Développement d`une fonction en série entière

Développement d’une fonction en série entière. Exemples et
applications
Dans ce chapitre, K désignera R ou C. B(0; R) désignera la boule ouverte de centre 0 et de rayon
R > 0.
1
Généralités
Définition 1 Soit f une application de K dans K. On dit que f est développable en série entière en
P
0 s’il existe une série entière
an xn de rayon de convergence R > 0 et un voisinage V de 0 tels
n>0
que :
∀x ∈ V ∩ B(0; R),
f (x) =
+∞
X
an xn .
n=0
Si z0 ∈ K, on dit que f est développable en série entière en z0 s’il existe une série entière
P
an z n
n>0
de rayon de convergence R > 0 et un voisinage V de z0 tels que :
∀z ∈ V ∩ B(z0 ; R),
f (z) =
+∞
X
an (z − z0 )n .
n=0
Remarque : Si z0 ∈ K, alors f admet un développement en série entière en z0 si et seulement si
la fonction g définie sur K par g(z) = f (z + z0 ) admet un développement en série entière en 0. C’est
la raison pour laquelle nous nous intéresserons dans la suite aux développements en série entière en
0.
2
Séries de Taylor
Proposition 1 Soit f une fonction de R dans K, développable en série entière en 0. Il existe un
P
voisinage V de 0 et une série entière
an xn de rayon de convergence R > 0 telle que :
n>0
∀x ∈ V ∩] − R; R[,
f (x) =
+∞
X
n=0
Alors f est de classe C ∞ sur V ∩] − R; R[ et :
∀n ∈ N,
an =
1
f (n) (0)
.
n!
an xn .
Développement d’une fonction en série entière. Exemples et applications
Preuve - Notons S la fonction somme. S est définie sur ] − R; R[ par :
+∞
X
S(x) =
an xn .
n=0
On sait que S est de classe C ∞ sur ] − R; R[ et que :
∀n ∈ N,
an =
S (n) (0)
.
n!
(voir le chapitre sur les séries entières). f et S coı̈ncident sur V ∩] − R; R[ donc f est de classe C ∞
sur V ∩] − R; R[ et on a :
∀n ∈ N,
an =
f (n) (0)
S (n) (0)
=
.
n!
n!
2
Définition 2 Si f est une fonction de R dans K, développable en série entière en 0, la série
P f (n) (0) n
n! x est appelée série de Taylor de f en 0.
n>0
Remarque : La réciproque de la proposition 1 est fausse. En effet, considérons la fonction f définie
sur R par :
f (x) =
(
1
e− x2 si x 6= 0
0 si x = 0
f est de classe C ∞ sur R∗ . Montrons par récurrence la propriété suivante :
∀n ∈ N,
x ∈ R∗ ,
∃Pn ∈ R[X],
f (n) (x) =
Pn (x) − 12
e x .
x3n
Pour n ∈ N, notons P r(n) la propriété :
x ∈ R∗ ,
∃Pn ∈ R[X],
f (n) (x) =
Pn (x) − 12
e x .
x3n
n = 0 : P0 = 1 donc P r(0) est vraie ;
n = 1 : f est dérivable sur R∗ et on a :
∀x ∈ R∗ ,
f ′ (x) =
2 − 12
e x
x3
donc P1 = 2 et donc P r(1) est vraie ;
Soit n ∈ N∗ . Supposons P r(n) vraie :
∀x ∈ R∗ ,
f (n) (x) =
Pn (x) − 12
e x .
n3n
f (n) est dérivable sur R∗ et on a :
∀x ∈ R∗,
f
(n+1)
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(x) =
x3 Pn′ (x) + 3nx2 Pn (x) + 2Pn (x)
x3(n+1)
1
e− x2 .
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Développement d’une fonction en série entière. Exemples et applications
Donc P r(n + 1) est vraie et donc P r(n) est vraie pour tout n ∈ N.
