Dilatation du temps, contraction des longueures

L1 Physique : La dilatation des durées et
contraction des longueurs -TD6
Licence 1 Parcours 1 et 3 année 2013-2014
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Contraction des durées
Les muons sont les particules les plus nombreuses dans le rayonnement cosmique à des
altitudes de l’ordre de quelques kilomètres. Un compteur A était installé au sommet du Mont
Washington (États-Unis) à une altitude de 1910 mètres. Il était réglé pour compter les muons
voyagant verticalement vers le sol et ayant des vitesses proches de 99,52% de la vitesse de la
lumière. Il enregistrait 563 ± 5 muons par heure. Un second compteur B identique à celui de A
était installé près de la mer à une altitude de 3 mètres et il enregistrait 420±5 muons par heure.
L’intensité des rayons cosmiques ne varie pas d’un endroit à l’autre si proche. Rappelez-vous
que le muon est instable et une population varie selon la loi :
N (t) = N (0) exp(−t/τ )
(1)
où τ représente le temps de vie moyen avec τ = 2, 2 × 10−6 s et t est le temps propre.
(a) Trouver l’intervalle de temps ∆t0 pris par un muon pour traverser l’altitude du compteur
A jusqu’au compteur B dans un référentiel fixé sur la terre.
(b) La loi (1) est valable dans un référentiel pour lequel le muon est au repos. Trouver
l’intervalle de temps propre ∆t correspondant à ∆t0 .
(c) Utiliser (1) pour verifier les resultats de compteur B.
(d) Dans un référentiel R qui se déplace avec les muons, les muons sont immobiles mais la
terre s’approche à une vitesse β = 0, 9952c. Quel temps met un muon pour traverser l’altitude
du compteur A jusqu’au compteur B ? Indice : il n’y a pas de calcul à faire. Il faut simplement
comprendre ce que vous avez fait ci-dessus.
(e) Dans le référentiel R, quelle est la distance verticale entre les compteurs A et B ?
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Contraction des longueurs
Refaire le calcul de question 1(e) en utilisant la formule de contraction des longueurs.
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Addition de vitesse
Une étudiante est en retard pour sa leçon de trompette, elle prend son vélo et pédale
rapidement, à 0, 5c, c’est-à-dire à la moitié de la vitesse de la lumière ! En route, elle dépasse
son frère qui courait sur le trottoir dans la même direction qu’elle. Elle remarque que sa vitesse
par rapport à lui est 0, 25c.
(a) Quelle est la vitesse du frère par rapport à celle de l’étudiante ?
(b) Utiliser la formule pour l’addition de vitesse rélativiste pour trouver la vitesse du frère
par rapport à la terre. Indice : Faites attention au signe de la vitesse.
(c) Soient (xE (t), t) et (xF (t), t) les coordonnées de l’étudiante et de son frère respectivement
dans un référentiel R immobile par rapport à la terre. Donc,
xE = vE t
xF = v F t
(2)
Utiliser la transformation de Lorentz pour trouver les coordonnées par rapport à un référentiel
R0 qui se déplace avec l’étudiante. Verifier que x0E = 0. Trouver une expression pour
∆x0F
= vF0
0
∆t
Verifier que vF0 correspond à la réponse de (a) ci-dessus. Indice : Pour trouver ∆x0F et ∆t0
différenciez l’expression de x0F et t0 . Si vous ne savez pas comme le faire, utilisez l’expression de
x0F et t0 à deux instants de temps, disons t1 et t2 et soustrayez :
∆x0F = x0F (t2 ) − x0F (t1 )
∆t0 = t0 (t2 ) − t0 (t1 )