SUR LA MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE par Jean

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SUR LA MÉTHODE DE LA
PHASE STATIONNAIRE
par
Jean-Paul Vincent
Table des matières
1. Généralités sur les développements asymptotiques . . . . . .
2. Les lemmes de Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Le théorème de Bernstein-Sato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Hyperfonctions et microfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Transformées de L APLACE des intégrales oscillantes . . . . .
6. Série entière asymptotique associée à la transformée de
Laplace d’une intégrale oscillante sans point critique . . . .
e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Remarque sur l’application G 7→ G
8. Développement asymptotique d’intégrales oscillantes dont
la phase est une puissance d’une fonction sans point
critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Transformées de Fourier des distributions définies par les
m
fonctions x 7→ ex : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Développement asymptotique de la fonction de Airy : . . .
11. Développement de Airy généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . .
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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28
2
frenchJEAN-PAUL VINCENT
1. Généralités sur les développements asymptotiques
Références [2, 16]
Soit E = (ej )j∈N une famille de fonctions complexes définies dans un ouvert
S de C, admettant 0 comme point d’accumulation, E vérifie :
Pour tous j et k dans N, si j < k alors quand z → 0 dans S :
ek (z) = o ej (z)
Définition 1.1. — On appellera E, échelle de comparaison au voisinage de
0.
Définition 1.2. — On dit qu’une fonction f complexe sur S admet un développement asymptotique relativement à E, si pour tout j dans N il existe aj
dans C tel que pour z → 0 :
X
ak ek (z) = o ej (z)
f (z) −
k≤j
On dira que f est représentée par la série formelle
cette série est le développement asymptotique de f .
P
j∈N
aj ej dans S et que
1.1. Propriétés algébriques. —
Proposition
1.3. — 1. f est représentée par au plus une série formelle
P
˜
j∈N aj ej que l’on notera f
2. f 7→ f˜ définie sur l’espace vectoriel complexe des fonctions développables relativement à E est linéaire.
Définition 1.4. — Nous dirons que l’échelle E est multiplicative si pour tous
e et e0 dans E, ee0 est dans E.
Proposition 1.5. — Supposons que E soit multiplicative, soient f et g deux
fonctions développables relativement à E, alors le produit f g est développable relativement à E et ffg = f˜g̃
Remarque : L’échelle telle que ek (z) = z λk définie sur l’ouvert S où λ0 >
0 et où (<(λk )k≥0 est une suite strictement croissante, est multiplicative. Cas
particulier : λj = j
Avec ces notations, nous avons la proposition suivante :
Proposition 1.6. — Soit E l’échelle de comparaison définie par
ej (z) = z j
(z ∈ S) et E 0 une échelle de comparaison de la forme ( e0j (z) = z λj où z
est dans un ouvert T tel que si z est dans T alors z λj est dans S. Alors les
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composés de la forme e00 (z) = z kλj définissent une échelle de comparaison.
De plus :
P
1. Si j∈N aj z j où a0 6= 0 représente f alors f1 est développable relativement à E et
e
1
1
=
f
f˜
P
λj
2. Soit j∈N bj z le développement d’une fonction g dans l’échelle E 0 .
Supposons que pour tout z dans T g(z) soit dans S, alors f]
◦ g est
développable dans l’échelle composée et :
f]
◦ g = f˜ ◦ g̃
1.2. Propriétés analytiques. —
1. Soit r > 0, si f est holomorphe dans D = {z ∈ C/0 < |z| < r} et
continue dans D̄, si pour z → 0 dans D :
X
f˜(z) =
an z n
n≤0
Alors la série converge dans D et
X
an z n
f (z) =
n≤0
2. P
f étant holomorphe dans S, si pour z → 0 dans S [0, z] ⊂ S et f˜(z) =
n
n≥0 an z alors
Zg
X an
f (t) dt =
z n+1
n+1
[0,z]
n≥0
3. Soient r > 0, θ2 > θ1 , f holomorphe dans S = {z ∈ C/0 < |z| <
P
r, θ1 < arg z < θ2 }. Si f˜(z) = n≥0 an z n dans S, alors
X
f˜0 (z) =
nan z n−1
n≥0
4. Soit f holomorphe dans S. Si pour tout n ≥ 0
lim f (n) (z) = cn
z→0
z∈S
alors
f˜(z) =
X cn
n≥0
n!
zn
4
De plus, si f est dérivable à tous les ordres en 0
cn = f (n) (0)
P
5. Pour toute série formelle n≤0 an z n et tout ouvert S, il existe f holomorphe dans un voisinage de 0 dans S telle que
X
f˜(z) =
an z n
n≥0
1.3. Topologie sur l’espace vectoriel des séries
P formelles. — Soit A l’espace vectoriel complexe des séries formelles n≥0 an z n et Am le sous-espace
vectoriel engendré par les polynômes de degré inférieur ou égal à m. On munit
Am de la topologie usuelle et A de la topologie limite inductive
A = limindm→+∞ Am
2. Les lemmes de Watson
Référence [3]
Soit le contour :
hankel.pdf
F IGURE 1. Contour de Hankel
R 0+
L’intégrale sur ce contour sera notée : −∞
5
Lemme 2.1. — Soit f définie sur R dont la transformée de Laplace F est
définie pour <z > 0 par
Z +∞
F (z) =
f (x) e−zx dx
0
On suppose que F se prolonge à S = C \ R− et que 0 est la seule singularité
de ce prolongement noté encore F , enfin que F est de type exponentiel dans
<z < c où c ∈ R. Supposons que pour z → 0 dans S
X
F̃ (z) =
an z λn
n≥1
où (<λn )n est une suite strictement croissante non bornée. Alors l’intégrale
Z 0+
1
F (z) ezx dz = f (x)
2iπ −∞
admet pour x → +∞ le développement asymptotique
X an
x−λn −1
f˜(x) =
Γ(−λn )
n≥1
Lemme 2.2. — s étant la seule singularité de F , si z −s → 0 dans S F̃ (z) =
P
λn
alors pour x → +∞
n≥1 an (z − s)
X an
f˜(x) = esx
x−λn −1
Γ(−λ
)
n
n≥1
Lemme 2.3. — S’il y a m singularités, le terme dominant provient des singularités de partie réelle maximale. Soient (sj )1≤j≤m les singularités dont la
partie réelle est maximale ; <sj = c alors
X
X aj,n
x−λj,n −1
f˜(x) =
esj x
Γ(−λ
)
j,n
1≤j≥m
n≤1
Corollaire 2.4. — Si F̃ est une série entière alors f˜ = 0
Lemme 2.5. — Si q = 1 et si dans les mêmes conditions que dans le lemme
2.1.
