Courrier du lecteur

Courrier du lecteur
a/s Christian Boissinotte, 6030, rue Marquette H2G 2Y2
Téléphone : {514) 596-7944 • Télécopieur : (514) 596-7324
Comme vous pouvez le constater, le courrier du lecteur a pris de l'expansion!
N'hésitez pas à utiliser ce lieu privilégié d'échanges entre les lecteurs. Vous y. trouverez cette fois-ci, une
invitation de Gérald St-Amand, une prise de position terminologique de trois docteurs en mathématiques
québécois, une remarque de M. Garançon, professeur à l'UQAM, à propos de mon article «Sur la droite
d'Euler» et une solution au problème de février par M. Fontaine. Je réponds aussi à M. Nadon sur le «cos
36° sans calculatrice», je donne une solution au problème de la feuille pliée, et je vous présente le nouveau problème du lecteur.
M. Garançon a également soumis pas moins de 4 solutions différentes au problème du lecteur. Je vous
présente 2 de ces solutions dans un article séparé. Finalement, je vous invite à m'expédier des problèmes
que vous trouvez intéressants (avec la source si possible): en effet, j'aimerais beaucoup que le problème
du lecteur provienne d'un lecteur.
Université d'été Cabri-géomètre
L'équipe EIAH* du laboratoire Leibniz, l'IUFM* et
riREM* de Grenoble organisent la seconde
Université d'été «Cabri-géomètre».
gru», nous vous présentons les définitions ci-dessous
tirées de dictionnaires dignes de ce nom.
Congruence
Égalité de figures géométriques (dites congruentes).
Caractère de deux nombres congrus.
Thème retenu : Cabri-géomètre, de l'ordinateur à la
calculatrice. De nouveaux outils pour l'enseignement
Le Robert Dictionnaire de la langue ftançaise, 1992, 9 volumes, volume
de la géométrie.
2, p. 821.
Lieu : Grenoble (France)
Nombres congrus par rapport à im troisième.
Nombres dont la différence est divisible par ce
Dates : du lundi 8 juillet au vendredi 12 juillet 1996.
dernier.
Pour plus d'informations, allez visiter le nouveau site
Web de Cabri à l'adresse suivante :
http://www-cabri.imag.fr/CabriWeb/
• Nouveau : J'ai le plaisir d'animer un tout nouveau site :
http://www.odyssee.net/~gstamand/index.html
Le Robert Dictionnaire de la langue française, 1992, 9 volumes, volume
2, p. 822
Congruentes
Figures congruentes du plan euclidien R^ ou de
l'espace euclidien
Synonyme de figures directement isométriques.
Intuitivement, deux figures sont congruentes si, en
les déplaçant, on peut les superposer.
Dictionnaire des mathématiques, A. Bouvier et M. George, Presses uni-
• ElAH : Environnements Informatiques d'Apprentissage Humain
lUFM : Institut Universitaire de Formation des Maîtres
IREM : Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques
versitaires de France, 1983, p. 158.
Congruence (Modulo)
[...]
De façon générale, si n est im entier strictement
positif, on dit que deux entiers relatifs x et y sont
congrus modulo n si leur différence est un multiple
de n. On note: x = y (mod n) et on lit: «x est congru
à y modulo n».
Gérald St-Amand
Collège Notre-Dame
Les dictionnaires du savoir moderne, les mathématiques, V. Pesez et ai,
Paris, 1973, p. 223.
«Je congrue, tu congrues, il congrue,
nous congruons, vous congruez, ils congruent»
Question d'alimenter vos réflexions sur le débat
sémantique entourant les termes «congruent)) et «conENVOL
Par exemple, l'expression 5 = 1 (mod 2) se lit:
«5 est congru à 1 modulo 2» et signifie que leur différence est divisible par 2.
Au Québec, dans les écoles secondaires, on emploie à
tort le terme «congru» pour qualifier des figures
géométriques isométriques. Le terme correct en l'oc- AVRIL 96 9
cxirence est «congruent)). En mathématiques, le terme
«congru» est utilisé en théorie des nombres et non en
géométrie!
Serge Maurer, Ph.D.
Claude Piché, Ph.D.
Luc Lalague, Ph.D.
N.D.L.R. : Le débat se situe au niveau des figures
géométriques. Bouvier exclut les cas où il y a retournement
du plan quand il utilise le terme «congruent)). Je vous invite à
alimenter ce débat en nous communiquant d'autres sources.
