Forces de frottements - MP*1

MP*1- 2015/2016
Forces de frottements
1) Equilibre d’une brique :
Une brique de masse 𝑚1 peut glisser sur un plan incliné, faisant un angle 𝜑 avec
𝑔⃗
l’horizontale, avec un coefficient 𝑓. La brique est
retenue par un fil passant par une poulie d’inertie
𝑚1
négligeable, tendue par une masse 𝑚2 . On appelle 𝛼
𝑚
le rapport 𝑚2 .
𝜑
𝑚2
1
Montrer que pour 𝛼 2 − 1 < 𝑓 2 , le système
est en équilibre si 𝜑1 < 𝜑 < 𝜑2 .
Déterminer 𝜑1 et 𝜑2 pour 𝛼 = 0,6 et 𝑓 = 0,4.
2) L'archet de violon :
Un archet de violon de masse m, se déplace à vitesse constante 𝑣⃗ = 𝑣𝑒⃗⃗⃗⃗𝑥 sur une corde
située à l'abscisse 𝑥 (𝑡). La corde tendue à ses extrémités est soumise à une force de rappel 𝐹⃗
= −𝑘𝑥 (𝑡) ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑥 (𝑘 est proportionnel à la tension de la corde) ainsi qu'à la réaction de l'archet
(le coefficient de frottement statique est noté 𝑓𝑠 et on supposera que le coefficient de
frottement dynamique 𝑓𝑑 est rendu nul grâce à la colophane.
A l'instant initial 𝑡 = 0 la corde se trouve en position 𝑥 (𝑡) = 0.
1) Montrer que lors d'une première phase l'archet entraîne avec lui la corde.
2) A quelle date s'arrête cette phase ?
3) Quelle est ensuite le mouvement de la corde ?
3) Comment tirer une nappe sans casser les assiettes ?
Sur un guéridon, recouvert d’une nappe de masse 𝑚, repose une assiette bien remplie
de mase 𝑀. D’un geste brusque, on tire la nappe. La question est de savoir si l’assiette reste
sur le guéridon.
Le guéridon est modélisé par un disque de centre 𝑂, de rayon 𝑅. La nappe a les mêmes
dimensions que le guéridon et une épaisseur négligeable. L’assiette circulaire, de rayon r, est
placée au centre de la table. Un expérimentateur tire le bord de la nappe avec une force
horizontale 𝐹⃗ = 𝑚𝛼𝑡𝑢
⃗⃗𝑥 où 𝛼 est une constante. Le coefficient de frottement entre le guéridon
et la nappe est supposé nul et celui entre l’assiette et la guéridon est noté 𝑓.
1) On suppose que, tout au long de l’expérience, l’assiette glisse par rapport à la
nappe. Est-ce réellement le cas ? Quel est la signe de la vitesse de l’assiette par rapport à la
nappe en projection sur 𝑢
⃗⃗𝑥 ?
2) Calculer l’accélération du centre de masse de l’assiette 𝑥̈ 𝑎 et celui de la nappe 𝑥̈ 𝑛
dans le référentiel de la pièce. En déduire 𝑥𝑎 (𝑡) et 𝑥𝑛 (𝑡).
3) Jusqu’à quel temps 𝜏 a-t-on contact entre la table et la nappe ?
4) Lors d’un mouvement vif, on a au moins 𝛼 = 2500 𝑚. 𝑠 −3. Sachant que 𝑀 =
400 𝑔, 𝑚 = 50 𝑔, 𝑅 = 25 𝑐𝑚, 𝑟 = 5 𝑐𝑚, 𝑔 = 9,8 𝑚. 𝑠 −2 et 𝑓 = 0,2, où est l’assiette quand le
contact nappe - assiette cesse ? Conclure.
4) Equilibre d’une personne sur une échelle :
Une échelle, de masse 𝑚 et de longueur 2𝐿, repose d’une part sur le sol en 𝐵
(coefficient de frottement 𝑓), et d’autre part contre un mur en 𝐴 (le coefficient de frottement
est pris nul pour ce contact. L’échelle fait un angle 𝛼 avec l’horizontale. A quelle condition
une personne de masse 𝑀 peut-elle rester debout en équilibre en n’importe quel point de
l’échelle ?