X
F̃ (z) =
an z λn Log z
n≥1
alors
f˜(x) =
X
n≥1
an ψ(−λn ) − Log x
Γ(−λn )
xλn +1
6
où ψ(−λ) =
Γ0 (−λ)
Γ(−λ
Plus généralement pour les développements qui comportent Logq z à la
place de Logz, il existe des lemmes semblables qui utilisent les transformées
de Laplace de xa Logq x où a n’est pas entier négatif :
f
L(f )
−(a+1)
xa
xa ln x
z
Γ(a + 1) Γ0 (a + 1)
z −(a+1) Logz
0
−Γ(a + 1)
···
···
···
−(a+1)
n
z
Log z
0
0
···
xa lnn x
···
Γ(n) (a + 1)
· · · −nΓ(n+1) (a + 1)
···
···
n
· · · (−1) Γ(a + 1)
3. Le théorème de Bernstein-Sato
Soient φ une application analytique de R` à valeurs réelles et f dans D(R` ).
Considérons les intégrales oscillantes I(τ ) de la forme
Z
τ ∈R
eiτ φ(x) f (x) dx
R`
φ est la phase.
Le résultat le plus général sur le comportement asymptotique de I(τ ) quand
τ tend vers +∞ est donné par J-E Björk :
Supposons que φ s’annule sur l’ensemble critique Sφ , {x ∈ R` /φ0 (x) = 0},
alors
XX
e )=
I(τ
cn,s,t (f )τ s−n lnt τ
t,s n≥0
où t parcourt un ensemble fini d’entiers positifs et s un ensemble fini de rationnels ; cn,s,t est dans D0 (R` ), de support Sφ . C’est une généralisation du
théorème de Bernstein, ce dernier étant donné pour φ un polynôme. La démonstration ne donne aucune indication sur l’interprétation et le calcul des
t et s. Une interprétation est donnée dans [10] lorsque Sφ est discret. Dans
[15] la méthode permet le calcul du plus grand des s à l’aide de polyèdres de
Newton.
4. Hyperfonctions et microfonctions
Références [7, 11]
Si U est un ouvert de C, on note H(U ) l’espace vectoriel topologique des
fonctions holomorphes sur U . C’est un espace de F RÉCHET.
7
Définition 4.1. — On appelle hyperfonctions sur iR les éléments de l’espace
H(C \ iR)/H(C)
noté B(iR).
Définition 4.2. — On appelle microfonctions sur iR les éléments de l’espace
H(R∗+ + iR)/H(C)
noté C + (iR).
B(iR) et C + (iR) sont munis de la topologie quotient qui en fait des espaces
de Fréchet.
Définition 4.3. — Si E et F sont deux espaces vectoriels topologiques (séparés), la topologie projective sur E ⊗ F est la topologie quotient. On note
b le complété de E ⊗ F pour cette topologie.
E ⊗F
Définition 4.4. — Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés, notons Es0 le dual faible de E (respectivement Fs0
) et Fe (Es0 , Fs0 ) l’espace des applications bilinéaires séparément continues de
Es0 ⊗ Fs0 dans C, muni de la topologie de la convergence uniforme sur les produits de deux parties équicontinues de Es0 et Fs0 respectivement.
E est dit nucléaire si pour tout F , l’application naturelle de E ⊗ F dans
Fe (Es0 , Fs0 ) est un isomorphisme topologique de E ⊗ F sur un sous-espace du
second.
Théorème 4.5. — Si E et F sont complets, E est nucléaire alors E ⊗ F est
isomorphe à Fe (Es0 , Fs0 ).
Théorème 4.6. — Un espace quotient séparé d’un espace localement
convexe nucléaire est nucléaire.
Exemple 4.7. — Soit U un ouvert de C, l’espace H(U ) des fonctions holomorphes sur U est nucléaire.
Théorème 4.8. — Soit T un ensemble, E un espace vectoriel de fonctions
scalaires définie sur T muni d’une topologie localement convexe plus fine
que la topologie de la convergence simple et qui en fait un espace nucléaire
complet de type LF (limite inductive d’espace de Fréchet).
b s’identifie à
Alors, pour tout espace localement convexe complet F , E ⊗F
l’espace des applications f de T dans F telles que pour tout y 0 dans F 0 , la
fonction t 7→ hf (t), y 0 i soit dans E.
8
b 0 (Rn )
Exemple 4.9. — Soient E = H(U
), F = D0 (Rn ). Alors H(U )⊗D
s’identifie à l’espace H U, D0 (Rn ) des fonctions holomorphes à valeurs dans
D0 (Rn ), muni de la topologie de la convergence compacte.
Par analogie nous écrirons :
Définition 4.10. —
tient
1. On appelle espace des hyperdistributions, le quo-
H C \ iR, D0 (Rn ) /H C, D0 (Rn ) = B iR, D0 (Rn )
2. On appelle espace des microdistributions le quotient
H(R∗+ + iR, D0 (Rn ) /H C, D0 (Rn ) = C + iR, D0 (Rn )
5. Transformées de L APLACE des intégrales oscillantes
Posons
Z
eiτ φ(x) f (x) dx
g(τ ) =
Rn
et pour 0
Z
Lg(u) = G(u) =
Rn
f (x)
dx
u − iφ(x)
ou
Z
f (x)
dx
Rn φ(x) + iu
G est dans H(R+ iR). On notera encore G le prolongement analytique de G.