Pour tout entier naturel n, f (n) est continue en 0, f (n) est dérivable sur R − {0} et f (n+1) admet
0 pour limite en 0 donc f (n) est dérivable en 0 et f (n+1) (0) = 0. Par conséquent, f admet 0 comme
développement en série de Taylor en 0, mais f ne s’annulant qu’en 0, il n’existe pas de voisinage V
de 0 tel que :
∀x ∈ V, f (x) =
+∞ (n)
X
f (0)
n!
n=0
xn = 0.
Proposition 2 Soient V un voisinage de 0 dans R, f une fonction de V dans K admettant un
P
développement en série entière en 0, noté
an xn .
n>0
– Si f est paire, alors : ∀n ∈ N,
a2n+1 = 0 ;
– Si f est impaire, alors : ∀n ∈ N,
a2n = 0.
Preuve - Notons R le rayon de convergence de la série
P
an xn . On a :
n>0
∀x ∈ V ∩] − R; R[,
+∞
X
f (x) =
an xn .
n=0
Soit I un intervalle sentré en 0, inclus dans V ∩] − R; [R[. Soit g la fonction définie sur I par
g(x) = f (−x). On a :
∀X ∈ I,
+∞
X
g(x) =
n
an (−x) =
+∞
X
(−1)n an xn .
n=0
n=0
Si f est paire, alors f = g, c’est-à-dire :
∀x ∈ I,
f (x) =
+∞
X
n
an x =
+∞
X
(−1)n an xn .
n=0
n=0
Le développement en série entière étant unique, on en déuit :
(−1)n an = an .
∀n ∈ N,
Pour n impair, on a alors −an = an , c’est-à-dire an = 0.
Soit h la fonction définie sur I par h(x) = −f (−x). On a :
∀x ∈ I,
h(x) = −
+∞
X
an (−x)n =
+∞
X
(−1)n+1 an xn .
n=0
n=0
si f est impaire, alors f = h, donc :
∀x ∈ I,
f (x) =
+∞
X
n=0
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an xn =
+∞
X
(−1)n+1 an xn .
n=0
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Développement d’une fonction en série entière. Exemples et applications
Le développement en série entière étant unique, on en déduit :
(−1)n+1 an = an .
∀n ∈ N,
Pour n pair, on a alors −an = an , c’est-à-dire an = 0.
2
Proposition 3 Soient a > 0, f une fonction définie sur ] − a; a[, à valeurs dans K, de classe C ∞ .
Soit n ∈ N. La formule de Taylor avec reste intégral donne :
Z x
n
X
f (k) (0) k
(x − t)n (n+1)
∀x ∈] − a; a[, f (x) =
x +
f
(t)dt.
k!
n!
0
k=0
Pour que f soit développable en série entière en 0, il faut et il suffit qu’il existe b ∈]0; a] tel que :
Z x
(x − t)n (n+1)
f
(t)dt −−−−−→ 0.
∀x ∈] − b; b[,
n→+∞
n!
0
Preuve - Supposons que f soit développable en série entière en 0. Il existe alors une série entière
P
an xn de rayon de convergence R > 0 et un voisinage V de 0 inclus dans ] − a; a[ tels que :
n>0
∀x ∈ V ∩] − R; R[,
f (x) =
+∞
X
an xn .
n=0
Soit b ∈]0; a] tel que ] − b; b[⊂ V ∩] − R; R[. D’après la proposition 1, on a :
∀n ∈ N,
Soit x ∈] − b; b[. Soit n ∈ N.
f (x) −
n
X
f (k) (0)
k!
k=0
c’est-à-dire
Z
x
0
an =
f (n) (0)
.
n!
xk −−−−−→ 0
n→+∞
(x − t)n (n+1)
f
(t)dt −−−−−→ 0.
n→+∞
n!
Supposons maintenant qu’il existe b ∈]0; a] tel que :
Z x
(x − t)n (n+1)
∀x ∈] − b; b[,
f
(t)dt −−−−−→ 0.
n→+∞
n!
0
Soient n ∈ N, x ∈] − b; b[.
n
X
f (k) (0)
k=0
Donc
P
k>0
f (k) (0) k
k! x
k!
xk = f (x) −
Z
0
x
(x − t)n (n+1)
f
(t)dt −−−−−→ f (x).
n→+∞
n!
converge vers f (x) et ceci pour tout x ∈] − b; b[. Le rayon R de
0 < b 6 R et donc f est développable en série entière en 0.
