Université de Paris-Sud - Membres du Departement d`Informatique

Transcription

Université de Paris-Sud
U.F.R. Scientifique d’Orsay
THESE
présentée pour obtenir
Le GRADE de DOCTEUR EN SCIENCES
Spécialité : INFORMATIQUE
par
Irena Rusu
Sujet :
Graphes parfaits : étude structurelle
et
algorithmes de coloration
soutenue le 2 Décembre 1994 devant la Commission d’examen
MM.
Claude BERGE Président
Vašek CHVATAL
Jean-Luc FOUQUET
Marie-Claude GAUDEL
Myriam PREISSMANN
Dominique SOTTEAU
Remerciements
Je remercie particulièrement les six membres du jury :
• Claude Berge, qui m’a fait l’honneur de présider ce jury, pour tous ses encouragements et pour sa constante gentillesse ;
• Vašek Chvátal, pour sa rigueur scientifique et ses suggestions pertinentes à la fois
sur le fond et sur la forme de ce travail ;
• Jean-Luc Fouquet, pour la confiance qu’ il m’a accordée dès le début, pour sa
délicatesse à diriger mes recherches, sans jamais m’ imposer son point de vue, et pour son
permanent enthousiasme ;
• Marie-Claude Gaudel, pour avoir eu l’extrême gentillesse de participer à ce jury
et pour tout le respect que sa personnalité m’ inspire ;
• Myriam Preissmann, pour sa lecture rigoureuse, ses nombreuses suggestions et
sa touchante compréhension ;
• Dominique Sotteau, responsable de l’équipe Graphes, pour m’avoir si chaleureusement accueillie au L.R.I. et pour ses constantes preuves d’amitié.
C’est avec grand plaisir que je compte parmi mes professeurs Cornelius Croitoru,
l’ initiateur de mes recherches, sans l’aide permanente duquel ce travail n’aurait jamais
vu le jour.
J’ai été et je suis toujours très impressionnée par l’ harmonie qui règne dans l’équipe
Graphes du L.R.I. à laquelle je dois le calme et le bien-être qui ont accompagné ces deux
ans de travail. Que chacun de ses membres trouve ici ma gratitude.
Avant-propos
Cette thèse porte sur une classe de graphes définie il y a déjà une trentaine d’années
et qui, depuis, ne cesse pas de poser de nouveaux problèmes sans permettre, pour autant,
la résolution complète des anciens. L’exemple le plus convaincant en faveur de l’ idée
que les graphes parfaits sont une classe qui réfuse de dévoiler ses secrets est la fameuse
Conjecture Forte des Graphes Parfaits, dont l’énoncé, très simple, cache des difficultés
infranchies jusqu’ ici.
Outre le chapitre introductif, les quatre autres chapitres de la thèse portent chacun
sur un aspect précis des graphes parfaits : la coloration, l’(α, ω)-structure, la parité et
les chaı̂nes induites à quatre sommets. L’intérêt de ces sujets dans l’étude des graphes
parfaits est brièvement présentée en début de chapitre ; les résultats sur lesquels s’appuie
notre raisonnement suivent dans la section numéro 1 ; à partir de la section numéro 2 sont
exposés les résultats personnels, obtenus parfois en collaboration avec d’autres chercheurs :
V. Chvátal, J.-L. Fouquet, F. Maire, H. Thuillier.
Afin de faciliter le travail des lecteurs qui ne sont pas familiarisés avec la terminologie,
un index des définitions et notations est prévu vers la fin de la thèse. Enfin, les titres des
articles (ou livres) contenus dans la bibliographie peuvent être un bon point de départ à
l’étude des graphes parfaits pour n’ importe quel lecteur plus ou moins avisé, comme ils
l’ont été pour l’auteur lui-même.
Sommaire
Chapitre 1. Présentation générale
5
1.1. Définitions et notations
5
1.2. Les conjectures de C. Berge
8
1.3. Graphes minimaux imparfaits
10
1.3.1. Ensembles déconnectants dans les minimaux imparfaits
11
1.3.2. Paires de sommets dans les minimaux imparfaits
13
1.4. Quelques classes de graphes parfaits
14
1.5. Complexité
17
Chapitre 2. A propos de la coloration
19
2.1. Un algorithme immédiat
19
2.2. Un algorithme glouton tempéré
22
2.3. Graphes proprement ordonnables
25
2.3.1. Une généralisation des graphes parfaitement ordonnables
25
2.3.2. ... et une généralisation de l’algorithme glouton
27
2.4. Graphes de parité ordonnables
31
2.4.1. Une généralisation des graphes de parité
31
2.4.2. ... et une généralisation de l’algorithme glouton
32
2.5. La classe N*(K1 + K2 )
34
2.6. Coloration localement parfaite
37
1
2
Sommaire
Sommaire
Chapitre 3. A propos de l’(α, ω)-structure
3
47
3.1. Les graphes partitionnables et leurs propriétés
47
3.2. Du petit transversal au petit 2-transversal
49
3.2.1. Résultats préliminaires
51
3.2.2. Les preuves
54
Chapitre 4. A propos de la parité
61
4.1. Des résultats aux conjectures
61
4.2. Une conjecture sur les graphes parfaits
63
4.2.1. Le couplage et les graphes de base
64
4.2.2. Une classe de graphes parfaits
72
4.2.3. Contre-exemples
76
4.3. De la quasi-parité à la perfection
79
4.3.1. Comment détruire les paires d’amis ?
79
4.3.2. Une équivalence polynomiale
84
Chapitre 5. A propos des P4
85
5.1. Généralités sur les P4
85
5.2. Une conjecture sur les graphes sans trous
87
5.3. Sur les graphes de Hoàng
89
5.3.1. Graphes de Hoàng réductibles
91
5.3.2. Les preuves
95
Conclusion
107
Index
109
Bibliographie
113
Présentation générale
5
Chapitre 1.
L’ histoire des graphes parfaits commence en 1961 lorsque Claude Berge a eu l’ intuition
de ce qu’ il appelait la ”belle propriété” et qui porte aujourd’ hui le nom de perfection. Les
deux conjectures qu’ il a formulées à cette époque constituent toujours les deux idées fondamentales de la théorie des graphes parfaits. Des deux conjectures, l’une a été démontrée
par Lovász, tandis que l’autre est encore le but de la plupart des recherches effectuées dans
ce domaine.
1.1. Définitions et notations
Pour introduire les données du problème, soit G = (V, E) un graphe non-orienté fini
et simple, dont l’ensemble des sommets V a la cardinalité n (ou parfois nG ) et l’ensemble
des arêtes E a la cardinalité m (parfois mG ). Les sommets de G seront notés de manière
classique x, y, z, . . . ; quant à l’arête ayant les extrémités x et y, la notation utilisée pour la
désigner sera xy. Si xy est une arête de G, les sommets x et y sont dits adjacents dans G.
Sous-graphes
Plusieurs façons de définir de nouveaux graphes à partir d’un graphe donné G = (V, E)
sont disponibles. Avant d’en indiquer quelques-unes, notons E l’ensemble de toutes les
paires xy de sommets distincts de G. Evidemment, on a E ⊆ E.
Le graphe G′ = (V ′ , E ′ ) s’appelle sous-graphe partiel de G si V ′ ⊆ V , E ′ ⊆ E ; il est dit
sous-graphe induit de G (ou, plus simplement, lorsqu’ il n’y a pas de risque de confusion,
6
sous-graphe de G) si V ′ ⊆ V , E ′ = {xy ∈ E | x, y ∈ V ′ } ; enfin, il s’appelle graphe
complémentaire de G si V ′ = V , E ′ = E \E. Les notations utilisées seront, respectivement,
G′ = (V ′ , E ′ ) pour le sous-graphe partiel, [V ′ ]G pour le sous-graphe induit et Ḡ pour le
complémentaire. De plus, si V ′ = V \ {v}, alors le graphe induit par V ′ sera dénoté par
G − v.
Une classe G de graphes telle que, pour tout graphe G de G, chacun de ses sous-graphes
induits est aussi dans G sera dite héréditaire.
Cycles et chaı̂nes
Dans le cas où les sommets d’un sous-graphe partiel peuvent être étiquetés x1 , x2 , . . . , xk
(xi 6= xj pour i 6= j) de façon que xi xi+1 ∈ E pour tout i = 1, 2, . . . , k (par convention
xk+1 = x1 ), le sous-graphe sera dit un cycle d’ordre (ou de longueur) k de G. Il sera
appelé un cycle induit d’ordre k de G (notation Ck ) si aucune autre arête à part xi xi+1
(i = 1, 2, . . . , k) n’est présente dans le graphe.
Afin de simplifier l’exposé, on va utiliser aussi le terme de trou pour désigner un cycle
induit sans cordes de longueur au moins cinq. Le trou sera dit pair si la longueur du cycle
est un nombre pair et impair dans le cas contraire. Le complémentaire d’un trou (pair,
respectivement impair) sera appelé anti-trou (pair, respectivement impair).
De même façon, si les sommets d’un sous-graphe partiel admettent un ordonnancement
x1 , x2 , . . . , xk+1 (xi 6= xj pour i 6= j) tel que xi xi+1 ∈ E pour tout i = 1, 2, . . . , k (mais
xk x1 6∈ E), alors le sous-graphe est dit une chaı̂ne d’ordre (ou de longueur) k. La chaı̂ne
est induite dans G (notation Pk+1 ) si aucune autre arête à part xi xi+1 (i = 1, 2, . . . , k)
n’est présente dans le graphe induit par les sommets xi (i = 1, 2, . . . , k).
La chaı̂ne sera appelée paire ou impaire en fonction de la parité de k. Le graphe P4
obtenu dans le cas particulier k = 3 sera parfois noté abcd, avec ab, bc, cd ∈ E.
Dans une chaı̂ne ou un cycle, toute arête reliant des sommets non-consécutifs s’appelle
une corde. Pour deux sommets x, y, la distance entre x et y dans G est la longueur de
la plus courte chaı̂ne induite reliant x et y dans G. Le diamètre de G est la plus grande
distance entre deux sommets de G.
Alors que la notion de sous-graphe partiel est peu utilisée au cours de ce travail, les
autres joueront un très grand rôle, ainsi que les notions suivantes qui sont d’une grande
importance dans la théorie des graphes parfaits.
7
Paramètres
Une clique de G est un sous-ensemble Q de V tel que pour tous x, y de Q on a xy ∈ E.
