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Bull. Soc. math. France,
126, 1998, p. 273–294.
ESTIMATIONS DE DIFFUSION POUR UN OPÉRATEUR
DE KLEIN-GORDON MATRICIEL DÉPENDANT
DU TEMPS
Mohammed BENCHAOU (*)
PAR
RÉSUMÉ. — Dans ce travail, on s’intéresse à la théorie de la diffusion pour un
opérateur de Klein-Gordon matriciel 2 × 2 dépendant du temps, du type :
P =
1 − h2 ∆x I2 + V (t, x) + hR(t, x)
sur L2 (Rn )⊕L2 (Rn ), où V (t, x) est une matrice diagonale réelle dont les valeurs propres
ne sont jamais égales lorsque (t, x) décrit Rn+1 . On suppose également que V et R se
prolongent holomorphiquement dans une bande complexe autour de Rn+1, et vérifient
certaines propriétés de décroissance à l’infini. Si l’on note S = (Si,j )1≤i,j≤2 l’opérateur
de diffusion associé à P , on montre alors que ses éléments antidiagonaux S1,2 et S2,1
ont une norme exponentiellement petite lorsque h tend vers 0+ . Plus précisément, on
obtient une estimation du type O( e−Σ/h ), où Σ > 0 est une constante explicitement
reliée au comportement de V (t, x) dans le complexe.
ABSTRACT. — SCATTERING ESTIMATES FOR A TIME DEPENDANT MATRICIAL
KLEIN-GORDON OPERATOR. In this paper, we study the scattering theory for a time
dependent 2 × 2 matricial Klein-Gordon operator, of the type :
P =(
1 − h2 ∆x )I2 + V (t, x) + hR(t, x)
on L2 (Rn ) ⊕ L2 (Rn ), where V (t, x) is a real diagonal matrix, the eigenvalues of which
are never equals when (t, x) varies in Rn+1 . One also assumes that V and R extend
(*) Texte reçu le 17 octobre 1997, accepté le 20 janvier 1998.
M. BENCHAOU, Université Paris-Nord, Département de Mathématiques, avenue J.-B.
Clément, 93430 Villetaneuse (France).
NOTE. — Cet article est tiré de la thèse de doctorat que préparait M. BENCHAOU à
l’Université Paris-Nord, avant de disparaı̂tre des suites de ses blessures lors de l’attentat
meurtrier du 3 décembre 1996 survenu à la gare de Port-Royal à Paris. Sa thèse,
ainsi que celle de son collègue et ami Younès NAÏT SLIMANE disparu dans les mêmes
conditions, a été soutenue à titre posthume à Paris-Nord le 27 juin 1997.
Classification AMS : 35 P 25, 35 P 99, 81 U 05.
Mots clés : Diffusion ; Semi-classique ; Décroissance exponentielle.
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
c Société mathématique de France
0037–9484/1998/273/$ 5.00
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holomorphically in a complex strip around Rn+1 , and satisfy to some decay properties
at infinity. Then, denoting S = (Si,j )1≤i,j≤2 the scattering operator associated to P ,
we show that its off-diagonal coefficients S1,2 and S2,1 have an exponentially small
norm as h tends to 0+ . More precisely, we obtain an estimate of the type O( e−Σ/h ),
where Σ > 0 is a constant which is explicitely related to the behaviour of V (t, x) in
the complex domain.
1. Introduction
On s’intéresse dans ce travail à la théorie de la diffusion pour un système
matriciel 2 × 2 d’opérateurs semi-classiques.
Ce type de systèmes matriciels interviennent notamment lorsque, pour
l’étude quantique d’un ensemble de particules en interaction, on est
conduit à effectuer certaines approximations faisant apparaı̂tre un petit
paramètre (que l’on notera ici h). Ceci est par exemple le cas dans
l’approximation de Born-Oppenheimer (où h2 désigne alors l’inverse de la
masse des noyaux), ou encore dans certains problèmes d’homogénéı̈sation.
Dans ces situations, il est en général possible d’effectuer une réduction qui
ramène l’étude de l’hamiltonien de départ à celle d’un système matriciel
semi-classique : pour une justification rigoureuse de telles réductions, on
pourra consulter en particulier [HeSj], [GMS], [KMSW], [KMW]. Ainsi,
dans l’approximation de Born-Oppenheimer, l’opérateur ainsi obtenu est
du type (cf. [KMSW]) :
−h2 ∆x IN + Mλ (x, hDx )
où IN désigne la matrice identité de CN (N dépendant du niveau
d’énergie λ étudié), x est la variable de position relative des noyaux,
et Mλ (x, hDx ) est un opérateur matriciel h-pseudodifférentiel d’ordre 0.
D’autre part, l’étude de systèmes matriciels semi-classiques a permis
dans certains cas de mettre en évidence des phénomènes peu détectables
(voire inexistants) dans le cas scalaire, comme par exemple l’effet tunnel
microlocal dû à une lacune dans le spectre de l’hamiltonien matriciel
classique sous-jacent (cf. [Ma], [Na1], [Ba]).
C’est dans cette optique que l’on se propose ici d’étudier l’opérateur
de diffusion associé à l’hamiltonien de Klein-Gordon matriciel dépendant
du temps :
√ 2
−h ∆ + 1 + V1 (t, x)
hR(t, x)
√
P (t) =
hR(t, x)
−h2 ∆ + 1 + V2 (t, x)
où l’on suppose que les fonctions V1 et V2 ne sont jamais égales, et
où P (t) est considéré comme une perturbation de l’opérateur P0 obtenu
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en remplaçant V1 , V2 et R par leurs limites respectives lorsque l’on fait
tendre t et |x| vers l’infini. Il s’avère que, sous des conditions d’analyticité
sur V1 , V2 , R, et de décroissance en temps à l’infini sur R (ainsi que des
conditions en espace à l’infini sur V1 et V2 : cf. (2.3) ci-dessous), alors les
techniques introduites dans [Ma] peuvent s’adapter ici pour estimer les
S1,1 S1,2
.