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P
k>0
f (k) (0) k
k! x
vérifie
2
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3
3.1
Opérations sur les séries entières
Combinaison linéaire
Proposition 4 Soient λ ∈ K, f et g deux applications de K dans K admettant pour développements
P
P
en série entière respectifs
an z n et
bn z n . Alors f + λg est développable en série entière en 0
n>0
n>0
et on a au voisinage de 0 :
(f + λg)(x) =
+∞
X
(λan + bn )z n .
n=0
Preuve -
Notons R et R′ les rayons de convergences respectifs de
P
an z n et
n>0
P
bn z n . f est
n>0
développable en série entière en 0 donc R > 0 et il existe un voisinage V de 0 tel que :
∀z ∈ V ∩ B(0; R),
f (z) =
+∞
X
= an z n .
n=0
g est développable en série entière en 0 donc R′ > 0 et il existe un voisinage V ′ de 0 tel que :
∀z ∈ V ′ ∩ B(0; R′ ),
g(z) =
+∞
X
= bn z n .
n=0
Le rayon R1 de la série entière
et R′ > 0. Soit V ′′ = V ∩ V ′ . V
P
(λan + bn )z n est strictement positif car R1 > min(R, R′ ), R > 0
n>0
′′ est
un voisinage de 0 et on a :
∀z ∈ V ′′ ∩ B(0; R1 ),
(λf + g)(x) =
+∞
X
(λan + bn )z n .
n=0
(voir le chapitre sur les séries entières).
3.2
2
Produit
Proposition 5 Soient f et g deux applications de K dans K admettant pour développements en
P
P
série entière respectifs
an z n et
bn z n . Alors fg est développable en série entière en 0 et on a
n>0
n>0
auvoisinage de 0 :
(f g)(z) =
+∞
X
an z
n=0
où
∀n ∈ N,
n
!
+∞
X
bn z
n=0
cn =
n
X
n
!
=
+∞
X
cn z n
n=0
ak bn−k .
k=0
P
Preuve - Reprenons les notations de la preuve de la proposition 4. Considérons la série
cn z n ,
n>0
P
P
produit de Cauchy de
an z n et
bn z n . Notons R2 le rayon de convergence de cette série. R2 > 0
n>0
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n>0
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car R2 > min(R, R′ ), R > 0 et R′ > 0. On sait que pour tout z ∈ C vérifiant |z| < R2 , on a :
! +∞
! +∞
+∞
X
X
X
n
n
cn z n
=
an z
bn z
n=0
n=0
n=0
c’est-à-dire
(f g)(z) =
+X
i nf ty
cn z n .
n=0
f g est donc développable en série entière en 0, le développement étant donné ci-dessus.
3.3
2
Dérivation
Proposition 6 Soit f une application de R dans K, développable en série entière en 0, dont le
P
développement est
an xn . Alors f ′ est développable en série entière en 0 et au voisinage de 0 :
n>0
f ′ (x) =
X
nan xn−1 .
n>1
Preuve - Soit R le rayon de convergence de la série
P
an xn .R > 0 et il existe un voisinage V de
n>0
0 tel que :
∀x ∈ V ∩] − R; R[,
f (x) =
+∞
X
an xn .
n=0
On sait que f est de classe C ∞ sur V ∩] − R; R[ (voir chapitre sur les séries entières). On sait par
ailleurs que :
∀x ∈ V ∩] − R; R[,
+∞
X
an xn
n=0
donc
∀x ∈ V ∩] − R; R[,
!′
f ′ (x) =
=
+∞
X
nan xn−1
n=1
+∞
X
nan xn−1 .
n=1
Le rayon de convergence de la série dérivée est R > 0 (voir chapitre sur les séries entières). Par
conséquent, f ′ est développable en série entière en 0 et on a au voisinage de 0 :
′
f (x) =
+∞
X
nan xn−1 .
n=1
2
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Développement d’une fonction en série entière. Exemples et applications
4
Développements usuels
4.1
Fonction exp
Le fonction exp est définie sur R, à valeurs dans R∗+ , par exp(x) = ex . exp est de classe C ∞ sur R
et on a :
exp(n) = exp
∀n ∈ N,
donc
∀n ∈ N, exp(n) (0) = 1.