Au contraire, un ensemble stable de G (ou simplement un stable) est un sous-ensemble S
de V tel que pour tous x, y de S on a xy 6∈ E. Une clique (respectivement un stable) à
r sommets se dit de dimension r et s’appelle r-clique (respectivement r-stable). Afin de
simplifier les notations, une clique Q sera d’habitude identifiée au sous-graphe [Q]G et de
même pour un stable.
On remarque que tout graphe G peut être réduit à un ensemble stable en effaçant ses
arêtes et peut être complété en une clique en ajoutant les arêtes qui manquent. A chaque
étape, le passage d’un graphe à un autre par retrait (respectivement par adjonction)
d’une arête représente en fait le passage d’un graphe à un de ses sous-graphes partiels
(respectivement, l’ inverse). Parfois, ces opérations peuvent se faire d’une manière reflétant
la structure du graphe.
La taille maximum d’une clique de G s’appelle le nombre de densité du graphe (notation
ω(G)), tandis que la taille maximum d’un ensemble stable de G porte le nom de nombre
de stabilité (notation α(G)). On a évidemment les relations
ω(G) = α(Ḡ)
α(G) = ω(Ḡ).
Si on essaie de colorier les sommets du graphe G de sorte que deux sommets adjacents
n’aient jamais la même couleur (une telle atribution de couleurs sera appelée coloration
de G), on a clairement besoin d’au moins ω(G) couleurs pour y arriver. De plus, si on
essaie de couvrir G par des cliques, le nombre de cliques est au moins α(G). Mais quelles
sont les classes de graphes pour lesquelles les égalités sont vraies ? Est-ce qu’ il existe un
lien entre ces classes ?
Pour cela, notons χ(G) le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorier le
graphe G de la manière précédente et θ(G) le nombre minimum de cliques d’une couverture
de G. Le premier paramètre est le nombre chromatique de G, et le deuxième s’appelle
nombre de couverture par des cliques. Avec ces nouvelles notations, aux relations entre
les paramètres introduites auparavant on peut ajouter les suivantes :
χ(G) = θ(Ḡ)
θ(G) = χ(Ḡ)
et, de plus,
χ(G) ≥ ω(G)
θ(G) ≥ α(G).
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La question qui pourrait se poser est si, outre les inégalités précédentes, d’autres relations reliant χ et ω existent pour un graphe G arbitraire. La réponse est non, car pour
tout nombre naturel r, il existe un graphe de nombre chromatique r et de nombre de
densité 2 (voir, par exemple, Mycielsky [79]). La seule condition ”limite” concernant χ
et ω reste, donc, leur égalité et de même pour les deux autres paramètres. Les graphes
”limite” obtenus à partir de cette condition sont définis comme suit :
Définition 1.1. Un graphe G est dit χ-parfait si l’égalité χ = ω est valable pour G,
ainsi que pour tous ses sous-graphes induits.
Définition 1.2. Un graphe G est dit α-parfait si l’égalité α = θ est valable pour G,
ainsi que pour tous ses sous-graphes induits.
1.2. Les conjectures de C. Berge
Les premiers résultats concernant la χ-perfection de certaines classes de graphes sont
ceux de Hajnal, Surányi [45] et Berge [1] qui ont démontré que les graphes complémentaires
des graphes triangulés, respectivement les graphes triangulés eux-mêmes, sont des graphes
χ-parfaits (un graphe G est dit triangulé si tout cycle de longueur au moins 4 a une corde).
Cumulés aux remarques précédentes concernant les relations entre les paramètres pour G
et Ḡ, ces résultats ont permis à Berge [2] de formuler la Conjecture Faible des Graphes
Parfaits (abrégée WPGC, acronyme de l’anglais ”weak perfect graph conjecture”) :
Conjecture 1.3.
α-parfait.
(WPGC) Un graphe est χ-parfait si, et seulement si, il est
En même temps, la nouvelle notion de perfection des graphes est apparue pour faire
la synthèse des deux classes supposées identiques :
Définition 1.4. Un graphe est dit parfait s’ il est χ-parfait et α-parfait.
De plus, à cette époque – et même aujourd’ hui – les trous et les anti-trous impairs
étaient les seuls graphes connus comme ayant χ 6= ω, alors que l’égalité restait vraie pour
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tous leurs sous-graphes. C’est la raison pour laquelle une deuxième conjecture – appelée
la Conjecture Forte des Graphes Parfaits (abrégée SPGC, acronyme de l’anglais ”strong
perfect graph conjecture”) – s’ imposa à C. Berge :
Conjecture 1.5. (SPGC) Un graphe est parfait si, et seulement si, il ne contient
pas de trous ou d’anti-trous impairs comme sous-graphes induits.
Les graphes ne contenant pas de trous ou anti-trous impairs comme sous-graphes induits seront dorénavant appelés graphes de Berge.
Deux remarques sont à faire concernant les deux conjectures. Premièrement, la Conjecture Faible est équivalente à l’affirmation
(WPGC′ ) Un graphe G est χ-parfait si et seulement si son complémentaire Ḡ est
χ-parfait.
Deuxièmement, la Conjecture Forte implique la Conjecture Faible. Il n’est donc pas
étonnant que pour la Conjecture Faible on a déjà trouvé des preuves, tandis que la Conjecture Forte reste encore irrésolue.
La preuve de la Conjecture Faible est due à Lovász [67, 68] dont le Théorème des
Graphes Parfaits sera ultérieurement le premier pas vers une autre façon de regarder cette
classe de graphes :
Théorème 1.6. (Lovász, [67]) Un graphe G est χ-parfait si, et seulement si, pour
tout sous-graphe H de G on a
α(H)ω(H) ≥ |H|.
Par conséquent, les trois types de perfection considérés jusqu’ici s’identifient.
Ce résultat peut être considéré comme essentiel dans la théorie des graphes minimaux
imparfaits (ou, plus généralement, des graphes partitionnables), qui sont aujourd’ hui au
coeur du problème.
10
1.3. Graphes minimaux imparfaits
Un graphe est dit minimal imparfait si tous ses sous-graphes induits propres sont
parfaits, bien qu’ il soit imparfait. Evidemment, les trous et les anti-trous impairs sont des
graphes imparfaits minimaux et, de plus, ce sont les seuls graphes minimaux imparfaits
connus. Une autre façon de formuler la Conjecture Forte – à l’aide des graphes imparfaits
minimaux – est la suivante :
Conjecture 1.7. (SPGC′ ) Un graphe est minimal imparfait si, et seulement si, il
est un trou ou un anti-trou impair.
A cause de cette dernière formulation de la Conjecture Forte, l’ intérêt de nombreux
chercheurs a été dirigé vers les propriétés particulières des graphes minimaux imparfaits.
Les résultats obtenus dans cette direction, bien qu’ ils soient très importants, posent un
autre problème dont la nature est bien différente des autres difficultés concernant les
graphes parfaits ou minimaux imparfaits. On ne connaı̂t pas, en effet, actuellement de
lien concret entre les deux méthodes utilisées pour obtenir ces résultats.
L’approche algébrique
Tout graphe G = (V, E) avec les sommets numérotés de 1 à n peut être représenté
à l’aide d’une (0,1)-matrice carrée de dimension n ayant un 1 sur la position (i, j) si,
et seulement si, ij ∈ E. Cette représentation permet déjà d’envisager une approche à
l’aide de l’algèbre linéaire des graphes en général. En particulier pour l’étude des graphes
parfaits, on peut construire la (0,1)-matrice c × n des cliques maximales de G, où c est
le nombre de telles cliques de G. Dans ce cas-là, il existe un 1 sur la position (i, j) si,
et seulement si, le sommet j appartient à la clique identifiée par le numéro i. De même
façon, une matrice des stables maximaux peut être construite.
En utilisant la théorie polyhédrale introduite par Fulkerson [35] et les représentations
décrites auparavant, Padberg [87] a déduit les résultats suivants (où α = α(G), ω = ω(G)) :
Théorème 1.8. (Padberg, [87]) Si G est un graphe minimal imparfait, alors
1. tout sommet de G est dans exactement ω ω-cliques et α α-stables ;
2. G a exactement n ω-cliques et n α-stables ;
3. pour toute ω-clique Qi (i = 1, . . . , n), il existe un unique α-stable Si tel que
Qi ∩ Si = ∅ (et inversement).
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Les résultats de Padberg, ajoutés au théorème de Lovász, donnent une très bonne
image des graphes minimaux imparfaits ; malheureusement, la preuve du théorème 1.8
ne permet pas de se faire une idée correcte des propriétés des graphes utilisées à chaque
pas du raisonnement, car on n’a pas encore une interprétation fidèle en terme de graphes
des opérations effectuées sur les matrices définies ci-dessus. Les travaux effectués plus
récemment par Fonlupt et Sebö [31] se heurtent à la même difficulté. Même la très élégante
preuve du théorème 1.8 donnée par Lovász [69] en souffre.
L’approche graphes
Les essais tentés pour retrouver le théorème de Padberg à l’aide de la théorie des
graphes n’ont donné que des résultats plutôt insatisfaisants, mais cette façon de traiter les
problèmes a permis d’obtenir d’autres propriétés des minimaux imparfaits qui, d’une part,
complètent les résultats de Padberg et, d’autre part, découvrent de nouveaux aspects des
minimaux imparfaits.
Les caractéristiques les plus importantes obtenues dans cette direction sont présentées
dans les sections 1.3.1 et 1.3.2, dont le but est de passer en revue quelques-uns des résultats
les plus représentatifs sur les graphes parfaits.
1.3.1. Ensembles déconnectants dans les minimaux imparfaits
Le graphe G = (V, E) s’appelle connexe si pour tous x, y de V , il existe une chaı̂ne
dans G reliant x et y. Un ensemble C ⊆ V est dit déconnectant dans le graphe G = (V, E)
si le graphe [V − C]G (noté aussi G − C) est non-connexe. Il est déconnectant minimal si
aucun sous-ensemble de C n’est déconnectant.
L’étude des ensembles déconnectants dans les minimaux imparfaits commence avec
un article de Tucker [106], qui est passé à peu près inaperçu à l’époque, bien qu’ il offre
en fait la preuve d’un résultat retrouvé avec satisfaction quelques années plus tard (voir
lemme 1.13).
Lemme 1.9. (Tucker, [106]) Un minimal imparfait qui n’est pas un trou n’admet
pas d’ensemble déconnectant stable.