éléments non diagonaux de l’opérateur de diffusion S =
S2,1 S2,2
Plus précisément, on obtient une estimation du type (cf. théorème 2.1) :
S1,2 + S2,1 = O(e−Σ/h )
uniformément lorsque h → 0+ , où Σ > 0 est une constante qui peut être
décrite géométriquement en fonction du comportement de V1 et V2 dans
le complexe.
√
Les raisons pour lesquelles on a choisi de travailler ici avec −h2 ∆ + 1
plutôt que −h2 ∆ sont surtout d’ordre technique (liées notamment à la non
conservation de l’énergie par l’évolution), et peuvent en partie se justifier
par un traitement relativiste de l’énergie cinétique (comme cela a été fait
par exemple dans [Ge]). En tout état de cause, il paraı̂t probable que nos
arguments puissent de toute façon s’appliquer également à des systèmes
d’opérateurs de Dirac.
Le plan de ce travail est le suivant : dans la section suivante, on précise les hypothèses et on énonce l’estimation principale. Ensuite (§ 3), on
commence par ramener le problème à l’étude de certaines solutions de
l’équation d’évolution, soumises à des conditions à l’infini en temps. Afin
d’étudier le comportement de ces solutions, on introduit au paragraphe 4
des microlocalisées de ces fonctions, construites à l’aide d’une transformation de FBI. À l’aide d’estimations a priori à poids exponentiel, on
montre dans le paragraphe 5 que ces fonctions microlocalisées décroissent
exponentiellement dans une certaine région de l’espace des phases (qui
en fait agit comme une barrière dans l’équation d’évolution). Cette décroissance est ensuite propagée (§ 6) dans diverses directions suivant la
fonction considérée, puis améliorée (§ 7) en revenant aux estimations a
priori. Dans le paragraphe 8, on montre comment le résultat final en résulte.
2. Hypothèses et résultat principal
On s’intéresse à la théorie de la diffusion dans H = L2 (Rn ) ⊕ L2 (Rn )
pour l’opérateur dépendant du temps :
√ 2
−h ∆ + 1 + V1 (t, x)
hR(t, x)
√
(2.1)
P (t) =
−h2 ∆ + 1 + V2 (t, x)
hR(t, x)
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où V1 , V2 et R sont des fonctions analytiques réelles sur Rn+1 , qui
admettent des prolongements holomorphes dans une bande complexe
(2.2)
Sa = (t, z) ∈ Cn+1 ; | Im z| < a, | Im t| < a
et vérifient :
(2.3)
Vj (t, z) − j = O z−ρ + t−ρ ,
−ρ R(t, z) = O t
,
uniformément dans Sa , avec 1 , 2 ∈ R, ρ > 1, et z := (1 + |z|2 )1/2 .
Remarquons que ces hypothèses incluent des cas où V1 et V2 sont
indépendants du temps. Par contre, comme on le verra dans la démonstration ci-après, la décroissance en temps de R est essentielle pour pouvoir
appliquer les techniques de [Ma].
Si l’on note
√ 2
−h ∆ + 1 + 1
0
√
,
(2.4)
P0 =
0
−h2 ∆ + 1 + 2
on peut alors montrer comme dans le cas scalaire (par la méthode de
Cook) l’existence des opérateurs d’onde
W± = s − lim U (0, t) e−itP0 /h
(2.5)
t→±∞
où U (t, s) est l’opérateur d’évolution associé à P (t) défini par :
ih∂t U (t, s) = P (t)U (t, s) ; U (s, s) = IH .
On suppose ici que W± sont asymptotiquement complets, c’est à dire :
Ran W+ = Ran W− .
(2.6)
Avec les méthodes de [Ho], on peut voir que (2.6) est satisfaite par exemple
si, dans (2.3), on remplace t−ρ et z−ρ par t−ρ z−ρ .
On définit ensuite l’opérateur de diffusion par :
S = W+∗ W−
(2.7)
qui est un opérateur unitaire sur H, et peut s’écrire sous la forme :
S1,1 S1,2
(2.8)
S=
S2,1 S2,2
où les Sj,k sont des opérateurs bornés sur L2 (Rn ).
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Dans ce travail, on cherche à obtenir des estimations sur les normes de
S1,2 et S2,1 , en précisant leur comportement lorsque le paramètre semiclassique h > 0 tend vers 0. L’hypothèse géométrique essentielle que l’on
fait est la suivante (hypothèse de séparation) :
(2.9)
Γ0 :=
inf
(t,x)∈Rn+1
V1 (t, x) −
sup
(t,x)∈Rn+1
V2 (t, x) > 0.
Notons qu’il s’agit là d’une hypothèse plus forte que l’hypothèse de gap
habituelle. Voir néanmoins le paragraphe 9 concernant le cas où l’on
suppose seulement que inf(V1 − V2 ) > 0.
V1 , − sup V2 [, on définit :
Pour λ ∈ ] − inf
n+1
R
Rn+1
(21.0) κ(λ) = sup κ ∈ ]0, a[ ;
inf
| Im z|<κ
|Imt|<κ
(λ + V1 (t, z))(λ + V2 (t, z)) > 0 .
Il est alors facile de voir que la condition de séparation (2.9) entraı̂ne que
κ(λ) > 0 sur ] − inf Rn+1 V1 , − supRn+1 V2 [. On pose :
(2.11)
Σ0 =
− sup V2
κ(λ) dλ
− inf V1
qui est donc une constante strictement positive. Notre résultat est alors :
THÉORÈME 2.1. — On suppose que l’on a (2.3), (2.6) et (2.9). Alors,
pour tout ε > 0 on a :
(2.12)
S1,2 + S2,1 = O e−(Σ0 −ε)/h
uniformément par rapport à h > 0 assez petit.
