’acquisition est donc de trois ans). La charge doit être répartie sur cette
période.
Initialement le taux de départ sur la période est estimé à 3% par an de la population.
Année 1 :
Le taux de départ annuel a été conforme à son estimation au cours de la première année.
La charge de l’année 1 vaut : 200 000 options x (1 − 3%) 3 x 10€ x 1/3 = 608 448 €.
Année 2 :
Il s’avère qu’au cours des deux dernières années il a eu 8000 départs (moins de départs que prévu).
La charge cumulée de l’année 2 vaut alors : (200 000-8 000) x (1 − 3%) x 10€ x 2/3 = 1 241 600€
Donc la charge de l’année 2 vaut 1 241 600 -608 448 = 633 152€.
Année 3 :
Finalement, 12 000 bénéficiaires sont partis au fil des trois années.
La charge cumulée de l’année 3 vaut alors : (200 000-12 000) x 10€ x 3/3 = 1 880 000€
Donc la charge de l’année 3 vaut 1 880 000 – 1 241 600 = 638 400€.
3.2.2. Cas avec « vesting » condition hors marché
Dans cet exemple la condition d’acquisition exige la présence durant 3 ans dans la compagnie assortie
d’une augmentation de 20% du bénéfice sur ces 3 ans.
Considérons les mêmes hypothèses de taux de départ que dans le cas ci-dessus, les valeurs calculées
sont les mêmes pour les 2 premières années :
Charge cumulée
Charge de l’année
Année 1
608 448 €
608 448 €
Année 2
1 241 600€
633 152€
31
Année 3 :
Cas 1 → augmentation du bénéfice supérieure à 20%
Alors comme dans l’exemple 1) la charge de la troisième année vaut 638 400€.
Cas 2 → augmentation du bénéfice inférieure à 20%
Alors la charge totale du plan est nulle, la charge de l’année 3 vaut donc -1 241 600€, c’est un produit.
On réajuste alors la charge passée en la reprenant.
3.2.3. Cas avec conditions de marché
Dans cet exemple le plan prévoit une condition d’acquisition de performance absolue le cours du titre
sous-jacent doive passer de 15 à 17€ au cours de la période d’acquisition. Par ailleurs gardons les
mêmes conditions de présence.
Comme cela a été précisé les conditions de marché n’entrent en compte que dans le calcul de la juste
valeur. Donc, que la condition soit satisfaite ou non, en prenant toujours les mêmes hypothèses de
turnover, les charges des 3 années seront identiques à celles de l’exemple 1, ce qui donne les valeurs
calculées suivantes :
Charge cumulée
Année 1
608 448 €
608 448 €
Année 2
1 241 600€
633 152€
Année 3
1 880 000€
638 400€
3.2.4. Cas avec « non vesting » conditions
Ce plan comporte les mêmes hypothèses de taux de départ que les précédents. Mais au cours de la
deuxième année de la période d’acquisition, l’entreprise décide de clore son plan de stock-options. La
configuration correspond à l’invalidation d’une « non vesting » condition devant être satisfaite par
l’entité.
Le nouvel amendement prévoit donc que la charge enregistrée intègre les charges qui auraient été
comptabilisées dans le futur si la condition avait été respectée. On a donc :
Charge cumulée= valeur des
fonds propres
Année 1
571 583 €
571 583 €
Année 2
(200 000-8 000) x (1 − 3%) x
10€=1 862 400€
1 862 400– 571 583 =
1 290 817 €
Année 3
N.A.
N.A.
32
Chapitre 3 : Evaluation de la juste valeur d’une stockoption dans le cadre de la norme IFRS 2
La norme IFRS 2 traite de la comptabilisation des plans de stock-options et distingue deux principales
étapes :
-
l’évaluation de la juste valeur des stock-options
le calcul et la répartition de la charge
Ici nous allons détailler les différentes méthodes préconisées par la norme et utilisées pour calculer la
juste valeur des stock-options. Ce sont des méthodes financières d’évaluation d’options, plus ou
moins sophistiquées, utilisables suivant la complexité des plans :
-
Black and Scholes
La méthode binomiale
La méthode trinomiale
La méthode de Monte Carlo
Dans un premier temps, commençons par expliciter les principes d’estimation des paramètres de ces
différentes méthodes.
33
Partie 1 : Estimation des paramètres
1.
Les paramètres imposés par la norme
La norme IFRS 2, impose un certains nombre de paramètres devant obligatoirement entrer en compte
dans le calcul de la juste valeur d’une stock-option, à savoir :
-
1.1
le prix d’exercice de l’option
d’évaluation
la maturité de l’option
d’évaluation
la volatilité espérée de l’action sous-jacente
le versement espéré de dividende (s’il en est
prévu)
le taux sans risque en accord avec la maturité de
l’option
Valeur
intrinsèque
Valeur
temps
.La date d’évaluation
La norme impose que ce soit la date où tous le tenants et les aboutissants du plan sont connus de
l’ensemble des bénéficiaires. Le plus souvent, cette date correspond au jour de l’attribution du plan.
1.2
.Le cours initial de l’action sous-jacente
C’est le prix de marché de l’action à la date d’octroie. Cette information est publique dans la plupart
des cas où l’action est cotée. Diverses sources permettent de l’obtenir telles que Reuters,
Bloomberg…
1.3.
Le prix d’exercice
Il est plus souvent désigné par son terme en anglais, strike. C’est le prix auquel le bénéficiaire de
l’option pourra acheter l’action sous-jacente.
Il est fixé par le Conseil d’administration et correspond par exemple à une moyenne des derniers cours
ou à une décote du cours de l’action sous-jacente à la date d’attribution.
34
1.4.
La maturité de l’option
Elle est aussi appelée « durée de vie de l’option » et correspond au lapse de temps entre la date
d’attribution et la date d’expiration de l’option.
Elle est fixée par le Conseil d’administration.
1.5.
La volatilité espérée de l’action sous-jacente
Elle est définie dans l’Annexe B alinéa B22 de la norme comme suit :
« La volatilité attendue est une évaluation du montant de la fluctuation que pourrait connaître un prix
pendant une période. L’évaluation de la volatilité utilisée dans les modèles d’évaluation des options
est l’écart type annualisé des taux de rendement continûment composés de l’action sur une période
donnée. La volatilité est habituellement exprimée en termes annualisés comparables indépendamment
de la période utilisée pour le calcul, où l’on utilise par exemple des observations de prix quotidiennes,
hebdomadaires ou mensuelles. »
Il y a plusieurs méthodes de calcul autorisées par la norme. Par ailleurs pour rendre les calculs plus
fiables la norme permet de ne pas prendre en compte des périodes exceptionnelles.
1.5.1. La volatilité implicite
On va l’estimer en prenant la volatilité implicite d’options sur action de l’entité ayant des
caractéristiques similaires, notamment la même maturité. On peut trouver ce type de renseignement
sur des sites spécialisés.
1.5.2. La volatilité historique
La méthode de calcul de volatilité historique n’est pas détaillée dans la norme. Cependant, en règle
général, elle est calculée sur des horizons de temps comparables à la durée de vie de l’option. A un
coefficient près, elle est estimée par l’estimateur de la variance du rendement (continu) de l’action.
Formule :
^
σ =
où
S=
1 n
∑ (ui − u )2 ,
n − 1 i =1
ui = ln(
Si
) ,
Si −1
35
S
τ
n
ui
,
i =1 n
u=∑
Si : la cotation de l’action pour l’intervalle de temps i
τ : la durée des intervalles de temps entre les cotations retenues, exprimée en années
Attention, pour que cet estimateur soit cohérent il faut systématiquement utiliser le même type de
cotation ; par exemple on prend toujours des cotations d’ouverture ou des cotations de clôture mais
pas une fois l’une une fois l’autre.
Remise en cause de la volatilité historique :
Cette méthode d’estimation reposant sur les acquis du passé, peut s’avérer peu appropriée quand :
-
1.6.
l’entité est cotée depuis peu de temps
l’activité et/ou le périmètre de l’entité ont été récemment modifiés
Le versement espéré de dividendes
Lui aussi est défini la norme en Annexe B alinéa B34 :
« Si les membres du personnel n’ont pas droit aux dividendes ou équivalents de dividendes pendant la
période d’acquisition des droits (ou avant l’exercice, dans le cas d’une option), l’évaluation à la date
d’attribution des droits sur les actions ou sur les options doit prendre en compte les dividendes
attendus. Autrement dit, lors de l’évaluation de la juste valeur d’une attribution d’options, les
dividendes attendus doivent être intégrés au modèle d’évaluation des options. Lors de l’estimation de
la juste valeur d’une attribution d’actions, cette évaluation doit être réduite à hauteur de la juste valeur
des dividendes dont le paiement est attendu pendant la période d’acquisition des droits ».
L’évaluateur en charge d’estimer la juste valeur des options du plan peut le déterminer de plusieurs
façons. On en distingue deux principalement.
1.6.1. L’approche rétrospective
Elle consiste à déterminer le taux attendu en se basant sur la moyenne des taux passés.
Formule de l’estimateur du taux de dividende :
n
d =∑
i =1
Di
Si
où
Si est la moyenne annuelle des cours de clôture journaliers de l’action sous-jacente
Di est le montant de dividende versé en i
36
n est la période sur laquelle sont distribués les dividendes. En général on prend une période
équivalente à la durée de vie de l’option.
Une variante de la formule est de considérer une moyenne pondérée en donnant plus de poids aux
derniers versements. Cette variante est en accord avec la deuxième approche.
1.6.2. L’approche prospective
Le versement de dividende est un paramètre hautement stratégique pour les entreprises. C’est
pourquoi l’estimation peut être complétée en ajustant le taux en fonction de la politique de versement
que l’entreprise entend mener dans le futur.
1.7.
Le taux sans risque
Il est définit dans la norme dans l’Annexe B alinéa B37 :
« Habituellement, le taux sans risque est le rendement implicite actuel sur les obligation d’Etat zéro
coupon du pays de la devise dans laquelle est libellé le prix d’exercice, avec un échéance égale à celle
attendue de l’option évaluée (d’après la durée de vie contractuelle résiduelle de l’option, et en tenant
compte des effets d’un exercice anticipé attendu). Il peut s’avérer nécessaire d’utiliser un substitut
approprié, si aucune obligation d’état correspondante n’existe ou si les circonstances indiquent que le
rendement implicite des obligations d’Etat zéro coupon n’est pas représentatif d’un taux d’intérêt à
risque zéro (par exemple dans des économies en hyper-inflation). De même, il y a lieu d’utiliser un
substitut approprié si les intervenants sur le marché sont habituellement amenés à déterminer le taux
d’intérêt sans risque d’après ce substitut plutôt que d’après le rendement implicite d’obligations d’Etat
zéro coupon, lors de l’estimation de la juste valeur d’une option ayant une durée de vie à celle de
l’option en cours d’évaluation. »
Cette information est publique (diverses sources permettent de l’obtenir telles que Reuters,
Bloomberg…).
37
2.
Les paramètres propres aux bénéficiaires
On compte aussi des paramètres propres aux bénéficiaires qui doivent être estimés et intégrés au
calcul de la juste valeur : le seuil d’exercice et le taux de rotation du personnel sur la période
d’exercice.
2.1.
Le seuil d’exercice
Les stock-options sont des options bermudiennes, estimer le moment au court de la période d’exercice
où elles seront levées permet donc d’affiner la valorisation. On détermine cet instant en prenant en
compte le comportement des bénéficiaires.
Le principe est de déterminer une barrière psychologique, un seuil au-dessus duquel, si le cours de
l’action passe, déclenche l’exercice. En effet, on suppose ainsi que si le cours dépasse ce seuil, les
bénéficiaires estiment que la plus-value est assez importante et décide d’exercer leurs options.
Les données statistiques historiques de l’entreprise émettrice sont utilisées pour estimer la barrière
psychologique. Une méthode est de calculer la moyenne des ratios « cours au moment de l’exercice
sur prix d’exercice ».
Ce type d’estimation ne peut être valable que si :
-
2.2.
les données statistiques fournies sont suffisantes.
on réalise une segmentation de la population, car tous les bénéficiaires n’ont pas les mêmes
attentes et le même rapport au risque, et n’exerceront donc pas tous au même moment.
Le taux de rotation du personnel
Il prend en compte tous les départs de l’entreprises tels que les démissions et les licenciements, mais
exclu les décès, les départs à la retraite, les plans de restructuration et les mutations. Il entre en compte
dans l’évaluation de la juste valeur car le départ de l’entreprise d’un bénéficiaire l’oblige à exercer ses
options sous peine de les voir annulées. Le taux de rotation du personnel est donc un déclencheur de
levée.
Le taux de rotation du personnel entre dans le calcul de la juste valeur aussi bien que dans l’estimation
et la répartition de la charge. Il est estimé et considéré comme constant sur toute la période d’exercice.
Par la suite nous appellerons le taux de rotation du personnel sur la période d’exercice « taux de
rotation post-vesting ».
Comme le seuil d’exercice, l’estimation du taux de rotation du personnel s’appuie sur des statistiques
historiques internes à l’entreprise.
38
3.