Appliquons la formule de Taylor avec reste intégral. On a :
∀n ∈ N,
∀x ∈ R,
Z x
n
X
1 k
(x − t)n
x +
exp(t)dt.
k!
n!
0
exp(x) =
k=0
Z
0
x
Z
(x − t)n t x e dt 6 max(1, e ) n!
x
n+1
(x − t)n x |x|
dt
.
6
max(1,
e
)
n!
(n + 1)!
0
|x|n+1
Comme max(1, ex ) (n+1)! −−−−−→ 0, il en est de même du reste intégral d’ordre n. D’après la propon→+∞
sition 1, on en déduit que exp est développable en série entière en 0 et au voisinage de 0 :
ex =
+∞ n
X
x
n=0
Pour tout n ∈ N, notons an =
P xn
n! est +∞ donc :
1 an+1
n! . an
=
n!
.
1
−−−−→
n+1 −
n→+∞
0 donc le rayon de convergence de la série
n>0
∀x ∈ R,
x
e =
+∞ n
X
x
n=0
4.2
n!
.
Fonctions sin et cos
cos et sin sont des fonctions de classe C ∞ sur R et on a :
(
cos(n) (x) = cos x + nπ
2
∀n ∈ N, ∀x ∈ R,
sin(n) (x) = sin x + nπ
2
donc
(n)
∀n ∈ N,
cos
(0) = cos
nπ 2
et
∀n ∈ N,
sin(n) (0) = sin
nπ 2
=
=
(
(
0 si n = 2p + 1
(−1)p si n = 2p
0 si n = 2p
(−1)p si n = 2p + 1
Appliquons la formule de Taylor avec reste intégral :
∀n ∈ N,
∀x ∈ R,
cos(x) =
n
X
cos(k) (0)
k=0
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k!
xk +
Z
x
0
(x − t)n
cos(n+1) (t)dt.
n!
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Développement d’une fonction en série entière. Exemples et applications
Z
x
0
Comme
|x|n+1
−−−−→
(n+1)! −
n→+∞
Z x
n+1
1
(x − t)n
(n+1)
n
(x − t) dt 6 |x|
cos
(t)dt 6
(n + 1)! .
n!
n! 0
0, il en est de même du reste intégral d’ordre n. D’après la proposition 1, on
en déduit que exp est développable en série entière en 0 et au voisinage de 0 :
cos(x) =
+∞
X
cos(n) (0)
n!
n=0
Soit x ∈ R.
xn =
+∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
x2n .
(−1)n+1 x2n+2 (−1)n x2n x2
=
:
−−−−−→ 0.
(2n + 2)!
(2n)! (2n + 1)(2n + 2) n→+∞
D’après la règle de d’Alembert pour les séries à termes réels positifs, on en déduit que
P
n>0
(−1)n 2n
(2n)! x
converge absolument pour tout réel x. Le rayon de cette série entière est donc +∞. Par conséquent :
∀x ∈ R, cos(x) =
+∞
X
(−1)n
n=0
(2n)!
x2n .
De même, on démontre que :
∀x ∈ R, sin(x) =
+∞
X
(−1)n 2n+1
x
.
(2n + 1)!
n=0
4.3
Fonction fα : x 7→ (1 + x)α , α ∈ R
Soit α ∈ R. On considère la fonction fα définie sur ] − 1; +∞[ par fα (x) = (1 + x)α . fα est de
classe C ∞ sur ] − 1; +∞[ et on a :
∀x ∈] − 1; +∞[,
fα′ (x) = α(1 + x)α−1 =
x
fα (x).
1+x
fα est donc solution sur ] − 1; +∞[ de l’équation différentielle :
(1 + x)y ′ − xy = 0.