5) Mesure d’un coefficient de frottement :
On considère deux cylindres de même rayon 𝑅 sur lesquels est posé une planche de
longueur 𝐿, d’épaisseur négligeable, de masse 𝑚. On appelle 𝑓 le coefficient de frottement
entre les cylindres et la planche. Le point de contact entre la planche et le cylindre 𝐶1 est 𝑂1 et
le point de contact entre la planche et le cylindre 𝐶2 est 𝑂2. La distance 𝑂1 𝑂2 vaut toujours 𝑑.
Les cylindres tournent chacun dans un
sens opposé à l’autre à la vitesse angulaire
G
𝜔. Au temps 𝑡 = 0, la planche n’a pas de
vitesse et son centre d’inertie est en 𝑂.
O
x
Décrire le comportement de la
R
R
planche. Que se passe-t-il si on fait
l’hypothèse que les valeurs sont telles que
les vitesses de glissement ne s’annulent
jamais? Montrer que cette expérience permet une mesure du coefficient de frottement.
6) Le fouet d’Indiana Jones:
Indiana Jones (𝑀 = 80 𝑘𝑔) doit franchir une crevasse. Il enroule son fouet autour
d’une branche. La branche a un rayon R et Une corde de masse négligeable passe sur un
cylindre horizontal de rayon 𝑅. Le coefficient de frottements est 𝑓 = 0,3. Quelle est la tension
du dernier élément de fouet 𝐴 en contact avec la branche si le fouet est enroulé 4,5 tours ?
Indiana franchira-t-il l’obstacle ?
Pour résoudre ce problème il faut considérer que le fouet est un fil de masse négligeable, sans
raideur, enroulé d’un angle 𝛼 sur un arbre cylindrique de
𝑢
⃗⃗𝜃
B
𝑢
⃗⃗𝑟
rayon 𝑅, de génératrice l’axe des 𝑧 . Le contact arbre-fil est
𝛼
𝑀
caractérisé par un coefficient de frottement 𝑓. Indiana Jones
𝜃
A
𝐹⃗𝐵
exerce une force 𝐹⃗𝐴 = 𝑀𝑔⃗ de norme 𝐹𝐴 sur l’extrémité 𝐴 du
fil, il faut chercher la valeur minimale de la norme 𝐹𝐵 de la
𝐹⃗𝐴
force 𝐹⃗𝐵 à appliquer à l’autre extrémité du fil pour qu’il soit
en équilibre.
Indications:
1) Equilibre d’une brique :
Appliquer la loi de la quantité de mouvement au solide (1) et au solide (2) en exploitant la
nature du fil, inextensible et sans masse ; en déduire une équation du second degré en s𝑖𝑛𝜑 ;
la condition cherchée porte sur le discriminant de cette équation.
2) L'archet de violon :
1) Au départ la force de frottement n’est pas assez importante pour vérifier les lois de
Coulomb du glissement ; faire l’hypothèse d’un cas statique, avec une vitesse de glissement
nulle et trouver la loi de 𝑇 en fonction du temps ; en appliquant les lois de coulomb en déduire
le temps marquant la fin de cette phase ; 2) il n’y a plu que la force de rappel, donc
mouvement harmonique.
3) Comment tirer une nappe sans casser les assiettes ?
1) Au départ la nappe et l’assiette sont immobiles ; l’assiette ne peut pas avoir de vitesse
supérieure à la nappe ; 2) appliquer la loi de la quantité de mouvement à l’assiette puis à la
nappe ; il faut appliquer le théorème des actions réciproques ; 3) le contact cesse quand
𝑥𝑛 (𝑡) − 𝑥𝑎 (𝑡) ≥ 𝑅 + 𝑟 ; 4) faire une résolution numérique.