3. Réduction du problème
Il s’agit d’estimer les quantités :
(3.1)
− 0
ϕ0
+
A(ϕ−
,
+
0 , ϕ0 ) := S
0
ϕ0
H
et
(3.2)
+ ϕ0
0
+
,
A (ϕ−
,
ϕ
)
:=
S
−
0
0
0
ϕ0
H
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M. BENCHAOU
2
n
uniformément par rapport à h et par rapport à ϕ±
0 ∈ L (R ) vérifiant
2
n
=
1.
Par
densité,
on
peut
même
en
fait
supposer
que ϕ±
ϕ±
0 L (R )
0
appartient à H 1 (Rn ).
+
On va se contenter d’écrire la preuve pour A(ϕ−
0 , ϕ0 ), celle pour
−
+
A (ϕ0 , ϕ0 ) étant similaire. Remarquons d’abord que pour tout t ∈ R,
on a :
−
ϕ0
0
+
(3.3)
A(ϕ−
, W+ +
= ϕ− (t), ϕ+ (t) H
0 , ϕ0 ) = W−
0
ϕ0
H
avec :
(3.4)
ϕ− (t) = U (t, 0)W−
ϕ−
0 ,
0
ϕ+ (t) = U (t, 0)W+
0
.
ϕ+
0
En particulier, ϕ± (t) = ϕ± (t, x; h) ∈ C 1 (R ; L2 (Rn )) ∩ C 0 (R ; H 1 (Rn ))
et sont solutions de
(hDt + P )ϕ± = 0.
ψ1
∈ H on note
De plus, si pour ψ =
ψ2
(3.5)
Πj ψ = ψj ,
(3.6)
il est facile de voir en utilisant (2.5) que l’on a par construction :
Π2 ϕ− (t) −→ 0 (t → −∞)
(3.7)
et
Π1 ϕ+ (t) −→ 0
(3.8)
(t → +∞).
L’idée de la preuve sera d’exploiter (3.5) associé aux conditions (3.7)
et (3.8), pour en déduire des propriétés de localisation microlocale
de ϕ− (t) et ϕ+ (t) par rapport aux variables (t, x). De ces propriétés,
il s’en suivra que ϕ− (t) et ϕ+ (t) ne vivent pas dans les mêmes régions
de l’espace des phases de Rt × Rnx (ou plutôt de l’espace T ∗ Rt × Rnξ , où
T ∗ Rt désigne le cotangent de Rt et ξ la variable duale de x), ce qui entraı̂nera que leur produit scalaire est exponentiellement petit. Signalons
qu’un tel procédé a déjà été employé dans [Ma] pour l’étude de certaines
probabilités de transition en théorie adiabatique, et que notre preuve suit
un raisonnement assez analogue à celui de [Ma]. Les difficultés supplémentaires que l’on rencontre ici proviennent surtout du fait que l’on doit
travailler dans un espace de dimension n + 2, alors que dans [Ma] tout se
passe dans le cotangent de Rt , c’est-à-dire en dimension 2.
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4. Microlocalisation
Soit µ > 0 (que l’on fixera ensuite assez petit). Pour u ∈ S (Rt × Rnx ),
(t, τ, ξ) ∈ R × R × Rn et h > 0, on pose :
1
(t−t )τ
(t−t )2
xξ
(2µ) 4
i
−µ
−i
h
2h
h
(4.1) Gu(t, τ, ξ; h) =
e
n
3
+
n
2
4
(2πh)
Rt ×Rx
u(t , x) dt dx.
Il s’agit donc en fait de la transformée de Fourier de u par rapport à x,
composée par une transformation de F.B.I. par rapport à t (on renvoie
à [Sj1] pour plus de détails concernant les transformations de F.B.I.).
D’autre part, le coefficient qui précède l’intégrale a été calculé de telle
sorte que pour u ∈ L2 (Rt × Rnx ), on a :
GuL2 (Rn+2 ) = uL2 (Rn+1 ) .
(4.2)
Du fait que la quantité ϕ− (t), ϕ+ (t)H est constante par rapport à t, on
peut alors voir comme dans [Ma, Lemme 4.4], que l’on a pour tout t ∈ R :
(4.3) ϕ− (t), ϕ+ (t) H = Gϕ− (t, τ, ξ), Gϕ+ (t, τ, ξ) L2 (Rτ ×Rn )⊕L2 (Rτ ×Rn ) .
ξ
ξ
De plus, d’après (3.5), les fonctions
ψ ± = Gϕ±
(4.4)
sont solutions de
(hDt + Q)ψ ± = 0
(4.5)
avec
(4.6)
Q=
ξ + V1 (t − hDτ , −hDξ )
hR(t − hDτ , −hDξ )
hR(t − hDτ , −hDξ )
ξ + V2 (t − hDτ , −hDξ )
.
Avec des notations évidentes, ces fonctions vérifient également :
LEMME 4.1. — On a :
Π2 ψ − (t, τ, ξ) 2
−→ 0
L (Rτ ×Rn )
lorsque t → −∞,
Π1 ψ + (t, τ, ξ) 2
−→ 0
L (Rτ ×Rn )
lorsque t → +∞.
ξ
ξ
Preuve. — Du fait que Πj ψ ± = GΠj ϕ± (j = 1, 2), un calcul direct
donne :
µ 12 2
2
± 2
e−µ(t−t ) /2h Πj ϕ± L2 (Rn ) dt
Πj ψ L2 (Rτ ×Rn ) =
ξ
2πh
d’où l’on déduit facilement le résultat en coupant l’intégrale en deux
parties (suivant que |t − t | ≤ 12 t ou |t − t | ≥ 12 t) et en utilisant (3.7)
et (3.8).
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5. Estimations microlocales à poids exponentiel
On adopte maintenant la stratégie de [Ma], dont l’idée est d’exploiter
certaines inégalités a priori à poids exponentiels (dont le principe était
déjà présent dans [Sj2]), pour en tirer des résultats de décroissance
sur Gϕ± . Posons
u± = t−ρ/2 ϕ±
(5.1)
ainsi que
v ± = Gu± = t − hDτ −ρ/2 ψ ±
(5.2)
où pour des raison d’analyticité on travaille ici plutôt avec :
t = (1 + a + t2 )1/2 .