Remarquons que les singularités de l’intégrale définissant G sont dans iR.
1
1
La fonction u 7→ φ+iu
est dans H R∗+ , D0 (R) . Si n = 1, x+iu
converge dans
1
1
0
D (R) vers x+i0 = Vp x − iπδ quand u tend vers 0 avec 0 [6].
1
Si φ0 ne s’annule pas, φ+iu
converge dans D0 (Rn ) vers une distribution notée
1
1
. On définit de même une distribution φ−i0
, puis les distributions Pf φ1 et
φ+i0
δφ par
1
1
1
2Pf =
+
φ
φ + i0 φ − i0
G(u) = i
−2iπδφ =
Définition 5.1. — [5, 9]
1
1
−
φ + i0 φ − i0
9
1. Soient T dans D0 (Rn ). (x, x0 ), dans Rn × (Rn \ {0}), est dit régulier
pour T s’il existe des voisinages U de x et V de x0 dans Rn et Rn \ {0}
respectivement, une f dans D0 (Rn ) telle que f |U ≡ 1, tels que pour tout
m > 0 il existe une constante cm et
∀y ∈ V, ∀λ ≥ 0 F(f T )(λy) ≤ cm (1 + |λ|)−m
où F est la transformation de F OURIER :
F(f T )(λy) = hf (.)T, e−2iπy. i
2. Le complémentaire dans Rn × (Rn \ {0} des points réguliers est appelé
Front d’onde de T et noté W F (T ).
Proposition 5.2. — Si φ0 ne s’annule pas :
1 ⊂ {(x, λφ0 (x))/φ(x) = 0λ > 0}
WF
φ + i0
Preuve : On utilise le cas n = 1 soit
1 WF
⊂ {(x, λ)/λ > 0}
y + i0
et le fait que pour un difféomorphisme v, W F (T ◦ v) = v∗ (W F (T )).
Définition 5.3. — Soient T1 et T2 dans D0 (Rn ), nous dirons que T est le
produit T1 T2 , de T1 et T2 si pour tout x dans Rn il existe f dans D(Rn ) égale
à 1 dans un voisinage de x telle que pour tout y dans Rn :
x 7→ F(f T1 )(x) F(f T2 )(y − x)
est intégrable et
2
Z
F(f T )(y) =
F(f T1 )(x) F(f T2 )(y − x) dx
Rn
Proposition 5.4. — Posons W F a (T ) = {(x, x0 )/(x, x0 ) ∈ W F (T )}. Si T1
et T2 sont des distributions telles que
W F (T1 ) ∩ W F a (T2 ) = ∅
alors le produit T1 T2 existe et
W F (T1 T2 ) ⊂ {(x, x0 + x00 )/(x, x0 ) ∈ W F (T1 ), (x, x00 ) ∈ W F (T2 )}
Corollaire 5.5. — Si φ0 ne s’annule pas, pour tout m ≥ 1, le produit de
1
1
1
existe et est noté (φ+i0)
et φ+i0
m+1 .
(φ+i0)m
10
Proposition 5.6. — Si φ0 ne s’annule pas, pour tout m ≥ 1 on a :
1
1
lim
=
u→0, 0 (φ + iu)m
(φ + i0)m
pour la topologie faible de D0 (Rn ).
(en se ramenant à n = 1)
6. Série entière asymptotique associée à la transformée de Laplace
d’une intégrale oscillante sans point critique
Soit φ une phase dont la dérivée ne s’annule pas, la transformée de L A PLACE de l’intégrale oscillante est (voir ci-dessus)
Z
f (x)
dx
G(u) = i
Rn φ(x) + iu
et pour tout entier m positif
Z
f (x)
(m)
m
dx
G (u) = i(−i) m!
m+1
Rn (φ(x) + iu)
et d’après proposition 5.6
1
, f (x)i
lim G(m) (u) = i(−i)m m!h
u→0, 0
(φ(x) + i0)m+1
Remarquons que
1
(φ(x)+i0)m+1
est dans S 0 (Rn ). Alors, d’après la propriété 4
Proposition 6.1. — Le développement asymptotique de G lorque u tend vers
0 avec 0 est
X
1
e
G(u)
=
(−1)m im+1 h
, f ium
m+1
(φ(x)
+
i0)
m≥0
De même en tout point de iRn , le développement asymptotique de G est une
série entière.
Notons Ce+ (iR) l’espace des microfonctions définies par les fonctions holomorphes dans R∗+ + iR qui admettent des développements asymptotiques
en séries entières en tout point de iR.
Si f est dans S et φ est sans point critique, alors
[G] ∈ Ce+ (iR)
Soit maintenant f dans Z [6]. Nous allons voir que G se prolonge en une
fonction entière de type exponentiel et donc que [G] = 0. Nous pouvons
11
supposer que f est à valeurs réelles. Faisons le calcul dans le cas n = 1 et
φ(x) = 1.
Pour 0, posons
H(u) = G(u) − πf (u)
f qui est dans Z se prolonge en une fonction holomorphe de type exponentiel.