Sans application immédiate et même sans utilisation concrète jusqu’à aujourd’ hui, ce
lemme reste isolé, pourrait-on dire oublié, jusqu’à ce que Chvátal [16] n’ introduise les
étoiles déconnectantes. Une étoile déconnectante dans G = (V, E) est un ensemble C ⊆ V
12
tel que G − C soit non-connexe et qu’ il existe un sommet x de C adjacent à tous les autres
sommets de C.
Chvátal [16] donne le résultat suivant sur les minimaux imparfaits :
Lemme 1.10. (Star-cutset lemma) Un minimal imparfait n’admet pas d’étoile
déconnectante.
et aussi une caractérisation des graphes admettant un tel ensemble déconnectant :
Lemme 1.11. (Chvátal, [16]) Un graphe G = (V, E) contient une étoile déconnectante si, et seulement si :
i) soit il existe v ∈ V tel que {v} ∪ N (v) soit déconnectant;
ii) soit G n’est pas une clique et il existe v, w ∈ V adjacents tels que N (v) ⊆ N (w).
(la notation N (v) correspond au voisinage dans le graphe G du sommet v, c.à.d. N (v) est
l’ensemble des sommets adjacents à v.)
Puisqu’un graphe minimal imparfait G = (V, E) ne contient pas d’étoile déconnectante,
on en déduit d’abord que G et Ḡ sont connexes, puis que M (v) = {u ∈ V | u 6= v, uv 6∈ E}
(que l’on appelle non-voisinage de v) induit dans G un graphe connexe, quel que soit v
dans V . Le même raisonnement dans Ḡ conduit à la conclusion que N (v) induit un graphe
connexe dans Ḡ. De plus, tout x de M (v) est non-adjacent à au moins un sommet de
N (v) (autrement on a une étoile déconnectante dans G) et tout y de N (v) est adjacent à
au moins un sommet de M (v) (sinon on a une étoile déconnectante dans Ḡ). Conséquence
immédiate : pour tout v ∈ V , N (v) est un ensemble déconnectant minimal.
Les dernières conclusions sont tirées directement du fait que ni G, ni Ḡ n’admet
d’ensemble déconnectant étoilé. Les graphes ayant cette propriété seront appelés incassables. Ils ont toutes les qualités énoncées auparavant.
Chvátal, toujours dans [16], formule une conjecture qui généralise le résultat sur les
étoiles déconnectantes, bien qu’elle ne contienne pas celui sur les stables déconnectants. Il
appelle partition antisymétrique (skew partition, en anglais) d’un graphe G une partition
en G1 = [V1 ]G et G2 = [V2 ]G telle que G1 et Ḡ2 soient non-connexes. De façon équivalente,
on peut dire que G admet un ensemble déconnectant partitionnable en B1 et B2 de façon
que toutes les arêtes possibles reliant B1 et B2 existent dans G. Pour un graphe B1 de
cardinalité 1 (notation |B1 | = 1), ce qu’on obtient est une étoile déconnectante.
13
Conjecture 1.12. (Chvátal, [16]) Un graphe minimal imparfait n’admet pas de
partition antisymétrique.
Cornuéjols et Reed [23] se sont attaqués à cette conjecture avec un succès relatif. Leur
résultat concerne les graphes multipartis complets qui sont les graphes obtenus à partir de
k stables (k ≥ 1) V1 , V2 , . . . , Vk en les reliant deux à deux par toutes les arêtes possibles.
Lemme 1.13. (Cornuéjols, Reed, [23]) Un minimal imparfait qui n’est pas un trou
impair n’admet pas d’ensemble déconnectant qui induise un multiparti complet.
Ce résultat sort, d’une certaine façon, de la conjecture de Chvátal car, pour k = 1 on
obtient un stable déconnectant et celui-ci ne peut pas être décomposé en B1 et B2 de la
manière désirée. Toutefois, pour k ≥ 2, le graphe admettant un multiparti complet comme
ensemble déconnectant peut être aussi partitionné antisymétriquement.
1.3.2. Paires de sommets dans les minimaux imparfaits
On va ajouter encore deux résultats aux précédents, concernant cette fois-ci les paires
de sommets dont l’existence dans un graphe garantit que le graphe en question n’est pas
minimal imparfait.
Il s’agit d’abord des paires d’amis, dont l’importance a été signalée par Fonlupt, Uhry
[32] et Meyniel [77] : dans G, les sommets x, y forment une paire d’amis si toute chaı̂ne
sans cordes reliant x et y a un nombre pair d’arêtes. L’observation qui a conduit à cette
définition est, comme d’habitude, basée sur le fait que ni les trous, ni les anti-trous impairs
n’admettent de paire d’amis, ce qui est très facile à voir. En plus de cette remarque,
Meyniel a donné la preuve du résultat suivant :
Lemme 1.14. (Meyniel, [77]) Un minimal imparfait ne contient pas de paire d’amis.
résultat obtenu à l’aide d’une opération d’identification des sommets, qui ne peut pas créer
de trous ou d’anti-trous si les deux sommets identifiés forment une paire d’amis.
Les sections suivantes vont confirmer l’ idée qu’une grande partie des graphes parfaits
connus jusqu’ ici possèdent une paire d’amis.
Ce qui a pu être fait pour les paires d’amis s’avère être beaucoup plus difficile pour les
paires d’ennemis, qui consistent en deux sommets non-adjacents (x, y) qui ne sont reliés
14
que par des chaı̂nes sans cordes de longueur impaire. Dans ce cas, l’ identification des
sommets n’est plus une solution, car elle peut construire des trous. L’essai de Hsu [64]
pour définir une nouvelle opération qui soit un bon outil pour le cas des paires d’ennemis
restant inachevé, seule une conjecture peut être formulée dans cette direction :
Conjecture 1.15. Un minimal imparfait ne contient pas de paire d’ennemis.
Olariu [85] introduit les anti-jumeaux, qui sont un cas particulier de paire d’ennemis
au sens que les chaı̂nes paires sont interdites, mais les seules chaı̂nes impaires acceptées
sont de longueur au plus 3. Plus précisement, les sommets x, y sont dits anti-jumeaux
(contrairement aux sommets jumeaux qui ont le même voisinage dans G − {x, y}) si tout
sommet z ∈ V \ {x, y} est adjacent soit à x, soit à y, mais pas à tous les deux. Olariu
prouve, à l’aide des résultats de Lovász [67] et Padberg [87] que :
Lemme 1.16. Un minimal imparfait n’admet pas d’anti-jumeaux.
Remarquons que le résultat sur les anti-jumeaux illustre clairement le fait qu’un graphe
contient cette structure en même temps que le complémentaire de ce graphe. Par contre,
sans passer par le théorème des graphes parfaits, on ne peut pas déduire du fait que le
minimal imparfait G ne contient pas d’étoile déconnectante le fait que son complémentaire
Ḡ n’a pas d’étoile déconnectante. Par conséquent, les propriétés sur les graphes parfaits
sont, d’une part, celles qui sont évidemment valides pour G et Ḡ, et, d’autre part, celles
qui sont valides pour G et Ḡ à travers le théorème des graphes parfaits. Intuitivement,
les premières devraient être plus utiles que les autres car elles contiennent, apparemment,
plus d’ information.
1.4. Quelques classes de graphes parfaits
Nous allons essayer à travers cette section d’énumérer quelques-unes des classes de
graphes qui sont parfaits, ou bien satisfont la Conjecture Forte. La plupart de ces classes
doivent leur perfection à une ou plusieurs des propriétés présentées auparavant. Elles ont
été sélectionnées pour deux raisons principales : le fait qu’elles sont représentatives pour
une certaine technique (liée à une preuve, à un algorithme etc.) ou le fait qu’on y fera
15
référence ultérieurement dans la thèse.
Graphes triangulés
Nous allons commencer par la première classe dont la perfection a été prouvée, les
graphes triangulés (Berge [1], Hajnal et Surányi [45]). Un graphe est dit triangulé si
tout cycle de longueur supérieure à 3 a au moins une corde. Tous les problèmes considérés intéressants du point de vue des graphes parfaits (caractérisation, algorithmes de
reconnaissance, de coloration, d’obtention d’une plus grande clique) sont résolus pour les
graphes triangulés (voir Dirac [26], Gavril [38]).
Graphes faiblement triangulés
La généralisation la plus connue des graphes triangulés est la classe (introduite par
Hayward [46]) des graphes faiblement triangulés, c.à.d. des graphes qui ne contiennent
comme sous-graphe induit aucun cycle de longueur au moins 5 et aucun complémentaire
de tel cycle. Cette classe est précisement constituée des graphes G ayant la propriété que
pour tout sous-graphe induit H de G, H ou H̄ a une étoile déconnectante.
Graphes de parité et de Meyniel
Un graphe est dit de parité si tout cycle impair contient au moins deux cordes croisées
(ab, cd ∈ E sont dites croisées si {a, b} ∩ {c, d} = ∅ et exactement un des sommets c, d
existe sur chaque arc déterminé par a, b sur le cycle). Il est dit de Meyniel si tout cycle
impair contient au moins deux cordes. Bien que les graphes de parité soient, évidemment,
des graphes de Meyniel, des preuves distinctes existent pour les deux classes, dues à Olaru,
Sachs [102], respectivement à Markosian et Karapetian [74], Meyniel [75].
Graphes Raspail
La tentative d’affaiblir encore les conditions sur les cycles impairs, au sens de passer de
deux cordes à une seule corde, s’est concrétisée dans la définition des graphes Raspail : un
graphe s’appelle graphe Raspail si tout cycle impair contient au moins une corde reliant
deux sommets à distance deux le long du cycle. Le seul résultat (partiel, lui aussi) sur les
graphes Raspail a été obtenu par Lubiw [71], qui a démontré la perfection de tout graphe
Raspail contenant, ainsi que tous ses sous-graphes induits, un sommet dont le voisinage
ne possède aucun P4 induit.
16
Graphes bipartis
Si un graphe ne contient aucun cycle impair, il est dit biparti. L’ensemble de sommets
d’un tel graphe G peut être partitionné en V1 et V2 de façon que les arêtes de G aient
toutes une extrémité dans V1 et l’autre dans V2 . Pour généraliser cette idée de partition,
Chvátal, Lenhart et Sbihi [19] ont défini six classes de graphes parfaits en imposant des
conditions sur la répartition des sommets des P4 dans deux sous-ensembles disjoints.
