Le pivot de Gauss

Le pivot de Gauss
I
Principe général
Le pivot de Gauss est une méthode qui peut s’appliquer sur des matrices ou sur des systèmes d’équation.
Le but de cette méthode est de transformer notre matrice ou système de départ en une matrice ou un
système qui soit triangulaire. Les opérations autorisée seront détaillées dans le paragraphe suivant.
Le système ou la matrice obtenus sont dit ≪ équivalents ≫ au système ou à la matrice de départ.
II
Opérations sur les lignes
Voici la liste des opérations autorisées sur les lignes d’un système ou d’une matrice :
– Li ↔ Lj : on échange la ligne d’indice i avec la ligne d’indice j.
– Li ← aLi avec a 6= 0 : on multiplie la ligne d’indice i par a. Attention a ne doit pas être nul ! ! ! ! !
– Li ← aLi + bLj avec a 6= 0 : on remplace la ligne d’indice i par la somme de la ligne d’indice i
multipliée par a et de la ligne d’indice j multipliée par b.
Attention il faut toujours s’assurer que a n’est pas nul. Par exemple dans un système avec un
paramètre λ, on ne peut pas faire l’opération L1 ← (1 − λ)L1 + 2L2 car on ne connait pas la valeur
de λ et ici si λ = 1 alors on fait en fait l’opération L1 ← 0 × L1 + 2L2 et on fait donc disparaitre la
ligne 1 ! ! ! ! ! ! !
Par contre b peut être quelconque : on peut effectuer L1 ← 2L1 + (1 − λ)L2
Il existe aussi des opérations possibles sur les colonnes mais elles sont beaucoup plus délicates à utiliser
et ne sont pas nécessaires pour le programme d’ECE.
III
1
Application aux matrices
Déterminer si une matrice est inversible
Principe : La matrice équivalente obtenue après les opérations du pivot de Gauss possède les mêmes
propriété d’inversibilité que la matrice de départ.
Méthode : Pour répondre à la question ≪ la matrice A est-elle inversible ? ≫ on commence par appliquer les opérations du pivot de Gauss à la matrice A pour la transformer en une matrice triangulaire B.
On regarde alors les termes diagonaux de la matrice B. S’il n’y a pas de 0 alors B est inversible et donc
A est inversible. S’il y a un ou plusieurs 0 alors B n’est pas inversible et donc A n’est pas inversible.
Exemple 1:


2 7 3
Cherchons si la matrice A = 3 9 4 est inversible.
1 5 3






2 7 3
2 7 3
2 7 3
3 9 4 → 0 3 1 L2 ← 3L1 − 2L2 → 0 3 1
1 5 3
0 3 3 L3 ← 2L3 − L1
0 0 2 L3 ← L3 − L2
La matrice A est équivalente à une matrice triangulaire sans 0 sur la diagonale donc A est inversible.
Algèbre
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Pivot de Gauss
Remarque :
Il existe aussi quelques méthodes astucieuses permettant de répondre en une ligne à la question ≪ la
matrice A est-elle inversible ? ≫ :
– si on est capable de donner une matrice B qui vérifie A × B = I alors on peut immédiatement
répondre que A est inversible et A−1 = B.
– si on remarque un lien entre les lignes de A, ou si une ligne ne contient que des zéros, on peut alors
dire que A n’est pas inversible. (possible avec les colonnes aussi)
Exemple 2:


−2 −2 1
Soit la matrice B = −2 1 −2, déterminer les valeurs de λ pour lesquelles la matrice B − λI
1 −2 −2
n’est pas inversible.


−2 − λ −2
1
 −2
1−λ
−2 
B − λI =
1
−2 −2 − λ
↓


1
−2 −2 − λ
 −2
1−λ
−2 
L1 ↔ L3
−2 − λ −2
1
↓


1
−2
−2 − λ
0 −λ − 3
−2λ − 6  L2 ← 2L1 + L2
0 −2(λ + 3) −λ2 − 4λ − 3
L3 ← L3 + (2 + λ)L1
↓


1
−2
−2 − λ
0 −λ − 3 −2λ − 6
0
0
−λ2 + 9
L3 ← L3 − 2L2
Les valeurs de λ pour lesquelles B − λI n’est pas inversibles sont les valeurs de λ pour lesquelles l’un
des termes de la diagonale de la dernière matrice du pivot de Gauss s’annule. Plusieurs cas se présentent
à nous :
- Si −λ − 3 = 0 ⇔ λ = −3 alors B − λI est équivalente à une matrice triangulaire possédant un zéro
sur sa diagonale donc B − λI n’est pas inversible.
- Si −λ2 + 9 = 0 ⇔ λ = 3 ou λ = −3 alors B − λI est équivalente à une matrice triangulaire possédant
un zéro sur sa diagonale donc B − λI n’est pas inversible.
- Sinon B − λI est équivalente à une matrice triangulaire sans zéro sur sa diagonale donc B − λI est
inversible.
Conclusion : Les valeurs de λ pour lesquelles la matrice B − λI n’est pas inversible sont 3 et −3.
2
Calculer l’inverse d’une matrice
Principe : Lorsqu’une matrice est inversible, grâce aux opérations du pivot de Gauss on peut la
transformer en la matrice identité. Si on applique alors exactement les même opérations à la matrice
identité, on obtient la matrice A−1 .
Méthode : On commence par écrire côte à côte la matrice A et la matrice identité. A l’aide des
opérations sur les lignes il faut transformer la matrice A en la matrice identité. A chaque étape de la
transformation de A il faudra effectuer les opérations sur les lignes aussi sur la matrice identité que vous
avez écrite à côté. A la fin, la matrice que vous aurez à côté de la matrice identité est la matrice A−1 .
Algèbre
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Pivot de Gauss
Exemple 3:
Reprenons l’exemple 1 et calculons A−1 :