Si <u tend vers 0, en posant u = u1 + iu2 avec u1 et u2 réels, nous obtenons
H(0 + iu2 ) = G(0 + iu2 ) − πf (u2 )
or
G(0 + iu2 ) = i
1
Vp ? f (u2 ) − iπf (u2 )
x
d’où
1
H(0 + iu2 ) = i Vp ? f (u2 )
x
qui est analytique réelle. D’après le principe de symétrie de Schwarz [14], H
se prolonge à {u ∈ C/<u < 0} par :
Z +∞
f (x)
H(u) = i
dx + πf (u)
−∞ x + iu
Nous définirons donc G sur C par :
Z
+∞
f (x)
dx
−∞ x + iu
1
 0
G(u) = i
ge = 0
Pour voir que cette égalité reste vraie avec f dans S (et en particulier f dans
D), nous avons besoin du lemme suivant
Lemme 6.2. — Soient (en )n∈N une échelle de comparaison infinie (de fonctions strictement positives), (fm )m∈N une suite de fonctions de Z qui converge
vers f dans S, (gm )m∈N une suite d’intégrales oscillantes définies par :
Z
gm (τ ) =
eiτ φ(x) fm (x) dx
R`
12
et
Z
eiτ φ(x) f (x) dx
g(τ ) =
R`
Si pour tout m
gem (τ ) =
X
an (fm )en (τ )
n≥0
où, pour tout n, an est dans S 0 , alors la suite (gm )m converge uniformément
vers g et
X
ge(τ ) =
an (f )en (τ )
n≥0
Preuve : Par définition, pour tout N et tout m tel que m ≤ N , pour τ
tendant vers ∞
X
|gm (τ ) −
an (fm )en (τ )|eN (τ )−1 → 0
n≤N
et
(gm (τ ) −
X
an (fm )en (τ ))eN +1 (τ )−1 → aN +1 (fm )
n≤N
Donc pour tout τ0 il existe un entier M (N, τ0 ) tel que pour tout τ supérieur
ou égal à τ0 et tout m (puisque (fm )m converge, elle est bornée)
X
(gm (τ ) −
an (fm )en (τ ))eN +1 (τ )−1 ≤ M
n≤N
d’où
X
eN +1 (τ )
gm (τ ) −
an (fm )en (τ )eN (τ )−1 ≤ M
eN (τ )
n≤N
Par passage à la limite sur m nous obtenons
X
eN +1 (τ )
g(τ ) −
an (f )en (τ )eN (τ )−1 ≤ M
eN (τ )
n≤N
par conséquent pour tout N
g(τ ) −
X
an (f )en (τ ) = o eN (τ )
n≤N
Nous pouvons énoncer
Théorème 6.3. — Pour f dans S, nous avons ge = 0 pour τ → +∞. Autrement dit, g décroit plus vite que toute puissance de τ1 , g est à décroissance
rapide à l’infini.
13
Remarque : Nous utiliserons le même procédé pour l’obtention de ge lorsque
φ a un nombre fini de valeurs critiques. Dans ce cas G définie sur 0 par
Z
G(u) = i
Rn
f (x)
dx
φ(x) + iu
se prolonge à C \ ∪j≤m (R− + icj ) pour f dans Z (où les cj pour j = 1, . . . , m
sont les valeurs critiques de φ). Le passage au cas général se fait de la même
manière.
e
7. Remarque sur l’application G 7→ G
Soit Aos l’espace de tous les développements asymptotiques P
de la forme
donnée dans 3 et Aλ l’espace des développements de la forme k≥1 ak z λk
où (<λk )k≥1 est une suite croissante tendant vers +∞.
Supposons que Aos soit muni d’une topologie induisant sur Aλ la topologie
limite inductive ; alors Aλ est fermé. Soit Hλ le sous-espace de H(R∗+ + iR)
e soit dans Aλ . Alors Hλ n’est pas fermé et donc
des fonctions G telles que G
e n’est pas continue.
G 7→ G
Exemple 7.1. — Dans le disque D = {s ∈ C/|z − 1| < 1} (qui est isomorphe au demi-plan R∗+ + iR), on pose
X (1 − z)k
m→+∞
k
1≤k≤m
Log z = Log (1 − (1 − z)) = lim
et
X (1 − z)k
m→+∞
k
1≤k≤m
Fm (z) = lim
Fm admet un développement en série entière, (Fm )m≥1 converge vers z 7→
Log z dans H(D), mais z 7→ Log z n’a pas de développement en série entière
quand z tend vers 0 dans D.
14
8. Développement asymptotique d’intégrales oscillantes dont la phase
est une puissance d’une fonction sans point critique
Ici φ est égale à η m où η est analytique, η 0 ne s’annule pas et m ≥ 2, nous
supposons φ(0) = 0. Soit
Z
m
g(τ ) =
eiτ η(x) f (x) dx
R`
et
Z
G(u) = i
R`
f (x)
dx
φ(x) + iu
1
Soit u > 0 ; écrivons les solutions de θm + iu = 0 sous la forme : ξ j ζu m
1
où ξ est une racine primitive de 1, 1 ≤ j ≤ m, ζ m = −i et u m > 0. Nous
iπ
choisissons ζ = e 2m . Alors
m
X
aj
1
=
1
m
j
θ + iu
m
j=1 θ − ξ ζu
où aj =
1
1 1−m j m
ζ
ξ u −1 .
m
Comme ζ 1−m = iζ, il vient
1
m
ξj
1
iζu m −1 X
=
θm + iu
m j=1 θ − ξ j ζu m1
Ainsi
m
X
1
1
G(u) = − ζu m −1
ξj
m
j=1
Z
f (x)
1
R`
η(x) − ξ j ζu m
dx
Posons
Z
f (x)
dx
η(x) − ξ j ζv
Gj (v) =
R`
où v > 0 et
j = sgn(=(ξ j ζ)),
soit j = sgn(sin( 2πj
−
m
Pour tout entier n ≥ 0 :
(n)
Gj (v)
ξj ζ = e
2iπj
iπ
− 2m
m
π
).
2m
j
n
Z
= (ξ ζ) n!
R`
f (x)
dx
(η(x) − ξ j ζv)n+1
d’où
(n)
Gj (v)
1
lim
= (ξ j ζ)n h
, fi
v→0, v>0
n!