Graphes parfaitement ordonnables
Toujours en regardant les P4 induits dans le graphe, on peut essayer d’imposer des
conditions sur les arêtes. Une façon de le faire est due à Chvátal [13] qui a introduit la
notion de graphe parfaitement ordonnable : un graphe G dont les sommets peuvent être
linéairement ordonnés de sorte qu’aucun P4 abcd n’ait a < b, d < c. Une autre façon est
due à Hoàng [56], qui a défini les graphes de Hoàng. Ce sont précisement les graphes dont
les arêtes peuvent être coloriées en deux couleurs R et V de façon que tout P4 abcd ait les
ailes différemment coloriées (les ailes du P4 abcd sont ab, cd). Les graphes parfaitement
ordonnables sont parfaits, mais la classe des graphes de Hoàng est encore à l’étude du
point de vue de la perfection. Seuls des résultats partiels ont été obtenus.
Graphes fortement parfaits
La plupart des classes présentées jusqu’ ici (les graphes triangulés, de parité, de Meyniel,
parfaitement ordonnables) ont un trait commun : dans tout sous-graphe induit il existe un
ensemble stable dont l’ intersection avec n’ importe quelle clique maximale est non-vide.
Les graphes ayant cette propriété sont dits fortement parfaits et sont parfaits (Berge,
Duchet [6]).
Graphes de quasi-parité
En outre, la plupart des classes énumérées sont contenues dans la classe des graphes
de stricte quasi-parité. Un graphe est appelé de stricte quasi-parité si tout sous-graphe
induit qui n’est pas une clique contient une paire d’amis. Il est dit de quasi-parité si
pour tout sous-graphe induit H, ou bien H ou bien H̄ contient une paire d’amis. Il est
conjecturé que la classe des graphes fortement parfaits est, elle aussi, incluse dans la classe
des graphes de stricte quasi-parité.
17
Graphes F-libres
Une catégorie de graphes en quelque sorte différente de celles que l’on vient de présenter
contient des classes de graphes qui ne sont pas nécessairement parfaits, mais pour lesquels
la Conjecture Forte est vraie et qui sont définis, d’ habitude, par des sous-graphes interdits.
Pour ces graphes on ne peut pas, en général, démontrer l’ inclusion dans une des classes
définies auparavant, cependant leur perfection vient renforcer l’ idée que la Conjecture
Forte serait vraie.
Etant donnée une famille F de graphes, on dit qu’un graphe G est F-libre si aucun
des graphes de F n’est contenu dans G comme sous-graphe induit. Parmi les classes
examinées avec un bon résultat jusqu’ ici on peut énumérer : les P4 -libres (Seinsche [103]),
les (K4 − e)-libres (dénommés aussi diamant-libres ; Tucker [109]), les K4 -libres (Tucker
[108]), les K1,3 -libres (Parathasaraty, Ravindra [89]). En fait, on peut exclure n’ importe
quel graphe à quatre sommets, sauf le C4 et son complémentaire, et la classe obtenue
satisfait la Conjecture Forte. Le cas des C4 -libres reste inachevé.
En ce qui concerne les graphes exclus à cinq sommets, celui qui suscite le plus l’ intérêt
est la chaı̂ne P5 . Ainsi que pour les graphes C4 -libres, pour les graphes P5 -libres on ne
connaı̂t que des résultats partiels (voir Olariu [80]).
1.5. Complexité
Avant de conclure ce chapitre, soulignons l’ intérêt pratique, en plus de celui théorique
vu jusqu’ ici, de l’étude des graphes parfaits. Dans [44], Grötschel, Lovász et Schrijver
montrent que les problèmes de décision concernant le nombre chromatique, de densité,
de stabilité et de couverture par des cliques sont polynomiaux pour les graphes parfaits,
par opposition au cas général où ils sont NP-complets (voir Garey, Johnson [36] pour les
notions concernant la complexité). Les algorithmes qu’ ils donnent, basés sur l’algorithme
de l’ellipsoı̈de de Khachiyan [66], sont polynomiaux mais, malheureusement, inefficaces du
point de vue pratique, ce qui fait que le résultat reste d’un intérêt purement théorique,
jusqu’à la découverte d’algorithmes convenables.
Dans ce contexte, l’ importance de caractériser et reconnaı̂tre les graphes parfaits devient claire, bien que, évidemment, le problème reste aussi difficile qu’auparavant. Même si
la Conjecture Forte était vraie, on n’aurait qu’une caractérisation, mais pas un algorithme
de reconnaissance, car on ne sait pas encore reconnaı̂tre les graphes de Berge. Toute-
18
fois, cette caractérisation permettrait d’ identifier d’une manière très claire la classe des
graphes parfaits et, probablement, d’avoir une idée de la complexité de ce problème. Notons d’ailleurs que les résultats obtenus jusqu’ ici par Bienstock [7] et Lubiw [70] suggèrent
plutôt que celui-ci serait NP-complet.
C’est la raison pour laquelle il semble assez naturel de s’ intéresser aussi aux classes
particulières des graphes parfaits : non seulement parce qu’elles permettent une approche
plus facile des problèmes, mais aussi parce que, dans le cas du problème de la reconnaissance au moins, réduire la classe pourrait être la seule chance d’arriver au but.
Même en ne connaissant que ce bref aperçu des graphes parfaits, on peut se rendre
compte que les éléments qu’on a accumulés ne nous permettent pas de tirer des conclusions
très fermes et très complètes concernant cette classe. On sait qu’ il existe des algorithmes,
mais on ne les a pas ; on a une belle conjecture à résoudre, et on ne sait pas comment ; on
a vraiment besoin de reconnaı̂tre cette classe, mais on ne sait même pas s’ il est possible
de le faire efficacement. Ce sont autant de problèmes à étudier pour la famille des graphes
parfaits en général, ainsi que pour ses sous-familles.
Ce sont autant de problèmes que nous allons aborder dans cette thèse.
A propos de la coloration
19
Chapitre 2.
Le problème de coloration des graphes n’est pas inutile : les nombreux problèmes
pratiques qui apparaissent dans les domaines les plus divers le prouvent. Il n’est pas facile
non plus : la théorie de la complexité qui l’a classé parmi les problèmes NP-complets le
garantit. Mais on peut essayer de l’approcher avec de bonnes chances pour les graphes
parfaits : c’est le résultat de Grötschel, Lovász et Schrijver [44] qui nous le dit.
2.1. Un algorithme immédiat
Etant donné le graphe G = (V, E), la condition que l’on impose pour la coloration
– que deux sommets adjacents n’aient pas la même couleur – suggère une méthode très
simple pour traiter le problème, mais qui risque de ne pas être très efficace.
Première étape
On range les sommets selon un ordre linéaire que l’on désigne par ” < ”. Le graphe
~ = (V, E)
~ est le graphe obtenu de G en orientant les arêtes selon la règle :
orienté G
~ si, et seulement si, xy ∈ E et x < y. On peut très facilement se rendre compte
xy ∈ E
~ ne contient pas de circuits, c’est-à-dire de cycles dont
que, puisque l’ordre est linéaire, G
~ est un graphe
toutes les arêtes aient la même orientation. L’ inverse est aussi valable : si H
orienté sans circuits, alors il existe un ordonnancement linéaire des sommets qui induit
cette orientation de H.
20
Deuxième étape
La deuxième étape est la coloration proprement dite. Ayant un ensemble de couleurs
notées par des nombres naturels, les sommets sont considérés suivant l’ordre ” < ” et
on leur donne successivement la plus petite couleur convenable actuelle. A la fin de
l’algorithme, tout le graphe est colorié ; de plus, chaque sommet v colorié par la couleur
k a des voisins vj (j = 1, 2, . . . , k − 1) de couleur j tels que vj < v.
L’algorithme obtenu de cette façon s’appelle algorithme glouton. Il est un exemple
d’algorithme ”on-line”, car les sommets du graphe sont pris en compte l’un après l’autre
(en même temps que les arêtes les reliant aux sommets précédents) et on leur donne
immédiatement une couleur qui n’est plus changée par la suite.
La coloration obtenue pour (G, <) utilisant l’algorithme glouton sera dite coloration
gloutonne. Certainement, une telle coloration n’est pas optimale (c.à.d. elle n’utilise
pas un nombre minimum de couleurs) pour tout graphe G et tout ordre ” < ”, mais il
existe toujours (pour un graphe fixé G) un ordonnancement des sommets conduisant à une
coloration optimale de G à l’aide de l’algorithme glouton. Il est toutefois invraisemblable
qu’un tel ordonnancement puisse être trouvé en temps polynomial, car cette possibilité
offrirait un algorithme polynomial pour le problème NP-complet de décider du nombre
chromatique d’un graphe arbitraire. Néanmoins, on peut se demander quel type particulier
d’ordre conduirait forcément à une coloration gloutonne optimale, et pour cela il suffit
~ quelque soit
de considérer la chaı̂ne à quatre sommets abcd et l’orientation ab, dc ∈ E,
l’orientation de bc. En appliquant l’algorithme glouton on trouve la couleur 1 pour a
et d, et les couleurs 2 et 3 pour b et c, tandis que dans une coloration optimale a et c,
respectivement b et d, auraient la même couleur. C’est pourquoi un tel graphe orienté sera
appelé une obstruction.
En partant de cette remarque, Chvátal [13] prouve le théorème suivant qui concerne
les graphes parfaitement ordonnables. On rappelle qu’un graphe est dit parfaitement
ordonnable si on peut trouver une orientation des arêtes sans circuits et sans obstruction.
L’ordre imposé sur l’ensemble des sommets par cette orientation s’appelle ordre parfait et
un graphe muni d’un ordre parfait est dit parfaitement ordonné.
Théorème 2.1. (Chvátal [13]) Un graphe parfaitement ordonnable est fortement
parfait ; de plus, la coloration obtenue par l’algorithme glouton utilisant l’ordre parfait est
optimale.
21
Cette classe de graphes parfaits – tellement facile à colorier – a un très grand inconvénient, à savoir que le problème de reconnaissance des graphes parfaitement ordonnables
est très difficile. En effet, dans [78] Middendorf et Pfeifer ont démontré que le problème
de décider si un graphe G est parfaitement ordonnable ou non est NP-complet.