Sensibilité de la juste valeur aux paramètres
Nous allons juger de l’impact de la variation des paramètres d’évaluation obligatoires sur le prix de
l’option. Pour cette étude nous utiliserons le modèle de Black-Scholes-Merton car il est le plus simple
intégrant les paramètres obligatoires. Cependant, le modèle de Black-Scholes-Merton ne permettant
pas d’intégrer les paramètres propres aux bénéficiaires, l’impact « chiffré » de ceux-ci sera détailler
plus loin.
3.1.
Différence entre le cours initial et le prix d’exercice
Le gain issu de l’exercice d’une option (appelé pay-off) est la différence entre le cours de l’action à la
date d’exercice et le prix d’exercice : Max( S T − K ,0) . Donc plus l’écart initial entre ces deux valeurs
est important, plus il a de chance de l’être à la date d’exercice. La différence entre le cours initial du
sous-jacent et le prix d’exercice a donc une influence positive sur la juste valeur.
3.2.
La volatilité
Plus la volatilité augmente, plus les probabilités que le cours monte ou baisse sont importantes. Ces
deux probabilités varient de la même manière face à une modification de la volatilité.
Or, le bénéficiaire d’une option profite pleinement de la hausse du cours du sous-jacent alors que son
risque en cas de baisse se limite à la nullité de son gain.
En conséquence, une hausse de la volatilité implique une augmentation de la juste valeur de l’option.
sensibilité de l'option à la volatilité
prix de l'option
70
50
30
10
-10 0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
volatilité
On constate par ailleurs, que l’augmentation de la juste valeur en fonction de la volatilité est quasilinéaire.
39
3.3.
La maturité
Plus la durée de vie de l’option est grande, plus les possibilités de fluctuation du sous-jacent sont
importantes. Comme le prix de l’option est nettement plus influencé par les hausses que par les
baisses du cours, la maturité a une influence positive sur la juste valeur du sous-jacent.
prix de l'option
sensibilité de l'option à la maturité
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
maturité
Notons que la juste valeur n’est pas une fonction linéaire de la maturité.
3.4.
Le taux de dividendes
Le versement de dividendes entraîne instantanément une baisse du cours de l’action. Par conséquent,
une hausse du taux de dividendes espéré, implique une baisse du cours à la date d’exercice et donc
une minoration de la juste valeur.
prix de l'option
sensibilité de l'option au taux de distribution de
dividendes
40
20
0
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
taux de distribution de dividendes
40
10,00%
3.5.
Le taux sans risque
Le taux sans risque a un double impact sur la juste valeur. D’une part sa hausse entraîne une hausse du
gain espéré mais d’autre part elle diminue la juste valeur par l’effet de l’actualisation. Cependant il
s’avère que l’impacte haussier l’emporte sur le baissier.
prix de l'option
sensibilité de l'option au taux sans risque
50
40
30
20
10
0
0,00%
2,00%
4,00%
6,00%
8,00%
10,00%
taux sans risque
3.6.
Le seuil d’exercice
La sensibilité de la juste valeur à ce paramètre n’est pas linéaire. La juste valeur croît avec le seuil
d’exercice jusqu’à atteindre un maximum, puis la hausse du seuil entraîne une baisse de la juste valeur
qui finit par se stabiliser.
Le modèle de Black and Scholes ne permettant pas d’intégrer ce paramètre, nous reviendrons plus
tard, plus en détaille sur ce phénomène, avec le développement d’autres modèles.
3.7.
Le taux de rotation du personnel post-vesting
Plus il est important, plus les options seront exercées tôt et donc plus la juste valeur de l’option sera
faible.
Comme pour le seuil d’exercice l’influence « chiffrée » de ce paramètre sera abordée dans la suite du
mémoire.
41
3.8.
Tableau récapitulatif des sensibilités
Paramètres
Evolution du paramètre
Evolution de la juste valeur
Cours initial - Prix d’exercice
Volatilité
Maturité
Taux de dividendes
Taux sans risque
Tout dépend du niveau du
seuil
Seuil d’exercice
Taux de rotation du
personnel
42
Partie 2 : Les modèles d’évaluation de la juste valeur
1.
Le modèle de Black and Scholes
Le modèle de Black-Scholes (du nom de Fisher Black et de Myron Scholes), publié en 1973, est le
modèle de référence en mathématiques financières pour l’évaluation d’options européennes.
1.1.
Hypothèses et formules
Ce modèle repose sur des hypothèses très fortes et contraignantes :
-
le temps est continu
le marché est complet
le marché est sans frictions
les marchés sont efficients
les ventes à découvert sont possibles
tous les sous-jacents sont parfaitement divisibles (on peut acheter un tiers d’action par
exemple)
il existe un taux sans risque constant dans le temps et connu à l’avance
le prix de l’actif sous-jacent St suit un mouvement brownien géométrique ayant une volatilité
constante σ et une dérivée constante µ décrit par l’équation aux dérivées partielles suivante :
dSt = µSt dt + σSt dWt
Ces hypothèses sont associées au processus de diffusion que nous utiliserons pour pratiquement tous
nos modèles de valorisation, explicitons les donc un peu plus en détail.
● On cherche à modéliser des cours d’actif. Or les variations des cours sont si fréquentes qu’il est
difficile de les prendre en compte avec un modèle en temps discret. La continuité du temps permet
d’envisager que les cours évoluent sans interruption. Néanmoins elle implique de considérer comme
continus, des éléments qui dans la réalité ne le sont pas, comme les versements de dividendes.
● Dire qu’un marché est sans frictions signifie que toutes les transactions s’y font sans coûts ni taxes.
C’est un des gages de fluidité du marché.
43
● La complétude du marché est une hypothèse fondamentale du modèle.
Un modèle financier en temps continu est construit sur un espace probabilisé (Ω, A, P) munit d’une
famille de sous tribus de A ( Ft ) t ≥0 . P est la probabilité historique et la famille ( Ft ) t ≥0 représente
toutes les informations disponibles sur le marché à l’instant « t ». Une des hypothèses de base est que
dans un marché suffisamment fluide, comme est censé être le notre, il n’y a une absence d’opportunité
d’arbitrage (A.O.A), ce qui signifie qu’il est impossible de faire des profits sans prendre de risques.
L’outil mathématique qui nous permet de définir un marché complet en temps continu est la
martingale continue. Une famille ( M t ) t ≥0 de variables aléatoires intégrables (i.e. vérifiant
E [ M t ] < +∞ ∀t ) est une martingale si ∀s ≤ t E [M t Fs ] = M s . Autrement dit, à tout instant « s », la
meilleure estimation du prix de l’actif à une date ultérieure est le prix de l’actif à la date « s ».
On dit qu’un marché est complet, si il existe une unique probabilité risque neutre P* équivalente à P
sous laquelle tous les actifs actualisés sont des martingales. Donc un marché complet est un marché en
situation d’absence d’opportunité d’arbitrage où tous les prix d’actifs sont évaluables grâce à une
espérance sous une probabilité unique.
● Un marché est efficient si tous les acteurs du marché ont accès à toutes les informations disponibles.
Ceci implique l’absence d’opportunité d’arbitrage et que les prix eux même reflètent toute
l’information disponible. C’est une hypothèse très forte car à priori certaines informations ne sont pas
publiques sur le marché, ou accessibles à un nombre restreint de personnes.
● Effectuer une vente à découvert, est vendre sur le marché à terme un actif que l’on ne possède pas
encore, en espérant pouvoir l’acheter moins cher que ce qu’on l’a vendu. Notons que cette hypothèse
n’est pas anodine. En effet en règle général, ces ventes à découvert sont effectivement autorisées, mais
dans le contexte actuel de crise, elles sont pour l’instant interdites.
Par définition, à la maturité T, la valeur d’une option d’achat est caractérisée par son « pay-off » PT
dont la formule est la suivante :
PT = ( ST − K ) + = Max( ST − K ;0)
avec K le prix d’exercice et ST le cours du sous-jacent en T.
Le prix théorique d’une option d’achat Ct à la date t, qui donne le droit d’acheter l’actif S au prix K à
la date T, est donné par l’espérance sous la probabilité risque neutre du pay-off terminal actualisé :
Ct = E ( PT * e − r (T − t ) )
La formule de Black-Scholes correspondante est la suivante (démonstration en annexe2):
C ( St , K , r , T ,σ ) = St N (d1 ) − Ke − r (T − t ) N (d 2 )
44
avec :
σ2
St
log( ) + (r + ) * (T − t )
K
2
d1 =
σ (T − t )
et
d 2 = d1 − σ (T − t )
où :
St le cours du sous-jacent en t
K le prix d’exercice
r le taux sans risque
t la date dévaluation
N() la fonction de répartition de la loi normale (0 ; 1)
1.2.
Le modèle avec versements de dividendes : Black-Scholes-Merton
Il existe une adaptation du modèle de Black and Scholes, le modèle de Black-Scholes-Merton qui
permet de prendre en compte dans l’évaluation d’une option européenne le versement de dividendes.
Ce modèle étant un modèle en temps continu, la formule n’a de sens que si l’on suppose que les
dividendes sont versés quasi-continûment.
Sous les mêmes hypothèses que celles du modèle de Black and Scholes classique, le prix du sousjacent est caractérisé par l’E.D.S suivante :
dSt = ( µ − ς ) St dt + σSt dWt
avec ζ le taux de versement de dividendes espéré.
Le modèle de Black-Scholes-Merton estime le prix du call à la date t C t par la formule suivante :
C ( St , K , r , T ,σ ) = St N (d1 ) − Ke − r (T − t ) N (d 2 )
avec
St
σ2
log( ) + (r − ς +
) * (T − t )
K
2
d1 =
σ (T − t )
1.3.
et
d 2 = d1 − σ (T − t )
Dans quels cas utiliser Black-Scholes-Merton
La formule de Black-Scholes-Merton présente l’avantage d’une grande simplicité et d’une grande
rapidité d’exécution. Mais elle ne permet que de calculer le prix d’une option européenne (exerçable à
la maturité uniquement). Or les stock-options sont assimilables à des options bermudiennes
puisqu’elles sont exerçables sur toute une période.
45
Par ailleurs certains plans complexes, possèdent des conditions particulières telles que des conditions
d’acquisitions qui ne peuvent être prises en compte dans la formule de Black and Scholes.
Cependant, si l’on considère des plans de stock-options simples avec une fenêtre d’exercice courte, le
modèle de Black-Scholes-Merton est adapté à l’évaluation de leur juste valeur.
1.4.
Adaptation du modèle à l’évaluation de stock-options : « la maturité espérée »
Un des désavantages de la formule de Black and Scholes est qu’elle ne permet pas de prendre en
compte la fenêtre d’exercice. Les stock-options étant des options bermudiennes, elles peuvent être
exercer avant la maturité. Dans les faits, un grand nombre d’options seront exercées avant la maturité,
ce qui réduit la durée de vie de l’option et donc sa valeur.
Pour refléter ce phénomène, la norme suggère de prendre en compte dans la formule de Black and
Scholes la « maturité espérée de l’option » et non sa maturité contractuelle.
Contrairement à la maturité contractuelle qui est la date à laquelle les options expirent, la maturité
espérée est la date à laquelle on estime que les options seront réellement exercées.
Pour évaluer cette maturité espérée il faut se baser sur les données statistiques de l’entreprise, en
s’intéressant aux moments d’exercice moyens historiques en fonction du type de plan et du contexte
boursier.
Cependant, il s’avère que la maturité espérée est souvent estimée en prenant comme valeur le milieu
de la période d’exercice.
Attribution
Approximation
usuelle de la
maturité espérée
Acquisition
1.5.
Maturité
contractuelle
Exercice
Exemple de calcul de juste valeur avec Black-Scholes-Merton
Affectons à chacun des paramètres de la formule une valeur numérique.
Prenons un cours initial S0 = 100, un prix d’exercice K = 90, un taux sans risque r = 3%, une volatilité
σ = 20% ,un taux continu de dividende ζ=2,5% et une maturité contractuelle T = 10 ans.
46
Le modèle de Black-Scholes-Merton estime la juste valeur du call ayant les caractéristique ci-dessus
à : 24,059651.
Si on ajoute le fait que le plan comporte une période d’acquisition de 4 ans, on peut alors estimer la
10 − 4
maturité espérée à
+ 4 = 7 ans. L’estimation de la juste valeur est alors de 22,4242 €.Cela
2
signifie que le bénéfice moyen espéré dans 7 ans, date de la maturité espérée, est de 22.42 €.
juste valeur (Black-Scholes-Merton)
Maturité contractuelle
24,059651
Maturité espérée
22,4241633
Cette approche via la maturité espérée implique que la juste valeur est une fonction linéaire de la
maturité, ce qui n’est pas le cas comme on a pu le voir en étudiant la sensibilité de la juste valeur à la
maturité (paragraphe 3.3 de la partie 1 de ce chapitre).
Hormis le fait qu’un grand nombre d’entreprises dispensent des plans sans conditions particulières et
utilisent donc ce modèle pour leur évaluation, il est important de garder ces résultats en mémoire car
ils serviront de base comparative avec les autres méthodes.
La formule de Black-Scholes-Merton restant en principe, réellement adaptée à l’évaluation de la juste
valeur de plans très simples, dès lors qu’ils se complexifient, elle n’est plus conseillée et le recours à
d’autres méthodes devient nécessaire.
47
2.
Le modèle binomial
En 1979, Cox, Ross et Rubinstein ont développé une méthode par arborescence permettant d’évaluer
de nombreux types d’options, et notamment celles pouvant être exercées par anticipation.