Supposons qu’il existe une fonction S développable en série entière en 0, solution de cette équation
P
différentielle. Il existe alors une série entière
an xn de rayon de convergence R > 0 et un voisinage
n>0
V de 0 tels que :
∀x ∈ V ∩] − R; R[,
S(x) =
+∞
X
an xn .
n=0
Soit a ∈
R∗+
tel que ] − a; a[⊂ V ∩] − R; R[. S est de classe C ∞ sur ] − a; a[ et on a :
∀a ∈] − a; a[,
S ′ (x) =
+∞
X
nan xn−1 .
n=1
S étant solution de l’équation différentielle, on a :
∀x ∈] − a; a[,
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(1 + x)S ′ (x) − αS(x) = 0.
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Développement d’une fonction en série entière. Exemples et applications
(1 + x)S ′ (x) − αS(x) = (1 + x)
+∞
P
nan xn−1 − α
n=1
=
+∞
P
nan xn−1 +
n=1
=
+∞
P
+∞
P
an xn
n=0
+∞
P
nan xn − α
n=1
+∞
P
an xn
n=0
(n + 1)an+1 xn +
+∞
P
nan xn − α
n=0
n=0
=
+∞
P
+∞
P
an xn
n=0
((n + 1)an+1 + (n − α)an ) xn
n=0
S étant solution de l’équation différentielle, on a :
∀x ∈] − a; a[,
+∞
X
((n + 1)an+1 + (n − α)an ) xn = 0
n=0
Par unicité du développement en série entière en 0, sachant que S est solution de l’équation différentielle et qu’on doit avoir S(0) = 1 :
(
a0 = 1
∀n ∈ N,
(n + 1)an+1 + (n − α)an = 0
On démontre facilement par récurrence que :
∀n ∈ N∗ ,
Soit
P
an =
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
.
n!
an xn la série entière où :
n>0
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
.
n!
P
an+1 α−n an xn est 1. Notons S la somme
an = n+1 −−−−−→ 1 donc le rayon de convergence de la série
a0 = 1 et pour tout n ∈ N∗ ,
an =
n→+∞
n>0
de cette série. On a alors :
∀x ∈] − 1; 1[,
S(x) =
+∞
X
an xn .
n=0
On sait que S est de classe
C∞
sur ] − 1; 1[ et on vérifie sans peine que S est solution de l’équation
différentielle. Par conséquent, fα et S sont deux solutions de l’équation différentielle. Cette équation
différentielle étant linéaire du premier ordre, l’ensemble des solutions est de la forme Kfα , où K ∈ R.
Il existe donc K0 ∈ R tel que :
∀x ∈] − 1; 1[,
S(x) = K0 fα (x) = K0 (1 + x)α .
Sachant que S(0) = 1, il en résulte que S = fα sur ] − 1; 1[ donc fα est développable en série entière
et on a :
∀x ∈] − 1; 1[,
(1 + x)α = 1 +
+∞
X
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
n=1
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n!
xn .
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Développement d’une fonction en série entière. Exemples et applications
4.4
Fonction x 7→ ln(1 + x)
Soit f la fonction définie sur ] − 1; +∞[ par f (x) = ln(1 + x). f est de classe C ∞ sur ] − 1; +∞[
et on a :
f ′ (x) =
∀x ∈] − 1; +∞[,
1
= (1 + x)−1 .
1+x
D’après le paragraphe précédent (avec α = −1), on a :
f ′ (x) = 1 +
∀x ∈] − 1; 1[,
+∞
X
(−1)n n!
n!
n=1
xn =
+∞
X
(−1)n xn .
n=0
Soit S la fonction définie sur ] − 1; 1[ par :
S(x) =
+∞
X
(−1)n xn+1
n=0
On sait que
P
(−1)n xn et
n>0
P
n>0
(−1)n xn+1
n+1
n+1
=
+∞
X
(−1)n+1 xn
n
n=1
.
ont le même rayon de convergence (voir le chapitre sur les
séries entières, notamment le rayon de convergence d’une série entière et de sa série dérivée). S est
de classe C ∞ sur ] − 1; 1[ et on a :
∀x ∈] − 1; 1[,
′
S (x) =
+∞
X
(−1)n xn+1
n+1
n=0
!′
=
+∞
X
(−1)n xn = f ′ (x)
n=0
donc S et f diffèrent d’une constante. Il existe c ∈ R tel que :
∀x ∈] − 1; 1[,
S(x) = f (x) + c.