A cause de cet ennui, mais surtout à cause de l’ importance de bien connaı̂tre les classes
de graphes pour lesquelles on sait résoudre les problèmes qui nous intéressent, plusieurs
classes qui contiennent ou qui sont contenues dans les graphes parfaitement ordonnables
ont été identifiées depuis le résultat de Chvátal. Enumérons-en quelques-unes :
• classes de graphes contenues dans les parfaitement ordonnables :
- brittle graphs (Hoàng, Khouzam [57]) ;
- quasi-brittle graphs (Olariu [83]) ;
- superbrittle graphs (Preissmann, de Werra, Mahadev [92]) ;
- P4 -indifference graphs (Hoàng, Reed [61]) ;
- P4 -comparability graphs (Hoàng, Reed [61]) ;
- P4 -simplicial graphs (Hoàng, Reed [61]) ;
- oppositions graphs (Olariu [82]) ;
- bipolarizable graphs (Hertz [50]) ;
- weak bipolarizable graphs (Olariu [84]) ;
- charming graphs (Hoàng, Maffray, Olariu, Preissmann [58]).
• classes de graphes contenant les parfaitement ordonnables:
- graphes parfaitement ordonnables généralisés (Duchet, Olariu [29]) ;
- graphes prefix-ordonnables (Croitoru, Radu [24]).
Pour les classes de graphes qui ne sont pas bien coloriés par l’algorithme glouton,
d’ habitude la solution est de faire dans le voisinage du sommet courant des transformations
permettant d’obtenir une coloration optimale dans ce voisinage. Après, le sommet courant
peut être colorié avec la plus petite couleur disponible. Cette méthode a été appliquée
pour les cas suivants :
- graphes de Meyniel (Meyniel [75]) ;
- graphes (K4 − e)-libres (Tucker [109]).
Notre but dans les sections suivantes est de combiner les deux méthodes précédentes
(section 2.2) de façon qu’on puisse soit colorier des nouvelles classes de graphes (sections
2.3, 2.4, 2.5), ou bien exhiber des colorations spéciales pour des classes classiques de
graphes parfaits (section 2.6). La plupart des résultats proposés peuvent être retrouvés
dans Rusu [98, 99].
22
2.2. Un algorithme glouton tempéré
Si l’on parcourt les algorithmes de coloration trouvés jusqu’ ici, on remarque une particularité commune, à savoir celle qu’ ils ignorent constamment le fait que le voisinage
d’un sommet est lui-même un graphe bien défini et pour lequel toutes les méthodes de coloration connues sont valables, si, évidemment, ce graphe satisfait les conditions nécessaires.
Cette simple observation peut conduire à l’élaboration de nouveaux algorithmes à partir
de certains algorithmes déjà connus.
Considérons une classe héréditaire G de graphes telle que tout graphe de G contient
un sommet x dont le voisinage N (x) a une certaine propriété P ; et supposons que l’on
connaı̂t déjà un algorithme A pour obtenir des colorations optimales des graphes ayant la
propriété P.
Soit maintenant G = (V, E) un graphe de G. Alors les sommets de G peuvent être
enumérés x1 , x2 , . . . , xn de façon que, dans le graphe Gi induit par x1 , . . . , xi , le voisinage
de xi ait la propriété P. On peut alors décrire un algorithme de coloration pour G de la
manière suivante :
• colorier x1 avec la plus petite couleur disponible ;
• pour i de 2 à n exécuter
• recolorier NGi (xi ) à l’aide de A ;
• colorier xi avec la plus petite couleur disponible.
L’amélioration et, à la fois, la difficulté que cet algorithme apporte par rapport à
l’algorithme glouton consiste dans le recoloriage de NGi (xi ). Cette opération permet de
supposer que la coloration de Gi−1 , qui est optimale pour ce graphe, n’est pas forcément
optimale pour NGi (xi ), principe qui est plus général que celui utilisé par l’algorithme
glouton. Dès qu’on introduit cette tolérance dans le raisonnement on a besoin, pour
colorier xi , de corriger la coloration de NGi (xi ) afin qu’elle soit optimale, mais sans affecter
le nombre de couleurs utilisées dans Gi−1 .
La correction est possible, comme on l’a déjà indiqué, par l’algorithme A, mais une
difficulté peut apparaı̂tre due au fait que NGi (xi ) est déjà colorié. L’attribution – selon
l’algorithme A – de la couleur A à un sommet y ∈ NGi (xi ) déjà colorié avec B devrait
se faire par l’échange des deux couleurs A et B dans toute la composante connexe qui
satisfait les conditions suivantes:
- elle est définie dans Gi−1 par les sommets coloriés A ou B ;
- elle contient y
23
et qui est notée AB-cc(y). Cet échange pourrait affecter de manière indésirée quelques-uns
des sommets de NGi (xi ), ce qui perturberait le déroulement de l’algorithme A dans
NGi (xi ). Puisque AB-cc(y) contient d’ habitude des sommets de Gi−1 \ NGi (xi ), on peut
envisager que la propriété P du voisinage de x ne serait pas suffisante pour garantir
la légitimité de l’échange et que de nouvelles conditions devraient être imposées. Par
conséquent, la déduction des conditions sous lesquelles le nouvel algorithme fonctionnerait
est à la fois antérieure et ultérieure au choix de l’algorithme A que l’on veut utiliser pour
la coloration optimale du voisinage.
Dans ce qui suit, on va analyser l’algorithme que l’on obtient à partir de l’algorithme
glouton. Ce dernier fonctionne, d’après ce qu’on a vu précédement, pour les graphes
parfaitement ordonnables, mais la condition pour G que tout G contienne un sommet
x dont le voisinage soit parfaitement ordonnable ne suffit pas, à cause des raisons déjà
indiquées. Des conditions plus fortes s’ imposent alors pour le graphe G, mais même dans
ce cas-là, ce qu’on obtient sont des généralisations de certaines classes classiques de graphes
parfaits.
Rappelons que pour un graphe G = (V, E) on note ω(G) et χ(G) le nombre de densité
et le nombre chromatique de G. Les couleurs sont représentées par des entiers positifs 1, 2, 3, . . . et la notation utilisée pour les désigner consiste des lettres majuscules.
Un A-sommet v est un sommet colorié avec la couleur A (notation v[A]), tandis qu’un
A-sommet adjacent à un sommet x est dit A-voisin de x. Pour l’ensemble de couleurs du
sous-graphe H on utilise la notation C(H) ; AB-cc(x) est la composante connexe de x
(qui est un A-sommet ou un B-sommet) dans le sous-graphe de G induit par les sommets
coloriés avec A ou B. Enfin, un AB-échange est l’opération d’ inversion des couleurs A et
B dans AB-cc(x) pour un sommet x ∈ V .
Avec ces nouvelles notations, une coloration gloutonne de (G, <) a la propriété que
pour tout R-sommet w de G il existe des sommets w1 [1], w2 [2], . . . , wR−1 [R − 1], voisins
de w dans G, tels que wi < w pour tout i ∈ {1, 2, . . . , R − 1}.
Supposons maintenant qu’on a une classe héréditaire G de graphes telle que tout graphe
G de G contient un sommet x dont le voisinage N (x) est parfaitement ordonnable. Alors il
vaut mieux exprimer l’ordonnancement x1 , x2 , . . . , xn des sommets de G à l’aide d’un ordre
” < ” tel que le voisinage N (x) d’un sommet arbitraire x dans le sous-graphe induit par
les sommets plus petits que x (on dira parfois sommets précédents de x) soit parfaitement
ordonnable. Remarquons dans ce cas que l’ordre parfait dans N (x) peut être l’ordre
” < ”, ou bien n’ importe quel ordre, les conditions supplémentaires à imposer (ultérieures
24
au choix de l’algorithme A) dépendant de la situation concrète. Nous allons considérer ici
le cas où l’ordre parfait dans chaque voisinage est bien l’ordre global ” < ”.
~ = (V, E)
~ pour le graphe orienté obtenu
Pour G et ” < ”, on conserve la notation G
~ si, et seulement si, ab ∈ E et a < b. Quel que soit le sommet
de G en imposant ab ∈ E
+
~
a ∈ V , N (a) (respectivement N − (a)) est l’ensemble des sommets b tels que ab ∈ E
+
−
~
(respectivement ba ∈ E).
Le voisinage du sommet a est N (a) = N (a) ∪ N (a). Si
+
N (a) = ∅ (respectivement N − (a) = ∅) alors a est un puits (respectivement une source).
Evidemment, les sommets minimum et maximum par rapport à l’ordre linéaire sont une
source et, respectivement, un puits de G.
Maintenant, l’algorithme qui résulte pour G en considérant pour les variables P et A
les valeurs :
• P = la propriété d’un graphe d’être parfaitement ordonnable ;
• A = l’algorithme glouton
se décrit comme suit.
Algorithme Glouton Tempéré
Entrée : (G, <)
Sortie : coloration de G
• pour tout x dans V (en ordre croissant) exécuter
• pour tout z dans N − (x) (en ordre croissant) exécuter
• A := la plus petite couleur absente de N − (z) ∩ N − (x)
• B := la couleur de z
• si A6=B alors exécuter l’AB-échange dans AB-cc(z)
• fin{pour}
• C(x) := la plus petite couleur absente de N − (x)
• fin{pour}.
Afin que cet algorithme obtienne des colorations optimales, il faut garantir – par des
conditions imposées sur la classe de graphes – non seulement l’existence d’un sommet x
ayant son voisinage parfaitement ordonnable, mais aussi que l’AB-échange dans AB-cc(z)
ne modifie pas la coloration dans N − (x) ∩ N − (z). C’est précisement ce qu’on va faire plus
loin.
Mais d’abord une remarque concernant la complexité de l’algorithme. Il est facile de
voir qu’au plus mx échanges sont exécutés pour chaque x, où mx est le nombre d’arêtes
reliant x à un sommet plus petit que x. Chaque échange considère au plus O(m) arêtes, par
25
conséquent le nombre total d’opérations effectuées dans les échanges est dans O(m2 ). On
doit aussi additionner le nombre d’opérations nécessaires par les autres pas de l’algorithme,
c.à.d. O(mn + n). La complexité de l’algorithme est alors O(m2 + mn + n).
2.3. Graphes proprement ordonnables
Le passage formel de l’algorithme glouton à l’algorithme glouton tempéré suggère de
façon suffisamment claire qu’un ordre se comportant bien vis-à-vis de l’algorithme glouton
(comme l’ordre parfait) pourrait transporter ses bonnes propriétés (ou seulement une partie de celles-ci) sur un graphe qui n’admet un tel ordre que sur certains de ses sous-graphes.
Et puisque l’ordre parfait est celui qui offre les meilleurs outils pour une telle analyse, c’est
bien l’ordre parfait que l’on va considérer.