2.1.
Hypothèses et formules
2.1.1. Hypothèses
-
le marché est complet et sans friction
l’efficience du marché
l’intervalle d’étude est décomposé en N périodes de longueur identique, égale à ∆t.
les transactions ne peuvent qu’avoir lieux instantanément aux dates : ti = i.∆t avec i=0,…,N-1
-
tous les sous-jacents sont parfaitement divisibles (on peut acheter un tiers d’action par
exemple)
le taux d’intérêt sans risque r est constant et connu par avance.
en temps continu, le processus de diffusion de l’action sous-jacente est décrit par l’EDS :
-
où St : prix du sous-jacent en t
µ : rendement du processus suivi par le sous-jacent
σ : volatilité du rendement du sous-jacent
Wt : mouvement brownien standard
•
en temps discret, le prix de l’actif évolue à chaque période, selon deux tendances ; soit à la
hausse en multipliant le prix par u = exp(σ ∆t ) , soit à la baisse en multipliant le prix par
1
d = comme le montre le graphique ci-dessous.
u
S 0 ⋅ u = Su
S0
S0 ⋅ d = Sd
48
2.1.2. Formules sans versement de dividendes
On se place dans l’hypothèse d’une économie neutre au risque, donc une économie dans laquelle le
prix espéré du sous-jacent doit être égal au prix du sous-jacent placé au taux sans risque :
S . exp(r.δt ) = p.Su + (1 − p) S d
On en déduit la formule de la probabilité risque neutre (à la hausse) :
p=
exp(r.δt ) − d
u−d
La modélisation binomiale s’appuie sur le fait que le prix de l’option à un nœud donné (nœud père)
est calculé grâce aux nœuds suivant (les nœuds fils). On calcul facilement les valeurs de l’option à la
maturité, puis on calcul par induction arrière le prix à chaque noeud, étape par étape, jusqu’à obtenir
la valeur de l’option à la date initiale.
Soient i l’indice de la période de temps et j l’indice de la position dans l’arbre.
Les valeurs d’une option européenne à la maturité sont données par :
FN , j = ( S0 .u j .d N − j − K ) + ;
Les valeurs de l’option à chaque nœuds de l’arbre sont données par :
Fi , j = exp(−r.∆t ).( p.Fi +1, j +1 + (1 − p ) Fi +1, j ) ;
Et la formule directe du prix en 0 est donc :
N
F0 = exp(− r.N .∆t ).∑ ( p k .(1 − p) N − k C Nk ( S0 .u k .d N − k − K ) + )
k =0
2.1.3. Formule avec versements de dividendes
Pour calculer le prix d’une option dont le sous-jacent délivre des dividendes à hauteur d’un taux
annuel ζ, on diffuse le sous-jacent de la même manière mais on utilise une nouvelle probabilité risque
neutre :
p=
exp((r − ς )∆t ) − d
u−d
49
2.1.4. Comparatif avec le modèle de Black and Scholes
Le modèle binomial, tel qu’il est construit, converge vers les résultats de Black & Scholes quand on
affine le nombre de pas de l’arbre.
Affectons à chacun des paramètres de la formule une valeur numérique. Prenons un cours initial S0 =
100, un prix d’exercice K = 90, un taux sans risque r = 3%, une volatilité σ = 20%, un taux annuel de
dividende ζ = 2.5% et une maturité contractuelle T = 10 ans.
Le tableau ci-dessous illustre la convergence du modèle binomial vers le modèle de B&S en fonction
du pas de temps utiliser dans l’arbre.
Binomial
B&S
24,0597
1 pas par an
12 pas par an
50 pas par an
250 pas par an
24,2605
24,0459
24,0589
24,0597
A ce stade, pour assurer la convergence, toutes les modélisations binomiales se feront avec 250 pas de
temps par an.
2.2.
Avantages de la méthode binomiale
Avec l’arbre binomial, on discrétise le temps, et on peut donc :
-
-
faire évoluer des paramètres de l’option dans le temps, tels que le taux de dividende ou la
volatilité (cette possibilité est très peu utilisée dans le cas de l’évaluation de la juste valeur des
stock-options en IFRS 2)
évaluer l’impact d’un exercice anticipé à tout moment de la période d’exercice
prendre en compte des hypothèses comportementales
tenir compte du turnover sur la période d’exercice
2.2.1. Exercice anticipé selon la barrière psychologique
Suite à la période d’acquisition, les détenteurs de stock-options ont le droit d’exercer quand ils le
souhaitent leurs options sur toute une période, appelée la période d’exercice. Cette décision leur est
propre, et est modélisée par la barrière psychologique.
Le plus souvent le seuil de la barrière est pris proportionnel au cours initiale du sous-jacent ou au prix
d’exercice (dans mon évaluation j’ai opté pour un niveau proportionnel au prix d’exercice).
Ainsi choisir un coefficient de barrière psychologique de niveau λ (valeur supérieure à 1), signifie que
les détenteurs exercent quand leur gain a augmenté de (λ-1)*100%.
50
Soit v la date où l’option est définitivement acquise (date de vesting ou d’acquisition), T la
maturité, N le nombre total de pas, K le prix d’exercice, λ le coefficient psychologique et Fi , j la
valeur de l’option au nœud de pas i et de position j.
Voici l’algorithme qui permet d’intégrer la barrière psychologique à la modélisation binomiale:
1. A la maturité, on a N+1 issues possibles. On calcul le pay-off associé à chacune de ces issues :
en i.∆t = T, FN , j = ( S0 .u j .d N − j − K ) +
2. En v < i. ∆t < T, sur la période d’exercice, il nous faut faire apparaître la possibilité d’un
exercice anticipé. Deux cas s’offrent à nous à chaque nœud :
-si le cours du sous-jacent dépasse la barrière psychologique, ie S0 .u j .d i − j ≥ λ.K alors il nous
faut établir un réajustement et considérer que pour cette trajectoire l’exercice aura lieu à ce nœud.
Ceci ce traduit en affectant à la valeur de l’option le gain réalisé en exerçant à la date
i.∆t : Fi , j = ( S0 .u j .d i − j − k ) + .
-si le cours est au-dessous du seuil, S0 .u j .d i − j < λ .K alors la valeur de l’option est égale à
l’espérance des nœuds fils actualisée Fi , j = exp(− r.∆t ).( p.Fi +1, j +1 + (1 − p) Fi +1, j )
3. En 0 ≤ i. ∆t ≤ v, sur toute la période d’acquisition, il n’y a plus d’exercice anticipé possible, et
on calcul donc à chaque nœud le prix de notre option par induction arrière, soit
Fi , j = exp(− r.∆t ).( p.Fi +1, j +1 + (1 − p) Fi +1, j ) .
On obtient alors notre juste valeur, qui est égale à F0,0 .
Exemple d’application :
Comparons, l’évolution de la juste valeur en fonction de l’évolution de la barrière psychologique (ou
coefficient d’exercice) λ.
dividende ζ = 2.5%, une maturité T = 10 ans et une date d’acquisition v = 4 ans.
51
Le tableau ci-dessous détaille l’évolution de la juste valeur et la compare à celles obtenue avec le
modèle de Black-Scholes-Merton intégrant ou pas un exercice anticipé.
B&S
Binomial
Maturité
contractuelle
maturité
espérée
λ=1
λ = 1,2
λ = 1,5
24,0597
22,4242
19,5630
22,8008
25,0877
0%
-6,79%
-18,69%
-5,23%
4,27%
% d’écart
avec
24,05
Binomial
% d’écart
avec 24,05
λ=2
λ=4
λ=6
λ=8
λ = 10
25.7178
24,3691
24.1167
24,0730
24,0637
6,89%
1,29%
0,24%
0,06%
0.02%
Observation :
L’estimation par le modèle de Black-Scholes-Merton avec maturité espérée s’approche de celle par le
modèle binomial avec un coefficient de barrière comportementale de niveau 1,2.
Par ailleurs l’évolution de la juste valeur en fonction de la barrière comportementale n’est pas linéaire.
Elle croît, en dépassant l’estimation classique de Black-Scholes-Merton jusqu’à atteindre un
maximum (dans notre cas il est atteint pour un coefficient d’exercice de 2), puis décroît en
convergeant vers le résultat de Black-Scholes-Merton.
Juste valeur en fonction de la barrière
psychologique
Juste valeur
25
23
Binomial
Black and Scholes
21
19
1
3
5
7
coefficient d'exercice
52
9
Conclusion :
Tant que la barrière reste basse, les exigences de gains des détenteurs sont faibles, ils ont tendance à
exercer tôt, la juste valeur est peu élevée. Plus la barrière augmente, plus ils exercent tard. La juste
valeur augmente, jusqu’à atteindre un niveau d’exigence de gain tel, qu’il devient de moins en moins
réalisable, et que les détenteurs exercent finalement à la maturité, d’où le fait que la juste valeur
converge vers Black-Scholes-Merton en T.
2.2.2. Introduction du taux de rotation du personnel post vesting
La norme stipule que le turnover sur la période d’exercice doit être fixé à l’avance et pris en compte
dans l’estimation de la juste valeur des stock-options.
Soit v la date où l’option est définitivement acquise (date de vesting), N le nombre total de pas, K le
prix d’exercice, η le taux annuel de rotation du personnel, nbr le nombre de pas par an et Fi , j la valeur
de l’option au nœud de pas i et de position j.
Voici l’algorithme qui permet de refléter l’impact de l’exercice anticipé dû au taux de rotation annuel
post-vesting sur la juste valeur dans la modélisation binomiale :
1.
i.∆t = T, à la maturité, on calcul le pay-off associé à chacune des N+1 issues :
FN , j = ( S0 .u j .d N − j − K ) +
2.
En v < i.∆t < T, sur la période d’exercice, nous devons intégrer à notre espérance conditionnelle
la probabilité d’un exercice anticipé pour cause de départ de l’entreprise. Etant donné que le taux
annuel de rotation du personnel vaut η, la probabilité de partir à chaque date i.∆t sachant que l’on
était présent à la date antérieure vaut
η
nbr
. Ainsi à chaque nœud la valeur de notre option ce
calcul suivant l’algorithme suivant :
Fi , j =
3.
η
nbr
⋅ ( S0 ⋅ u j ⋅ d i − j − K ) + + (100 −
η
nbr
) ⋅ exp(−r ⋅ ∆t ) ⋅ ( p ⋅ Fi +1, j +1 + (1 − p ) ⋅ Fi +1, j )
En 0 ≤ i. ∆t ≤ v, sur toute la période d’acquisition, le taux de rotation du personnel n’est palus à
prendre en compte dans le calcul de la juste valeur, on évalue donc à chaque nœud le prix de
notre option par induction arrière, soit :
Fi , j = exp(−r ⋅ ∆t ) ⋅ ( p ⋅ Fi +1, j +1 + (1 − p) ⋅ Fi +1, j )
On obtient alors notre juste valeur, qui est égale à F0,0 .
53
Exemple d’application :
Observons l’impact du taux de rotation annuel η sur la juste valeur.
dividende ζ = 2.5%, une maturité T = 10 ans et une date d’acquisition v = 4 ans. Les résultats obtenus
sont les suivants :
B&S : Maturité
contractuelle
Binomial
24.059651
% d’écart
η = 1%
η = 2%
η = 5%
η = 10%
23,9508
23,8457
23,5517
23,1244
-0,45%
-0,89%
-2,11%
-3,89%
Conclusion :
Comme cela a été vu dans le paragraphe consacré à la sensibilité de la juste valeur aux paramètres, on
observe bien une évolution à la baisse de la juste valeur avec la hausse du taux de rotation postvesting.
juste valeur
Evolution de la juste valeur en fonction du taux de
rotation du personnel
24
23,5
23
0
2
4
6
8
10
12
taux de rotation en pourcentage
Cependant on remarque que, pour des valeurs raisonnables (aux quelles on peut vraiment être
confronter) l’impact de ce paramètre est relativement faible en comparaison avec celui de la barrière
psychologique par exemple.
54
2.2.3. Exemple d’application en mixant critères comportementaux et taux de rotation du
personnel
Gardons des valeurs de paramètres similaires aux paragraphes précédents.
Barrière comportementale
Taux de turnover
0%
1%
2%
5%
0
19,4843
-19,02%
19,4843
-19,02%
19,4843
-19,02%
19,4843
-19,02%
1
19,5630
-18,69%
19,5619
-18,69%
19,5609
-18,70%
19,5580
-18,71%
1.2
22,8008
-5,23%
22,7366
-5,50%
22,6745
-5,76%
22,4998
-6,48
1.5
25,0876
4,27%
24,9553
0,15%
24,8276
3,19%
24,4702
1,71%
2
27,7177
15,20%
25,5553
6,22%
25,3989
5,57%
24,9628
3,75%
pourcentage d’écart avec la valeur donnée par Black&Scholes : 24.059651
(la première ligne est constante car si λ = 0, cela signifie que les détenteurs exercent dès le début de la
date d’exercice ).
55
3.
Le modèle trinomial
Il fut introduit par Boyle en 1988. Il s’appuie sur les mêmes principes que le modèle binomial, mais
offre une option supplémentaire. En effet, à chaque étape l’arbre binomial ouvre deux possibilités :
une à la hausse et une à la baisse. A ces deux options, le modèle trinomial ajoute celle où le cours du
sous-jacent reste constant.
