triangles isometriques exercices corriges

Cours et exercices de mathématiques
M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
TRIANGLES ISOMETRIQUES
EXERCICES CORRIGES
Exercice n°1.
ABC triangle isocèle en A. I et J milieux respectifs de [AB] et [AC].
1) Montrer que les triangles BIC et BJC sont isométriques.
2) Montrer que BJ = CI.
Exercice n°2.
ABC est un triangle. On note I, J et K milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC].
Montrer que les triangles AIJ, BIK, JKI et KJC sont isométriques.
Exercice n°3.
ABCD est un parallélogramme. I et J milieux respectifs de [AD] et [AB]. La droite (IJ) coupe (BC) en E et (CD) en F.
1) Montrer que les triangles DFI et AIJ sont isométriques
2) Montrer que les triangles JBE et IFD sont isométriques
3) Montrer que FI = IJ = JE.
Exercice n°4.
Soit ABC et A’B’C’ deux triangles isométriques, soit G et G’ les centres de gravité des triangles ABC et A’B’C’.
Démontrer que les angles n
AGB et n
A′G ′B′ sont égaux.
Exercice n°5.
[AB] et [CD] sont deux diamètres d’un cercle de centre O.
1) Montrer que OAD et OBC sont isométriques.
2) Montrer que ABC et ADB sont isométriques.
Exercice n°6.
ABC est un triangle isocèle en A. M est un point de [BC].
Par M, on mène la perpendiculaire à (AB), qui coupe (AB) en P, et la perpendiculaire à (AC), qui coupe (AC) en Q. Par
C, on mène la perpendiculaire à (MP), qui coupe (MP) en R.
Montrer que les triangles MQC et MRC sont isométriques.
Exercice n°7.
ˆ et deux points A et B de [Ox). On a placé sur [Oy) les deux points C et D tels que OC=OA et
Soit un angle xOy
OD=OB. Soit I le point d’intersection de [BC] et [AD].
1) Démontrer que les triangles OBC et ODA sont isométriques.
2) Démontrer que les triangles IAB et ICD sont isométriques.
3) Démontrer que les triangles OIB et OID sont isométriques.
ˆ
4) En déduire que la droite (OI) est la bissectrice intérieure de xOy
5) Proposer une construction de la bissectrice d’un angle donné
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CORRECTION
Exercice n°1
n = JCB
n.
ABC = n
ACB donc IBC
1) Si le triangle ABC est isocèle en A, alors n
1
1
De plus, puisque AB=AC, alors IB = AB = AC = JC . Les triangles IBC et JCB ont
2
2
deux côtés respectivement de même longueur IB=JC et BC (côté commun), ainsi que
n = JCB
n ), donc ils sont
les angles formés par ces côtés de même mesure ( IBC
isométriques
2) Puisque les triangles IBC et JCB sont isométriques, on conlut à l’égalité des
longueurs des troisièmes côtés, soit BJ=CI.
Exercice n°2
Puisque I est le milieu de [AB], J est le milieu de [AC] et K le milieu de [BC], la propriété de la droite des milieux
1
1
affirme que IJ = BC = BK et IK = AC = AJ .
2
2
Les triangles AIJ et BIK sont donc isométriques car leurs trois côtés sont respectivement de même longueur : AI=BI (car I
est le milieu de [AB]), IK=AJ et IJ=BK
De même, les triangles BIK et JKI sont isométriques car leurs trois côtés sont respectivement de même longueur :
1
JK = AB = BI , IJ=BK, et le côté [IK] est commun)
2
Enfin, les triangles JKI et KJC sont isométriques, car leurs trois côtés sont respectivement de même longueur : le côté
1
1
[JK] est commun, IJ = BC = KC et IK = AC = JC )
2
2
Les quatre triangles sont donc isométriques.
Exercice n°3
n et IDF
n sont de même mesure Comme les angles
1) Puisque (AB)//(CD) et que (AD) leur est sécante, les angles IAJ
n
n sont opposés par le sommet, ils sont de même mesure. Les triangles DFI et AIJ ont donc deux angles
AIJ et DIF
respectivement de même mesure, ainsi que les côtés formés par ces angles respectivement de même longueur (IA=ID car
I est le milieu de [AD]). Ils sont donc isométriques
2) On utilise le même raisonnement que le précédent pour montrer que les triangles JBE et AIJ sont isométriques :
n et EBJ
n sont de même mesure Comme les angles n
AJI
Puisque (AD)//(BC) et que (AB) leur est sécante, les angles IAJ
n sont opposés par le sommet, ils sont de même mesure. Les triangles AIJ et EBJ ont donc deux angles
et EJB
respectivement de même mesure, ainsi que les côtés formés par ces angles respectivement de même longueur (JA=JD car
J est le milieu de [AB]). Ils sont donc isométriques. Puisque AIJ et EBJ sont isométriques, et puisque DFI et AIJ sont
isométriques alors les triangles EBJ et DFI sont isométriques.