2.3.1. Une généralisation des graphes parfaitement ordonnables
On va dire qu’un graphe G = (V, E) est proprement ordonnable s’ il existe un ordre
linéaire ” < ” sur V (appelé aussi ordre propre) tel que pour tout cycle impair C de G,
le sous-graphe induit dans G par l’ensemble V (C) des sommets de C est parfaitement
ordonné. Il est facile de voir qu’un ordre parfait est aussi un ordre propre, donc tout
graphe parfaitement ordonnable est aussi proprement ordonnable. Un graphe G muni
d’un ordre propre sera dit proprement ordonné.
Evidemment, les graphes proprement ordonnables forment une classe héréditaire, de
même que les parfaitement ordonnables et, encore comme les graphes parfaitement ordonnables, ces graphes sont parfaits, ce que l’on va démontrer par la suite. Mais un ordre
propre n’est pas aussi efficace qu’un ordre parfait, dans le sens que l’algorithme glouton peut exhiber une coloration non-optimale ; c’est la raison pour laquelle l’algorithme
glouton tempéré sera utilisé pour colorier cette classe de graphes.
Mais regardons d’abord la perfection. En introduisant les graphes de stricte quasi-parité,
Meyniel [77] prouve aussi que les graphes parfaitement ordonnables sont contenus dans
cette classe. Les graphes proprement ordonnables ont, encore une fois, la même propriété.
26
Théorème 2.2. Les graphes proprement ordonnables sont des graphes de stricte
quasi-parité.
Preuve. On considère un graphe connexe G (qui n’est pas une clique) pourvu d’un
ordre propre sur son ensemble de sommets V . Si pour tout z de G le graphe N − (z) est
une clique, alors G est parfaitement ordonnable et, selon le résultat de Meyniel, il a une
paire d’amis. Dans le cas contraire, on utilise la récurrence par rapport au nombre de
sommets de G pour démontrer :
(P1 ) Si w est le sommet maximum de G tel que N − (w) n’est pas une
clique, alors il existe une paire d’amis de G contenue dans N − (w).
Pour |V | = 3, 4, la propriété est vraie. Supposons qu’elle est valide pour chaque
graphe proprement ordonné ayant moins de n sommets et prouvons-la pour un graphe G
à n sommets. Dans ce qui suit x est le sommet maximum de G et N (x) = N − (x) est son
voisinage.
Si N (x) est une clique, alors le sommet maximum t de G − x tel que N − (t) n’est pas
une clique a la même propriété dans G et (P1 ) est valide. Si N (x) n’est pas une clique,
alors soit y une source de N (x). Deux cas peuvent apparaı̂tre :
1. N (x) \ N (y) 6= ∅. Alors soit z une source de [N (x) \ N (y)]G . Afin de prouver
que (y, z) est une paire d’amis, remarquons d’abord que y et z ne sont pas adjacents,
car dans le cas contraire l’arête les reliant imposerait que seul un des deux sommets soit
source. Supposons maintenant que y et z ne sont pas une paire d’amis ; il existe donc une
chaı̂ne induite P sans cordes, de longueur impaire ayant les extrémités y et z. On note u,
respectivement v les voisins de y, respectivement de z sur cette chaı̂ne. Le graphe induit
~ (sinon l’orientation de
par {x} ∪ V (P ) étant parfaitement ordonné, on obtient que zv ∈ E
vzxy imposerait vx ∈ E et alors z ne serait pas une source dans [N (x) \ N (y)]G ).
Fait 1. Si la chaı̂ne sans cordes P = [y1 y2 . . . y2p−1 y2p ] est parfaitement ordonnée et
~ alors y2p−1 y2p ∈ E.
~
y1 y2 ∈ E,
~ pour tout
Preuve. Par récurrence sur i on prouve facilement que y2i−1 y2i ∈ E
i ∈ {1, 2, . . . , p}. Dans le cas particulier i = p on obtient la conclusion du fait 1.2
~ car zv ∈ E
~ et P est parfaitement ordonnée. De plus, on a ux ∈ E
~ (sinon
Alors uy ∈ E,
u, y, x, z induisent une obstruction), par conséquent y n’est pas une source dans N (x), ce
qui contredit le choix de y.
27
−
2. N (x)\N (y) = ∅. Alors x est le sommet maximum dans G−y et NG−y
(x) = NG−y (x)
n’est pas une clique. En utilisant l’hypothèse de récurrence on déduit l’existence d’une
paire d’amis (a, b) de G−y entièrement contenue dans NG−y (x). Puisque a, b sont contenus
aussi dans N (y), il n’y a pas de chaı̂ne impaire sans cordes reliant a et b dans G.
Par récurrence, tout sous-graphe H de G est un graphe de stricte quasi-parité et,
puisque G lui-même possède une paire d’amis, on en déduit que G est un graphe de stricte
parité.2
2.3.2. . . . et une généralisation de l’algorithme glouton
La perfection des graphes proprement ordonnables étant prouvée, il existe, selon
Grötschel, Lovász, Schrijver [44], des algorithmes polynomiaux pour les colorier. L’un
d’eux est l’algorithme glouton tempéré, présenté dans la section 2.2.
Théorème 2.3. Pour un graphe proprement ordonné, la coloration obtenue par
l’algorithme glouton tempéré utilisant l’ordre propre est optimale.
Preuve. On va utiliser la récurrence par rapport au nombre de sommets de G = (V, E).
Si |V | = 1, 2, le théorème est valide. On suppose qu’ il est valide pour tout graphe proprement ordonné à moins de n sommets et on va le prouver pour un graphe proprement
ordonné à n sommets.
Lemme 2.4. Soit G = (V, E) un graphe proprement ordonnable et ” < ” un ordre
propre de G. Pour tout x de V , N (x) est parfaitement ordonné.
Preuve. Supposons le contraire et considérons x ∈ V un sommet tel que N (x) ne
~ Le
soit pas parfaitement ordonné. Alors il existe dans N (x) un P4 abcd avec ab, dc ∈ E.
cycle induit par x, a, b, c, d étant impair, on en déduit une contradiction du fait que G est
proprement ordonné.2
On note x le sommet maximum de G. Le voisinage N (x) de x est parfaitement ordonné et, par le résultat de Chvátal, l’algorithme glouton basé sur cet ordre donne une
coloration optimale de N (x). Généralement, cette coloration de N (x) n’est pas extensible
à une coloration optimale de G lui-même. Toutefois, dans notre cas, on va prouver que
toute coloration optimale de G − x (par récurrence, une telle coloration existe) peut être
28
transformée en une coloration optimale de G − x telle que N (x) soit glouton-colorié selon
l’ordre ” < ”.
Considérons une coloration optimale de G − x et soit Nk (x) l’ensemble des k premiers
sommets (en ordre ascendant) de N (x). Supposons que l’exécution de l’algorithme glouton
dans N (x) est arrivée au moment où il faut établir la couleur du sommet noté z, qui est
de rang k dans N (x) et dont la couleur est B. Si la couleur de z doit devenir A<B par
échange dans AB-cc(z), alors on a le lemme suivant :
Lemme 2.5. Si Nk−1 (x) ∩ AB-cc(z) 6= ∅, alors le plus petit sommet de l’ensemble est
un A-sommet.
Preuve. Si le plus petit sommet avait été un B-sommet, alors l’algorithme glouton
lui aurait donné la couleur A, au moment convenable de l’exécution. Le lemme 2.5 est
prouvé. 2
Par récurrence sur k on va montrer maintenant que le déroulement de l’algorithme
glouton dans le voisinage de x est normal, n’étant pas influencé négativement par les
échanges :
Lemme 2.6. La coloration de Nk (x) obtenue à l’aide de l’algorithme glouton tempéré
est identique à la coloration gloutonne de (Nk (x), <).
Preuve. Pour k = 1 la propriété est vraie. On suppose qu’elle est vraie pour k − 1 et
on la prouve pour k. Le sommet suivant dans N (x) selon l’ordre ” < ” est noté z et sa
couleur est B. Soit A la plus petite couleur qui n’existe pas dans N (z) ∩ Nk−1 (x). Alors
A≤B. Afin d’obtenir une coloration gloutonne de Nk (x), z doit recevoir la couleur A. Si
A = B, alors z est déjà colorié avec A et on a fini. Si A<B, deux cas peuvent apparaı̂tre :
- le sommet z n’a pas d’A-voisins dans G − x. Alors la couleur de z peut devenir A ;
- le sommet z a au moins un A-voisin w ∈ V \ {x}. Pour obtenir une coloration
gloutonne dans Nk (x) il suffit de réaliser l’AB-échange dans AB-cc(z), pourvu qu’aucun
sommet de Nk−1 (x) ne change sa couleur pendant l’AB-échange, c.à.d. aucun sommet de
N (x) plus petit que z ne soit contenu dans AB-cc(z). Supposons le contraire.
Soit v le A-sommet donné par le lemme 2.5. Puisque z[B] et v[A] sont tous les deux
contenus dans AB-cc(z), il existe une chaı̂ne impaire sans cordes P dans AB-cc(z) les
reliant. Soit t le B-voisin de v sur cette chaı̂ne et u le A-voisin de z sur cette chaı̂ne. Le
cycle donné par P et x est impair, par conséquent le graphe induit par V (P ) ∪ {x} est
parfaitement ordonné.
a
29
d
b
a’
c
d’
Fig. 2.1.
~ Sinon on aurait aussi tx ∈ E (autrement t, v, x, z induiraient
Remarquons que tv 6∈ E.
une obstruction) et donc t serait un B-voisin de v dans Nk−1 (x) plus petit que v. Par le
~ Par le fait 1, uz ∈ E
~ et alors ux ∈ E
lemme 2.5, v n’a pas de tels voisins. Alors vt ∈ E.
(sinon v, x, z, u induisent une obstruction). Mais alors u < z et u est un A-voisin de z
dans Nk−1 (x). Puisque A était supposée être la plus petite couleur absente du voisinage
de z dans Nk−1 (x), on obtient une contradiction.
Conclusion : aucun sommet de N (x) plus petit que z n’est contenu dans AB-cc(z).
Par conséquent, l’AB-échange dans AB-cc(z) peut être realisé pour obtenir une coloration
gloutonne de Nk (x).