(η − ij 0)n+1
15
D’après la propriété 4
fj (v) =
G
X
(ξ j ζ)n v n h
n≥0
1
, fi
(η − ij 0)n+1
D’après la proposition 1.6
fj (u m1 ) =
G
X
1
(ξ j ζ)n u m h
n≥0
1
, fi
(η − ij 0)n+1
Par suite
m
X
e
G(u)
=
−
n≥0
ξ j(n+1)
ζ n+1 n+1 −1 X
u m
h
, fi
n+1
m
(η
−
i
0)
j
j=1
Posons
Tn =
m
X
j=1
ξ j(n+1)
(η − ij 0)n+1
Ce qui permet d’écrire sous forme plus condensée
1 X n+1 n+1 −1
e
G(u)
=−
ζ u m hTn , f i
m n≥0
Par partition de l’unité et difféomorphismes locaux, il suffit de traiter le cas
η(x) = x1 , soit d’effectuer un calcul en dimension 1. Supposons donc n = 1 :
(−1)n n!
1
1
n
=
(−1)
n!1
+ iπj δ (n)
(x − ij 0)n+1
xn+1
d’où
m
m
X
1
X
j(n+1)
j ξ j(n+1) δ (n)
(−1) n!Tn = (−1) n!
ξ
1 n+1 + iπ
x
j=1
j=1
n
n
où d’une part
m
X
ξ
j(n+1)
j=1
=
mξ n+1
0
si
si
n + 1 ≡ 0 [m]
n + 1 6≡ 0 [m]
P
j(n+1)
d’autre part, posons wn = m
.
j=1 j ξ
2jπ
π
Si n + 1 6≡ 0 [0], π > m − 2m > 0 si et seulement si 2m + 1 > 4j > 1, donc
j > 0
si et seulement si
1≤j≤
m 1
+
2
4
16
et
j < 0
m 1
+ <j≤m
2
4
si et seulement si
Si m est pair, m = 2m0
j > 0
si et seulement si
1 ≤ j ≤ m0
j < 0
si et seulement si
m0 < j ≤ m
Si m est impair, m = 2m00 + 1
j > 0
j < 0
1 ≤ j ≤ m00
si et seulement si
si et seulement si
m00 + 1 < j ≤ m
2iπ
Posons ξ = e m = ζ −4 . Si m est pair
m
wn =
2
X
ξ
j(n+1)
−
m
X
ξ j(n+1)
+1
j= m
2
j=1
soit
wn = ξ
n+1 (1
m
− ξ (n+1) 2 )2
1−ξ
Si m est impair
m−1
wn =
2
X
ξ
j(n+1)
ξ j(n+1)
j= m+1
2
j=1
wn = ξ
−
m
X
n+1 (1
− ξ (n+1)
1−ξ
m−1
2
)2
Donc pour tout m ≥ 2 et tout n ≥ 0
wn =
m
ξ n+1
(1 − ξ (n+1)[ 2 ] )2
1−ξ
D’où, modulo A, espace des séries asymptotiques entières :
1
e
G(u)
≡−
m
X
n≥0
(−1)n
n+1
iπζ n+1 wn (n)
hδ , f iu m −1
n!
n+1
m
iπ 1 X
e
(−ξζ)n+1 (1 − ξ (n+1)[ 2 ] )2 hδ (n) , f iu m −1
G(u)
≡
m 1 − ξ n≥0
17
Nous avons φ0 (x) = 0 si et seulement si η(x) = 0, il y a donc une sous-variété
de points critiques, la valeur critique étant 0 car φ(0) = 0. Mais nous sommes
ramenés à des calculs de développements déjà traités dans 6, donc :
(1)
iπ ζ
g(τ ) =
m ζ4 − 1
m
X
n≥0 n+16≡0 [m]
n+1
(−1)n ζ −3n (1 − ζ −4(n+1)[ 2 ] )
< δ (n) , f > τ − m
n+1
n!Γ(1 − m )
Remarques : Notons [G] la microfonction de C + (iR) définie par G, transformée de Laplace de l’intégrale oscillante g. Si g1 et g2 ont des transformées de
L APLACE G1 et G2 telles que [G1 ] = [G2 ], alors ge1 = ge2 et nous avons la
factorisation suivante :
G
J
J
^
J
ge
[G]
Nous remarquerons également que l’on a ge = 0 non seulement lorsque [G] =
0 mais aussi le développement de G, aux points de iR, est une série entière.
9. Transformées de Fourier des distributions définies par les fonctions
m
x 7→ ex :
R +∞ m
m
Posons hm (x) = ex et g(τ ) = −∞ ex τ f (x) dx.
Proposition 9.1. — La transformée de Fourier de hm au sens des distributions est définie par une fonction Hm admettant un développement en série
entière :
X
Hm (x) =
an x n
n≥0
Preuve : d’après l’équation différentielle satisfaite par Hm .
D’après Plancherel :
Z +∞
1
1
τ − m Hm (xτ − m )F −1 f (x) dx
g(τ ) =
−∞
18
R +∞
Proposition 9.2. — Soit F dans D(R), l’application t 7→ −∞ Hm ( xt )F (x) dx
admet un développement asymptotique quand t tend vers +∞ égal à :
Z +∞
X
−n
t an
xn F (x) dx
−∞
n≥0
R +∞ n
P
−n
Proposition 9.3. — L’application F 7→
t
a
x F (x) dx de
n
n≥0
−∞
S(R) dans A est continue.
