exercices ple - mle - Lycée Jacques Feyder

EXERCICES PÊLE - MÊLE
Exercice 1 :
Sur un emballage de fromage on peut lire :
«Poids net : 217 g. 45 % de matière grasse sur le produit sec, soit 10 % sur le poids net
du fromage.»
a) Quelle est la masse de matière grasse contenue dans le fromage ?
b) Quelle est la masse d’eau contenue dans le fromage ?
U
U
Exercice 2 : Après deux augmentations successives la première de 8 %, la seconde de
12 % , le prix d’un produit est de 725,76 euros.
Calculer le prix initial du produit.
U
U
Exercice 3 : De 1987 à 1993, la population d’une ville a augmenté de 10,3 % et de
1993 à 1999, elle a diminué de 9%.
Quel est le pourcentage d’évolution de cette population entre 1987 et 1999 ?
U
U
Exercice 4 : Dans un lycée, les élèves de 1ere ES représentent 30 % des élèves de
première et les élèves de première représentent 25 % de l’effectif total du lycée.
Quel est le pourcentage des élèves de 1ere ES par rapport à l’effectif total du lycée ?
U
U
Exercice 5 : Résoudre dans \ les systèmes d’équations suivants :
⎧1
3
⎧ x − y − 2 z = 17
⎪⎪ 2 x − 4 y = 3
⎪
a) ⎨
b) ⎨2 x + y + z = − 4 .
;
⎪3x − 2 y − z = 11
⎪ 5 x + 1 y =1
⎩
⎪⎩ 3
2
U
U
Exercice 6 : Un commerçant achète deux pièces de tissu, la première à 12 € par
mètre, la seconde à 16 € par mètre ; il a versé 372 € pour l’achat. Il vend ces deux
pièces avec un bénéfice de 20 % sur la première pièce et un bénéfice de 25 % sur la
seconde pièce et il encaisse un bénéfice total de 84 €.
Calculer la longueur en mètres de chacune des deux pièces de tissu.
U
U
Exercice 7 :
U
⎧ 2x + y = 3
.
1. Déterminer graphiquement la solution du système (S) ⎪⎨
⎪⎩6 x − 3 y = 1
2. Résoudre le système (S) par la méthode de votre choix.
ÉLÉMENTS DE CORRECTION
Exercice 1 :
U
a) masse de matière grasse =
10
× 217 = 21, 7 g .
100
b) Soit x la masse de produit sec contenu dans le fromage. On a :
45
× x = 21, 7 . D’où
100
100
= 48, 2 g
45
La masse d’eau est donc égale à 217−48,2 = 168,8 g.
x = 21, 7 ×
Exercice 2 :
U
8 ⎞ ⎛
12 ⎞
⎛
Soit x, le prix initial du produit. On a x × ⎜ 1 +
⎟ × ⎜1 +
⎟ = 725, 76 . D’où,
⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠
725, 76
x=
= 600 € .
1, 08 ×1,12
Exercice 3 :
U
9 ⎞
⎛ 10,3 ⎞ ⎛
Coefficient global = ⎜1 +
⎟ × ⎜1 −
⎟ = 1, 00373
⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠
Cela correspond à une hausse globale de (1,00373−1)×100 = 0,373 %.
Pourcentage des élèves de 1ere ES par rapport à l’effectif total du lycée
30 × 25
correspond à 30 % de 25 % soit
% = 7,5% .
100
Exercice 4 :
U
U
Exercice 5 :
U
1 1 ⎛ 3⎞ 5 1 5 6 3
× − ⎜− ⎟× = + = = ≠ 0.
2 2 ⎝ 4⎠ 3 4 4 4 2
Donc le système admet une unique solution. Résolvons ce système par la méthode des
combinaisons.
3
3
12
⎧1
⎧2
⎪⎪ 2 x − 4 y = 3 ⎪⎪ 4 x − 4 y = 4 ( ×4 )
⎧ 2 x − 3 y = 12 ( L1 )
⎧ 12 x = 18 ( L1 + L 2 )
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⎨
⎩10 x + 3 y = 6 ( L2 )
⎩10 x + 3 y = 6 ( L 2 )
⎪5 x + 1 y =1
⎪10 x + 3 y = 6 ( ×6 )
2
6
6
⎩⎪ 3
⎩⎪ 6
3
⎧
18
3
3
3
x=
⎧
⎧
⎧
⎧
⎪
⎧⎛ 3
⎞⎫
⎪ x=
⎪
⎪ x=
⎪ x=
⎪ x=
2
⇔⎨
⇔⎨
12 ⇔ ⎨
2 ⇔⎨
2 ⇔⎨
2 . Donc S = ⎨⎜ ; − 3 ⎟ ⎬ .