Pour k = |N (x)|, on a une coloration gloutonne de N (x) selon l’ordre parfait ” < ”,
donc on peut appliquer le resultat de Chvátal pour déduire que N (x) est colorié de manière
optimale. Le sommet x peut recevoir la plus petite couleur absente de N (x) et la coloration
résultante utilise un nombre de couleurs égal à la taille de la plus grande clique.2
Remarque 2.7. La classe des graphes proprement ordonnables contient strictement
la classe des graphes parfaitement ordonnables. Le graphe F de la Fig. 2.1. est un exemple
de graphe proprement ordonnable qui n’est pas parfaitement ordonnable.
Il a aussi la propriété que les deux composantes connexes de F ′ = (V (F ), E(F ) \ {bc})
sont parfaitement ordonnables et chaque ordre parfait impose qu’au moins une arête parmi
ab, a′ b (respectivement dc, d′ c) soit orientée vers b (respectivement vers c). C’est la raison
pour laquelle F n’est pas parfaitement ordonnable, mais il est proprement ordonnable car
aucune obstruction n’est contenue dans un sous-graphe de F induit par les sommets d’un
cycle impair.
Remarque 2.8. Les graphes proprement ordonnables ne sont pas nécessairement des
graphes fortement parfaits. Pour cela il suffit de remarquer qu’un ensemble stable S qui
intersecte toutes les cliques maximales de F devrait contenir soit b soit c (disons b) et alors
le P̄5 contenant b aurait une 2-clique sans sommet dans S.
30
Concernant les graphes proprement ordonnables, F. Maffray formule la conjecture
suivante :
Conjecture 2.9. Pour tout graphe proprement ordonnable G, soit G est parfaitement
ordonnable, soit il existe une clique déconnectante dans G.
Si la conjecture était vraie, alors une coloration optimale de G pourrait s’obtenir d’une
façon tout-à-fait différente de celle déjà présentée.
Ainsi, le graphe G pourrait être successivement décomposé en graphes de taille de plus
en plus petite jusqu’à ce qu’on arrive à des graphes parfaitement ordonnables. Après quoi,
si on connaissait les ordres parfaits dans ces graphes, ils seraient coloriés par l’algorithme
glouton et, encore une fois par récurrence, la coloration serait facilement étendue à chaque
niveau de décomposition à cause du fait que l’ensemble déconnectant est toujours une
clique. Le dernier graphe colorié ainsi serait G lui-même.
Cet algorithme demanderait O(n3H ) opérations pour trouver une clique déconnectante
dans le sous-graphe H de G ou d’avoir la certitude qu’ il n’existe pas une telle clique
(Whitesides [111]). De plus, le nombre de cliques pourrait être assez grand, d’ordre n2 .
En effet, Gavril [39] a prouvé que pour un graphe G arbitraire le nombre de cliques
déconnectantes cherchées avant de trouver tous les sous-graphes de la décomposition
qui n’admettent plus de clique déconnectante peut être d’ordre n2 . Par conséquent,
l’algorithme pourrait avoir une complexité en O(n5 ). Certainement, des améliorations
pourraient apparaı̂tre du fait que G n’est pas un graphe arbitraire, mais un graphe proprement ordonnable.
Remarque 2.10. Par opposition au cas des graphes parfaitement ordonnables, pour
les graphes proprement ordonnables l’appartenance à la classe NP du problème de reconnaissance n’est pas claire. De ce point de vue, si la conjecture de Maffray était vraie, elle
permettrait au moins d’établir ce résultat.
De plus, on remarque facilement que reconnaı̂tre les graphes proprement ordonnables
est au moins aussi difficile que de reconnaı̂tre les graphes parfaitement ordonnables ; on a
donc affaire à un problème NP-difficile. En effet, si on avait un algorithme pour reconnaı̂tre
les proprement ordonnables, alors pour tester si un graphe G est parfaitement ordonnable
il suffirait de lui ajouter un sommet x relié à tous les sommets de G et de tester si G + x
est proprement ordonnable. La réponse à cette question serait aussi la réponse concernant
l’appartenance de G à la classe des parfaitement ordonnables.
31
2.4. Graphes de parité ordonnables
La classe de graphes que l’on va colorier maintenant n’a pas reçu de nom jusqu’ ici, bien
que la perfection des graphes de cette classe ait été prouvée, d’une façon plutôt cachée,
dans plusieurs articles (voir, par exemple, Meyniel [75]). Elle généralise les graphes de
parité et l’algorithme de coloration que l’on utilise ici – toujours l’algorithme glouton
tempéré – permet d’obtenir une coloration spéciale des graphes de parité, dite coloration
localement parfaite (Preissmann [91]).
2.4.1. Une généralisation des graphes de parité
Considérons un graphe G = (V, E) et soit ” < ” un ordre linéaire sur l’ensemble de
sommets V . Pour chaque sous-graphe H de G, le sommet x est dit maximum dans H si
pour tout y ∈ V (H), y 6= x, on a y < x. Etant donné un cycle C dans G, le sommet x est
dit nul dans C si aucune corde d’extrémité x n’existe dans C.
Maintenant, une simple généralisation de la définition donnée par Olaru et Sachs [102]
pour les graphes de parité conduit à la notion de graphe de parité ordonnable. Un graphe
G = (V, E) est dit de parité ordonnable s’ il existe un ordre linéaire sur V telle que chaque
cycle impair à plus de trois sommets satisfait au moins une des deux propriétés suivantes :
• le sommet maximum de C est nul, mais C n’est pas sans cordes.
• il existe dans C deux cordes croisées.
On peut trouver des graphes de parité ordonnables qui ne sont pas de parité, comme
~ si,
le montre l’exemple de la Fig. 2.2. Les arêtes sont déjà orientées selon la règle xy ∈ E
et seulement si, xy ∈ E et x < y.
1
7
2
3
6
5
Fig. 2.2.
4
32
2.4.2. . . . et une généralisation de l’algorithme glouton
A la première vue, il pourrait paraı̂tre surprenant que l’algorithme de coloration utilisé
pour les graphes proprement ordonnables soit valable aussi pour les graphes de parité
ordonnables, car la motivation initiale pour la définition des proprement ordonnables –
que l’ordre parfait se comporte bien vis-à-vis de l’algorithme glouton, donc il vaut mieux
l’exploiter – disparaı̂t dans le cas des graphes de parité ordonnables, car les graphes de
parité et l’algorithme glouton n’ont pas beaucoup de choses en commun. Pourtant, le fait
devient crédible dès qu’on remarque l’existence dans un graphe de parité ordonnable d’un
sommet x – qui est en fait le sommet maximum du graphe – dont le voisinage est P4 -libre,
donc aussi parfaitement ordonnable.
Par conséquent, on s’ intéresse toujours à l’algorithme glouton tempéré. Pour formuler le théorème suivant, disons qu’un graphe G est de parité ordonné s’ il est de parité
ordonnable et muni d’un ordre convenable.
Théorème 2.11. La coloration obtenue par l’algorithme glouton tempéré pour un
graphe de parité ordonné est optimale.
Preuve. Soit G un graphe de parité ordonné. Il suffit de démontrer qu’une coloration
optimale du sous-graphe H induit dans G par les p premiers sommets (en ordre ascendant)
est transformée en une coloration optimale de H + x, où x est le sommet suivant de V .
~ le graphe orienté
Comme auparavant, on note N − (x) le voisinage de x dans H et G
déterminé par G et ” < ”.
La preuve suit de très près le raisonnement appliqué pour les graphes proprement
ordonnés. Voici le résultat correspondant au lemme 2.4 qui dans ce cas est sensiblement
plus fort :
Lemme 2.12. Pour tout sommet x de G, le graphe induit par N − (x) est P4 -libre.
Preuve. Supposons que ce n’est pas vrai. Alors dans N − (x) il existe les sommets
a, b, c, d tels que abcd soit une chaı̂ne sans cordes. En ajoutant à ce P4 le sommet x,
on obtient un cycle impair dont le sommet maximum (à savoir x) est non-nul et qui, de
plus, ne contient pas d’arêtes croisées. Alors le graphe n’est pas de parité ordonné, une
contradiction.2
Le lemme 2.5 étant vrai avec la même forme et pour les mêmes raisons, on passe
directement au résultat similaire au lemme 2.6.
33
Lemme 2.13. La coloration de Nk (x) obtenue à l’aide de l’algorithme glouton tempéré
est identique à la coloration gloutonne de (Nk (x), <).
Preuve. La seule chose à montrer est que les échanges n’affectent pas les sommets
de N − (x) déjà coloriés par l’algorithme glouton. Pour cela, soit z le sommet (de rang k)
qui suit dans la coloration de N − (x), B sa couleur, A<B la plus petite couleur absente de
Nk−1 (x) et supposons qu’ il existe un sommet q ∈ Nk−1 (x) ∩ AB-cc(z).
Par le lemme 2.5, on a de nouveau l’existence de l’A-sommet v qui est le plus petit
dans Nk−1 (x) ∩ AB-cc(z). Une chaı̂ne sans cordes P reliant z et v dans AB-cc(z) constitue
avec x un cycle impair dont x est le sommet maximum et qui ne peut pas avoir des cordes
croisées, bien que x soit non-nul. Par conséquent, G n’est pas un graphe de parité ordonné,
une contradiction.
On en déduit que l’algorithme fonctionne normalement dans N − (x) et la coloration
obtenue pour G à la fin de l’algorithme glouton tempéré utilise un nombre de couleurs
égal à ω(G).2
Remarque 2.14. Les deux classes de graphes parfaits coloriées auparavant par
l’algorithme glouton tempéré sont distinctes, comme le prouvent les exemples de la Fig. 2.3.
a, b.
1
2
3
4
5
6
7
a.
9
13
5
2
16
1
12
8
6
10
3
14
4
7
15
11
b.
Fig. 2.3.
Le graphe de la Fig. 2.3.a est parfaitement ordonnable (donc proprement ordonnable),
mais il n’est pas de parité ordonnable. Pour cela, il suffit de voir que chaque sommet est
un sommet non-nul dans un cycle impair sans cordes croisées, par conséquent il ne peut
pas être choisi le dernier dans un ordre de parité.
34
Le graphe de la Fig. 2.3.b est de parité ordonné avec l’ordre indiqué par la figure : tout
cycle impair qui contiendrait un des sommets 16, 15, 14, 13 aurait pour sommet maximal
nul précisement un de ces sommets, donc la condition 1 de la définition serait satisfaite.
