ix. image d`un objet par une lentille spherique mince convergente

Chapitre IX
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IX. IMAGE D’UN OBJET
PAR UNE LENTILLE SPHERIQUE MINCE
CONVERGENTE
Nous allons utiliser les foyers1 et leurs propriétés pour établir la position et la grandeur d’une
image, connaissant celles de l’objet. Nous verrons d’abord que, selon la position de l’objet, différents
cas se présentent. Chacun des cas donne lieu à une ou plusieurs applications. Nous terminerons par
une étude quantitative qui s’appuie sur la construction géométrique de l’image et qui nous fournira
les relations de conjugaison et de grandissement2.
A. Analyse qualitative de l’image d’un objet ponctuel
Sur l’axe optique, deux points, le foyer objet et le centre optique, jouent un rôle particulier pour
la position des objets (voir la figure 9.1). (Le troisième point particulier, le foyer image joue un
rôle dans la position des images mais pas dans celle des objets.)
F
O
F'
fig. 9.1 : les points particuliers
sur l'axe optique
Les positions d’un objet par rapport { une lentille convergente se classent donc en trois
catégories : avant le foyer objet, entre le foyer objet et la lentille, et enfin après la lentille. Ce
classement fait apparaître trois cas particuliers : { l’infini, au foyer objet et sur la lentille.
1
Pour la définition des foyers objet et image, voir le chapitre VIII Foyers des lentilles sphériques minces,
paragraphes C.1.a et C.2.a.
2
Pour la définition des relations de conjugaison et de grandissement, voir le chapitre V Formation des images
dans l’exemple du miroir plan, paragraphes A.3.c et B.3.b.
Chapitre IX
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Nous allons commencer par un objet situé { l’infini sur l’axe, puis nous allons progressivement le
rapprocher de la lentille et enfin terminer par un objet virtuel3.
A
8
1. Objet situé à l’infini sur l’axe
L’image est au foyer image. Le faisceau de rayons
O
F
F'
parallèles est transformé en un faisceau convergent.
(Voir la figure 9.2.)
fig. 9.2 : objet à l'infini sur l'axe
2. Objet réel situé avant le foyer objet
Partant de l’infini, nous rapprochons maintenant l’objet de la lentille, en restant avant le foyer
objet. Nous allons comparer ces deux
situations pour trouver la position de
A
F
O
F'
A'
l’image. (Voir la figure 9.3.)
Le faisceau incident, parallèle dans le
premier cas, est maintenant divergent4. Le
faisceau émergent, qui convergeait vers F’,
fig. 9.3 : objet réel situé avant le foyer objet,
comparé à un objet situé à l'infini
est donc maintenant moins convergent.
Conclusion : un objet réel situé avant le foyer donne une image réelle située après le foyer image.
3. Objet réel situé au foyer objet
F
O
F'
A'
8
L’image est { l’infini sur l’axe. Le faisceau incident
divergent est transformé en un faisceau de rayons
parallèles. (Voir la figure 9.4.)
fig. 9.4 : objet réel situé au foyer objet
3
Sur les notions de réalité et virtualité, voir le chapitre V Formation des images dans l’exemple du miroir plan,
paragraphe A.3.a et le chapitre VIII Foyers des lentilles sphériques minces, paragraphe F.
4
Pour l’action d’une lentille convergente sur les faisceaux lumineux voir le chapitre VII Les lentilles sphériques,
paragraphe B.3.
Chapitre IX
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4. Objet réel situé entre le foyer objet et la lentille
Partant du foyer, nous rapprochons encore l’objet de la lentille. Nous allons comparer ces deux
situations pour trouver la position de l’image. (Voir la figure 9.5.)
Puisque le faisceau divergent issu de F émerge en un
faisceau parallèle, le faisceau plus divergent issu de
F
A'
A
O
F'
A'
8
A émerge en divergeant (il est cependant moins
divergent que son faisceau incident).