Pour notre évaluation nous avons choisi d’utiliser l’arbre trinomial de Kamrad-Ritchen, qui est un
S
arbre symétrique pour l’approximation de X t = log( t ) dans le modèle de Black and Scholes.
S0
3.1.
Hypothèses
Ce sont les même que pour le modèle binomial, à l’exception de celle sur l’évolution du prix du sousjacent en temps discret :
H : en temps discret, le prix de l’actif évolue à chaque période, selon trois tendances :
→ soit à la hausse en multipliant le prix précédent par u = exp(σ 3 ⋅ ∆t ) ,
→ soit à la baisse en multipliant le prix précédent par d =
1
,
u
→ soit en gardant le prix constant.
S 0 ⋅ u = Su
S0 = S m
S0
S0 ⋅ d = Sd
Cette liberté supplémentaire engendre une nouvelle probabilité risque neutre. Pour ce modèle nous
utiliserons tout de suite la formule intégrant un versement de dividendes.
56
3.2.
Formules avec versements de dividendes
Les conditions liées à l’univers risque neutre nous donnent, à chaque nœud, la fonction de répartition
suivante (démonstration en annexe 3) :
1
∆t
σ2
⋅ (r − ς − )
→ la probabilité de hausse : pu = +
6
12 ⋅ σ 2
2
→ la probabilité de baisse : pd =
1
∆t
σ2
−
⋅
(
r
−
−
)
ς
6
12 ⋅ σ 2
2
→ la probabilité que le cours reste constant : pm =
2
3
avec ∆t durée d’un pas de temps en année
σ la volatilité de l’action sous-jacente
r le taux sans risque annuel
ζ le taux de versement de dividendes annuel
On procède toujours par induction arrière. La formule des pay-off terminaux reste celle d’un call
européen, et à chaque nœud l’espérance actualisée calculée intègre la fonction de répartition risque
neutre ci-dessus. Ainsi la valeur de l’option à chaque nœud père en fonction des trois nœuds fils est
donnée par :
Pour 0 ≤ i.∆t <T et 0 ≤ j < 2i
Fi , j = exp(−r ⋅ ∆t ) ⋅ ( pu ⋅ Fi +1, j −1 + pm ⋅ Fi +1, j + pd ⋅ Fi +1, j +1 )
3.3.
Avantages de la méthode trinomiale
Le modèle trinomial permet d’intégrer les mêmes critères que le binomial, à savoir :
-
des périodes d’acquisition et d’exercice distinctes
des critères comportementaux
un taux de rotation du personnel post-vesting
57
3.4.
Comparaison des résultats : binomial versus trinomial
dividende ζ = 2.5%, un taux de rotation η = 5%, une maturité T = 10 ans, une date d’acquisition v = 4
ans, un coefficient de barrière comportementale λ=1.5 et 250 pas par an.
Critères
Binomial
Trinomial
%d’écart
Call européen classique
24.0597
24.0591
0,0027%
turnover
23.7293
23.72847
0,0033%
comportement
25.1971
25.2092
-0,0478%
turnover+comportement
24.7567
24.7669
-0,0415%
Conclusion :
On remarque que les deux modèles donnent sensiblement les mêmes résultats. Il s’avère cependant
que le modèle trinomial, du fait de sa troisième possibilité converge plus vite. Cependant étant plus
lourd à programmer et à exécuter, dans la pratique, pour le type de plans adéquat, il reste très peu
utilisé au profit du modèle binomial.
58
4.
La méthode de Monte Carlo
Cette technique statistique très en vogue (notamment pour le calcul des provisions d’assurance) fut
introduite en 1977 par BOYLE dans la panoplie des outils de la finance computationnelle. Elle est
basée sur la « loi des grands nombres » et suppose la projection de milliers de scénarios de
mouvements futurs du prix de l’actif sous-jacent et nécessite donc de connaître la loi statistique de la
diffusion de cet actif et le prix de l’option sous forme analytique.
4.1.
Hypothèses
On choisi ici d’appliquer la méthode de Monte Carlo au processus de diffusion à la base du modèle de
Black and Scholes, la diffusion log-normale.
On retrouve donc les mêmes hypothèses :
-
le marché est complet et sans friction
l’efficience des marchés
en temps continu, le processus de diffusion de l’action sous-jacente est décrit par l’E.D.S :
où St : prix du sous-jacent en t
µ : rendement du processus suivi par le sous-jacent
σ : volatilité du rendement du sous-jacent
Wt : un mouvement brownien
On peut bien sûre utilisée la méthode de Monte Carlo sur un autre modèle de diffusion.
-
4.2.
le taux d’intérêt sans risque r est constant dans le temps
Principe et formule
On divise le temps en N périodes de durée égale à ∆t. A chaque période on simule un brownien de
manière à obtenir une trajectoire de brownien sur l’ensemble de notre période de temps. On en déduit
une trajectoire de notre actif sous-jacent, et on peut ainsi calculer le pay-off à la date de règlement.
En répétant « n » fois cette procédure, on obtient un vecteur de n pay-off finaux. L’espérance
mathématique des valeurs actualisées de ce vecteur est alors l’estimation de la juste valeur de notre
option.
59
La formule de base de la simulation :
Selon les hypothèses du modèle, l’évolution de l’actif sous-jacent incluant un versement de
dividendes, est caractérisée par l’E.D.S :
dSt
= ( µ − ς )dt + σdWt dont la solution est (démonstration en annexe 1) :
St
S t = S 0 ⋅ exp(σWt + (r − ς −
4.3.
σ2
2
)t )
Simulation d’une trajectoire de brownien et choix d’un algorithme
Le mouvement brownien Wt suit une loi normale N (0, t ) :
-
sa valeur initiale W0 est égale à 0
-
soit ti − ti −1 = a alors
Wti = Wti −1 + a ⋅ Yi où Yi suit une N (0,1) .
Ainsi pour simuler la trajectoire d’un mouvement brownien, la première étape est de simuler un
vecteur i.i.d. de variables aléatoires de loi Normale N (0,1) .
Simulation de la loi N(0,1)
Dans la méthode de Monte Carlo, la simulation de la loi théorique est primordiale. Il faut donc utiliser
l’algorithme adéquat. Mon choix c’est porté sur deux algorithmes classiques de simulation de la loi
Normale : celui de Böx-Muller et celui de De Moro.
Ces deux algorithmes s’appuient sur la simulation de la loi uniforme. Afin de choisir l’un ou l’autre
des deux algorithme soumettons les à quelques tests :
-
convergence de la moyenne
convergence de la variance
test du Khi-Deux d’adéquation
60
4.3.1. Convergence de l’espérance
Convergence de l'espérance
0,2
0,1
Box-Muller
0
1
2224 4447 6670 8893 11116 13339 15562 17785
De Moro
-0,1
-0,2
Ce test n’est pas vraiment concluant. Les deux algorithmes donne des échantillons dont l’espérance
converge vers 0 pour la même taille.
4.3.2. Convergence de la variance
Convergence de la variance
variance
1,2
1,1
Box-Muller
De Moro
1
0,9
0,8
1
2288 4575 6862 9149 11436 13723 16010 18297
nombre de simulations
On voit clairement, que l’échantillon donné par l’algorithme de Box-Müller a une variance qui
converge beaucoup plus vite vers 1. Dès 15 000 simulations elle est bien plus proche de 1. Donc en
terme de variance, l’algorithme de Box-Müller est plus adapté que celui de De Moro.
61
4.3.3. Test du Khi-Deux d’adéquation
Ces deux algorithmes ont été conçus pour simuler une loi normale. Ce test n’est donc pas utilisé dans
le but de savoir si les algorithmes génèrent bien la loi mais de déterminer lequel est le plus efficace.
En effet le test du Khi-Deux repose sur le calcul d’une distance entre la loi empirique de l’échantillon
et la loi théorique. Le but ici est donc de déterminer quel algorithme engendre la plus petite distance.
En moyenne pour des échantillon de taille 50 000, on trouve :
Box-Müller
De Moro
16,94
17,28
Distance du Khi-Deux
Conclusion
Deux des tests nous poussent à choisir l’algorithme de Box-Müller, que l’on trouve ci-dessous.
Algorithme de Box-Müller :
« Soient U1 et U 2 deux variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées dans ]0,1].
Soient
Y1 = − 2 ln(U1 ) ⋅ cos(2ΠU 2 )
et Y2 = − 2 ln(U1 ) ⋅ sin( 2Π U 2 )
Alors Y1 et Y2 sont des variables indépendantes suivant une loi N(0,1). »
(Vous trouverez la démonstration de cet algorithme en annexe 4)
62
4.4.
Convergence vers le modèle de Black & Scholes
La méthode de Monte Carlo avec les hypothèses de diffusion citées converge vers les résultats de
Black-Scholes-Merton. Cependant la convergence dépend du nombre de trajectoires simulées pour
calculer la moyenne mathématique. Comme le montre le graphique suivant, il convient de faire notre
évaluation sur 100 000 simulations. En dessous de ce nombre de simulations le prix d’un call
européen présente une trop grande volatilité.
Stabilité du prix en fonction du nombre de simulations
26
Juste valeur
25
24
Monte Carlo
23
Black and Scholes
22
21
0
50
90
50
0
0
80
70
50
50
0
0
60
50
50
50
0
0
40
50
30
50
0
0
20
50
10
50
0
20
nombre de simulations
A compter de maintenant, nos estimations par la méthode de Monte Carlo se feront sur une base de
100 000 simulations de trajectoires.
4.5.
Avantages du modèle de Monte Carlo
Ce modèle permet de prendre en compte tous les critères qu’intègrent les modèles précédents, mais
aussi :
-
d’incorporer des hypothèses d’exercice anticipé plus complexes
de refléter des conditions de performance relative ou absolue de marché et des non-vesting
conditions.
63
4.5.1. Exercice anticipé : la barrière psychologique
Comme avec le modèle binomial et le trinomial nous pouvons, avec une simulation de type Monte
Carlo intégrer au calcul de la juste valeur un exercice anticipé dû à la volonté des bénéficiaires
d’exercer quand ils ont atteint un certain niveau de gain.
Soient n le nombre de trajectoires, N le nombre de subdivisions du temps, λ le coefficient d’exercice
T
comportemental, v la date d’acquisition des options, T la maturité contractuelle, ∆t = le pas de
N
temps en années, m un entier appartenant à [0,n] représentant le numéro de la simulation et i un entier
appartenant à [0; N ] .
Voici l’algorithme qui permet avec le modèle de Monte Carlo, de prendre en compte la barrière
psychologique dans le calcul de la juste valeur (sans le turnover) :
1) On simule la valeur du sous-jacent à la date v − ∆t (le pas juste avant la date d’acquisition).
2) Pour i ∈ [v; N − 1] (la période d’exercice)
i) si le cours est au dessus de la barrière psychologique Si > λ ⋅ K
alors Pm = exp(−r ⋅ i ⋅ ∆t ) ⋅ ( S i − K ) + et on sort de la boucle
si Si ≤ λ ⋅ K
alors Pm = 0 et on avance d’un pas, on passe au i suivant
3) Pour i.∆t = T (à la maturité)
i) si Pm ≠ 0 , ce qui signifie qu’on a exercé avant la maturité, on garde la valeur Pm
ii) si Pm = 0 alors Pm = exp(−r ⋅ T ) ⋅ ( S T − K ) +
4) On répète les trois étapes précédentes N fois
n
p
5) La Justevaleur = ∑ m
m =1 n
Comparaison avec les autres modèles :
dividende ζ = 2.5%, une maturité T = 10 ans, une date d’acquisition v = 4 ans et que ce soit pour le
modèle binomial ou celui de Monte Carlo on compte 250 pas par an.
Binomial
Monte Carlo
% d’écart
λ = 1,2
22.8008
23.0813
-1.21 %
λ = 1,5
25.0876
25.4011
-1.22 %
λ=2
25.7177
25.4575
1.02 %
64
Observation :
Pour rappel, avec ces hypothèses le modèle de Black-Scholes-Merton le bénéfice espéré au bout de 10
ans à 24.0596 €. On retrouve donc avec la méthode de Monte Carlo basé sur le même processus de
diffusion ce phénomène de maximum puis de convergence vers le résultat Black-Scholes-Merton.
Par ailleurs, on constate que suivant le niveau de gain espéré, les estimations données par la méthode
de Monte Carlo et le modèle binomial ne se situent pas de la même manière. Pour les gains inférieurs
à 50% du prix d’exercice (pour λ ≤ 1.5 ), la juste valeur estimée par le modèle binomial est inférieure à
celle donnée par Monte Carlo. Alors que pour des gains (pour λ > 1.5 ) plus importants la situation est
inversée.
4.5.1. Exercice anticipé : le taux de rotation du personnel post-vesting
Soient n le nombre de trajectoires, N le nombre de subdivisions du temps, η le taux de rotation
annuel du personnel post-vesting, v la date d’acquisition des options, T la maturité contractuelle,
T
∆t = le pas de temps, m un entier appartenant à [0,n] représentant le numéro de la simulation et i
N
un entier appartenant à [0; N ]
Voici l’algorithme qui permet de refléter l’impact du taux de rotation annuel post-vesting sur la juste
valeur avec le modèle de Monte Carlo :
1) Le taux de rotation du personnel post-vesting sur un pas de temps est le suivant :
turn = 1 − (1 − η ) ∆t
2) Simulation de la valeur du sous-jacent à la date v + ∆t .