3) Puisque les triangles DFI et AIJ sont isométriques , l’égalité des longueurs des troisièmes côtés conduit à FI=IJ.
Puisque les triangles EBJ et AIJ sont isométriques, IJ=JE. Finalement FI=IJ =JE.
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Exercice n°4
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Pour montrer que les angles n
AGB et n
A′G ′B′ sont égaux, on va montrer que les triangles AGB et A’G’B’ sont
isométriques.
Si les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques, alors AB=A’B’, BC=B’C’ et n
ABC = n
A′B′C ′ .
1
1
BC = B′C ′ = B′K ′ . Comme AB=A’B’ et
2
2
n
ABK = n
A′B′K ′ (car n
ABC = n
A′B′C ′ ), les triangles ABK et A’B’K’ sont donc isométriques, et donc AK=A’K’.
JJJG 2 JJJG
JJJJJG 2 JJJJJG
Des égalités AG = AK et A′G ′ = A′K ′ , on déduit que AG=A’G’.
3
3
On démontre de même que BG=B’G’.
AGB = n
A′G ′B′ .
Puisque AB=A’B’, les triangles ABG et A’B’G’ sont donc isométriques, et ainsi n
Si on note K le milieu de [BC] et K’ le milieu de [B’C’], alors BK =
Exercice n°5
1) Les triangles OAD et OBC sont isométriques car ils ont deux côtés
respectivement de même longueur, (OA=OB et OD=OC, ces quatre
longueurs étant égales entre elles car ce sont des rayons) , et l’angle formé
n car ces angles
par ces côtés respectivement de même mesure ( n
AOD = BOC
sont opposés par le sommet)
n = OBC
n . Les
2) Puisque les triangles OAD et OBC sont isométriques, OAD
triangles ABC et ABD ont deux (donc trois) angles respectivement de même
mesure), donc sont de même forme. Comme ils ont deux côtés
respectivement de même longueur AB=CD, on conlut que les deux triangles
ABC et ABD sont isométriques.
Exercice n°6
ABC = n
ACB , c’est-à-dire
Puisque le triangle ABC est isocèle en A, n
n
n
n
n
MBP = MCQ . De l’égalité des angles MPB = MQC (ces angles sont droits
n = MCQ
n , on déduit l’égalité de mesure
par construction), et de l’égalité MBP
n = CMQ
n . Puisque les angles BMP
n et CM
n
du troisième angle BMP
R sont
opposés par le sommet, ils ont même mesure, et par suite
n = BMP
n = CMQ
n . Puisque les angles CRM
n et CQM
n sont égaux car
CMR
droits par construction, les triangles CMQ et CMR ont deux donc trois
angles respectivement de même mesure, donc sont de même forme.
Puisqu’ils ont le côté [CM] en commun, ils sont donc isométriques.
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Exercice n°7
n=n
AOD , les triangles BOC et AOD sont isométriques
1) Puisque OB=OD, OC=OA et BOC
n = OAD
n , donc par
2) Puisque les triangles BOC et AOD sont isométriques, on a OCB
n = IAB
n
soustraction, ICD
n
AIB et CI
D étant opposés par le sommet, ils sont de même mesure. Ainsi les
Les angles n
triangles IAB et ICD ont deux donc trois angles respectivement de même mesure, donc sont de
même forme.
Puisque OB=OD et OA=OC, par soustraction, AB=CD et ainsi les triangles IAB et ICD sont
isométriques.
3) Puisque les triangles IAB et ICD sont isométriques, IB=ID. Comme OB=OD, les triangles
OIB et OID ont deux côtés respectivement de mesure. Comme ils ont un côté OI en commun, leur trois côtés sont
respectivement de même longueur, donc ces triangles sont isométriques.
n = IOD
n , donc la droite (OI) est la bissectrice intérieure
4) Puisque les triangles OIB et OID sont isométriques, alors IOB
ˆ
de xOy
ˆ étant donné, on marque deux points A et C sur [Ox) et [Oy) tels que OA=OC, et deux points B et D sur
5) Un angle xOy
ˆ
[Ox) et [Oy) tels que OB=OD. On note I l’intersection de [AD]et [BC]. La droite (OI) est la bissectrice intérieure de xOy
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