Soit aussi g = g(τ, ξ) ∈ C ∞ (Rn+1 ) bornée telle que sup |∂ξ g| < a et
sup |∂τ g| < a. Dans cette section, on va chercher à préciser g pour avoir
des estimations sur eg/h ψ ± .
Tout d’abord, d’après [Ma, lemme 2.2], on voit que pour tout u
dans L2 (Rn+1 ), on a :
2
(53.) eg(τ,ξ)/h (hDt − τ + µ∂τ g)GuL2 (Rn+2 ) = O(h) eg/h Gu2L2 (Rn+2 ) .
D’autre part, grâce aux hypothèses faites sur V1 , V2 et R, on voit que
l’opérateur
Qg := eg/h Q e−g/h = Qg (t, τ, ξ, hDτ , hDξ )
(5.4)
est un opérateur h-pseudodifférentiel de symbole principal :
(5.5) qg0 (t, τ, ξ, τ ∗ , ξ ∗ )
ξ + V (t−τ ∗ −i∂ g, −ξ ∗ −i∂ g)
τ
1
ξ
=
0
0
ξ +
V2 (t−τ ∗ −i∂τ g, −ξ ∗ −i∂ξ g)
On se donne maintenant ε > 0 assez petit, et on suppose que g vérifie
en outre :


Supp ∇g ⊂ τ + ξ ∈ [− inf V1 + 2ε, − sup V2 − 2ε] ,


∂ξ g(τ, ξ) ≤ κ(τ + ξ) − 2ε ,
(5.6)
+


 ∂τ g(τ, ξ) ≤ κ(τ + ξ) − 2ε ,
+
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ESTIMATIONS EXPONENTIELLES
où l’on a posé
κ(λ) = 0 si λ ∈
/ ] − inf V1 , − sup V2 [.
Du fait que κ est continue sur ] − inf V1 , − sup V2 [ (cf. [Ma, § 3]), on
peut alors fixer µ > 0 assez petit (en fonction uniquement des valeurs de
ε et a) de telle sorte que :


 Supp ∇g ⊂ τ + ξ − µ∂τ g ∈ [− inf V1 + ε, − sup V2 − ε] ,

∂ξ g(τ, ξ) ≤ κ(τ + ξ − µ∂τ g) − ε ,
(5.7)
+


 ∂τ g(τ, ξ) ≤ κ(τ + ξ − µ∂τ g) − ε .
+
Si pour j = 1, 2, on pose
vj± = Πj v ±
(où v ± est définie en (5.2)), on a alors :
PROPOSITION 5.1. — Pour ε, g et µ vérifiant (5.6) et (5.7), il existe
C = C(g, ε, µ) > 0 telle que :
(5.8) eg/h v1± L2
≤ Ch eg/h v2± L2 + C eg+ /h v1± L2 (τ +ξ≤− inf V +2ε) ,
1
(5.9)
g/h ± e v 2
L2
≤ Ch eg/h v1± L2 + C eg− /h v2± L2 (τ +ξ≥− sup V
2 −2ε)
où
g+ = g
{τ +ξ≤− inf V1 +2ε},
g− = g
,
{τ +ξ≥− sup V2 −2ε}
(qui sont constantes d’après (5.6)).
Preuve. — D’après (4.5), les fonctions v ± vérifient l’équation :
(5.10)
(hDt + Q + R1 )v ± = 0
avec
R1 = t − hDτ −ρ/2 , hDt + Q t − hDτ ρ/2
= ihρ(t − hDτ )t − hDτ −1 .
En particulier,
(5.11)
g/h
e R1 e−g/h v ± = O h e−g/h v ± uniformément pour h assez petit.
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M. BENCHAOU
Notant
0
Q0g = OpW
h (qg )
et utilisant (5.10), (5.3) et le fait que (Qg − Q0g ) = O(h) uniformément,
on obtient :
(5.12)
(hDt + Q0 ) eg/h v ± = O(h) eg/h v ± g
d’où, à l’aide de (5.3) :
2
(5.13) (τ − µ∂τ g + ξ + Bjg ) eg/h vj± 2
2
= O(h) eg/h vj± + O(h2 ) eg/h v ± (j = 1, 2), où l’on a posé :
(5.14)
Bjg = Bjg (t, τ, ξ, hDτ , hDξ ) := eg/h Vj (t − hDτ , −hDξ ) e−g/h
qui est donc un opérateur h-pseudodifférentiel uniformément borné, de
symbole principal Vj (t − τ ∗ − i∂τ g, −ξ ∗ − i∂ξ g).
Maintenant, grâce aux conditions (5.6)–(5.7) et à la définition de κ,
on voit qu’il existe une constante Cε > 0 telle que pour τ + ξ dans
[− inf V1 + ε, − sup V2 − ε] et (t, τ ∗ , ξ ∗ ) ∈ Rn+2 , on a :
(5.15)
τ −µ∂τ g +ξ+Vj (t−τ ∗ −i∂τ g, −ξ ∗ −i∂ξ g) ≥ 1
Cε
(j = 1, 2).
D’autre part, si τ + ξ ≥ − sup V2 − ε, alors
(5.16)
τ − µ∂τ g + ξ + V1 (t − τ ∗ − i∂τ g, −ξ ∗ − i∂ξ g)
= τ + ξ + V1 (t − τ ∗ , −ξ ∗ ) ≥
1
Γ
2 0
− ε.
De même, si τ + ξ ≤ − inf V1 + ε, alors
(5.17)
τ − µ∂τ g + ξ + V2 (t − τ ∗ − i∂τ g, −ξ ∗ − i∂ξ g)
= τ + ξ + V2 (t − τ ∗ , −ξ ∗ ) ≤ − 12 Γ0 + ε.
Soit χ1 ∈ C ∞ (R) telle que :
Supp χ1 ⊂ ] − inf V1 + ε, +∞[,
χ1 = 1 sur
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2
] − inf V1 + 2ε, +∞[.