3) A chaque pas entre v et T − ∆t , on ajoute au compteur cptm la valeur de l’option si on exerçait
à cette date associée à la probabilité d’exercer à ce moment pour cause de départ :
cpt m = cpt m + (1 − turn)
i−
v
∆t
⋅ turn ⋅ exp(−r ⋅ i ⋅ ∆t ) ⋅ ( S i − K ) +
4) En T, on ajoute à cptm la valeur de l’option si on exerce à la maturité associée à la probabilité
de faire partie de l’effectif qui n’a pas quitté l’entreprise au cours de la période de levée :
cpt m = cpt m + (1 − turn)
T −v
∆t
⋅ exp(−r ⋅ T ) ⋅ ( S T − K ) +
5) cptm est alors la juste valeur de l’option associé à cette trajectoire
n
cptm
m =1 n
6) On répète n fois les étapes les étapes précédentes et au final la Justevaleur = ∑
Notons que la probabilité de départ utilisée dans cet algorithme est bien une probabilité
conditionnelle. A chaque pas on considère la probabilité de partir sachant qu’on était présent jusque
là.
65
Comparaison avec les autres modèles :
Gardons le même paramétrage qu’au paragraphe précédent :
Taux de rotation
annuel
Binomial
Monte Carlo
% d’écart entre
Binomial et MC
η = 0%
24.06
24.06
0%
η = 1%
23,95
24,07
-0.50 %
23,85
23,83
0.08%
η = 5%
23,55
23,52
0.13 %
η = 10%
23,12
23,01
0.48%
η = 2%
Black and
Scholes
24,059651
Conclusion :
Quand le taux de rotation du personnel est considéré comme nul (η = 0%) on trouve bien les trois
modèles donne bien les mêmes résultats.
On constate que les estimations sont relativement similaires qu’elles soient issues de la méthode
binomiale ou d’une simulation de type Monte Carlo. Cependant, une tendance ce dégage : plus le taux
de rotation du personnel est important, plus la méthode de Monte Carlo donne une juste valeur basse
par rapport à la méthode binomiale.
4.5.2. Conditions de performance absolue
Le modèle de Monte Carlo permet d’intégrer des critères de performance basés sur la seule évolution
du cours du sous-jacent, dits critères de performance absolue. Dans ce cas l’acquisition des stockoptions n’est effective qu’à partir du moment où le cours de l’action sous-jacente a atteint un certain
seuil au cours d’une période donnée, en l’occurrence la période d’acquisition.
a) Impact du seul critère de performance absolue
Soient n le nombre de trajectoires, N le nombre de subdivisions du temps, φ le coefficient
d’acquisition, v la date d’acquisition des options, T la maturité contractuelle, ∆t le pas de temps, m un
entier appartenant à [0,n] représentant et i un entier appartenant à [0,N-1]
66
L’algorithme suivant permet de prendre en compte ce concept de performance absolue :
1) On crée un compteur q qui permet de savoir si la condition d’acquisition est validée.
2) Soit i ⋅ ∆t ∈ [0, v − i ⋅ ∆t ] : on simule un brownien qui nous permet de faire évoluer la trajectoire du
sous-jacent :
a) Si Si ⋅∆t ≥ ϕ ⋅ S0 alors l’option est acquise, on met q = 1 . On simule alors directement le sousjacent à la date terminale, on en déduits le pay-off de cette trajectoire.
b) Sinon l’option n’est pas encore acquise, on met q = 0 et on passe au pas suivant.
3) En i.∆t = v
a) Si q = 1 alors on a déjà le pay-off de la trajectoire
b) Si q = 0 alors le pay-off =0
4) On répète les étapes précédentes pour les n trajectoires
n
pay − off
5) La Justevaleur = ∑
n
1
Comparaison avec le modèle de Black and Scholes
Les paramètres choisis restent les même qu’aux paragraphes précédents. L’estimation des justes
valeurs en fonction du seuil d’acquisition exiger sont consignés ci-dessous :
Coefficient de
performance
absolue
Black and
Scholes
Monte Carlo
%d’écart
φ = 1,1
21,94
-8,82%
φ = 1,3
17,59
-26,91%
φ = 1,5
12,82
-46,72%
φ=2
4,73
-80,34%
24,059651
Conclusion :
La juste valeur est très sensible aux conditions de performance absolue, pour ce paramétrage une
augmentation de x % des exigences de performance entraîne une baisse quasi équivalente de la juste
valeur. Par exemple pour une condition de performance exigeant une hausse de 10% du cours initial
du sous-jacent entraîne une baisse de près de 9% de la juste valeur.
67
juste valeur
Evolution de la juste valeur en fonction du
coefficient de performance absolue
30
20
10
0
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
coefficient de performance
b) Performance absolue et exercice anticipé
Soient n le nombre de trajectoires, N le nombre de subdivisions du temps, φ le coefficient
d’acquisition, λ le coefficient d’exercice, η le taux de rotation du personnel post-vesting, v la date
d’acquisition des options, T la maturité contractuelle, ∆t le pas de temps, m un entier appartenant à
[0,n] représentant et i un entier appartenant à [0,N-1]
L’algorithme suivant permet d’évaluer la juste valeur d’une option d’un plan sous conditions de
performance absolue incluant les exercices anticipés dus à la rotation du personnel et
au comportement des bénéficiaires:
Le taux de rotation du personnel sur un pas de temps est défini comme suit : turn = 1 − (1 − η ) ∆t Pour
une trajectoire :
1) On crée un compteur q que l’on initialise à 0.
⎡ v⎤
2) Pour i ∈ ⎢1, ⎥ , sur la période d’acquisition :
⎣ ∆t ⎦
i) Si S i ≥ ϕ ⋅ S 0 alors q = 1 , l’option est acquise, on simule directement le sous jacent à la
date v en passant par un mouvement brownien de variance v − i ⋅ ∆t et on sort de la boucle
ii) Si S i p ϕ ⋅ K , l’option n’est pas encore acquise, on passe au pas suivant (on simule S i +1 ).
3) A la fin de la boucle, on entre dans la période d’exercice ; deux cas sont possibles :
i) Soit q = 1 (cas où l’option serait acquise) alors on initialise Pm à 0
T⎤
⎡v
(1) Pour i ∈ ⎢ + 1, ⎥ , on simule S i
∆t ⎦
⎣ ∆t
T
∆t
alors le pay –off de la trajectoire est la somme des pay-off aux dates précédentes associés à la
probabilité d’avoir exercé à ces dates pour cause de départ et du pay-off à la date i ⋅ ∆t associé à la
Si le cours dépasse la barrière psychologique, S i ≥ λ ⋅ K ou si on a atteint la maturité i =
probabilité d’avoir était présent jusqu là : Pm = Pm + (1 − turn)
68
( i −1−
v
)
∆t
⋅ exp(−r ⋅ i ⋅ ∆t ) ⋅ ( S i − K ) +
Si S i p λ ⋅ K alors Pm = Pm + turn ⋅ (1 − turn)
i −1−
v
∆t
⋅ exp(− r ⋅ i ⋅ ∆t ) ⋅ ( S i − K ) +
(2) A la fin de la boucle on a le pay-off de la trajectoire Pm .
ii) Soit q = 0 (cas où l’option n’est pas acquise) alors le pay-off Pm = 0
Pm
m =1 n
n
4) On répète n fois cette procédure et alors JusteValeur = ∑
c) Exemple de plan sous condition de performance absolue
L’entreprise A décide en 2008 de mettre en place un plan d’option d’achat dont l’acquisition sera
soumis à des conditions de performance absolue. La date d’attribution est fixée au 30 juin 2008, celle
d’acquisition au 30 juin 2012 et le plan prendra fin au 30 juin 2016. La volatilité attendue est estimée
à 20%, le taux de dividende attendu à 2.5% et le taux sans risque à 3%.
A la date d’attribution le cours du sous-jacent est de 100 € et le prix d’exercice est fixé à 90 €.
L’entreprise A estime que :
-
10% des bénéficiaires du plan exerceront leurs options si
fois le prix d’exercice
Et que 30% des bénéficiaires du plan exerceront leurs
dépasse 2 fois le prix d’exercice
le cours du sous-jacent dépasse 1.1
options si le cours du sous-jacent
Observons quelle sera l’évolution de la juste valeur en fonction du seuil d’acquisition fixé par le
conseil d’administration :
Coefficient d’acquisition
φ=1,1
φ=1,2
φ=1,5
φ=2
φ=2,5
λ=1,1
21,26
20,29
14,87
5,85
1,97
λ=1,3
22,43
21,04
14,89
5,86
1,99
λ=1,5
23,06
21,66
14,93
5.94
2,02
λ=2
23,07
21,75
15,07
6,01
2,06
Juste valeur d’une
option moyenne du
plan*
22,75
21,42
14,96
5,93
2,02
Coefficient
d’exercice
* la moyenne pondérée, ie : 10% JV(pour λ=1,1) + 20% JV(pour λ=1,3) + 40% JV(pour λ=1,5) + 30%
JV(pour λ=2)
69
On retrouve le fait que le coefficient d’acquisition a un impact très fort sur la juste valeur. Ce critère
est un levier essentiel pour le contrôle de la juste valeur, mais dans les faits on ne peut en abuser sous
peine de rendre le plan trop peu attractif.
4.5.3. Conditions de performance relative
Ce critère déclenche l’acquisition des options quand la performance du sous-jacent est
« satisfaisante » comparativement au marché. En général, la condition se traduit par une comparaison
du taux de rentabilité sur la période d’acquisition du sous-jacent à celui d’un indice représentant le
marché où opère l’entité.
Il est donc nécessaire de simuler à la fois la trajectoire de l’action sous-jacente mais aussi celle de
l’indice de comparaison.
a) Simulation de l’indice de référence
On va se baser sur des indices du type CAC 40. Ce type d’indices est déterminé à partir d’un panel
d’actions d’entreprises d’un même marché ou d’un même secteur d’activité (dans le cas du CAC 40 ce
sont les 40 entreprises françaises ayant les échangent les plus abondants sur Euronext Paris). Ainsi la
formule qui sert à les simuler est la même que celle permettant de simuler la diffusion du cours d’une
action, le versement de dividendes en moins.
I t = I 0 ⋅ exp((r −
σ 22
2
) ⋅ t + σ 2 ⋅ Wt
où
I t : le cours de l’indice à la date t
I 0 : le cours de l’indice à la date d’évaluation
r : le taux sans risque
σ 2 : la volatilité espérée de l’indice
Wt : un mouvement brownien de variance t
On notera que le taux sans risque reste inchangé. En effet, en IFRS 2 le taux sans risque est un taux de
marché choisi en fonction de la maturité de l’option. Puisque les cours du sous-jacent et de l’indice
sont estimés sur la même période de temps, c’est le même pour les deux modélisations.
Il faut cependant estimer la volatilité espérée propre à l’indice de performance choisi.
Par ailleurs, l’indice est choisi pour son lien économique avec le sous-jacent, c’est pourquoi leurs
évolutions sont liées. Ce lien se traduit par l’utilisation de mouvements browniens corrélés dans la
simulation des trajectoires.
70
Simulation de browniens corrélés :
Pour cela utilisons la méthode de factorisation de « Cholesky ». Cette méthode permet de construire à
partir d’une matrice A symétrique définie positive, une matrice triangulaire L telle que : A = LLt
avec Lt la transposée de L .
Ici nous nous servons de cette méthode pour construire à partir d’un vecteur de variables aléatoires
indépendantes de loi normale centrée réduite X = ( X i , i = 1,..., n ) un vecteur Y = (Yi , i = 1,..., n ) tel que
Y = LX + m et donc que Y suit une loi normale N (m, A) .
Algorithme de la méthode de Cholesky :
Soit A = (ai , j )1≤i , j ≤ n avec ai , j = (LLt )i , j =
min( i , j )
∑l
i ,k
⋅ l j ,k pour 1 ≤ i, j ≤ n .
k =1
L étant une matrice triangulaire ( li , j = 0 si 1 ≤ i < j ≤ n ) et A une matrice symétrique il suffit de
j
vérifier pour que ai , j = ∑ li ,k ⋅ l j ,k pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n
k =1
1)On détermine alors les éléments de la matrice L colonne par colonne :
● pour j=1
si i=1 alors l1,1 = a1,1 , si i=2 alors l 2,1 =
a1, 2
l1,1
, …. et si i=n l n ,1 =
a1,n
l1,1
● pour la colonne j
i −1
i −1
ai ,i +1 − ∑ li ,k ⋅ li +1,k
k =1
l i ,i
si i=j alors l i ,i = ai ,i − ∑ li2,k , si i=j+1 alors li +1, j =
k =1
,…
n
et si i=n alors l n ,i =
ai ,n − ∑ l i ,k ⋅ l n ,k
k =1
l i ,i
⎧ Ly = b
2)Résoudre Ax = b revient alors à résoudre le système LLt x = b ⇔ ⎨ t
⎩L x = y
71
Dans notre cas, nous devons simuler deux variables de loi normale centrée réduite corrélées, de
corrélation Ψ. On applique donc la méthode de Cholesky à l’ordre deux :
a1,1 = a 2, 2 = 1 et a1, 2 = a 2,1 = Ψ ,
⎧l = 1
⎪⎪ 1,1
⎨l 2,1 = Ψ
⎪
2
⎪⎩l 2, 2 = 1 − Ψ
donc
Soit (Y1 ,Y2 ) un vecteur de variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite, si :
⎧⎪ X 1 = l1,1 ⋅ Y1 = Y1
⎨
2
⎪⎩ X 2 = l 2,1 ⋅ Y1 + l 2, 2 ⋅ Y2 = Ψ ⋅ Y1 − 1 − Ψ ⋅ Y2
alors ( X 1 , X 2 ) suit une loi normale en dimension 2 N (0, A) .