Les prolongements des rayons émergents se
coupent en avant de la lentille. L’image est donc
fig. 9.5 : objet réel situé après le foyer objet,
comparé à un objet situé au foyer
virtuelle.
Conclusion : un objet réel situé entre le foyer et la
lentille donne une image virtuelle (c’est { dire située avant la lentille).
5. Objet situé sur la lentille
Lorsque l’objet est situé en O, les rayons lumineux convergeant au
O
F
F'
A A'
centre optique ne sont pas déviés, donc l’image est, elle aussi,
située en O. (Voir la figure 9.6.)
fig. 9.6 : objet situé sur la lentille
6. Objet virtuel
Nous considérons maintenant un faisceau convergent frappant la lentille. Il émerge en un
faisceau plus convergent. L’image est donc réelle. (Voir la figure 9.7.)
F
O
A' F'
A
fig. 9.7 : objet virtuel
Comme un faisceau parallèle émerge en convergeant vers F’, le faisceau convergent émerge en
convergeant vers A’ située avant F’. L’image est donc située entre O et F’.
Chapitre IX
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7. Conclusion
Un objet réel situé avant le foyer donne une image réelle (située après le foyer image).
Un objet réel situé entre le foyer objet et la lentille donne une image virtuelle.
Un objet situé sur la lentille donne une image située sur la lentille.
Un objet virtuel donne une image réelle (située entre O et F’).
Un objet situé { l’infini donne une image réelle située au foyer image.
Un objet réel situé au foyer objet donne une image { l’infini.
Remarque : Les images sont réelles sauf lorsque l’objet est situé entre le foyer objet et la lentille
(en mettant { part le cas de l’image { l’infini).
B. Etude quantitative des deux cas objet ou image à l’infini
1. Objet étendu situé à l’infini
a) La situation, notion de rayon angulaire
Le soleil, les planètes constituent des objets étendus situés { l’infini. Ces objets sont vus par nous
comme des disques et nous allons nous intéresser à un rayon A B de ce disque.
Le point A situé { l’infini sur l’axe émet un faisceau de rayons parallèles { l’axe. Le point B situé
{ l’infini hors de l’axe émet un faisceau de rayons faisant l’angle
B
avec l’axe5.
L’objet émet donc un ensemble de faisceaux parallèles déterminés par des angles
B
B.
8
entre 0 et
O
B
8
A
compris
F'
F
fig. 9.8 : objet étendu situé à l'infini
L’angle
B
est appelé rayon angulaire du Soleil ou de la planète ; 2
B
est son diamètre angulaire.
b) Position et taille de l’image
L’objet étant { l’infini, son image est dans le plan focal image.
5
Sur les objets situés à l’infini voir le chapitre VIII Foyers des lentilles sphériques minces, paragraphe B.1
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Chaque point { l’infini hors de l’axe a pour image un
B
8
Chapitre IX
foyer image secondaire. En particulier le point B a
B’. La taille de l’image est
donc F ' B ' .
B
A
F
O
Remarquons d’abord que l’objet est droit, ce qui
entraîne que l’angle
B
F' A'
8
pour image le point F’S
B'
est positif.
Dans le triangle OF’B’ rectangle en F’ (voir figure 9.9), fig. 9.9 : taille de l'image
nous calculons :
F ' B ' OF ' tan
B
F 'B'
B
f ' tan
f ' tan
B
.
.
L’image est renversée : Le « haut » de la planète, du Soleil ou de la Lune se retrouve « en bas ».
L’image entière est un disque de diamètre 2F’B’.
Remarque : Les diamètres angulaires du Soleil et de la Lune sont de l’ordre de 30’ (minutes
d’arc), ceux des planètes de l’ordre de quelques secondes d’arc 6. Dans ces cas, l’angle
faible, donc tan
B
B
(exprimé en radian), alors : F ' B '
- OF’
B
= -f’
B
est
B.
2. Image étendue située à l’infini
a) Construction
L’objet étendu est alors au foyer objet.