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ESTIMATIONS EXPONENTIELLES
Soit également χ2 ∈ C ∞ (R) telle que :
Supp χ2 ⊂ ] − ∞, − sup V2 − ε[,
χ2 = 1 sur ] − ∞, − sup V2 − 2ε[.
À l’aide du calcul h-pseudodifférentiel, on peut alors facilement déduire
de (5.15)–(5.17) l’existence d’une constante C1 > 0 telle que pour tout
v ∈ C0∞ (Rn+2 ), on a :
(5.18)
1
(τ − µ∂τ g + ξ + B g )
χ
j v
j χj v ≥
C1
(j = 1, 2),
où l’on a noté
χ
j = χj (τ + ξ).
En écrivant v = χ
j v + (1 − χ
j )v, on remarque aussi (puisque τ + ξ reste
j )) que l’on a :
borné sur le support de χ
j (1 − χ
(τ − µ∂τ g + ξ + B g )v 2
j
2
≥ (τ − µ∂τ g + ξ + Bjg )
χj v − O χ
j v · (1 − χ
j )v .
À l’aide de (5.18), on en déduit :
(5.19)
χ
j v2 = O (τ − µ∂τ g + ξ + Bjg )v2 + (1 − χ
j )v ± 2 .
Par un argument de densité, appliquant (5.19) à v = eg/h vj± et utilisant (5.13), on obtient donc :
(5.20) χ
j eg/h vj± 2
= O h eg/h vj± 2 + h2 eg/h v ± 2 + (1 − χ
j ) eg/h vj± 2
et par suite, en prenant h assez petit :
j ) eg/h vj± 2 .
(5.21)
eg/h vj± 2 = O h2 eg/h v ± 2 + (1 − χ
Du fait que
Supp(1 − χ
1 ) ⊂ τ + ξ ≤ − inf V1 + 2ε ,
Supp(1 − χ
2 ) ⊂ τ + ξ ≥ − sup V2 − 2ε ,
la proposition résulte facilement de (5.21).
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284
M. BENCHAOU
Une conséquence immédiate de la proposition 5.1 est :
COROLLAIRE 5.1. — Soit g = g(τ, ξ) ∈ C ∞ (Rn+1 ) telle que
|∂ξ g| ≤ κ(τ + ξ) − 2ε + , |∂τ g| ≤ κ(τ + ξ) − 2ε + ,
Supp g ⊂ τ + ξ ∈ [− inf V1 + 2ε, − sup V2 − 2ε] .
Alors, pour j = 1, 2 on a :
eg/h vj± L2 = O(1)
1
n
uniformément par rapport à h > 0 assez petit et ϕ±
0 ∈ H (R ) normalisés
dans L2 (Rn ).
En fait, retournant à la formule (4.5), il n’est pas difficile de déduire
de ce corollaire, comme dans [Ma, § 3], que sous les mêmes conditions, on
a pour tout k, ∈ N :
−k−−1
τ ξt−ρ/2 eg/h (hDt )k (hDτ ) ψj± = O(1).
Considérons alors la fonction g1 définie par :
(5.22)
g1 (τ, ξ) = f1 τ + ξ
avec
(5.23) f1 (λ) = Min
λ
− inf V1
κ(s) ds,
− sup V2
λ
κ(s) ds 1[− inf V1 ,− sup V2 ] (λ).
Du fait que pour presque tout (τ, ξ), on a
|∂ξ g1 | ≤ f1 (τ + ξ) ≤ κ(τ + ξ),
|∂τ g1 | = f1 (τ + ξ) ≤ κ(τ + ξ),
on voit que, ε > 0 étant donné, on peut alors trouver g ∈ C ∞ (Rn+1 ) tel
que sup |g − g1 | ≤ ε et les conditions du corollaire 5.1 soient satisfaites.
On en déduit :
COROLLAIRE 5.2. — Avec g1 défini en (5.22), pour tout ε > 0, il existe
µ > 0 arbitrairement petit tel que, pour tout k, ∈ N :
g /h −ρ/2 ± −k−−1
e 1 t
ψj + τ ξt−ρ/2 eg1 /h (hDt )k (hDτ ) ψj± = O( eε/h )
1
n
uniformément par rapport à h > 0 assez petit et ϕ±
0 ∈ H (R ) normalisés
2
n
dans L (R ).
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N
◦
2
ESTIMATIONS EXPONENTIELLES
285
6. Propagation des estimations
Reprenant maintenant la stratégie adoptée dans [Ma], on va en déduire
des propriétés de décroissance exponentielle de vj− (resp. vj+ ) dans la
région {τ + ξ ∈ [− inf V1 , +∞[} (resp. {τ + ξ ∈] − ∞, − sup V2 ]}).
Soit λ1 ∈ ] − inf V1 , − sup V2 [ le point où la fonction f1 définie en (5.23)
atteint son maximum. En particulier on aura alors :
f1 (λ1 ) = 12 Σ0 .
(6.1)
Soit également δ > 0 assez petit et χ0 ∈ C ∞ (R) telle que :


 χ0 = 1 sur ] − ∞, λ1 ],
(6.2)
χ0 = 0 sur [λ1 + 2δ, +∞[,

 χ0 ≤ 0.
Posons χ(τ, ξ) = χ0 (τ + ξ). On a alors :
(hDt + Q)χψ ± = [χ, Q]ψ ± .
(6.3)
On commence par montrer :
LEMME 6.1. — Pour tout ε > 0, si µ > 0 et δ > 0 sont choisis suffisamment petits, on aura :
ρ/2
t [χ, Q]ψ ± = O( e−(Σ1 −ε)/h )
avec Σ1 =
1
Σ .
2 0
Preuve. — Du fait que
(6.4) [χ, Q]
[χ, V1 (t − hDτ , −hDξ ) − 1 ]
h[χ, R(t − hDτ , −hDξ )]
=
,
[χ, V2 (t − hDτ , −hDξ ) − 2 ]
h[χ, R(t − hDτ , −hDξ )]
il suffit d’examiner :
w(t, τ, ξ) := tρ/2 χ, R(t − hDτ , −hDξ ) ψj± .