R +∞
En effet, pour tout n ≥ 0, F 7→ −∞ xn F (x) dx est dans S 0 (R) et nous
avons :
Théorème 9.4. —
ge(τ ) =
X
n≥0
n+1
an
τ − m hδ (n) , f i
n
(2iπ)
g est la fonction vue en 8 dans le cas où η(x) = x1 . La formule 1 nous
donne l’expression de ge lorsque θ = ζ −4 , dans ce cas an s’écrit pour tout
n ≥ 0 et n + 1 6≡ 0 [m] :
m
ζ 1−3n (1 − zeta−4(n+1)[ 2 )2
an = (−2iπ)
m ζ4 − 1
n!Γ(1 − n+1
)
m
n −iπ
soit
3iπn
3iπ
iπ
m
2iπ
(−2)n π n+1 eiπn+ 2m + 2 − m
an =
(1 − e m (n+1)[ 2 ] )2
2iπ
n+1
−
mΓ(1 − m ) n!(e m − 1)
10. Développement asymptotique de la fonction de Airy :
Référence [1]
La fonction de Airy, A, est définie pour t > 0 par :
Z +∞
θ3
eitθ−i 3 dθ
A(t) =
−∞
1
Posons θ = vt 2 , il vient :
A(t) = t
1
2
Z
+∞
−∞
3
v3
eit 2 (v− 3 ) dv
19
1
Faisons le changement de variables τ = t 2 , nous sommes amenés à calculer
le développement asymptotique de g définie par :
Z +∞
v3
g(τ ) =
eiτ (v− 3 ) dv
−∞
3
Les points critiques de la phase v 7→ v− v3 sont 1 et -1, ils sont non dégénérés,
les valeurs critiques sont 32 et − 23 .
Soit f dans D(R) égale à 1 dans un voisinage des points critiques. Le support
de 1 − f ne contient pas les points critiques, donc
Z +∞
v3
(1 − f (v))eiτ (v− 3 ) dv
−∞
est à décroissance rapide en τ à +∞ et
Z +∞
v3
f (v)eiτ (v− 3 ) dv
−∞
a le même développement asymptotique (modulo les fonctions à décroissance
R +∞
v3
rapide) que −∞ eiτ (v− 3 ) dv.
Soient f1 et f2 dans D(R) égales à 1 respectivement dans des voisinages de 1
et -1. Posons pour j = 1 ou j = 2 :
Z +∞
v3
j2
gj (τ ) =
eiτ (v− 3 +(−1) 3 ) dv
−∞
puis :
2iτ
2iτ
g0 (τ ) = e 3 g1 (τ ) + e− 3 g2 (τ )
de sorte que ge0 = ge. Il suffit donc de calculer pour j égal à 1 ou à 2, les
développements asymptotiques en 0 de :
Z +∞
fj (v)
Gj (u) =
dv
3
v
j2
−∞ − 3 + v + (−1) 3 + iu
3
Développons G1 ; l’équation − v3 + v + (−1)j 23 + iu = 0 d’inconnue v,
définit une fonction algébrique de u, elle admet un développement en série
de
au voisinage
de 0. Pour le calculer nous posons u = w2 , v =
P P UISEUX
P
n
3
n
3
2
n≥0 an w et v =
n≥0 cn w . Nous obtenons c0 = a0 , c1 = 3a0 a1 etc...
Le calcul se fait par récurrence et l’on trouve que :
a0 = 1, a21 = i, il y a deux solutions correspondant à deux branches :
a2 = −
a21
5a3
a4
7 × 11a51
, a3 = 3 12 , a4 = − 31 , a5 =
···
2×3
23
3
27 33
20
Notons v1 et v2 les solutions qui tendent vers 1 quand u tend vers 0 avec
 0,
X
v1 (w2 ) =
an w n
n≥0
v2 (w2 ) =
X
(−1)n an wn
n≥0
Notons v3 la troisième solution (qui correspond à a0 = −2). Il existe des
fonctions A1 , A2 et A3 telles que l’on ait la décomposition :
3
− v3
A1 (u)
A2 (u)
A3 (u)
fj (v)
=
+
+
2
v − v1 (u) v − v2 (u) v − v3 (u)
+ v + 3 + iu
Soit Aj (u) = ivj0 (u) pour j = 1 et 2.
Au voisinage de u, 0 :
Z +∞
A3 (u)
u 7→
f1 (v) dv
−∞ v − v3 (u)
admet un développement en série entière et donc que sa contribution à g est
nulle modulo les fonctions à décroissance rapide. Il nous faut donc développer, pour j = 1 et j = 2 :
Z +∞
f1 (v)
u 7→ Aj (u)
dv
−∞ v − vj (u)
Pour cela on utilise le fait que lorsque z tend vers 0 avec <z > 0 :
Z +∞
X
f1 (v)
1
dv ∼
znh
, f1 i
(v − i0)n+1
−∞ v − z
n≥0
1
π
et la proposition 1.6. Comme =v1 (u) ∼ =a1 u 2 , en choisissant a1 = ei 4 , il
vient :
Z +∞
X
f1 (v)
1
dv ∼
(v1 (u) − 1)n h
, f1 i
n+1
(v
−
1
−
i0)
−∞ v − v1 (u)
n≥0
et de même :
Z +∞
−∞
X
f1 (v)
1
dv ∼
(v2 (u) − 1)n h
, f1 i
v − v2 (u)
(v − 1 + i0)n+1
n≥0
d’où le développement :
+∞
Z +∞
f1 (v)
f1 (v)
A1 (u)
dv + A2 (u)
dv ∼
−∞ v − v1 (u)
−∞ v − v2 (u)
X
n
n n
0
0
(−1) v1 (u) v1 (u) − 1 + v2 (u) v2 (u) − 1
hPf
Z
21
n≥0
1
, f1 i +
(v − 1)n+1
X n
n i (n)
hδ , f1 i
i v10 (u) v1 (u) − 1 − v20 (u) v2 (u) − 1
n! (1)
n≥0
Or le premier terme donne un développement en série entière. En effet pour
tout n ≥ 0 :
n
n
u 7→ v10 (u) v1 (u) − 1 + v20 (u) v2 (u) − 1
est la dérivée de :
n+1
n+1
u 7→ v1 (u) − 1
+ v2 (u) − 1
qui est un polynôme symétrique en v1 et v2 , donc un polynôme en les coefficients de (v − v1 )(v − v2 ) qui sont holomorphes en u. Donc, modulo les séries
entières asymptotiques, il reste :
X 1
n
n (n)
−
v10 (u) v1 (u) − 1 − v20 (u) v2 (u) − 1
hδ(1) , f1 i
n!
