Exercice : 2-6** (identifiant : edo1lineaires-b-2-6) 2-6

Exercice : 2-6**
(identifiant : edo1lineaires-b-2-6)
2-6** () – énoncé
Résoudre les équations suivantes :
1. y 0 cos(x) − y sin(x) = e3x
2. y 0 − xy = −x
3. (1 − x2 )y 0 − 2xy = 3x2 − x4
2-6** () – correction
1. y 0 cos(x) − y sin(x) = e3x
- Le membre de gauche est la dérivée d’un produit : (y cos(x))0 = e3x
1
1
1
( e3x + c)
D’où : y cos(x) = e3x + c, c ∈ R et y =
3
cos(x) 3
On peut aussi appliquer la méthode de la variation de la constante :
- Résolution de l’équation Sans Second Membre :
dy
sin(x)
y 0 cos(x) − y sin(x) = 0 ⇔
=
dx ⇔ ln |y| = ln |− cos(x)| + k, k ∈ R ⇔ y = Keln |−cos(x)| .
y
cos(x)
K
y=
, K ∈ R.
cos(x)
- Résolution de l’équation Avec Second Membre :
On fait varier la constante K qui devient une fonction de x :
K 0 (x) − sin(x)K(x)
K 0 (x) + K(x) sin(x)
K(x) sin(x)
y0 =
−
=
. Alors : y 0 cos(x)−y sin(x) = K 0 (x)+
−
cos(x)
cos2 (x)
cos2 (x)
cos(x)
1
K(x) sin(x)
= K 0 (x), donc K 0 (x) = e3x et K(x) = e3x + C, C ∈ R.
cos(x)
3
1
1
La solution générale de l’équation est donc : y =
( e3x + c).
cos(x) 3
2. y 0 − xy = −x
- On peut intégrer en séparant les variables :
1
dy
1
= x ⇔ ln |y − 1| = x2 + k, k ∈ R ⇔ y =
y−1
2
2
1 + Ke 2 x , K ∈ R
- On peut aussi utiliser la méthode de la variation de la constante :
- Résolution de l’équation Sans Second Membre :
dy
1 2
y 0 − xy = 0 ⇔
= xdx ⇔ y = Ke 2 x , K ∈ R.
y
- Résolution de l’équation Avec Second Membre :
On fait varier la constante K qui devient une fonction de x :
1 2
1 2
1 2
1 2
y 0 = K 0 (x)e 2 x + xK(x)e 2 x . Alors : y 0 − xy = K 0 (x)e 2 x , donc K 0 (x) = −xe− 2 x .
1 2
1 2
En intégrant :K(x) = e− 2 x + k, k ∈ R, d’où :y = 1 + ke 2 x
1
3. (1 − x2 )y 0 − 2xy = 3x2 − x4
- Le membre de gauche est la dérivée d’un produit : ((1 − x2 )y)0 = 3x2 − x4
1
1
D’où : (1 − x2 y = x3 − x5 + c, c ∈ (R) et y = df racx3 − x5 + c1 − x2
5
5
On peut aussi appliquer la méthode de la variation de la constante :
- Résolution de l’équation Sans Second Membre :
dy
2x
(1 − x2 )y 0 − 2xy = 0 ⇔
=
dx.
y
(1 − x2 )
K
, K = eC .
ln|y| = −ln|1 − x2 | + C, C ∈ <, donc y =
1 − x2
- Résolution de l’équation Avec Second Membre :
On fait varier la constante K qui devient une fonction de x :
K 0 (x)(1 − x2 ) + 2xK(x)
K(x)
0
,
et
y
=
.
y=
1 − x2
(1 − x2 )2
2xK(x) 2xK(x)
1
(1−x2 )y 0 −2xy = K 0 (x)+
−
⇔ K 0 (x) = 3x2 −x4 , et K(x) = x3 − x5 +C, C ∈ R.
2
2
1−x
1−x
5
1
x3 − x5 + C
5
La solution générale de l’équation est : y =
.
1 − x2
2