2 7 3
3 9 4
1 5 3
 ↓ 
1 5 3
3 9 4
L1 ↔ L3
2 7 3
 ↓ 
1 5 3
0 6 5
L2 ← 3L1 − L2
0 3 3
L3 ← 2L1 − L3
↓


6 0 −7
L1 ← 6L1 − 5L2
0 6 5 
0 0 1
L3 ← 2L3 − L2
↓


6 0 0
0 6 0
0 0 1
↓


1 0 0
0 1 0
0 0 1
L1 ← L1 + 7L3
L2 ← L2 − 5L3
L1 ← 16 L1
L2 ← 61 L2


1 0 0
 0 1 0
0 0 1
 ↓ 
0 0 1
 0 1 0
1 0 0
↓


0
0 1
 0 −1 3
−1 0 2
↓


0
5 −9
 0 −1 3 
−2 1
1
↓


−14 12 −2
 10 −6 −2
−2 1
1
↓


7
1
− 3 2 − 3 
 5
1


−1
−
 3
3
−2 1
1


1
7
− 3 2 − 3 

1
On a donc A−1 =  5
.
−1
−


3
3
−2 1
1
Il est toujours prudent de vérifier au brouillon que l’on a bien A × A−1 = I.
Algèbre
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Pivot de Gauss
IV
1
Application aux système
Systèmes sans paramètre
Pour résoudre un système d’équations sans paramètre il existe deux grandes méthodes : la méthode
par substitution et le pivot de Gauss. Voici un exemple de résolution par le pivot de Gauss :
Exemple 4:
Résolvons le système suivant :


 4x + 2y − z = 5
 −x + 2y + 4z = 0
(S)
2x + y + 2z = −5 ⇔
2x + y + 2z = −5 L1 ↔ L3


4x + 2y − z = 5
 −x + 2y + 4z = 0
 −x + 2y + 4z = 0
⇔
5y + 10z = −5 L2 ← 2L1 + L2

10y + 15z = 5
L3 ← L3 + 4L1

 −x + 2y + 4z = 0
L2 ← 51 L2
⇔
y + 2z = −1

5z = −15 L3 ← 2L2 − L3

 x = −2
y=5
⇔

z = −3
Le système (S) admet une unique solution, le triplet (−2, 5, −3).
2
Systèmes à paramètre
Pour étudier proprement un système à paramètre il est très fortement conseillé d’utiliser le pivot de
Gauss qui pourra vous éviter de faire des opérations du type division par 0....
Exemple 5:
Étudions le nombre de solutions du système suivant en fonction des valeurs du paramètre λ :

2y
−
z
=0
 (2 + λ)x +
2x
+ (λ − 1)y +
2z
=0
(S)

−x
+
2y
+ (2 + λ)z = 0
• Première étape : il faut mettre le système sous forme triangulaire en s’assurant bien de ne pas
faire d’opérations interdites. Par exemple il est interdit dans la première étape d’effectuer l’opération
L2 ← (2 + λ)L2 − 2L1 car on ne peut pas remplacer L2 par une combinaison linéaire où nous ne sommes
pas sûr que le coefficient devant L2 est non nul.

2y
−
z
=0
 (2 + λ)x +
2x
+ (λ − 1)y +
2z
=0
(S)

−x
+
2y
+
(2
+
λ)z
=0

−x
+
2y
+ (2 + λ)z = 0

2x
+ (λ − 1)y +
2z
=0
L1 ↔ L3
⇔

(2
+
λ)x
+
2y
−
z
=
0

2y
+
(2 + λ)z
=0
 −x +
(λ + 3)y +
2(λ + 3)z
=0
L2 ← 2L1 + L2
⇔

2
2(λ
+
3)y
+
(λ
+
4λ
+
3)z
=
0
L3 ← L3 + (2 + λ)L1

2y
+ (2 + λ)z = 0
 −x +
(λ + 3)y + 2(λ + 3)z = 0
⇔

(λ2 − 9)z = 0
L3 ← L3 − 2L2
Algèbre
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Pivot de Gauss
• Deuxième étape : On résout le système en faisant bien attention aux différents cas :
– Si λ2 − 9 =
6 0 (c’est-à-dire λ 6= 3 et λ 6= −3) alors on a :

2y
=0
 −x +
(λ + 3)y
=0 ⇔x=y=z=0
(S) ⇔

z =0
Donc l’ensemble des solutions du système est S = {(0, 0, 0)}.
– Si λ = 3, alors on a

 −x + 2y + 5z = 0
x=z
6y + 12z = 0 ⇔
(S) ⇔
y = −2z

0 =0
Donc l’ensemble des solutions du système est S = {(z, −2z, z)/z ∈ R}
– Si λ = −3, alors on a

 −x + 2y − z = 0
(S) ⇔
0 = 0 ⇔ z = −x + 2y

0 =0
Donc l’ensemble des solutions du système est S = {(x, y, −x + 2y)/(x, y) ∈ R2 }
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