En multipliant X 1 et X 2 par
t on a notre vecteur de browniens de variance t et de corrélation Ψ.
b) Performance relative et exercice anticipé
Afin d’éviter les redondances nous nous contenterons de décrire l’algorithme permettant d’estimer la
juste valeur d’une stock option issu d’un plan ayant une condition de performance relative et incluant
des conditions d’exercice anticipé dû au taux de rotation du personnel et au comportement d’exercice
des bénéficiaires.
Notons par ailleurs, que la vraie définition du taux de rentabilité d’une action inclus le versement de
dividende sur la période considérée. Cependant comme le versement de dividendes entraîne une
baisse du cours du sous-jacent et donc de sa rentabilité, le choix est fait dans cet algorithme de
comparé les rentabilités à partir d’une simulation du sous-jacent n’incluant pas de versement de
dividendes.
Soient n le nombre de trajectoires, N le nombre de subdivisions du temps, ω le coefficient
d’acquisition, λ le coefficient d’exercice, η le taux de rotation du personnel sur la période d’exercice,
v la date d’acquisition des options, T la maturité contractuelle, ∆t le pas de temps, m un entier
appartenant à [0,n] représentant le numéro de la trajectoire et i un entier appartenant à [0,N-1].
L’algorithme suivant permet de prendre en compte ce concept de performance relative :
1) Le taux de rotation du personnel sur un pas de temps est le suivant : turn = 1 − (1 − η ) ∆t
2) Pour une trajectoire m :
On simule nos deux browniens corrélés de variance v, on en déduit le cours de l’action sousjacente (sans versement de dividendes) et celui de l’indice de référence à la date d’acquisition v.
72
a. Si à la date d’acquisition le taux de rentabilité de l’action performe celui de l’indice à
S ( sansDividende) − S 0
I − I0
≥ω⋅ v
alors l’action est acquise.
un coefficient près v
S0
I0
T⎤
⎡v
pour i ∈ ⎢ + 1, ⎥ , sur la période d’exercice on procède comme dans l’algorithme sur les
∆t ⎦
⎣ ∆t
conditions de performance absolue :
i. Si S i ≥ λ ⋅ K ou i =
Pm = Pm + (1 − turn)
T
alors
∆t
( i −1−
v
)
∆t
⋅ exp(−r ⋅ i ⋅ ∆t ) ⋅ ( S i − K ) +
ii. Si S i p λ ⋅ K alors Pm = Pm + turn ⋅ (1 − turn)
i −1−
v
∆t
⋅ exp(−r ⋅ i ⋅ ∆t ) ⋅ ( S i − K ) +
b. Si à la date d’acquisition le taux de rentabilité est en dessous de celui de l’indice à un
S ( sansDividende) − S 0
I − I0
<ω⋅ v
alors le pay-off de la
coefficient près v
S0
I0
trajectoire Pm = 0
c. On recommence n fois ces étapes
3) L’estimation
de
la
juste
valeur
d’une
option
d’achat
de
ce
plan
est :
P
JusteValeur = ∑ m
m =1 n
n
c) Exemple de plan sous conditions de performance relative
L’entreprise A décide de mettre en place un plan de stock-options sous conditions de performance
relative. Comme elle appartient au CAC 40, elle opte pour cet indice comme indice de référence. Les
options seront acquises si la rentabilité de l’action A sur la période d’acquisition performe celle du
CAC 40 sur cette même période (donc ici ω = 1).
Le conseil d’administration de l’entité attribue les options au 30 Juin 2008, affecte au plan une période
d’acquisition de 4 ans et une durée de vie contractuelle de 8 ans.
Les estimations (ou valeurs observables) des paramètres du plan sont les suivantes :
-
le cours initial de l’action vaut 100
le cours initial de l’indice vaut 1400
le prix d’exercice est fixé à 90
la corrélation entre les deux cours se monte à 20%
la volatilité de l’action est estimée à 20%
la volatilité du CAC 40 est estimée à 18%
le taux sans risque vaut 3%
le taux de dividende est évalué à 2,5%
le taux de rotation annuel du personnel est estimé à 1%
73
Comparons les justes valeurs estimées en fonction du seuil psychologique d’exercice :
Juste valeur
Coefficient
d’exercice
Sans conditions de
performance
Avec conditions de
performance
% d’écart entre les
deux estimations
pour un même λ
λ=1,1
21,37
16,97
-20,59%
λ=1,3
23,12
17,84
-22,84%
λ=1,5
23,82
18,09
-24,06%
λ=2
23,97
18,15
-24,28%
On note que la condition d’acquisition basée sur la performance relative, tout du moins pour ces
paramètres, a un très fort impact sur la juste valeur.
Par ailleurs plus le coefficient psychologique d’exercice est grand, plus la condition de performance
engendre une baisse de la juste valeur.
Cette diminution significative s’explique facilement. En effet, pour les valeurs de paramètres donnés
ci-dessus, la nécessité de dépasser la rentabilité de l’indice de référence pour acquérir les options fait
que seul 48% des trajectoires de notre simulation franchissent le seuil d’acquisition. Cependant,
l’impact sur la juste valeur n’est pas à hauteur de 50% de baisse, car cette sélection élimine les
trajectoires qui, du moins sur la période d’acquisition, représentent les cas où l’évolution du sousjacent est faible et auraient donc très probablement engendré un gain très limité, voir nul.
74
5.
Récapitulatif des méthodes à utiliser en fonction des types de plans
En partant du principe que pour être le moins imposable possible, les entreprises ont intérêt à utiliser
la méthode qui donne le plus faible juste valeur possible tout en intégrant toutes les caractéristiques du
plan, voici un tableau récapitulatif explicitant les modèles les mieux adaptés au différents types plans :
Type de plans
Black and
Scholes
Binomial
Monte Carlo
Plans simples avec une période d’exercice courte
Le mieux
Possible
Possible
Barrière
psychologique basse
Pas conseillé
Le mieux
Possible
Barrière
psychologique haute
Pas conseillé
Possible
Le mieux
Pas conseillé
Pas conseillé
Le mieux
Plans sans conditions de
performance (critères
comportementaux et taux
de rotation du personnel)
Plans avec conditions de performance
75
Chapitre 4 : Processus de sauts
Le modèle standard utilisé pour modéliser le cours d’une action ou d’un indice est celui de Black and
Scholes. C’est celui qui est préconisé par la norme IFRS 2. Rappelons qu’il s’appuie sur l’E.D.S
suivante :
dS t = S t ( µd t + σdWt )
où : µ est une constante désignant le rendement instantané de S
σ est une constante désignant l’écart type instantané de S
W = (Wt , t ≥ 0) est un mouvement brownien
Cependant, quand on confronte ce modèle de simulation à la réalité du marché, il ne semble pas
forcément adapté aujourd’hui. En effet, il ne tient pas compte de toutes les données économiques
observables sur les marchés, telles que des variations brutales des cours dues à l’arrivée de bonnes ou
de mauvaises nouvelles.
Nous considérons ici, des variations assez brutales, assimilables à une discontinuité du processus de
diffusion. La modélisation log-normale ne peut prendre en compte ces variations. Les évènements
rares entraînants des chocs sur les cours peuvent être modélisés, aux dates où ils subviennent par
l’introduction d’un processus de saut.
Le but en étudiant un modèle de sauts est de montrer qu’un modèle plus adapté à la situation actuelle
engendrerait une valorisation inférieure. Nous ne présentons pas ce modèle comme une alternative
envisageable selon les directives en vigueur pour la valorisation de la juste valeur en IFRS 2. En effet
la norme n’autorise pas l’utilisation de ce type de modèle de diffusion. Le but premier des normes
comptables internationales étant de fournir une valorisation facilitant la comparabilité entre les
entreprises, ce processus enlèverait trop de transparence aux calculs et rendrait les estimations bien
trop variables d’un paramétrage à l’autre.
76
1.
Illustrations des variations brutales des cours
Afin de mettre en évidence ce phénomène de chocs sur les cours, observons l’évolution du CAC40 sur
une période de huit ans allant de l’été 2001 à l’été 2008.
24/07/08
28/03/08
26/11/07
01/08/07
03/04/07
04/12/06
09/08/06
11/04/06
14/12/05
19/08/05
26/04/05
28/12/04
02/09/04
10/05/04
12/01/04
12/09/03
20/05/03
20/01/03
20/09/02
28/05/02
28/01/02
27/09/01
6500
6000
5500
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
01/06/01
cours
Evolution du CAC 40
dates
L’évolution du cours du CAC 40 laisse clairement apparaître des chocs, comme celui du 11
Septembre.
Il s’avère qu’un bon révélateur de chocs qu’ils soient positifs ou négatifs est la variation de la
volatilité du cours. En effet, en période de bouleversements sur les marchés, la volatilité des actifs
admet des pics majeurs.
Ainsi, pour mettre en évidence les chocs majeurs sur le CAC 40 durant la période observée,
représentons sur un même graphique son cours et la volatilité historique calculée en moyenne
glissante.
7000
120,00%
6000
100,00%
5000
60,00%
3000
40,00%
2000
20,00%
1000
77
18/06/08
03/09/07
24/01/08
13/04/07
17/11/06
30/06/06
07/02/06
19/09/05
09/12/04
02/05/05
22/07/04
02/03/04
09/10/03
22/05/03
07/08/02
27/12/02
15/03/02
0,00%
22/10/01
0
volatilité
80,00%
4000
01/06/01
cours du CAC 40
Mise en évidence des chocs sur le CAC 40
volatilité
cours du CAC 40
Trois pics de volatilité se dégagent. Ils correspondent aux crashs financiers qui sont survenus sur la
période :
-
2.
celui suite aux évènements du 11 Septembre 2001
un crash « rampant » en 2002, qui prend sa source fin 2001 avec la faillite d’Enron
le choc dû à la crise des subprimes début 2008
Introduction d’un processus de sauts
Soit S t l’actif risqué dont on cherche à déterminer la trajectoire. On suppose que le cours de cet actif
est impacté par des sauts de valeur relative Y1 , Y2 , Y3 ,..., Yi ,... aux instants τ 1 ,τ 2 ,τ 3 ,...,τ i ,...
Aux instants t tels que t ∉ {τ 1 ,τ 2 ,...,τ i ,...} , on suppose que l’actif suit le processus de diffusion lognormale standard : dS t = S t ( µd t + σdWt ) .
Ici, pour alléger les formules, on considère une diffusion n’incluant pas le versement de dividendes.
Soit τ i− < τ i une date arbitrairement proche de τ i , le saut à l’instant τ i est défini comme suit :
∆Sτ i = Sτ i − Sτ − = Sτ − ⋅ Yi
i
i
donc Sτ i = Sτ − ⋅ (1 + Yi )
i
Pour t ∈ [0,τ 1 [ , on a S t = S 0 ⋅ exp(( µ −
σ2
2
) ⋅ t + σ ⋅ Wt )
En τ 1− , la limite à gauche de τ 1 le cours vaut :
Sτ − = S 0 ⋅ exp((µ −
σ2
1
2
) ⋅ τ 1 + σ ⋅ Wτ1 )
Etant donné que Sτ1 = Sτ − ⋅ (1 + Y1 ) , on obtient
1
Sτ1 = S 0 ⋅ (1 + Y1 ) ⋅ exp((µ −
σ2
2
)τ 1 + σ ⋅ Wτ1 )
Considérons à présent un instant t ∈ [τ 1 ,τ 2 [ , on a alors
S t = Sτ 1 ⋅ exp((µ −
σ2
2
) ⋅ (t − τ 1 ) + σ ⋅ (Wt − Wτ 1 ))
78
Après simplification et avoir remplacer Sτ1 par sa valeur on obtient :
S t = S 0 ⋅ (1 + Y1 ) ⋅ exp((µ −
σ2
2
) ⋅ t + σ ⋅ Wt )
Un raisonnement par récurrence nous permet enfin d’obtenir la formule suivante :
Nt
S t = S 0 ⋅ ∏ (1 + Yi ) ⋅ exp(( µ −
i =1
σ2
2
) ⋅ t + σ ⋅ Wt ) ∀t
où N t est variable aléatoire de loi de Poisson qui représente le nombre de sauts déjà subvenus à
l’instant t.
Effectuons un changement de variable tel que : X i = ln(1 + Yi ) . Celui-ci nous permet de faire
apparaître sous une forme classique un processus de Poisson dans notre formule de diffusion :
S t = S 0 ⋅ exp(( µ −
σ2
2
Nt
) ⋅ t + σ ⋅ Wt + ∑ X i )
i =1
La différence entre le modèle de diffusion standard et le modèle de saut proposé réside entièrement
Nt
dans le terme : Z t = ∑ X i .
i =1
Z t est un processus de Poisson composé :
-
N t est un processus de Poisson d’intensité λ, ce qui signifie qu’en moyenne sur une période de
temps t il y aura λ sauts.