Considérons la figure 9.10. Le faisceau incident émis par A
émerge en un faisceau parallèle { l’axe formant l’image
B
A’ . (Le faisceau incident issu de A n’est pas tracé sur la
8
O
F A
A'
'B
figure pour ne pas la brouiller.) Le faisceau incident émis
par B émerge en un faisceau parallèle formant l’image B’ .
8
B'
Chaque point FS de l’objet donne une image située {
l’infini dans la direction ’ que fait l’axe secondaire (FSO)
avec l’axe optique.
fig. 9.10 : objet étendu situé au foyer objet, L’image est formée d’un ensemble de faisceaux parallèles
image étendue située à l'infini
déterminés par des angles ’ compris entre 0 et ’B.
b) Position et rayon angulaire de l’image
L’objet étant au foyer objet, son image est { l’infini.
6
Un degré = soixante minutes d’arc (1° = 60’) et une minute d’arc = soixante secondes d’arc (1’ = 60’’).
Chapitre IX
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La taille de l’image est infinie. L’étendue de l’image est alors donnée par son rayon angulaire ’B
qui est positif car l’image est droite7. Dans le triangle OFB rectangle en F (voir la figure 9.10),
nous calculons :
tan 'B
FB
FO
tan 'B
FB
FO
tan 'B
FB
f'
C. Les trois cas à distance finie
1. Objet étendu réel situé avant le foyer objet
a) Schéma
D’après l’analyse qualitative, la lentille convergente en donne une image réelle.
B
F
F'
O
A'
A
B'
fig. 9.11 : objet étendu réel situé avant le foyer objet
b) Image de B
Pour construire le schéma, nous cherchons d’abord { déterminer l’image B’ du point objet B. Par
définition, elle se trouve { l’intersection des rayons issus de B. Il faut donc en tracer au moins
deux. Voir la figure 9.11 :
Premier rayon : Le rayon issu de B et passant par le centre optique n’est pas dévié8.
Deuxième rayon : Le rayon issu de B et parallèle { l’axe optique émerge en passant par le foyer
image F’9.
L’image B’ est { l’intersection des deux rayons émergents10.
7
Si nous plaçons notre œil après la lentille, nous voyons l’image vers le haut de la page.
8
Voir chapitre VIII Foyers des lentilles sphériques minces, paragraphe A.3.
9
Voir chapitre VIII, paragraphe C.1.b.
10
Voir chapitre V Formation des images dans l’exemple du miroir plan, paragraphes A.1 & 2.
Chapitre IX
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c) Stigmatisme
La position de B’ est trouvée, un troisième rayon n’est pas nécessaire. Cependant comme nous
avons { notre disposition un troisième rayon particulier, nous allons le tracer et l’étudier.
Troisième rayon : Le rayon issu de B et passant par le foyer objet émerge parallèlement { l’axe
optique11. Le stigmatisme12 impose que le rayon émergent passe par B’. Voir la figure 9.11.
Tout rayon et tout faisceau lumineux émis par B émergent en passant par B’. Voir la figure 9.12.
B
F
F'
O
A'
A
B'
fig. 9.12 : stigmatisme
Remarque : L’image se forme même avec un faisceau lumineux ne frappant pas toute la lentille,
ou encore en utilisant seulement un fragment de lentille. Elle est seulement moins lumineuse.
d) Image de A
Ensuite, nous pouvons déterminer l’image A’ du point A. Grâce { l’aplanétisme13, l’image d’un
objet AB perpendiculaire { l’axe optique est aussi perpendiculaire { l’axe optique. Donc nous
traçons A’B’ perpendiculairement { l’axe optique. La position de A’ est alors déterminée.
e) Nature et grandeur de l’image
Cette construction confirme que l’image est réelle. Elle montre en outre que l’image est
renversée. Elle peut être agrandie ou réduite selon la position de l’objet (voir figures 9.13).
B
B
F
O
F' A'
A
F
O
A
F'
A'
B'
B'
fig. 9.13a : image réduite
fig. 9.13b : image agrandie
11
Voir chapitre VIII Foyers des lentilles sphériques minces, paragraphe C.2.b.