n≥0
Mais ici f1 est égale à 1 dans un voisinage de 1, il ne reste donc que :
1
n−1
u− 2 X
0
0
−π v1 (u) − v2 (u) = −π
nan (1 − (−1)n )u 2
2 n≥1
Les termes d’indices pairs disparaissent. Posons n = 2m + 1, il vient :
1
u− 2 X
−π
(2m + 1)a2m+1 2um
2 m≥0
d’où
f1 (u) = −iπu− 12
G
X
(2m + 1)a2m+1 um
m≥0
Développons G2 . Soient
(2)
(3)
v3
+v−
3
v3
− +v+
3
−
2
+ iw2 = 0
3
2
+ iw2 = 0
3
mod[A]
22
3
(1) peut encore s’écrire − (−v)
+ (−v) + 32 + i(iw)2 = 0, donc si v(w) est
3
solution de (1), −v(iw) est solution de (2). Si nous notons V1 , V2 et V3 les
3
solutions de − v3 + v + 23 + iu = 0, nous avons, en utilisant les calculs précédents :
X
V1 (u) = −
an i n w n
n≥0
V1 (u) = −
X
(−1)n an in wn
n≥0
V1 et V2 tendent vers -1 quand u tend vers 0 avec 0 et comme pour G1
nous obtenons pour j = 1 ou j = 2 :
Z +∞
X
n
1
f2 (u)
dv
∼
V
(u)+1
h
, f2 i
j
3
v
2
j+1 i0 n+1
−∞ − 3 + v + 3 + iu
v
+
1
+
(−1)
n≥0
D’où
f2 (u) = −iπ V20 (u) − V10 (u)
G
or
V20 (u) − V10 (u) =
mod[A]
n n
in an (−1 + (−1)n ) u 2 −1
2
n≥1
X
mod[A]
Les termes d’indices pairs disparaissent, posons n = 2m + 1, il vient :
X
f2 (u) = πu− 12
G
(−1)m (2m + 1)a2m+1 um
m≥0
Appliquant le lemme (***) et le théorème (***) à G1 et G2 :
ge1 (τ ) = −iπ
ge2 (τ ) = π
X
X (2m + 1)a2m+1
1
τ −m− 2
1
Γ(−m + 2 )
m≥0
(−1)m
m≥0
mais ge(τ ) = e
2iτ
3
ge(τ ) = π
ge1 (τ ) + e−
2iτ
3
(2m + 1)a2m+1 −m− 1
2
τ
Γ(−m + 12 )
ge2 (τ ), d’où :
X (2m + 1)a2m+1
2iτ
2iτ
1
(−ie 3 + (−1)m e− 3 )τ −m− 2
1
Γ(−m + 2 )
m≥0
2iτ
2iτ
iπ
Pour m pair : −ie 3 + (−1)m e− 3 = 2e− 4 sin( 2τ3 + π4 )
2iτ
iπ
2iτ
Pour m impair −ie 3 + (−1)m e− 3 = −2e 4 cos( 2τ3 + π4 )
d’où
23
ge(τ ) =
X (4p + 3)a4p+3 iπ
X (4p + 1)a4p+1 iπ
3
2τ
2τ
π −2p− 1
π
−4
2 − 2
4 cos(
2
sin(
e
+
)τ
+ )τ −2p− 2
1
1 e
3
4
3
4
Γ(−2p + 2 )
Γ(−2p − 2 )
p≥0
p≥0
iπ
Posons an = dn an1 (a1 = e 4 ), alors
iπ
e− 4
(4p + 1)a4p+1
= (−1)p d4p+1
Γ(−2p + 12 )
de même
iπ
e4
(4p + 3)a4p+3
= (−1)p d4p+3
1
Γ(−2p − 2 )
Finalement (comparer avec [1]) :
e = t 21 ge(t 32 )
A(t)
soit
2πt
1
4
3
3
2t 2 π
2t 2 π X
p
−3p
p
−3p− 23
sin(
+ )
(−1) d4p+1 t −cos(
+ )sump≥0 (−1) d4p+3 t
3 4 p≥0
3 4
11. Développement de Airy généralisées
Référence [8]
Les fonctions de Airy généralisées sont les fonctions définies par : (τ 6= 0)
Z ∞
m−2 θ m
A(x1 , . . . , xm−2 , τ ) =
eiτ (x1 θ+···+xm−2 θ + m ) dθ
−∞
m
Posons x = (x1 , . . . , xm−2 ) et P (x, θ) = x1 θ + · · · + xm−2 θm−2 + θm et pour
k = 1, . . . , m − 1
∂kP
(x, θ) = 0}
∂θk
Σk = ∩kj=1 Sj \ Sk+1 ∩ ∩kj=1
sk = {(x, θ) ∈ Rm−1 /
((x, θ) ∈ Σk si et seulement si θ est racine d’ordre k + 1 du polynôme P (x, .).
Remarque : D’après le théorème des fonctions implicites, il existe Q, continûment dérivable telle que au voisinage de (x, θ1 ) dans S3 \ S4 : θ = Q(x).
24
Soient θ0 , . . . , θr les points critiques de θ 7→ P (x, θ). Pour tout j, j = 1, . . . , r
il existe kj tel que :
(x, θj ) ∈ Σkj
Soient f0 , . . . , fr des fonctions de D(R) telles que pour tout j, 1 ≤ j ≤ r fj
soit nulle au voisinage de θk pour k 6= j et égale à 1 dans un voisinage de θj .
Ainsi, pour τ tendant vers +∞
Z ∞
r
X
iτ P (x,θ)
A(x, τ ) ∼
e
fj (θ) dθ
−∞
Posons
Z
j=0
∞
Aj (x, τ ) =
eiτ P (x,θ) fj (θ) dθ
−∞
et notons Aj la transformée de Laplace de Aj :
Z ∞
fj (θ)
dθ
Aj (x, u) = i
−∞ P (x, θ) + iu
fj s’obtient à l’aide de A
fj d’après Watson.
