Hamilton et les Quaternions.

Hamilton et les Quaternions.
William Rowan Hamilton est né à Dublin en 1805. A l’âge de 5 ans, il lisait déjà le latin, le grec et l’hébreu !
Il entre à 18 ans à l’université de Dublin et, alors qu’il est encore étudiant, il est nommé professeur
d’astronomie dans cette même université (1827). Il deviendra également directeur de l’observatoire de
Dunsink avec le titre « d’Astronome royal d’Irlande ». Il fut de son vivant l'objet des plus grands honneurs,
on l'appelait le « Newton irlandais ». Anob
Anobli
li en 1835, il fut aussi nommé Président de l’Académie Royale
Irlandaise. Sa grande découverte est les Quaternions, sujet sur lequel il travailla de nombreuses années avec
plus ou moins de bonheur. Mais sa curiosité ne s’arrête pas là. Il faut également noter ses travaux en optique,
en acoustique et en mécanique. Sir William Rowan Hamilton quitte ce monde en 1865.
Des nombres complexes aux quaternions
L’une des réalisations d’Hamilton fut de légitimer l’utilisation des nombres complexes. Il montra qu’e
qu’en calculant avec
des nombres de la forme x + iy , on effectue des calculs similaires à ceux que l’on pourrait exécuter avec des couples (x ; y). Ce
fut là l’origine de son intérêt pour l’interprétation géométrique des nombres complexes.
Hamilton se posa alors
ors la question suivante : sachant que l’on peut représenter les nombres complexes comme points du
plan, existe-t-il
il un ensemble de nombres hypercomplexes qui se représenterait comme points de l’espace ? Dit autrement : On
définit dans le plan complexe une addition et une multiplication qui coïncident avec l’addition et la multiplication des nombres
réels (la droite réelle est un sous ensemble du plan). Est-il
Est il possible de construire dans l’espace des opérations similaires qui
coïncident avec celles des nombres
res complexes (le plan étant vu comme sous ensemble de l’espace) ?
En tant qu’espace, la construction est évidente, c’est au niveau des opérations (addition et surtout multiplication) que le
problème se pose. Plus précisément, Hamilton considére des obje
objets de la forme : z = a + ib + jc avec a,
a b, c, réels Il définit un
module : z = a 2 + b 2 + c 2 et cherche à construire une multiplication entre deux de ces objets.
Pendant de nombreuses années, Hamilton chercha en vain à résoudre ce problème. On peut démontrer aujourd’hui que ce
problème n’a pas de solutions. Peu avant sa mort Hamilton écrivit à son fils : Every morning, on my comming down to
breakfast, you used to ask
sk me : « Well Papa, can you multiply triplets ? » Whereto I was allways obliged to reply, with a sad
shake of the head : « No, I can only add and substract them ». La multiplication résistait. Dans C la multiplication était déjà
compliquée (produit des modules et addition des arguments) ; mais dans l’espace !!!!!
The Brougham Bridge
Et pourtant le 16 octobre 1843 Hamilton réussit à résoudre l’énigme par une idée ingénieuse : il sauta
dans la 4e dimension.
ension. Dans l’espace, c’est impossible, envisageons un ensemble à 4 dimensions :
les quaternions ( x, y, u, v ) = x + iy + ju + kv . On garde bien sûr les opérations définies dans les complexes.
complexes
A savoir : i 2 = −1 . Il reste à donner la table de
d multiplication pour j et k. La voici : i 2 = j 2 = k 2 = −1 , ij = − ji = k ,
jk = −kj = i et ki = −ik = j . On remarque que la commutativité est perdue : ab ≠ ba
Extract from a letter from Sir W. R. Hamilton to Professor P.G. Tait.
Letter dated October 15, 1858.. . .
P.S. - Tomorrow
morrow will be the 15th birthday of the Quaternions. They started into life, or light, full grown, on [Monday] the 16th
of October, 1843, as I was walking with Lady Hamilton
Hamilton to Dublin, and came up to Brougham Bridge, which my boys have
since called the Quaternion Bridge. That is to say, I then and there felt the galvanic circuit of thought close; and the sparks
which fell from it were the fundamental
ental equations between i, j, k .( « J’ai pour ainsi dire senti à cet instant le circuit galvanique
de ma pensée se fermer et les étincelles qui en tombaient étaient les équations fondamentales entre i, j et k. »)
Et dans une lettre à son fils :
unphilosophical as it may have been – to cut with a knife on the stone of Brougham Bridge
« …..Nor I could resist the impulse –unphilosophical
the fundamental formula with the symbols, i, j et k…. »
Hamilton considérait la création de ses quaternions comme étant aussi importante que la création du calcul infinitésimal
(dérivation et intégration). Il pensait qu’ils joueraient un rôle de première importance en physique. Il s’attela à défendre cette
idée. Ainsi à Dublin, les quaternions devinrent un sujet officiel d’examen ! En Irlande
Irlande et en Angleterre, Hamilton devint une
figure de proue d’une école de « quaternionistes ». Presqu’une secte. En 1895 fut créé « l’Association internationale pour
promouvoir l’étude des quaternions » ! La folie des quaternions gagna même le parlement : Eamon
Eamon de Valera, Président de
l’Irlande (1959-1973),
1973), assistait occasionnellement à un séminaire de mathématiques, du moment que le titre de l’exposé
mentionnait le mot « quaternion » !
L’histoire de l’algèbre a toutefois montré que l’importance des quaternions
quaternions avait été largement surestimée. Aujourd'hui,
les quaternions trouvent leur place notamment en infographie, dans la commande de mouvement et la mécanique orbitale,
principalement pour représenter les rotations et les orientations en dimension trois.
1843,, une année après la découverte des quaternions, Graves découvrait une algèbre à 8 dimensions : les octonions. Cette
fois, non seulement la commutativité était perdue, mais aussi l’associativité. Les octonions furent redécouverts par Cayley et
sont depuis lors souvent appelés les nombres de Cayley.
Cayley Les octonions trouvent leur usage en mécanique quantique.
Sources : http://icp.ge.ch/saussure/espace-pedagogique
http://icp.ge.ch/saussure/espace
ICAM NANTES – I1A – ML POUSSIN