12
Voir chapitre V Formation des images dans l’exemple du miroir plan, paragraphe A.4.
13
Voir le chapitre V, paragraphe B.4.
Chapitre IX
page IX-8
f) Utilisation : projection et photographie
Dans le cas de la figure 9.13a, l’objectif d’un appareil photo donne de la scène photographiée une
image réduite sur la pellicule.
Le type de situation de la figure 9.13b sert { former une image agrandie d’un objet sur un écran.
Par exemple, l’image d’un film ou d’une diapositive. C’est ce qu’on appelle la projection.
g) L’œil
En première approximation, l’œil peut être modélisé par une lentille convergente qui fonctionne
comme nous venons de le voir sur la figure 9.13a.
De plus, l’œil hypermétrope (pas assez convergent) est corrigé { l’aide de lentilles convergentes
(voir chapitre XI sur l’œil).
2. Objet étendu réel situé entre le foyer objet et la lentille
a) Construction
Nous reprenons la même méthode de construction14.
Le rayon émis par B et passant par le centre optique n’est pas dévié.
Le rayon émis par B, parallèle { l’axe optique, émerge en passant par F’.
B'
B
F
O
A'
F'
A
fig. 9.14 : objet étendu réel
situé entre F et O
b) Nature et grandeur de l’image
Les rayons émergents ne se coupent pas en avant de la lentille ; Leurs prolongements vers
l’arrière se coupent en B’. Grâce { l’aplanétisme, nous en déduisons A’. Nous constatons donc que
l’image est virtuelle. De plus elle est droite et agrandie.
c) Utilisation : loupe
C’est ainsi que fonctionne une loupe. Celle-ci donne d’un objet réel situé entre le foyer et la loupe
une image virtuelle agrandie.
14
Voir paragraphe C.1.
Chapitre IX
page IX-9
d) Suite de la construction et stigmatisme
Pour compléter la construction, considérons le rayon émis par B et
semblant provenir de F. Il émerge parallèlement { l’axe optique. Le
prolongement vers l’arrière de cet émergent passe par B’. Voir la
figure 9.14.
B'
B
F
O
A'
F'
A
Grâce au stigmatisme, tout rayon et tout faisceau émis par B émerge
en semblant provenir de B’. Voir la figure 9.15.
3. Objet étendu virtuel
fig. 9. 15 : stigmatisme
a) Construction
Sur la figure 9.16 nous reprenons la même méthode de construction15.
Le rayon incident passant par le centre optique et se dirigeant vers B n’est pas dévié.
L’incident parallèle { l’axe optique et se dirigeant vers B, émerge en passant par F’.
B'
F
B
F'
O
A' A
fig. 9.16 : objet étendu virtuel
b) Nature et grandeur de l’image
Les rayons émergents se coupent en B’. Grâce { l’aplanétisme, nous en déduisons A’. Et nous
constatons que l’image est réelle, droite et réduite.
c) Utilisation : association de lentilles
Ce type de situation nécessite deux lentilles : Une première lentille forme d’un objet réel, une
image réelle. Cette image sert d’objet virtuel pour la seconde16.
Nous reviendrons dans le chapitre XII sur quelques associations de lentilles.
15
Voir paragraphe C.1.
16
Voir chapitre VIII Foyers des lentilles sphériques minces, paragraphe F.1.
Chapitre IX
page IX-10
d) Suite de la construction et stigmatisme
Sur la figure 9.16, pour compléter la construction, considérons le rayon incident passant par F et
se dirigeant vers B. Il émerge parallèlement { l’axe optique et passe par B’.
Grâce au stigmatisme, tout rayon et tout faisceau incident se dirigeant vers l’objet B émerge en
passant par l’image B’. Voir la figure 9.17.
F
B'
B
A'
A
F'
O
fig. 9.17 : stigmatisme
4. Conclusion
Dans les trois cas, la méthode de construction est toujours la même. Seules la disposition des
rayons et leurs parties réelles ou virtuelles changent. Cependant chaque cas possède son propre
intérêt pratique.