A
Nous supposons que θ0 = 0 est point critique, la valeur critique de x 7→
f0 , les autres cas se ramènent à celui–ci par
P (x, θ) est donc 0. Calculons A
translation.
L’équation P (x, θ) + iu = 0 définit une fonction algébrique θ de u (et x).
Supposant (x, θ) ∈ Σs−1 , θ s’exprime, au voisinage de 0, à l’aide d’une série
de Puiseux en u. Posons u = ws , il vient, une détermination du logarithme
étant choisie) :
θm−s 1
−iws = θs (xs + xs+1 θ + · · · +
)s
m
w est donc une fonction holomorphe inversible de θ, d’où l’existence de fonctions an telles que, pour u assez petit :
X
n
θ=
an (x)u s
n≥1
1
Soient ξ une racine primitive s–ième 1, ( −i
) s une racine s–ième de ( −i
).
xs
xs
Alors il existe s fonctions a1,j telles que :
−i 1
a1,j (x) = ξ j ( ) s
xs
d’où, par récurrence, s fonctions hj de x et de u telles que :
P (x, hj (x, u)) + iu = 0
25
Les fonctions an sont bornées sur tout compact de {x/xj = 0, j = 1, . . . , s −
1 xs 6= 0}. Au voisinage de 0, pour u assez petit :
X Bj (x, u)
1
=
+ R(θ, x, u)
P (x, θ) + iu 1≤j≤s θ − hj (x, u)
où u 7→ R(θ, x, u) se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de
e = 0 modulo les séries entières asymptotiques et
0, i.e. R
∂P
−1
Bj (x, u) =
(x, hj (x, u))
∂θ
ou
∂hj
Bj (x, u) = i
(x, u)
∂u
R +∞ f0 (θ)
dθ :
Développement de −∞ θ−h
j (x,u)
1
) s ), alors
Soit j =sgn(=ξ j ( −i
xs
lim
u→0, u>0
1
1
=
θ − hj (x, u)
θ − ij 0
d’après la propriété 4
Z +∞
X
1
f0 (θ)
(hj (x, u))n h
, f0 i
dθ ∼
(θ − ij 0)n+1
−∞ θ − hj (x, u)
n≥0
ce nous écrirons
X
1
1
∼
(hj (x, u))n
θ − hj (x, u) n≥0
(θ − ij 0)n+1
Posant
T =i
il vient
T ∼i
X ∂hj
1
(x, u)
∂u
θ − hj (x, u)
1≤j≤s
X X ∂hj
1
(x, u)(hj (x, u))n
∂u
(θ − ij 0)n+1
1≤j≤s n≥0
Posons
Tn = i
X ∂hj
1
(x, u)(hj (x, u))n
∂u
(θ − ij 0)n+1
1≤j≤s
nous avons
X
X
∂hj
1
∂hj
n
n
n
Tn =
j
(x, u)(hj (x, u)) (−1) n! Pf n+1 + iπ
(x, u)(hj (x, u)) δ (n)
∂u
θ
∂u
1≤j≤s
1≤j≤s
26
P
P
∂h
1
n+1
Or u 7→ 1≤j≤s ∂uj (x, u)(hj (x, u))n est la dérivée de u 7→ n+1
1≤j≤s (hj (x, u))
qui est fonction symétrique des hj qui sont conjuguées par rapport à un polynôme à coefficients holomorphes en u (ce sont des polynômes) c’est donc
une fonction rationnelle de ces coefficients, elle est donc holomorphe en u au
voisinage de {u ∈ C/ 0}.
Donc, modulo les séries entières asymptotiques
X
∂hj
n
(x, u)(hj (x, u)) δ (n)
Tn = iπ
j
∂u
1≤j≤s
P
Comme T ∼ n≥0 Tn , il vient :
X X ∂hj
T ∼ −π
(x, u)(hj (x, u))n δ (n)
j
∂u
n≥0 1≤j≤s
et
hT, f0 i ∼ −π
X ∂hj
(x, u) modA
∂u
1≤j≤s
d’où finalement :
f0 (x, u) = −iπ
A
X
1≤j≤s
j
gj
∂h
(x, u) modA
∂u
Note : Les développements asymptotiques des dérivées partielles de A se
traitent de la même manière, il suffit de remplacer les fonctions fj par des
fonctions Rfj où R est un polynôme et d’utiliser le développement ci–dessus.
27
Références
[1] Milton A BRAMOWITZ and Irene S TEGUN, Handbook of mathematical functions, Dover, 1972.
[2] Nicolas B OURBAKI, Fonction d’une variable réelle, Diffusion CCLS, 1976.
[3] Brian DAVIES, Integral transform and their applications, Applied mathematical
sciences no 25, Springer, 1978.
[4] Jean D IEUDONNÉ, Calcul infinitésimal, Hermann, 1968.
[5] J.J. D UISTERMAAT, The light in the neighborhood of a caustic, Lecture notes
in mathematics 490, Springer, 1974.
[6] IM G UELFAND et GE C HILOV, Distributions, Dunod, 1961.
[7] Alexander G ROTHENDIECK, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, Memoirs of the AMS number 16, American mathematical society,
1955.
[8] Victor G UILLEMIN and Shlomo S TERNBERG, Geometrics asymptotics, Mathematical surveys number 14, American mathematical society, 1977.
[9] Lars H ÖRMANDER, Fourier integral operators i, Acta mathematica 127 (1971),
79–183.
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[16] Wolfgang WASOW, Asymptotic expansions for ordinary differential equations,
Interscience, 1965.
28
Index
échelle de comparaison, 2
multiplicative, 2
Bernstein-Sato, 6
espace nucléaire, 7
Fonction de Airy, 18
front d’onde, 9
1981
J EAN -PAUL V INCENT
hyperfonction, 7
microfonction, 7
série de Puiseux, 24
topologie projective, 7
Watson, 4

SUR LA MÉTHODE DE LA PHASE STATIONNAIRE par Jean

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