Écrivant :
w(t, τ, ξ) =
1
(2πh)n+1
ei(ξ−ξ )ξ
∗
/h+i(τ −τ )τ ∗ /h
tρ χ(τ, ξ) − χ(τ , ξ )
× R(t − τ ∗ , −ξ ∗ )wj± (t, τ , ξ ) dξ dξ ∗ dτ dτ ∗
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
286
M. BENCHAOU
(où wj± := t−ρ/2 ψj± ∈ L2 (Rn+2 )), et en effectuant dans cette intégrale
le changement de contour d’intégration :
ξ − ξ ,
|ξ − ξ |
τ − τ ,
→ τ ∗ + ia
R τ∗ −
|τ − τ |
Rn ξ ∗ −→ ξ ∗ + ia
avec 0 < a < a, on obtient :
(6.5) w(t, τ, ξ) =
(ξ−ξ )ξ ∗
(τ −τ )τ ∗ a |ξ−ξ | a |τ −τ |
1
i
+i
−
−
h
h
h
h
e
(2πh)n+1
× χ(τ, ξ) − χ(τ , ξ )
τ − τ , ∗
ξ−ξ
−
ia
×R(τ ∗ + ia
−ξ
|τ − τ |
|ξ − ξ |
wj± (t, τ , ξ ) dξ dξ ∗ dτ dτ ∗
où en fait l’intégration se fait sur {χ(τ, ξ) = χ(τ , ξ )}.
Or, du fait des propriétés (6.2), il est facile de voir que si χ(τ, ξ) =
χ(τ , ξ ), alors :
τ + ξ − (τ + ξ ≥ τ + ξ − λ1 − 2δ
(6.6)
(il suffit pour cela de distinguer suivant que |τ + ξ − λ1 | ≤ 2δ ou ≥ 2δ).
De plus, puisque |κ(λ)| ≤ a, on a par construction :
(6.7)
g1 (τ, ξ) ≥ 12 Σ0 − a |τ + ξ − λ1 | +
et donc d’après (6.6), en prenant a suffisamment proche de a, on aura
sur {χ(τ, ξ) = χ(τ , ξ )} :
(6.8) a ξ − ξ | + a |τ − τ ≥ a τ + ξ − (τ + ξ )
≥
1
Σ
2 0
− g1 (τ , ξ ) − (3 + 2a)δ.
Insérant alors dans l’intégrale (6.5) une troncature du type χ1 (τ ∗ /t) qui
vaut 1 dans {|τ ∗ | ≤ 14 t} et 0 dans {|τ ∗ | ≥ 12 t}, on obtient
w(t, τ, ξ) = w1 (t, τ, ξ) + w2 (t, τ, ξ)
avec |τ ∗ | ≤ 12 t sur le support de l’intégrande de w1 et |τ ∗ | ≥
celui de l’intégrande de w2 .
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◦
2
1
t
4
sur
ESTIMATIONS EXPONENTIELLES
287
Utilisant ensuite (2.3), on voit que le symbole qui apparaı̂t dans w1 est
uniformément borné et supporté dans {χ(τ, ξ) = χ(τ , ξ )}. À l’aide du
théorème de Calderon-Vaillancourt et de (6.8), on en déduit :
w1 (t, τ, ξ) = O e−(Σ1 −(3a+2)δ)/h eg1 /h w± j
et donc, d’après le corollaire 5.2, si l’on choisit δ assez petit :
w1 (t, τ, ξ) = O e−(Σ1 −ε)/h .
(6.9)
Considérant maintenant w2 , on effectue [ρ] + 1 intégrations par parties
dans la variable τ , ce qui fait apparaı̂tre [ρ] + 1 puissances négatives
de |τ ∗ |. Puisque |τ ∗ | ≥ 14 t sur le domaine d’intégration, le nouveau
symbole devient également uniformément borné, et on en déduit comme
précédemment :
w2 (t, τ, ξ) = O
e−(Σ1 −(3a+2)δ)/h eg1 /h ∂τk wj± k≤1+[ρ]
d’où d’après le corollaire 5.2, et en prenant δ assez petit :
w2 (t, τ, ξ) = O e−(Σ1 −ε)/h
(6.10)
ce qui termine la preuve du lemme.
Revenons maintenant à (6.3). D’après le lemme précédent, si ε > 0 est
donné et si µ et δ sont choisis assez petits, on a donc :
ρ/2
t (hDt + Q)χψ ± = O e−(Σ1 −ε)/h .
(6.11)
On se propose maintenant de déduire de (6.11) que l’on a :
PROPOSITION 6.1. — Pour tout ε > 0, si µ > 0 est choisi assez petit,
alors :
−ρ/2 ± t
ψ L2 (±(τ +ξ)≤±λ1 ) = O e−(Σ1 −ε)/h
1
n
uniformément par rapport à h > 0 assez petit et ϕ±
0 ∈ H (R ) vérifiant
±
ϕ0 L2 = 1.
Preuve. — On va traiter seulement le cas de ψ + , celui de ψ − se faisant
de manière similaire, en remplaçant χ0 (λ) par 1 − χ0 (λ + 2δ).
Utilisant le fait que
(6.12)
hDt G = (τ + iµhDτ )G
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
288
M. BENCHAOU
on obtient :
(τ + Q)χψ + = −iµχhDτ ψ + + (hDt + Q)χψ +
et donc, en prenant la deuxième composante :
(6.13)
τ + ξ + V2 (t − hDτ , −hDξ ) χψ2+
= −iµχhDτ ψ2+ − hR(t − hDτ , −hDξ )χψ1+
+ (hDt + Q)χψ + 2 .
On va d’abord en déduire :
LEMME 6.2. — On a :
−ρ/2 + t
(6.14)
χψ2 = O ht−ρ/2 χψ1+ + e−(Σ1 −ε)/h
uniformément pour h assez petit.