D. Relations de conjugaison et de grandissement
Nous allons déterminer quantitativement la position et la grandeur de l’image connaissant celles
de l’objet.
1. Orientation de l’espace. Relation de conjugaison. Grandissement
transversal17
L’axe optique est orienté dans le sens de la lumière incidente. L’axe perpendiculaire { l’axe
optique est orienté vers le haut de la page.
La relation de conjugaison donne la position de l’image en fonction de celle de l’objet (et des
caractéristiques du système optique).
Le grandissement transversal est le quotient de la taille algébrique de l’image par celle de
l’objet :
A' B '
AB
17
Voir note 2.
Chapitre IX
page IX-11
2. Etude du schéma
a) Rappel du schéma
B
I
F
F'
O
A'
A
J
B'
fig. 9.18 : construction de l'image d'un objet étendu
Nous raisonnerons sur le premier cas que nous avons rencontré (objet réel situé avant le foyer)
mais les démonstrations que nous ferons et les relations que nous allons obtenir sont valables
dans les trois cas à distance finie.
b) Les trois paires de triangles semblables
Considérons la figure 9.18. Les triangles FOJ et FAB forment une première paire de triangles
semblables ; Une deuxième paire est formée des triangles F’A’B’ et F’OI ; Et enfin la troisième, des
triangles OA’B’ et OAB.
Les différents rapports de similitude s’écrivent donc :
(1)
FO
FA
(2)
F ' A'
F 'O
(3)
OA '
OA
FO
FA
OJ
AB
A' B '
OI
F ' A'
F 'O
A' B '
AB
A' B '
AB
car
OJ
A' B '
car
OI
AB
A' B '
AB
Bien que les positions des triangles changent, nous retrouvons les mêmes paires de triangles
semblables dans les deux autres cas (considérer les figures 9.14 et 9.16).
3. Les relations de grandissement
a) Grandissement de Descartes (origine au centre optique)
La relation (3) donne immédiatement le grandissement en prenant le centre optique comme
origine :
A' B '
AB
OA '
OA
Chapitre IX
page IX-12
b) Grandissements de Newton (origines aux foyers)
La relation (1) donne immédiatement le grandissement en prenant le foyer objet comme
origine :
A' B '
AB
FO
FA
f'
FA
La relation (2) donne immédiatement le grandissement en prenant le foyer image comme
origine :
A' B '
AB
F ' A'
F 'O
F ' A'
f
Pour aider { la mémorisation de ces formules, on peut remarquer que l’image A’, lorsqu’elle est
présente, est toujours au numérateur tandis que l’objet A, lorsqu’il est présent, est toujours au
dénominateur.
4. Les relations de conjugaison
a) Relation de conjugaison de Descartes
La comparaison des relations (2) et (3) donne :
F ' A ' OA '
F ' O OA
F ' O OA ' OA '
F 'O
OA
OA ' OA '
1
F ' O OA
En divisant les deux membres par OA '
1
1
OA ' OA
1
OF '
1
f'
Cette relation peut aussi s’écrire :
1
OA '
1
1
OA OF '
1/ OA mesure la convergence du faisceau incident : si OA > 0, le faisceau est convergent ; si OA
<0, le faisceau est divergent ; Plus OA est grand, moins le faisceau est convergent ou divergent.
De même avec OA ' pour le faisceau émergent. Donc la formule de Descartes montre qu’une
lentille mince convergente augmente toujours la convergence du faisceau incident, et ceci d’une
quantité égale à la vergence de la lentille.
Chapitre IX
page IX-13
b) Relation de conjugaison de Newton
La comparaison des relations (1) et (2) donne :
FO
FA
F ' A'
F 'O
F ' A '.FA FO.F ' O
f.f '
f '2
La formule de Newton montre que F ' A ' et FA sont toujours de signes contraires : si l’objet est
avant le foyer objet, l’image est après le foyer image (l’objet et l’image sont alors tous les deux
réels) ; si l’objet est après le foyer objet (objet réel entre le foyer objet et la lentille ou objet
virtuel après la lentille), l’image est avant le foyer image (image virtuelle avant la lentille ou
image réelle entre la lentille et le foyer image).
c) Application : objet situé à l’infini
Combien la distance OA entre l’objet et la lentille doit-elle valoir pour que celui-ci puisse être
considéré comme étant { l’infini ?