{X i , i ≥ 1}est une famille de variables aléatoires supposées i.i.d et également indépendantes
de N t .
Ainsi la simulation d’un actif par un processus de diffusion à saut tel que celui-ci, suppose en plus du
rendement instantané µ et de la volatilité instantanée σ d’estimer :
-
l’intensité de la loi du nombre de sauts λ
la loi de la valeur relative des sauts {Yi , i ≥ 1}
-
la proportion de sauts ayant un impact positif sur le cours (quand Yi ≥ 0 ) et celle de sauts
ayant un impact négatif (quand Yi < 0 ).
79
3.
Paramétrage du modèle
On cherche à obtenir un modèle de processus de saut très simple pour la diffusion de sous-jacent
d’option de maturité longue (8 à 10 ans).
Le paramétrage va ici être basé sur l’observation de l’évolution passé du cours d’indices majeurs : le
CAC 40, le Dow Jones et le Nasdaq afin de disposer d’une vision long terme du marché tel qu’il
apparaît dans la période actuelle.
Dans cette optique vous trouverez ci-dessous deux graphiques à l’image du précédent sur l’évolution
du CAC 40, se rapportant eux aux deux autres indices précités :
Evolution du cours de l'indice Dow Jones
0,003
16000
14000
0,0025
8000
0,0015
6000
0,001
4000
0,0005
2000
80
18/04/2008
04/09/2008
16/07/2007
29/11/2007
06/10/2006
27/02/2007
03/01/2006
22-mai-06
16/08/2005
10/11/2004
31/03/2005
06/02/2004
25/06/2004
05/05/2003
19/09/2003
30/07/2002
13/12/2002
0
23/10/2001
13/03/2002
0
volatilité
0,002
10000
01/06/2001
cours
12000
volatilité
cours
Evolution du cours de l'indice Nasdaq
2500
0,0045
0,004
0,0035
0,003
1500
0,0025
0,002
1000
0,0015
volatilité
cours
2000
volatilité
cours
0,001
500
0,0005
27/02/2008
11/07/2008
30/05/2007
11/10/2007
28/08/2006
12/01/2007
15/07/2005
28/11/2005
13/04/2006
15/10/2004
02/03/2005
03/09/2003
16/01/2004
02/06/2004
03/12/2002
21/04/2003
19/10/2001
07/03/2002
22/07/2002
0
01/06/2001
0
Observations :
On retrouve les mêmes traits marquant pour les trois indices. On note cependant que le pic de
volatilité du début de l’année 2008 est moins flagrant pour le Dow Jones.
Ces pics de volatilités sont tous associés à des chocs à la baisse des cours.
Tout indice confondu, ces krachs boursiers ont engendré des chutes de cours compris entre -10% et
25%, en quelques jours.
-
Conclusions :
En se basant sur ces observations historiques, certes sur un lapse de temps très court, on peut mettre
en place nos paramètres :
-
-
on prendra un processus de Poisson N t d’intensité λ = 3 pour t = 8 ans (pour une période de
temps différente il faut bien sur garder les proportions).
on choisira, par soucis de simplification, des sauts de valeur relative constante, variant entre
10% et 20%. Notons que les chutes de cours de cette ampleur ne sont pas journalières.
Cependant la modélisation s’avère plus simple si on considère une baisse unique du cours qui
s’apparente à une succession de chocs journaliers plus légers puis que l’on procède selon une
diffusion classique.
on ne considèrera que des sauts ayant un impact négatif sur le cours. Une étude plus détaillée
des chocs sur le cours du CAC 40 ces quinze dernières années montre que celui-ci a subi
autant de chocs journaliers mineurs positifs que négatifs. Cependant les plus important étaient
des chocs négatifs. Le choix de ne considérer que des sauts négatifs, s’appuie aussi sur le
principe selon lequel, généralement, sur les marchés, une « mauvaise nouvelle » entraîne une
baisse quasi instantanée des cours (donc une discontinuité), alors qu’une « bonne nouvelle »
engendre une hausse plus graduelle. Un modèle de sauts semble donc particulièrement adapté
pour intégrer des chocs baissiers brutaux.
81
4.
Simulation avec ce modèle
Nous avons à présent déterminé la valeur des paramètres permettant de simuler le cours d’une action
qui subirait un nombre convenu de chocs d’ampleurs identiques sur une période donnée.
La difficulté de la simulation réside dans la détermination des instants où les sauts auront lieux. Il
nous faut donc nous intéresser à la loi du temps entre chaque saut.
Proposition :
Si N t est un processus de Poisson d’intensité λ, alors les variables aléatoires Tn , pour n=1,2,…, de la
loi du temps entre les sauts, sont i.i.d et exponentiellement distribuées de paramètre λ.
T1
T2
T3
temps
Saut 1
Saut 2
Saut 3
Comment traduire cette loi dans notre algorithme ?
L’algorithme de simulation implique une discrétisation du temps. Notons ∆ t notre pas de temps
1
annuel. Par exemple si l’on décide d’une simulation dite « journalière », on aura ∆ t =
.
250
Si N T est un processus de Poisson d’intensité λ, on a donc en moyenne λ sauts au cours de T ans, on
λ ⋅ ∆t
en déduit qu’on aura en moyenne
sauts sur un pas de temps ∆ t .
T
Par ailleurs, si on suppose qu’il ne peut y avoir plus d’un saut par pas de temps, cela implique que
T
λ≤
.
∆t
82
Ainsi à chaque pas de temps notre sous-jacent vaut :
S t + ∆ t = S t ⋅ exp((µ −
σ2
2
) ⋅ ∆ t + σ ⋅ W∆ t + 1{N <λ } ⋅ 1⎧
∆t
⎫
⎨ λ ⋅ >U ⎬
⎩ T
⎭
⋅ ln(1 + int Saut ))
où :
- on retrouve les notations habituelles
- U est une variable aléatoire uniforme sur [0,1]
-
N est le nombre de sauts cumulés depuis la date 0
Algorithme correspondant :
Soit T la période totale sur laquelle on souhaite diffuser notre actif, ∆ t notre pas de temps annuel, λ le
nombre de sauts moyen (l’intensité du processus de Poisson), µ et σ le rendement et l’écart type
instantané de l’actif, d le taux annuel de versement de dividendes, intSaut la valeur relative des sauts
⎧
T ⎫
et j un entier ∈ ⎨1,..., ⎬ .
∆t ⎭
⎩
Pour une trajectoire :
1. Initialisation de la valeur du cours à S 0 et du nombre de sauts cumulés N à 0.
⎧
T ⎫
2. Pour j ∈ ⎨1,..., ⎬ :
∆t ⎭
⎩
a. On simule une uniforme [0,1] U
b. On simule un brownien W∆t
∆t
> U et N < λ (ce qui équivaut à : si il y a un saut sur l’intervalle de temps j
T
et que le nombre de sauts cumulés reste inférieur au nombre de sauts moyen)
c. Si λ ⋅
alors : S j⋅∆ t = S ( j −1)⋅∆ t ⋅ exp((µ − d −
et N = N + 1
on
d. Sinon
utilise
S j⋅∆ t = S ( j −1)⋅∆ t ⋅ exp(( µ − d −
σ2
2
une
σ
2
2
) ⋅ ∆ t + σ ⋅ W∆ t + ln(1 + int Saut ))
diffusion
) ⋅ ∆ t + σ ⋅ W∆ t )
e. On passe au pas suivant.
83
lognormale
standard :
Application :
Observons graphiquement l’impact de notre nouveau modèle de diffusion sur une trajectoire d’actif
simulée.
Fixons la valeur de nos paramètres :
S 0 = 100 ; T = 8 ans ; ∆ t =
1
; λ = 3 ; intSaut = -20% ; µ = 3% ; σ = 20% et d = 2.5%.
250
On obtient alors ce type de trajectoire :
Les sauts sont clairement identifiables sur le graphique, cependant à vue d’œil ils ne modifient pas
significativement l’allure de la courbe. On est alors en droit de ce demander quel peut être l’impact
réel de cette méthode de diffusion sur l’estimation de la juste valeur d’option d’achat.
Dans cette optique, observons les conséquences de sauts sur la loi de sortie (loi de la valeur du cours à
la fin de la période de diffusion) du cours d’une action ayant les mêmes paramètres que ceux fixés cidessus.
On se place toujours dans l’optique de trois sauts en huit ans.
densité de la loi de sortie du cours
20,00%
18,00%
16,00%
14,00%
12,00%
10,00%
8,00%
6,00%
4,00%
2,00%
0,00%
sans saut
avec sauts -20%
84
400
370
340
310
280
250
220
190
160
130
100
70
40
10
avec sauts -10%
On note que la présence de sauts modifie significativement la densité de la loi de sortie du cours.
La densité de la diffusion standard à logiquement l’allure de celle d’une loi log-normale (histogramme
rouge). Plus la valeur des sauts augmente, plus la densité se déforme en se centrant autour de sa
moyenne et en affichant des queues de distribution à droite plus fines.
Ces même sorties nous permettent d’estimer la juste valeur d’une option d’achat européenne sur ce
sous-jacent.
Juste valeur IFRS 2
Diffusion sans saut
22,77
Diffusion avec sauts de valeur relative -10%
9,44
Diffusion avec sauts de valeur relative -20%
2,79
Notre juste valeur, par définition (c’est une espérance) dépend essentiellement du cours moyen du
sous-jacent à la date finale.
Mais la forme ( S T − K ) + du pay-off d’une option d’achat fait que la juste valeur est aussi fortement
dépendante des queues de distributions à droite du sous-jacent. L’observation des densités (moyenne
plus faible et valeurs extrêmes moins nombreuses) explique donc l’impact considérable de notre
nouveau modèle sur le prix d’une option d’achat européenne.
85
5.
Impact du nouveau modèle sur la juste valeur d’une stock-option
Bien entendu, suivant les caractéristiques du plan l’impact va différé, mais cherchons à dégager une
tendance globale.
Dans le chapitre précédant nous avions évalué la juste valeur d’une option issue d’un plan avec une
condition d’acquisition de performance absolue.
Rappelons que dans ce plan la population des bénéficiaires avait été segmentée, ceux-ci n’ayant pas
tous les mêmes exigences quant au moment d’exercer leurs options.
Nous avions estimé la juste valeur d’une option de ce plan suivant le niveau de performance absolue
φ qui était requis pour acquérir les options. Les résultats trouvés sont récapitulés dans le tableau cidessous :
Juste valeur
φ=1,1
φ=1,2
φ=1,5
φ=2
φ=2,5
22,75
21,42
14,96
5,93
2,02
Avec un modèle de diffusion comptabilisant 3 sauts de -10% en 8 ans (ici la maturité contractuelle du
plan), la juste valeur est alors :
Juste valeur
avec
processus de
diffusion à
sauts
φ=1,1
φ=1,2
φ=1,5
φ=2
φ=2,5
14,63
13,18
8,32
2,93
0,86
On note une baisse significative de la juste valeur :
φ=1,1
φ=1,2
φ=1,5
φ=2
φ=2,5
Juste valeur avec
processus de
diffusion standard
22,75
21,42
14,96
5,93
2,02
Juste valeur avec
processus de
diffusion à sauts
14,63
13,18
8,32
2,93
0,86
Différences
-35,70%
-38,46%
-44,41%
-50,69%
-57,39%
86
Il s’avère que plus le coefficient d’acquisition est élevé, plus le nouveau modèle entraîne une baisse de
la juste valeur. En effet, les trois sauts négatifs déclanchent une chute du cours. Cet affaiblissement a
un double impact :
-
la valeur du pay-off s’en voit réduite, ceci explique que la juste valeur soit systématiquement
plus basse avec une diffusion à sauts négatifs qu’avec une diffusion standard.
le nombre d’options acquises est lui aussi revu à la baisse, ceci expliquant que la baisse soit
d’autant plus importante que le coefficient d’acquisition est élevé.
Conclusion :
Ce nouveau modèle de diffusion, comportant des discontinuités baissières du cours du sous-jacent,
sous estime considérablement la juste valeur par rapport au modèle standard.
Les modèles de sauts permettent d’intégrer énormément de scénarios différents à l’estimation de la
juste valeur d’option, d’intégrer une notion de risque futur et de mieux coller à la réalité du marché.
La situation actuelle des marchés vient confortée le bien fondé de ce type de processus de diffusion.
87
Conclusion
Les modèles préconisés par la norme peuvent aboutir sur une valorisation différente pour un même
plan de stock-options.
Il s’avère que la méthode la plus aboutie est celle de Monte Carlo, car elle permet d’intégrer tous les
paramètres des autres modèles préconisés, mais aussi d’en prendre d’autres en compte et ainsi de
mieux s’adapter à tous les type de plans existants.
Aujourd’hui deux phénomènes peuvent remettre en cause la valorisation IFRS 2 des stock-options :
- les plans proposés sont de plus en plus complexes. Les conditions d’acquisition telles que
celles de performance de plus en plus présentes, font que les modèles classiques de BlackScholes-Merton ou de Cox, Ross et Rubinstein sont souvent inadaptés.