Preuve du lemme. — Utilisant (6.11), on déduit en particulier de (6.13) :
(6.15) t−ρ/2 (τ + ξ + V2 (t − hDτ , −hDξ ))χψ2+ = O t−ρ/2 χhDτ ψ2+ + ht−ρ/2 χψ1+ + e−(Σ1 −ε)/h .
i
(τ − hDt )G (propriété qui
µ
est d’ailleurs à la base des estimations microlocales à poids exponentiel,
cf. [Na2]), il est très facile de voir que :
−ρ/2
√ t
χhDτ ψ2+ = O h t−ρ/2 χψ2+ .
(6.16)
Maintenant, en utilisant le fait que hDτ G =
D’autre part, on a par construction :
τ + ξ + V2 (t − hDτ , −hDξ ) χ(τ, ξ) ≤ (λ1 + 2δ + sup V2 )χ(τ, ξ)
et donc, du fait que λ1 < − sup V2 , et quitte à diminuer un peu δ :
(6.17) t−ρ/2 (τ + ξ + V2 (t − hDτ , −hDξ ))χψ2+ ≥ |λ1 + sup V2 | − 2δ t−ρ/2 χψ2+ .
On déduit de (6.15)–(6.17) que pour δ assez petit, on a :
−ρ/2 + √
t
χψ2 = O h t−ρ/2 χψ2+ + ht−ρ/2 χψ1+ + e−(Σ1 −ε)/h
et donc pour h assez petit :
−ρ/2 + t
χψ2 = O ht−ρ/2 χψ1+ + e−(Σ1 −ε)/h .
(6.18)
d’où le lemme.
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◦
2
289
ESTIMATIONS EXPONENTIELLES
En prenant maintenant la première composante de (6.3) on trouve :
hDt + ξ + V1 (t − hDτ , −hDξ ) χψ1+
= −hR(t − hDτ , −hDξ )χψ2+ + [χ, Q]ψ + 1
et donc en utilisant le lemme 6.1 ainsi que l’hypothèse (2.3) sur R :
(6.20) tρ/2 (hDt + ξ + V1 (t − hDτ , −hDξ ))χψ1+ = O htρ/2 t − hDτ −ρ χψ2+ + e−(Σ1 −ε)/h .
Comme dans la fin de la preuve du lemme 6.1 (c’est-à-dire en séparant à
l’aide d’une troncature les zones {|τ ∗ | ≤ 12 t} et {|τ ∗ | ≥ 14 t}), on voit
que l’on a aussi :
ρ/2
t−ρ/2 (hDτ )k χψ + t t − hDτ −ρ χψ + = O
2
2
k≤1+[ρ]
t−ρ/2 χ(hDτ )k ψ + =O
2
k≤1+[ρ]
puis, en utilisant à nouveau le fait que hDτ G =
+ e−(Σ1 −ε)/h
i
(τ − hDt )G, on obtient
µ
par des intégrations par parties :
t−ρ/2 χ(hDτ )k ψ + = O t−ρ/2 χψ + + e−(Σ1 −ε)/h .
2
2
k≤1+[ρ]
Insérant ceci dans (6.20) et utilisant (6.18), on obtient donc :
(6.21) tρ/2 (hDt + ξ + V1 (t − hDτ , −hDξ ))χψ1+ = O h2 t−ρ/2 χψ1+ + e−(Σ1 −ε)/h .
On écrit ensuite, utilisant le fait que ξ + V1 (−hDξ ) est auto-adjoint :
∂
χψ1+ 2L2 (Rτ ×Rn )
ξ
∂t
2
= − Im (hDt + ξ + V1 (t − hDτ , −hDξ ))χψ1+ , χψ1+ L2 (Rτ ×Rn ) ,
ξ
h
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290
M. BENCHAOU
d’où, en intégrant de t1 à +∞ (avec t1 ∈ R arbitraire), et en utilisant le
lemme 4.1 et l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
(6.22) χψ1+ (t1 , τ, ξ)2L2 (Rτ ×Rn )
ξ
2
≤ tρ/2 (hDt + ξ + V1 (t − hDτ , −hDξ ))χψ1+ · t−ρ/2 χψ1+ h
(où les normes sans indice sont celles dans L2 (Rn+2 )). D’après (6.21), on
a donc
2
(6.23) χψ1+ (t1 , τ, ξ)L2 (Rτ ×Rn ) = O ht−ρ/2 χψ1+ + e−(Σ1 −2ε)/h t−ρ/2 χψ1+ .
ξ
Multipliant à nouveau par t1 −ρ et intégrant sur R par rapport à t1 , on
en déduit finalement :
−ρ/2 + 2
t
χψ1 = O ht−ρ/2 /χψ1+ + e−(Σ1 −2ε)/h t−ρ/2 χψ1+ et donc, pour h assez petit :
(6.24)
−ρ/2 + t
χψ1 = O e−(Σ1 −2ε)/h .
Utilisant le lemme 6.2, ainsi qu’un argument analogue pour ψ − , la
proposition 6.1 en découle.
7. Amélioration des estimations
Dans ce paragraphe, on va à nouveau utiliser la proposition 5.1, mais
avec l’information supplémentaire donnée par la proposition 6.1. Pour
cela, on introduit un nouveau poids exponentiel défini de la manière
suivante : on pose
g2+ (τ, ξ) = f2+ (τ + ξ)
(7.1)
avec
(7.2) f2+ (λ) = 1]−∞,− inf V1 ] (λ)Σ1
+ 1[− inf V1 ,λ1 ] (λ) Min Σ1 +
λ
κ(s) ds ; Σ1 +
− inf V1
λ1
κ(s) ds
λ
+ 1[λ1 ,− sup V2 ] (λ)f1 (λ).
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2
291
ESTIMATIONS EXPONENTIELLES
En particulier, f2+ est continue sur R, et atteint son maximum en un point
λ+
2 ∈ ] − inf V1 , λ1 [ tel que :
(7.3)
3
Σ2 := f2+ (λ+
2 ) = 4 Σ0 .