4) Equilibre d’une personne sur une échelle :
Il y a équilibre si la somme des forces et la somme des moments par rapport à un point sont
nulles ; la somme des forces nulles donne une relation entre 𝑁𝐴 et 𝑇𝐵 d’une part, entre 𝑁𝐵 , 𝑀
et 𝑚 d’autre part ;si on prend la somme des moments par rapport à B, centre d’inertie de
l’échelle on trouve une relation entre 𝑁𝐴 , 𝑚, 𝑀, 𝐿, 𝑥 et 𝛼 ; appliquer alors la loi de Coulomb à
la réaction en 𝐵, loi qui doit être vérifiée pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝐿.
5) Mesure d’un coefficient de frottement :
Il faut d’abord calculer les vitesses de glissement au temps t=0 pour connaître les signes de
ces vitesses à l’instant t et pouvoir appliquer les lois de Coulomb. Ecrire la loi de la quantité
de mouvement au système la planche; appliquer également le théorème du moment cinétique
à la planche en remarquant que celle-ci est en translation. En déduire les réactions normales
en 𝑂1 et en 𝑂2, puis les réactions tangentielles.
6) Le fouet d’Indiana Jones:
Faire un bilan de forces pour un tronçon de fouet compris entre 𝜃 et 𝜃 + 𝑑𝜃 en tenant compte
de la réaction normale, de la force de frottement et des tensions au deux extrémités. Pour le
signe de la force de frottement, réfléchir au sens de glissement du fouet si la force 𝐹𝐵 n’était
pas assez importante. Trouver une expression liant 𝐹𝐵 à 𝐹𝐴 et 𝛼. Pour Indiana Jones appliquer
cette relation dans le cas où 𝐹𝐴 est le poids d’Indiana.
Solutions :
1) Equilibre d’une brique :
La condition d’équilibre donne ±𝑓𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝛼 = 0 soit 𝑠𝑖𝑛2 𝜑(1 + 𝑓 2 ) − 2𝛼𝑠𝑖𝑛𝜑 +
𝛼 2 − 𝑓 2 = 0 ; le discriminant doit être positif soit 1 + 𝑓 2 > 𝛼 2 ; 𝑠𝑖𝑛𝜑1,2 = 𝛼 ±
𝑓√1+𝑓 2 −𝛼2
1+𝑓 2
;
on trouve 12° < 𝜑 < 53°.
2) L'archet de violon :
1) 𝑇(𝑡) = 𝑘𝑣𝑡 ; 2) 𝑡𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖è𝑟𝑒 𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒 =
𝑓𝑠 𝑚𝑔
𝑘𝑣
𝑘
; 3) 𝑥̈ (𝑡) + 𝑚 𝑥(𝑡) = 0
3) Comment tirer une nappe sans casser les assiettes ?
1) la vitesse de glissement de l’assiette sur la nappe est négative ; 2) 𝑥̈ 𝑎 = 𝑓𝑔 ; 𝑥̈ 𝑛 =
𝑀
1
𝑀
1
− 𝑚 𝑓𝑔 + 𝛼𝑡 ; 𝑥𝑎 (𝑡) = 2 𝑔𝑓𝑡 2 ; 𝑥𝑛 (𝑡) = − 2𝑚 𝑔𝑓𝑡 2 + 3 𝛼𝑡 3 ; 3) on a
1
3
1
2
𝑀
𝑔𝑓𝜏 2 (1 − 𝑚) +
𝛼𝜏 3 = 𝑅 + 𝑟 ; 4) 𝜏~0,1 𝑠 et 𝑥𝑎 (𝜏)~10 𝑚𝑚 ; l’assiette n’a pratiquement pas bouger.
4) Equilibre d’une personne sur une échelle :
2𝑀+𝑚
𝑓 ≥ 2(𝑀+𝑚) 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛼.
5) Mesure d’un coefficient de frottement :
L’équation du mouvement de la planche est 𝑥̈ (𝑡) +
2𝑓𝑔
𝑑
𝑥(𝑡) = 𝑓𝑔. On a des oscillations de
𝑑
période 𝑇 = 2𝜋√2𝑓𝑔.
6) Le fouet d’Indiana Jones:
𝐹𝐵 = 𝐹𝐴 exp(−𝑓𝜃) = 0,1 𝑁 ; cette valeur est très faible donc pas de pb pour Indiana Jones.