baccalaureat blanc general

BACCALAUREAT BLANC GENERAL
Epreuve: MATHEMATIQUES
Série : S
Durée : 4 heures
Coefficient : 9
SPECIALITE
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4 pages
numérotées de 1 à 4.
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la
réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices concernant sa partie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplète ou non fructueuse, qu’ 'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Spécialité
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EXERCICE 1
5 points
Dans une commune comportant un seul hypermarché A, on annonce l’ouverture d’un harddiscount B au mois de mars 2013.
Au mois de février 2013, on s’intéresse aux familles faisant leurs achats une fois par mois et
clientes de l’hypermarché A. Par la suite, ces familles feront leurs achats une fois par mois, soit à
l’hypermarché A, soit au hard-discount B.
Les mois sont comptés à partir du mois de février 2013, que l’on appellera mois 0 (le mois de
mars 2013 est donc le mois 1, etc.).
Pour tout entier naturel n, on désigne par :
• an la probabilité qu’une famille ait choisi l’hypermarché A pour faire ses achats le mois n (on a
donc a0 = 1) ;
• bn la probabilité qu’une famille ait choisi le hard-discount B pour faire ses achats le mois n (on
a donc b0 = 0) ;
• Pn la matrice (an bn) traduisant l’état probabiliste le mois n.
On a donc P0 = (1 0).
On estime que d’un mois sur l’autre, les familles vont se répartir de la façon suivante :
• 30 % des familles clientes de A changent pour B ;
• 75 % des familles clientes de B restent fidèles à B.
1 Représenter cette situation par un graphe probabiliste noté G.
a. Donner la matrice de transition M du graphe G en respectant l’ordre alphabétique des
sommets.
M=(
)
b. Montrer que P2 = (0,565 0,435). En déduire la répartition du nombre de familles pour
chaque magasin au mois d’avri1 2013.
P1 = P0
M=
P2 = M
P1 =
(
) =
(
) =
56,5% des familles vont à A et 43,5% à B
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c. Ecrire la relation donnant une prévision de la répartition des familles au mois de juillet 2013.
En déduire la répartition du nombre de familles pour chaque magasin au mois de juillet 2013.
Les calculs pourront être faits à la calculatrice, ou on pourra choisir parmi les matrices M3, M4 et
M5 dont les coefficients sont arrondis au millième:
(
)
(
)
(
)
Juillet correspond à n = 5
(
P5 = P0 M5 =
)
(
=
)=
2. Exprimer Pn+1 en fonction de Pn
Pn+1 = Pn
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,45an + 0,25.
d’où
EXERCICE 2
an+1 =
0,45an + 0,25.
5 points
Sur la figure jointe en annexe, les points E, F, G, H appartiennent respectivement aux
segments [SA], [SB] et [SD].
1. Justifier que les droites (EF) et (AB) sont sécantes en un point K. Le construire.
2. Construire l’intersection des plans (EFG) et (ABC).
3. En déduire la section de la pyramide SABCD par le plan (EFG).
EXERCICE 3
5 points
On considere la fonction f définie sur [0 ;+ par
Ou désigne par (C) Ia courbe représentative de la fonction f dans un repére orthonormal
(O ; I ; J) ). Cette courbe est donnée en annexe.
l. Pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1, on pose :
∫
a. Démomrer que la fonction F est dérivable sur [1 ;+
si une fonction f est continue et positive sur l’intervalle [a ;b] la fonction F définie sur [a ;b]
par
est dérivable sur [a ;b] de dérivée f.
∫
or d’après la courbe en annexe, f est continue et positive sur [1 ;+ donc la fonction
est dérivable sur [1 ;+
∫
b. Montrer que la fonction
est une primitive de f sur [1 ;+
si oui alors (
posons G(x) =
définie et dérivable sur [1 ;+ comme composée de fonctions
définies et dérivables sur [1 ;+ alors G = (uv) donc G’ = u’v + uv’ d’où G’(x) = -1
= f(x)
En déduire que pour tout x de [1 ;+ , F(x) =
∫
2. Soit un réel m supérieur ou égal à 1. On considére la partie Dm du plan, limitée par la
courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équation x = l et x = m.
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Déterminer, à l’aide de la calculatrice, m tel que l'aire, en unités d'aires, de Dm soit égale à et
hachurer Dm sur le graphique.
Par définition, Dm =
=
∫
Et la calculatrice nous donne m
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EXERCICE 4
5 points
Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et pour tout nombre entier naturel n, par un+1 =
Si f est la fonction de définie sur l’intervalle [-2 ;
nombre entier naturel n, un+1 = f (un).
par f (x) =
, alors on a. pour tout
On donne en annexe (à rendre avec la copie) une partie de la courbe représentative C de la
fonction f ainsi que la droite d’équation y = x.
1. a. Sur l’axe des abscisses. Placer u0 puis construire u1, u2 et u3 en laissant apparents les traits
de construction.
b. Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite
(un) ?
la suite semble être décroissante et converger vers 1
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel n, on a un - l > 0.
Initialisation : n =0 alors u0 - l = 5 – 1 = 4 > 0. Donc proposition vérifiée
Hérédité : supposons que pour k, 0 < k < n on ait uk - l > 0.
Montrons qu’à cette condition uk+1 - l > 0.
uk+1 – l =
or uk - l > 0 donc 3(uk – l) > 0 et
uk +2 > 0 d’où uk+1 – l > 0 ie la proposition est héréditaire.
Conclusion la proposition est vraie pour n = 0 et est héréditaire
b. Dans cette question. Toute trace de recherche. même incomplète. ou d'initiative même non
fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation : Valider par une démonstration les
conjectures émises à la question l. b.
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Montrons que la suite est décroissante. Pour tout n, un+1 – un =
un
< 0 clairement. La suite est donc décroissante.
Montrons que la suite est convergente.
La suite est décroissante et minorée par 1, donc elle converge ver avec
3. Dans cette question. on se propose d'étudier la suite ((un) par une autre méthode, en
déterminant une expression de un en fonction de n.
l. Pour tout nombre entier naturel n, on pose vn =
a. Démontrer que la suite
est une suite arithmétique de raison
=
pour tout n donc la suite est
arithmétique de raison
b. Pour tout nombre entier naturel n, exprimer vn puis un en fonction de n.
par définition,
or
donc
ainsi,
=
et donc comme
on obtient
c. En déduire la limite de la suite (un).
qui a pour limite 1
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Spécialité
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Annexe à joindre à la copie
Figure de l’exercice 2.
Figure de l’exercice 3.
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