Devoir à la maison

Devoir à la maison
CORRIGE
Toulouse
Poitiers
Paris
380 505 585 304
546 713 823 414
729 965 1767 549
Strasbourg
474 447
618 635
914 811
Nice
Nantes
Montpellier
Marseille
Lyon
Ile-deFrance
Lille
504 434 566 471 478
709 540 736 633 620
1407 790 1432 817 768
Rouen
Studio
2 pièces
3 pièces
Bordeaux
Aix
Exercice 1 : Statistique
Chaque début d’année scolaire, un baromètre des loyers montre la moyenne globale
des loyers proposés aux étudiants. Pour la rentrée 2009-2010, les montants, en euros, pour les
14 villes étudiantes principales sont les suivants :
Ville
405
522
684
406
559
783
437
648
803
1- En utilisant la calculatrice, recopier et compléter le tableau suivant :
Studio
Minimum ler quartilc Médiane 3'' quartile Maximum Étendue
304
406
459
504
585
281
Ecart
interquartile
98
2 pièces
414
546
626,5
709
823
409
163
3 pièces
549
768
807
965
1767
1210
197
2- Indiquer, en citant l’indicateur statistique utilisé, pour quel type d’appartement :
• La dispersion est la plus importante ;
La dispersion est donnée par l’étendue. Dans ce cas, la dispersion la plus importante est pour
les 3 pièces.
• La moitié des montants moyens des loyers est supérieure à 465 € ;
L’indicateur utile ici est la médiane. Les 2 pièces et les 3 pièces ont la moitié des loyers
supérieurs à 465 € .
• 75 % des montants des loyers sont inférieurs à 700 €.
L’indicateur utile est le 3ème quartile. Seul les studios ont 75 % des montants des loyers
inférieurs à 700 €.
3- Vous devez partir étudier en Métropole. Est-il le plus avantageux de vivre seul dans un
studio, en colocation à deux dans un 2 pièces ou trois dans un 3 pièces si vous
choisissez d’étudier à Paris ? à Montpellier ?
A Paris, un studio coûte 585 €, un 2 pièces 823 €, soit 823 = 411,50 € par personne, et
2
1767 € pour un 3 pièces soit 1767 = 589 € par personne. Donc à Paris, il est moins onéreux de
3
prendre un 2 pièces en colocation.
A Montpellier, un studio coûte 447 €, un 2 pièces 635 €, soit 635 = 317,50 € par personne,
2
et 811 € pour un 3 pièces soit 811 = 270,33 € par personne. Donc à Montpellier, il est moins
3
onéreux de prendre un 3 pièces en colocation.
Exercice 2 : Les fonctions
Pour introduire sur le marché un nouveau produit, l’entreprise « Innov’alu » doit
analyser les coûts et la rentabilité de la production en fonction du nombre d’objets produits et
vendus.
Le coût de production C (en euros) est constitué :
- des charges directes notées CD ;
- des charges indirectes notées CI.
Il est établi que les charges directes et indirectes dépendent du nombre d’objets
produits n (en centaine) selon les relations :
CD = 17n3
CI = 88n + 156
3
La totalité est modélisée par la fonction f définie sur [0 ;5] par : f(x) = 17x + 88x +156
1- a) La fonction x → 17 x3 est-elle croissante ou décroissante sur [0 ;5] ?
La fonction cube est croissante sur Ρ donc la fonction x → 17 x3 est croissante sur [0 ;5] .
b) La fonction x → 88x +156 est-elle croissante ou décroissante sur [0 ;5] ?
Une fonction affine (ax+b) est croissante sur Ρ si a>0 donc la fonction x → 88x +156 est
croissante sur [0 ;5].
c) Indiquer, en justifiant, les variations de la fonction f sur [0 ;5] ?
Si deux fonctions sont croissantes sur un intervalle alors la somme de ces deux fonctions est
une fonction croissante sur le même intervalle. La fonction f est croissante sur [0 ;5] .
Les objets produits sont vendus 400 € la centaine. Le chiffre d’affaire CA et le résultat R
dépendent du nombre d’objets vendus n (en centaines) selon les relations :
CA = 400n
R = CA – (CD + CI)
Le chiffre d’affaires est modélisé par la fonction g définie sur [0 ;5] par g(x) = 400x.
Le résultat est modélisé par la fonction h définie sur [0 ;5] par h(x) = g(x) – f(x).
2- A l’aide de la calculatrice graphique (ou du papier millimétré), représenter
graphiquement la fonctions h sur [0 ;5].
(Si vous avez opté pour le papier millimétré un tableau de valeur est nécessaire)
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
-50
-100
-150
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
2,5
2,75
3
3,25
3,5
3,75
4
4,25
4,5
4,75
5
3- Le bénéfice correspond à un résultat positif. Résoudre graphiquement l’inéquation
h(x)>0 et en déduire le nombre de produits qu’il faut vendre pour dégager un bénéfice.
Graphiquement, on constate h(x)>0 que pour x ∈ ]0,5 ; 4[, c'est-à-dire qu’il faut vendre entre
50 et 400 produits pour dégager des bénéfices.
4- A l’aide de la fonction « max » ( menu calculs pour TI-82 et G-Solv pour Casio),
déterminer graphiquement le nombre d’objets correspondants à un bénéfice maximum.
D’après la calculatrice, le maximum est pour x= 2,47 et y = 358,5. Les bénéfices seront
maximum pour 247 produits.
Exercice 3 : Les suites
Un fumeur sur deux meurt à cause des effets nocifs de la cigarette. Pierre, fumant en
moyenne 56 cigarettes par semaine, décide de s’arrêter et choisit une méthode progressive :
réduire sa consommation d’une cigarette par jour.
1- On appelle u1 sa consommation au moment où il décide d’arrêter de fumer. Quelle est
la valeur de u1?
Au moment où il décide d’arrêter de fumer, il consomme 56 cigarettes par semaine donc
u1 = 56.
2- Calculer u2 et u3 respectivement sa consommation de la 2ème et 3ème semaine.
Une semaine faisant 7 jours, la 2ème semaine, il consomme 56-7 = 49 cigarettes et la 3ème
semaine, 49-7 = 42 cigarettes. u2 = 49, u3 = 42.
3- Montrer que u1, u2, …. un forment une suite arithmétique. Donner sa raison.
u2 - u1 = -7 ; u3 - u2 = -7 ; C’est une suite arithmétique de raison –7.
4- Sachant qu’un paquet de 20 cigarettes coûte en moyenne 5,30 €, calculer l’économie
réalisée au bout de 5 semaines.
u4 = 42-7 ; u4 = 35 ; u5 = 35-7 ; u5 = 28
Au bout de la 5ème semaine, il ne consomme plus que 28cigarettes. Il a donc divisé sa
consommation par 2.
Sachant qu’un paquet de 20 cigarettes coûte en moyenne 5,30 €, grâce à un tableau de
proportionnalité :
Nombre de
20
56
49
42
35
28
cigarettes
Prix en euros
5,30
14,84
12,985
11,13
9,275
7,42
4×14,84 – (12,985+11,13+9,275+ 7,42) = 18,55
Au bout de 5 semaines, il a économisé 18,55 euros.
5- Déterminer graphiquement au bout de combien de semaines Pierre réussira à arrêter
totalement de fumer.
70
60
Au bout de 9 semaines, il
arrêtera totalement de
fumer.
u1
u2
50
u3
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11