- la situation actuelle des marchés est telle, qu’il semble légitime de vouloir apporter des
modifications au modèle classique de diffusion log-normale de B-S-M :
dS t = ( µ − ς ) S t d t + σS t dWt , qui ne prend en compte que deux paramètres.
C’est pourquoi d’autres modèles ont été développés à partir de celui-ci tels que les modèles de sauts.
Dans ce mémoire, nous avons montré que l’application d’un tel modèle à la valorisation des stockoptions, demandait des analyses quantitatives complexes. En effet le paramétrage de l’intensité du
processus de Poisson ou encore de la valeur relative des sauts est bien plus difficile à justifier que
celui de l’espérance ou de la variance de B-S-M puisqu’on entre dans le domaine de l’exceptionnel,
du phénomène rare.
Le modèle de sauts que nous avons développé, avait pour but de modéliser les crashs boursiers
majeurs. Nous avons ainsi diffusé notre sous-jacent suivant l’hypothèse qu’il y aurait trois sauts en
huit ans, entraînant chacun des chutes de cours de 10 à 20% en quelques jours.
L’application de ce modèle de sauts, associé à une simulation de type Monte Carlo à un de nos plans
fictifs de stock-options avec conditions d’acquisition de performance absolue, entraîne une baisse de
35 à 57% du prix d’une option suivant le niveau de performance exigé.
Donc les modèles préconisés par la norme IFRS 2, bien que présentant l’avantage de la simplicité et
de la comparabilité des valorisations, surestiment la valeur des instruments de capitaux propres dans
un environnement chaotique comme celui auquel nous faisons face aujourd’hui.
La notion même de juste valeur est ici remise en question quand on voit les écarts significatifs de
valorisation que peuvent susciter l’utilisation de différentes mesures. Sur des plans attribuant un très
grand nombre de stock-options, de telles différences pèsent fortement sur le bilan des entreprises.
Pour ce type d’évaluation, il pourrait être intéressant de mettre en place un autre modèle dérivé de
celui de Black&Scholes tel que celui intégrant une rendement moyen et une variance moyenne des
rendements dépendant du temps : dS t = ( µ t − ς ) S t d t + σ t S t dWt .
88
Bibliographie
Livres
Lamberton D. et Lapeyre B. : « Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance. » (Editions
Ellipses - 1997)
Cours
Taillard G. : « Simulations de Monte Carlo » - CNAM - Gestion d’actifs et des risques
(20 Février 2008)
Millet A. : « Méthode de Monte Carlo » - Universités Paris 7 et Paris1 (2007)
Braouezec Y. : « Compléments d’ingénierie financière : introduction au processus stochastiques à
sauts » - ESILV (Octobre 2004)
Lelong J. : « Méthodes numériques pour la finance » (2007)
Articles
Augros J-C. et Moreno M. : - « Evaluation des options négociables par l’interpolation des
arbres de prix » - Bulletin Français d’Actuariat (Juin-Décembre 1998)
- « Evaluation partiellement séquentielle des options barrières » Banque & Marchés n◦50 (Janvier 2001)
Thérond P. – Winter & Associés : « Solvency 2, IFRS : l’impact des modèles d’actifs retenus. » 31 ième journée des Séminaires Actuariels ISFA Lyon et ISA-HEC (Novembre 2005)
Debersé M. : « Sous-évaluation des prix d’options par le modèle de Black & Scholes : Mise en
évidence par la dynamique combinant mouvement brownien et processus à sauts. »(2006)
Ernst & Young : « IFRS Newsletter 2005 – Are you ready ? » (Mai 2004)
Jaudeau B. : “L’IASB publie IFRS 2, Paiements fondés sur des actions » - Echanges (Juin 2004)
Amblard M. : « La comptabilisation des stock-options : comptabilité d’entreprise ou comptabilité
d’actionnaires ? » - Gestion 2000 (Juillet-Août 2005)
Testu F-X.et Hill S. : « Stock-options : vue d’ensemble et principale difficultés à éviter » La Semaine Juridique (éditions Entreprises – 2003)
Planchet F. et Jacquemin J.: « Modèles financiers de l’assurance : Méthodes de simulation » Bulletin Français d’Actuariat (Juin-Décembre 2003)
89
Mémoires
Bioux E.,Fournil-Moussé M. et Tonnelier L. : « Options exotiques » - Ecole Internationale des
Sciences du Traitement de l’informatique (Avril 2004)
Boni E., Momein A. et Genot B. : « Un modèle de détection des sauts dans un processus de cours
boursier » - ISFA (Mai 2005)
Sites
www.iasb.org
www.stockoption.fr : « Le guide des stock-options »
90
Annexes
Annexe 1 : démonstration de la formule de la formule de diffusion log-normale
Soit l’équation aux dérivées partielles
dS t
= µdt + σdWt
St
Posons Yt = ln(S t )
Appliquons la formule d’Itô à Yt :
t
1
1 ⎛ 1 ⎞
Yt = Y0 + ∫ dS s + ∫ ⎜⎜ − 2 ⎟⎟d S
Ss
2 0 ⎝ Ss ⎠
0
1
1
⇔ dYt = dS t −
⋅ σ 2 ⋅ S t2 dt
2
St
2 ⋅ St
t
s
Remplaçons dS t par sa valeur dans l’équation ci-dessus :
dYt = µdt + σdWt −
⇔ dYt = ( µ −
σ2
2
σ2
2
dt
)dt + σdWt
t
⎛
σ2
⇔ Yt = Y0 + ∫ ⎜⎜ µ −
2
0⎝
t
⎞
⎟⎟ds + ∫ σdWs
⎠
0
Par passage à l’exponentielle on retrouve S t :
⎛
σ2
S t = S 0 ⋅ exp( ∫ ⎜⎜ µ −
2
0⎝
t
⇔ S t = S 0 ⋅ exp((µ −
t
⎞
⎟⎟ds + ∫ σdWs
⎠
0
σ2
2
)dt + σdWt
91
Annexe 2 : Démonstration de la formule de Black and Scholes pour une option d’achat
Soit Vt la valeur de l’option à l’instant t et le pay-off final s’exprimant sous la forme h = f ( S T ) .
On sait que le marché est complet, donc sous la probabilité risque neutre P* tous les actifs actualisés
sont des martingales, donc :
Vt = E [exp(− r (T − t )) ⋅ f ( S T ) Ft ]
⎤
⎡
σ2
) ⋅ (T − t ) + σ ⋅ (WT − Wt )) Ft ⎥
= E ⎢exp(− r (T − t ) ⋅ f ( S t ⋅ exp((r −
2
⎦
⎣
S t est Ft − mesurable et, sous P*, WT − Wt est une gaussienne indépendante de Ft donc d’après les
propriétés de l’espérance conditionnelle, on a :
Vt = H (t , S t )
⎡
⎤
σ2
avec : H (t , x) = E ⎢exp(− r (T − t ) ⋅ f ( x ⋅ exp((r −
) ⋅ (T − t ) + σ (WT − Wt ))⎥
2
⎣
⎦
Comme sous P*, WT − Wt est une gaussienne centrée de variance T-t :
H (t , x) = exp(− r (T − t )) ⋅
+∞
∫
−∞
f ( x ⋅ exp((r −
σ2
2
) ⋅ (T − t ) + σ ⋅ y ⋅ T − t )) ⋅
exp(
− y2
)
2 dy
2π
Nous cherchons la formule de Black and Sholes pour un call, donc f ( x) = ( x − K ) + . En remplaçant f
par sa formule on obtient :
⎡
⎤
σ2
H (t , x) = E ⎢exp(− r (T − t ) ⋅ ( x ⋅ exp((r −
) ⋅ (T − t ) + σ (WT − Wt ))) + ⎥
2
⎣
⎦
2
⎡
⎤
σ ⋅θ
= E ⎢( x ⋅ exp(σ θ g −
) − K ⋅ exp(−rθ )) + ⎥
2
⎣
⎦
où g est une gaussienne centrée réduite et θ = T − t .
Introduisons les quantités :
x
σ2
log( ) + (r +
)θ
K
2
d1 =
σ θ
et d 2 = d1 − σ θ
92
Avec ces notations on a :
⎡
⎤
σ 2 ⋅θ
) − K exp(− rθ ))1{g + d 2 ≥0} ⎥
H (t , x) = E ⎢( x ⋅ exp(σ θ g −
2
⎣
⎦
2
−y
exp(
)
+∞
2
σ θ
2
= ∫ ( x ⋅ exp(σ θ g −
) − K exp(− rθ )) ⋅
dy
2
2π
−d2
− y2
exp(
)
σ 2θ
2 dy
= ∫ ( x ⋅ exp(σ θ g −
) − K exp(− rθ )) ⋅
2
2π
−∞
d2
En écrivant cette expression comme la différence de deux intégrales et en faisant dans la première le
changement de variable z = y + σ θ , on obtient la formule de Black and Scholes :
H (t , x) = x ⋅ N (d1 ) − K ⋅ exp(−rθ ) N (d 2 )
avec N (d ) =
1
2π
d
∫ exp(
−∞
− x2
)dx
2
93
Annexe 3 : Démonstration du système de probabilité risque neutre de l’arbre trinomial de
Kamrad-Ritchken
Soit ∆ t un pas de temps de l’arbre trinomial. La formule de diffusion du sous-jacent du modèle de
Black and Scholes à la forme suivante :
S t + ∆ t = S t ⋅ exp( X ∆ t )
avec X ∆ t = (r − d −
σ2
2
) ⋅ ∆ t + σ ⋅ W∆ t
(pour les notation cf. corps de texte)
Posons u = e v et d = e − v
On a donc trois possibilités : X ∆ t
⎧v → pu
⎪
= ⎨0 → p m
⎪− v → p
d
⎩
où v = λσ ∆ t avec λ>1.
Le système de probabilité régissant la dynamique du prix de l’actif risqué dans l’univers risque neutre
est :
σ2
-
Le respect de l’espérance : v ⋅ ( pu − p d ) = (r − d −
-
Le respect du moment d’ordre 2 : v 2 ⋅ ( pu + p d ) − v 2 ⋅ ( pu − p d ) 2 = σ 2 ⋅ ∆ t
(2)
-
La somme des probabilités doit être égale à 1 : pu + p m + p d = 1
(3)
2
) ⋅ ∆t
(1)
Le terme v 2 ⋅ ( pu − p d ) 2 tend vers 0 comme ∆2t d’après (1), on peut donc simplifier l’équation (2) :
v 2 ⋅ ( pu + p d ) = σ 2 ⋅ ∆ t
(4)
En remplaçant v par sa valeur dans (1), (3) et (4) on obtient :
⎧
σ2
λ
σ
⋅
⋅
(
p
−
p
)
=
(
r
−
d
−
) ⋅ ∆t
u
d
⎪
2
⎪⎪ 2
⎨λ ⋅ ( pu + p d ) = 1
⎪p + p + p
m
d
⎪ u
⎪⎩
La résolution de ce système nous donne :
∆t
σ2
1
1
⋅( +
⋅ (r − d −
))
σ
2⋅λ λ
2
1
pm = 1 −
2 ⋅ λ2
∆t
1
1
σ2
pd =
⋅( −
⋅ (r − d −
))
σ
2⋅λ λ
2
pu =
94
Par ailleurs, il faut s’assurer que les probabilités sont toutes positives, ce qui impose que
1≤ λ ≤
σ
∆t ⋅ r − d −
σ2
2
Le choix du paramètre λ est donc laissé à l’appréciation de l’utilisateur sous cette réserve. Nous avons
2
choisi de prendre λ tel que p m = , donc une forte probabilité de rester constant, soit λ = 3 .
3
95
Annexe 4 : Démonstration de la méthode de Box-Müller
Cette méthode permet de simuler un couple de variables aléatoires centrées réduites et indépendantes.
On veut simuler X et Y de loi N(0,1) indépendantes.
x2 + y2
1
exp(−
).
On connaît la loi jointe de X et Y : f X ,Y ( x, y ) =
2π
2
On effectue le passage en coordonnées polaires :
x = ρ cos θ
y = ρ sin θ
et
Et on obtient :
f X ,Y ( x, y )dxdy =
1
x2 + y2
exp(−
)dxdy
2π
2
1
ρ2
exp(− ) ρdρdθ
2π
2
= f R ,Θ ( ρ ,θ )dρdθ
=
Dans la densité de la loi jointe de R et Θ , on reconnaît :
1
= densité de Θ qui suit une loi U [0, 2π ] , et
2π
ρ exp(−
ρ2
2
) = densité de R
On peut en déduire la fonction de répartition de R :
ρ
FR ( ρ ) = P ( R ≤ ρ ) = ∫ t exp(−
0
t2
t2
)dt = 1 − exp(− )
2
2
Donc R 2 suit une exponentielle de paramètre
1
.
2
On a donc les lois de R et Θ .
Soient U 1 et U 2 deux uniformes [0,1] indépendants, alors ⎧⎪ R = − 2 ln U 1
⎨
⎪⎩Θ = 2πU 2
⎧ X = R cos Θ
Comme ⎨
⎩Y = R sin Θ
Ces deux variables aléatoires sont des gaussiennes centrées réduites indépendantes par construction
(leur densité jointe est le produit de leurs densités respectives).
D’où l’algorithme de Box-Müller.
96

UNIVERSITÉ PARIS DAUPHINE Département MIDO(*) MASTER

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