⎠⎭
⎩⎝ 2
⎪⎩10 x + 3 y = 6
⎪10 × 3 + 3 y = 6
⎪15 + 3 y = 6
⎪3 y = − 9
⎪⎩ y = − 3
⎩
⎩
⎪⎩
2
3x − z = 13
⎧
( L'1 )
⎧ x − y − 2 z = 17 ( L1 ) ⎧ 3x − z = 13 ( L1 + L2 )
⎪
⎪
⎪
b) ⎨ 2 x + y + z = − 4 ( L2 ) ⇔ ⎨ 2 x + y + z = − 4 ( ×2 ) ⇔ ⎨ 4 x + 2 y + 2 z = − 8 ( L'2 )
⎪3x − 2 y − z = 11 ( L ) ⎪3x − 2 y − z = 11
⎪ 3x − 2 y − z = 11 ( L' )
3
3
⎩
⎩
⎩
⎧ 3x − z = 13
⎪
⇔ ⎨ 7 x + z = 3 ( L'2 + L'3 ) .
⎪3 x − 2 y − z = 11
⎩
a) Calculons le déterminant du système : ab '− a ' b =
Résolvons le système formé par les deux premières lignes tout d’abord :
8
8
8
⎧
⎧
⎧
16
x=
x=
x=
⎧
⎪
⎪
⎪
1
⎧3x − z = 13 ( )
⎧ 10 x = 16 (1) + ( 2 )
⎪ x=
⎪
⎪
⎪
5
5
5
.
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
10 ⇔ ⎨
⎨
⎩ 7 x + z = 3 ( 2)
⎩7 x + z = 3
⎪⎩7 x + z = 3 ⎪7 × 8 + z = 3 ⎪ z = 3 − 56
⎪ z = − 41
5
5
⎩⎪ 5
⎩⎪
⎩⎪
8
41
Remplaçons x par et y par −
dans ( L1 ) par exemple, on obtient :
5
5
8
8 82
90
⎛ 41 ⎞
− 17 = y soit y = 1 .
− y − 2 × ⎜ − ⎟ = 17 donc + − 17 = y d’où
5
5 5
5
⎝ 5⎠
41 ⎞ ⎫
⎧⎛ 8
Conclusion : S = ⎨⎜ ; 1 ; − ⎟ ⎬ .
5 ⎠⎭
⎩⎝ 5
Exercice 6 : Posons x la longueur de tissu (en mètres) de la première pièce et y la longueur de
tissu de la seconde.
12 x + 16 y = 372
⎧
⎪
soit après
L’énoncé se traduit par le système d’équations suivant : ⎨
20
25
⎪⎩12 x × 100 + 16 y × 100 = 84
U
U
⎧12 x + 16 y = 372
simplification ⎨
.
⎩ 2, 4 x + 4 y = 84
Résolvons ce système par la méthode des combinaisons.
⎧12 x + 16 y = 372 ( L1 )
⎧12 x + 16 y = 372
⎧ 12 x + 16 y = 372 ( L1 )
⎧12 x + 16 y = 372
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⎨
x = 15
( L1 + L2 ) ⎩
⎩ 2, 4 x + 4 y = 84 × ( −4 )
⎩ −9,6 x − 16 y = −336 ( L2 )
⎩ 2, 4 x = 36
192
⎧
⎧ y = 12
⎧12 × 15 + 16 y = 372 ⎧16 y = 372 − 12 × 15 ⎧16 y = 192 ⎪ y =
. Donc
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
16 ⇔ ⎨
=
x
x = 15
x = 15
15
⎩
⎩
⎩
⎩ x = 15
⎪⎩ x = 15
S = {(15 ;12 )} .
Conclusion : Le commerçant a acheté 15 m de la première pièce de tissu et 12 m de la seconde.
Exercice 7 : 1. On constate que I ( 0,8 ;1,3)
U
U
y
6
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
I
1
2
3
4
x
2. Résolvons le système par combinaison
9 3
⎧
⎧ 2 x + y = 3 ⎧6 x + 3 y = 8
⎧ 12 x = 9
⎪x = =
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
12 4
⎨
⎩6 x − 3 y = 1 ⎩ 6 x − 3 y = 1
⎩6 x − 3 y = 1 ⎪6 x − 3 y = 1
⎩
3
3
3
⎧
⎧
⎧
3
x=
x=
x=
⎧
⎪⎪
⎪
⎪
=
x
⎪
⎪
4
4
4 ⇔⎪
⇔⎨
4 ⇔⎨
⎨
⎨
⎪6 × 3 − 3 y = 1 ⎩⎪−3 y = 1 ⎪3 y = 9 − 1 ⎪3 y = 7
⎪⎩ 4
⎪⎩
⎪⎩
2
2
3
⎧
⎪⎪ x = 4
⎛3 7⎞
Soit ⎨
Donc les coordonnées exactes de I sont ⎜ ; ⎟ .
⎝4 6⎠
⎪y = 7
⎪⎩
6