Comme S(0) = 0 et f (0) = 0, il en résulte que c = 0. f est donc développable en série entière en 0
et on a :
∀x ∈] − 1; 1[,
ln(1 + x) =
+∞
X
(−1)n+1
n
n=1
Remarque : Si x = −1,
P
(−1)n+1
n>1
P
n>1
(−1)n+1 n
x
n
n
xn = −
P
n>1
1
n
xn .
et la série est divergente. Si x = 1,
P
n>1
(−1)n+1 n
x
n
=
et la série converge d’après le critère des séries alternées (voir chapitre sur les séries
à termes réels ou complexes). Donc :
∀x ∈] − 1; 1],
ln(1 + x) =
+∞
X
(−1)n+1
n
n=1
xn .
En particulier,
ln(2) =
+∞
X
(−1)n+1
n=1
c S. Duchet - www.epsilon2000.fr.st
n
.
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Développement d’une fonction en série entière. Exemples et applications
4.5
Fractions rationnelles
Proposition 7 Toute fraction rationnelle n’admettant pas 0 pour pôle est développable en série
entière en 0 et le rayon de convergence du développement en série entière est égal au minimum des
modules des pôles complexes.
Preuve - Soit F ∈ C(X). On suppose que F n’admet pas 0 pour pôle. En effectuant la décomposition de F en éléments simples, on obtient des éléments de la forme
λ
(z−z0 )n ,
où λ, z0 ∈ C et n ∈ N∗ .
Pour z ∈ C vérifiant |z| < |z0 |, on a :
λ
λ
1
λ
=
= n
(z − z0 )n
z0 z − 1 n
(−z0 )n
z0
Pour |z| < |z0 |, on a zz0 < 1 donc z 7→ 1 −
même pour z 7→
λ
(z−z0 )n ).
z
z0
−n
1−
z
z0
−n
.
est développable en série entière (il en est de
Le rayon de convergence du développement en série entière de z 7→
λ
(z−z0 )n
est |z0 |. Par conséquent, F est développable en série entière en 0 (somme de fonctions développables
en séries entière en 0) et le rayon de convergence R du développement vérifie R > ρ, où ρ est le
minimum des modules des pôles complexes de F ).
Supposons maintenant que R > ρ. Il existe z0 ∈ C∗ , pôle de la fraction rationnelle F tel que
|z0 | < R. F est continues sur B(0; R) donc en z0 , ce qui est impossible car |F (z)| −−−→ +∞.
z→z0
2
Exemple : Considérons la fraction rationnelle suivante :
F : z 7→
z3
10z
.
− 2z 2 + z − 2
Pour tout z ∈ C, on a : z 3 − 2z 2 + z − 2 = (z − 2)(z − i)(z + i). On a donc :
∀z ∈ C − {2, i, −i},
F (z) =
4
−2 − i −2 + i
+
+
.
z−2
z−i
z+i
Pour z ∈ C tel que |z| < 2 :
+∞ X
z n
4
4
z −1
=
−2
.
=
=
−2
1
−
z
z−2
2
2
−2 1 − 2
n=0
|z| < 1 :
+∞
X
−2 − i
−2 − i
(−iz)n .
=
= (1 − 2i)(1 + iz)−1 = (1 − 2i)
z−i
−i(1 + iz)
n=0
+∞
X
−2 + i
−2 + i
=
= (1 + 2i)(1 − iz)−1 = (1 + 2i)
(iz)n .
z+i
i(1 − iz)
n=0
Donc pour |z| < 1 :
F (z) =
+∞
X
an z n avec an = −
n=0
1
+ (1 − 2i)(−i)n + (1 + 2i)in .
2n−1
Le rayon de convergence de cette série entière est 1.
c S. Duchet - www.epsilon2000.fr.st
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