- Lorsque l’objet peut être considéré comme étant { l’infini, alors l’image peut être considérée
comme étant au foyer image :
1
OA '
1
1
1

OF ' OA OF '
Pour pouvoir faire cette approximation, il faut et il suffit que :
1
OA
1
c’est { dire OA
OF '
OF '
Donc, pour être considéré comme étant { l’infini, il faut et il suffit que l’objet soit situé { une
distance grande devant la distance focale image.
- Nous pouvons reprendre cette étude en raisonnant de façon qualitative sur les grandeurs
caractéristiques. Nous nous interrogeons sur la valeur { donner { la distance de l’objet { la
lentille, donc sur une distance.
Quelles sont les distances caractéristiques d’une lentille ? Réponse : son épaisseur, les rayons de
courbure des dioptres, sa largeur, sa distance focale.
Parmi ces distances laquelle intervient pour caractériser la distance d’un objet { la lentille ?
Réponse : la distance focale, comme nous l’avons vu dans l’analyse qualitative des différents cas.
Nous concluons donc qu’un objet est { une distance pratiquement infinie de la lentille si cette
distance est grande devant la distance focale.
- Nous pouvons aussi reprendre cette étude de façon quantitative : « Combien de fois la distance
focale doit-elle être contenue dans la distance OA ? »
Chapitre IX
page IX-14
La réponse dépend nécessairement de la précision désirée. Cette précision dépend de la distance
F’A’. Nous allons choisir par exemple F’A’ = f ’/10. (La distance focale est ainsi prise comme unité
de mesure.) La relation de conjugaison de Newton donne rapidement le résultat cherché :
F ' A '.FA
FA
f '2
f '2
F ' A'
f '2 .
10
f'
10 f '
D’où :
OA OF FA
OA 11 f '
f ' 10 f '
11 f '
Si nous avions choisi F’A’ = f ’/100, nous aurions trouvé OA = 101f ’, etc.
Donc le rapport à fixer entre OA et f ’ dépend uniquement de la précision désirée.
Selon la position de l’objet, différents cas se présentent qui se traitent tous avec la même méthode
et qui possèdent tous des applications (projection, photo, loupe, associations de lentilles).
L’étude quantitative nous a conduits aux relations de conjugaison et aux grandissements de
Descartes et Newton.
Dans le chapitre suivant nous étudierons les lentilles divergentes et nous verrons que la conclusion
est sensiblement la même.
Chapitre IX
page IX-15
Résumé
Selon la position de l’objet, cinq cas se présentent :
Trois cas à distances finies :
Un objet réel situé avant le foyer donne une image réelle, située après le foyer image, agrandie
ou réduite. Applications : projection, photographie.
Un objet réel situé entre le foyer objet et la lentille donne une image virtuelle, agrandie.
Application : la loupe.
Un objet virtuel donne une image réelle, située entre O et F’, réduite. Application : associations
de lentilles.
Deux cas où l’une des positions est à l’infini :
Un objet situé { l’infini donne une image réelle située au foyer image. Un objet réel situé au foyer
objet donne une image { l’infini. Application : les lunettes astronomiques.
Relations de conjugaison et grandissements
Grandissement de Descartes (origine au centre optique)
A' B '
AB
OA '
OA
Grandissements de Newton (origines aux foyers)
A' B '
AB
FO
FA
A' B '
AB
F ' A'
F 'O
f'
FA
F ' A'
f
Relation de conjugaison de Descartes
1
1
OA ' OA
1
OF '
1
f'
Relation de conjugaison de Newton
F ' A '.FA FO.F ' O
f.f '
f '2