De plus, g2+ peut être approchée en norme L∞ par une fonction g ∈
C ∞ (Rn+1 ) vérifiant (5.6) (avec ε > 0 arbitrairement petit) ainsi que :
(7.4)
g+ (= g
{τ +ξ≤− inf V1 +2ε})
= Σ1 − δ
où δ > 0 est également arbitrairement petit.
Alors, appliquant la proposition 5.1 avec cette nouvelle fonction g et
utilisant la proposition 6.1, on obtient pour tout ε > 0 :
(7.5)
+
eg2 /h v + = O( eε/h ).
De manière symétrique, on définit aussi g2− (τ, ξ) = f2− (τ + ξ) avec :
(7.6) f2− (λ) = 1[− sup V2 ,+∞[ (λ)Σ1
+ 1[λ1 ,− sup V2 ] (λ) Min Σ1 +
− sup V2
λ
κ(s) ds ; Σ1 +
λ
κ(s) ds
λ1
+1[− inf V1 ,λ1 ] (λ)f1 (λ)
qui atteint son maximum en un point λ−
2 ∈ [λ1 , − sup V2 ] vérifiant aussi :
(7.7)
3
f2− (λ−
2 ) = 4 Σ 0 = Σ2 .
On obtient alors de la même manière :
(7.8)
−
eg2 /h v − = O( eε/h ).
Ces estimations peuvent ensuite se propager comme dans le paragraphe 6,
et permettent de montrer que pour tout ε > 0 on a :
−ρ/2 + t
ψ L2 (τ +ξ≤λ+ ) = O( e−(Σ2 −ε)/h ),
2
−ρ/2 − t
ψ L2 (τ +ξ≥λ− ) = O( e−(Σ2 −ε)/h ).
2
Itérant cette procédure, on définit ainsi une suite de fonctions continues
−
gj± (τ, ξ) et deux suites de nombres λ+
j décroissante et λj croissante (j ≥ 2)
vérifiant :
 +
−

gj + gj− = Σ0
sur [λ+
j , λj ],



j−1
−k
(7.9)
gj+ ≥ Σj−1 :=
2 Σ0 sur ] − ∞, λ+
j ],

k=1


 g− ≥ Σ
sur [λ−
j−1
j
j , +∞[,
BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
292
M. BENCHAOU
et telles que pour tout j ≥ 2 et tout ε > 0 il existe µ = µ(j, ε) > 0 tel
que :
−ρ/2 g± /h ± t
e j ψ = O( eε/h )
(7.10)
1
n
uniformément par rapport à h > 0 assez petit, et ϕ±
0 ∈ H (R ) vérifiant
ϕ0 L2 = 1.
8. Fin de la preuve du théorème 2.1
Revenant maintenant à (3.3), et utilisant (4.3) et le fait que la quantité
−
ψ (t, . ), ψ + (t, . ) L2 (Rτ ×Rn )
ξ
ne dépend pas de t, on voit que :
−ρ/2 −
ψ , t−ρ/2 ψ +
t
+
(8.1)
A(ϕ−
,
ϕ
)
=
0
0
t−ρ dt
et donc, d’après (7.10) et (7.9) :
+
−(Σj −ε)/h
A(ϕ−
).
0 , ϕ0 ) = O(e
(8.2)
Du fait que Σj tend vers Σ0 lorsque j tend vers +∞, le résultat final s’en
déduit en choisissant j assez grand.
9. Une généralisation
Lorsque l’hypothèse (2.9) est remplacée par l’hypothèse plus générale
(9.1)
inf
V1 (t, x) − V2 (t, x) > 0,
(t,x)∈Rn+1
alors la démonstration précédente ne s’applique plus telle quelle. Cependant, les techniques utilisées peuvent se généraliser à condition de remplacer la transformation G par la transformation de FBI globale dans les
variables (t, x) suivante :
2
2
T u(t, x, τ, ξ) = C
ei[(t−s)τ +(x−y)ξ]/h−µ[(t−s) +(x−y) ]/2h u(s, y) ds dy
avec C = 2−(n+1)/2 (πh)−3(n+1)/4 . On obtient encore dans ce cas un
résultat de décroissance exponentielle, mais le taux obtenu ne peut plus
se décrire de manière aussi explicite que dans le théorème 2.1.
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2
293
ESTIMATIONS EXPONENTIELLES
En fait, si on essaie de suivre à nouveau la preuve de la proposition 5.1,
en tenant aussi compte du fait que dans les estimations à poids exponencomme µ−1 ∂t g et µ−1 ∂x g
tiel, hDτ et hDξ contribuent respectivement
√
modulo une erreur d’ordre relatif O( h ) (cf. [Na2]), on se rend compte
que la condition essentielle (analogue de (5.6)) que doit satisfaire la fonction g (qui cette fois dépendra de (t, x, τ, ξ)), devient alors :
Supp ∇g ⊂ |τ + ξ + 12 [V1 (t, x) + V2 (t, x)]| < 12 inf(V1 − V2 ) − ε ,
τ + iµ∂˜1 g + ξ + iµ∂˜2 g + Vj (t − ∂˜1 g, x − ∂˜2 g) ≥ 1 sur Supp ∇g,
Cε
où l’on a noté :
1
∂˜1 = ∂t + i∂τ ,
µ
1
∂˜2 = ∂x + i∂ξ .
µ
Si l’on pose
A± (µ, ε) = g ∈ C ∞ (R2n+2 ) ; g vérifie (9.2) et
Supp g ⊂ ± τ +ξ+ 12 [V1 (x)+V2 (x)] ≤
1
inf(V1 −V2 )
2
,
alors l’estimation du théorème 2.1 devient dans ce cas : pour tout δ > 0,
(9.3)
0 −δ)/h )
S1,2 + S2,1 = O( e−(Σ
uniformément par rapport à h > 0 assez petit, avec :
0 = sup
Σ
sup
inf (g − + g + ).
µ,ε>0 g± ∈A± (µ,ε) R2n+2
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