Réponse à «Sur la droite d'Euler...» (nov. 9S)
Relativement à votre article «Sur la droite d'Euler)) du
numéro 93, et à propos de votre question sur le fait
que NH = -§- TH. La réponse est oui, ce résultat est
bien connu et en fait il est évident une fois que
l'alignement est démontré. Voici un extrait de votre
figure dans laquelle j'ai ajouté, passant par N, xme
droite parallèle à la droite (TM).
À propos de «cos 36° sans calculatrice»
O.RNadon fév.96)
Voici ime variante basée sur le fait que la somme des
angles dans le triangle donne 180°. Posons B = 36°.
On a sin 13
= sin ( 180° - 4B )
= sin ( 46 )
= 2 sin ( 2B ) cos ( 26 )
= 4 sin6 cos6 (2 cos26 -1)
En divisant par sin6, on obtient :
8 C O S 3 6 - 4 C O S 6 - 1 = 0 (1)
Aussi, COS 6
= cos ( 180° - 46 )
( 46 )
= 1 - 2 COS226
= 1 - 2 (2 cos^e -1)2
= - COS
Ce qui donne:
8 cos'^6 - 8 cos26 + cos6 +1 = 0 (2)
La valeur recherchée est un zéro commun de (1) et (2).
8 cos'^6 - 4 cos26 - cosB = 0
(1) x cos6
8 cos'^6 - 8 cos^e + cos6 + 1=0
(2)
En soiitrayant, on a: 4 cos26 - 2 cos6 - 1 = 0
et on termine de la même façon.
Les droites (TM) et (AH) sont paraUèles puisque perpendiculaires au côté [CB] ((TM) en est la médiatrice
et (AH) la hauteur issue de A). Avec la droite ajoutée
passant par N, nous avons donc trois parallèles. Le
segment [AM] est une médiane du triangle et N est
l'intersection des médianes, donc NA = -j- MA et par
le théorème de Thalès tout segment ayant une
extrémité sur (TM) et vuie autre sur (AH) sera divisé
par la troisième droite dans le rapport -§-, donc ici
NH = -f TH.
Christian Boissinotte
Une solution au problème de la feuille pliée
Plusieurs approches sont possibles; en voici une.
A
Pour terminer, je vous répète ce que je vous ai dit au
téléphone, j'apprécie beaucoup votre revue et je la
conseille à mes étudiants (futurs maîtres en mathématiques au secondaire).
Sincèrement vôtre,
B est l'image de A par ime réflexion d'axe CD.
Soit O le milieu de AB. Alors O est également le
milieu de EC car EB et AC sont parallèles. En plus.
Maurice Garançon,
département de mathématiques UQAM
8
ENVOL
- AVRIL 96 8
AB et EC sont perpendiculaires donc BEAC est un
losange (4 côtés égaux).
Donc EG = EB - CF = y - x
Aussi, EG = VEC2 - GC2 = Vb2 - a2
a2 = B F 2 = B C 2 - C F 2 = y2 - x2 = ( y-x )( y+x )
AD = AF, car ce sont deux tangentes à un cercle
issues d'un même point. AD= AF = rayon d'un cercle
de centre A. De même, BD = BE = rayon d'un cercle
de centre B et CE = CF = rayon d'un cercle de
centre C.
r2-
Donc h = y + x = K2 o2
(y-.
b -a
Si p = 2b est la longueur de la pliure et L = 2a est la
largeur de la feuille.
alors h =
u2
,2
b -a
^(p^-L^)
Christian Boissinotte
Une réponse au problème du lecteur (fév. 96)
Soient les points A, B, C, non colinéaires dans un
plan. On trace un triangle dont les sommets sont A,
B et C. Le point de rencontre 0 des bissectrices des
angles du triangle est le centre du cercle inscrit dans
le triangle. Ce cercle est tangent à chacun des côtés
du triangle respectivement aux points D, E et F.
Les cercles sont tangents car dans chacim des cas, la
distance entre les centres est égale à la somme des
rayons.
Émile Fontaine
Saint-Jérôme
Le nouveau PROBLEME DU LECTEUR
Démontrez l'affirmation suivante, ou alors prouvez qu'elle est fausse.
«L'aire du triangle T2 formé par les bissectrices des angles extérieurs d'un triangle T1 est égaie au
périmètre de T1 multiplié par le rayon du cercle circonscrit à Tl.»
Vos réponses doivent me parvenir avant la date de tombée.
ENVOL
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