Ensuite, si on élimine du graphe les sommets de 9 jusqu’à 16, dans le reste du graphe on
peut appliquer le même raisonnement pour les sommets 8, 7, 6, 5. On en déduit que le
graphe est de parité ordonné. Toutefois, il n’est pas proprement ordonnable. Puisque tout
P4 se trouve dans un graphe induit par les sommets d’un cycle impair, un ordre propre
serait aussi un ordre parfait pour le graphe. Mais une simple vérification montre que ce
graphe (trouvé par Duchet et Olariu [29]) n’est pas parfaitement ordonnable.
Remarque 2.15. Comme on l’a déjà signalé, on peut obtenir un algorithme beaucoup
plus général que l’algorithme glouton tempéré en considérant des ordres différents dans le
voisinage de chaque sommet. Ainsi, le déroulement du nouvel algorithme serait le suivant :
considérer les sommets selon l’ordre global ” <g ” ; recolorier le voisinage courant N (x)
de chaque sommet avec l’algorithme glouton selon l’ordre ” <p(x) ” qui est parfait dans
N (x) ; donner à x la plus petite couleur disponible.
2.5. La classe N*(K1 + K2)
Considérons la classe de graphes de Berge qui admettent un ordonnancement des sommets tel que le graphe orienté de la Fig. 2.4. ne soit pas induit (Maffray, Preissmann [72]
notent cette classe N*(K1 + K2 )). Tous les graphes de cette classe sont parfaits (voir Hsu
[63]) et sont coloriés de manière optimale par l’algorithme glouton tempéré. La preuve de
cette affirmation suit les trois étapes déjà connues. Pourtant, un algorithme plus simple
peut être trouvé pour colorier ces graphes.
1
2
3
Fig. 2.4.
4
35
Supposons qu’une partie des sommets du graphe G est coloriée et que l’on veut maintenant colorier le sommet x. Si x a dans son voisinage N − (x) déjà colorié deux couleurs
R et S telles qu’aucune arête d’extrémités coloriées R et S n’existe dans N − (x), alors tout
sommet y de N − (x) colorié S peut devenir R. En effet, dans RS-cc(y) il n’existe aucun
R-voisin de x. Si c’était le cas, alors la chaı̂ne sans cordes P de RS-cc(y) reliant y et le
R-voisin de x induirait, ensemble avec x, un cycle impair dans G, dont toutes les cordes
auraient une extrémité x. Alors x serait adjacent à deux sommets voisins dans P coloriés
R et S, une contradiction.
Deux couleurs (R,S) comme précédemment seront appelées indépendantes. L’algorithme obtenu tenant compte de la remarque antérieure est le suivant :
Algorithme K1 K2
Entrée : (G, <)
Sortie : coloration de G
• pour tout x dans V (en ordre croissant) exécuter
• s’ il existe une couleur A ∈ C(G − x) \ C(N − (x)) alors
• C(x) := A
• sinon
• s’ il existe dans N − (x) une paire (R,S) de couleurs indépendantes alors
• pour tout z dans N − (x) exécuter
• si C(z) = S alors RS-échange dans RS-cc(z)
• fin{pour}
• C(x) := S
• sinon
• C(x) := une couleur nouvelle
• fin{pour}.
Théorème 2.16. Tout graphe G de N*(K1 + K2 ) est colorié de manière optimale par
l’algorithme K1 K2 .
Preuve. Il suffit de démontrer que si x est le sommet maximum de G et G − x est déjà
colorié avec ω(G − x) couleurs, alors la coloration de G obtenue à l’aide de l’algorithme
K1 K2 utilise ω(G) couleurs.
Trois cas peuvent apparaı̂tre :
36
a) il existe une couleur A dans G − x telle que x n’a aucun voisin colorié A. Alors x
est colorié avec A et
χ(G) = χ(G − x) = ω(G − x) ≤ ω(G) ≤ χ(G).
b) il existe les couleurs R et S telles qu’aucune arête de N − (x) n’a les extrémités
coloriées en R et S. Alors dans toute RS-composante connexe qui contient un S-voisin de
x on échange les couleurs R et S. La conclusion suit tout comme dans le cas a).
c) pour toute paire de couleurs (R,S), il existe les sommets y (colorié R) et z (colorié S)
adjacents et voisins de x. Selon l’algorithme, x va recevoir une couleur pas encore utilisée
dans la coloration. On a donc
k(G) = χ(G − x) + 1,
où k(G) note le nombre de couleurs utilisées par notre algorithme pour colorier G. On va
démontrer que
ω(G) = k(G).
Soit Si (i = 1, 2, . . . , k(G) − 1) l’ensemble des sommets de N − (x) coloriés avec la
couleur i. Par récurrence sur h on va établir la propriété ci-dessous :
(P2 ) Le sommet x est adjacent à une clique coloriée en 1, 2, . . . , h.
Pour h=2, il existe les couleurs 1, 2 et les sommets y[1] et z[2] de N − (x) adjacents,
donc (P2 ) est valide.
Supposons que (P2 ) est vraie pour h − 1 et prouvons-la pour h. Selon l’ hypothèse de
récurrence, il existe des sommets x1 , x2 , . . . , xh−1 ∈ N (x) coloriés avec 1, 2, . . . , h − 1 tels
~ (i = 1, 2, . . . , h − 1) et xi xj ∈ E (i, j = 1, 2, . . . , h − 1, i 6= j). De plus, pour
que xi x ∈ E
toute couleur i de 1 à h − 1 on peut trouver les sommets yi ∈ Si , zi ∈ Sh tels que yi zi ∈ E
~ Le graphe G étant de N*(K1 + K2 ), on a les conclusions suivantes :
et yi x, zi x ∈ E.
- pour tout i, [yi , zi , x, xi ]G implique xi zi ∈ E ;
- pour tous i 6= j, une des deux situations va apparaı̂tre : soit zi = zj et alors comme
précédemment on a zi xj ∈ E ; soit zi 6= zj et alors [xj , zj , x, zi ]G implique de nouveau que
zi xj ∈ E.
On en déduit que pour tout i et tout j, zi xj ∈ E et, de plus, xxj , xzi ∈ E. Alors la
propriété (P2 ) est valide et pour le cas h = k(G) − 1 = χ(G − x) on a
ω(G) = ω(G − x) + 1 = χ(G − x) + 1 = k(G).2
37
Remarque 2.17. La classe N*(K1 + K2 ) possède un avantage remarquable par rapport aux autres classes de graphes considérées jusqu’ ici dans ce chapitre : le problème de
savoir si un graphe donné G est dans N*(K1 + K2 ) ou non se résout assez facilement en remarquant que dans le cas affirmatif, et seulement dans ce cas, il existe un ordonnancement
x1 , x2 , . . . , xn des sommets de G tel que le voisinage de chaque xi dans le graphe induit par
{x1 , . . . , xi−1 } est un multiparti complet. Cette caractérisation permet l’obtention d’un
algorithme polynomial pour reconnaı̂tre les graphes de la classe N*(K1 + K2 ).
2.6. Coloration localement parfaite
On va s’ intéresser maintenant aux graphes de parité et à une coloration spéciale qui
n’existe pas pour n’ importe quel graphe. On se rappelle qu’une coloration de G = (V, E)
était définie comme une attribution de couleurs aux sommets de G telle que deux sommets
adjacents n’aient jamais la même couleur. Evidemment, pour chaque graphe on peut
trouver très facilement une telle coloration, bien que, vraisemblablement, celle-ci n’utilise
pas un nombre minimum de couleurs.
Une coloration de G est dite localement parfaite si pour tout u ∈ V , N (u) est colorié
avec ω(N (u)) couleurs. Les trous et les anti-trous ne sont pas localement parfait coloriables, par conséquent il est normal de se demander quel est précisement le lien entre les
graphes admettant une coloration localement parfaite et ceux admettant une coloration
avec ω couleurs. La réponse est donnée par Preissmann [91] et Duchet [28]. Preissmann
définit les graphes localement parfaits qui ont la propriété que chaque sous-graphe admet
une coloration localement parfaite et prouve que les graphes localement parfaits sont parfaits. De plus, une partie des classes de graphes parfaits sont montrées être localement
parfaites : tous les graphes parfaits G avec ω(G) = 3, les graphes triangulés, les graphes
de parité. Duchet répond à la question posée par Preissmann (est-ce que tout graphe G
qui a une coloration localement parfaite a aussi une coloration localement parfaite en ω(G)
couleurs ?) en furnissant l’exemple suivant de graphe Gq ayant le nombre chromatique
q + 1, le nombre de densité q et admettant une coloration localement parfaite. Pour le
définir, on note X un ensemble de cardinalité q + 2. Alors Gq est donné par :
- l’ensemble de sommets
!
X
V (Gq ) = { (x, A) ∈ X ×
| x 6∈ A}
2
38
- l’ensemble d’arêtes
E(Gq ) = { (x, A)(y, B) | x 6∈ A, y 6∈ B, x 6= y}.
Retournons maintenant à l’algorithme glouton tempéré appliqué aux graphes de parité
ordonnés et notons N (u) le voisinage du sommet arbitraire u dans le graphe colorié courant.
Après l’exécution du coloriage pour un certain x, le voisinage N (x) contient ω(N (x))
couleurs. Cette propriété n’est plus valide pour x lorsque l’algorithme passe à un autre
sommet puisque les nouveaux échanges peuvent affecter le nombre de couleurs existantes
dans N (x). Pour obtenir une coloration localement parfaite à l’aide d’un tel algorithme,
il faudrait conserver la propriété |C(N (x))| = ω(N (x)). Pour cela, les échanges ne seront
plus effectués dans AB-cc(y) (pour un sommet y arbitraire), mais dans une composante
connexe généralisée de y (notation AB-ccg(y)) et seront appelés AB-échanges généralisés.
On définit AB-ccg(y) comme la composante connexe de y dans le sous-graphe de G donné
par les règles suivantes :
- l’ensemble de sommets V ′ contient les sommets de V de trois types : (i) A-sommets ;
(ii) B-sommets ; (iii) D-sommets z (pour tous D6= A, B) tels que C(N (z)) contient
précisément une couleur parmi A et B. Les sommets de type (iii) d’une AB-ccg seront
appelés pseudo A-sommets si B ∈ C(N (z)), respectivement pseudo B-sommets dans le cas
où A ∈ C(N (z)) ;
- l’ensemble d’arêtes est
E([V ′ ]G ) \ {vw ∈ E | v, w sont tous les deux des pseudo-sommets }.
Intuitivement, AB-ccg(y) est un sous-graphe partiel connexe de G tel que l’ensemble de
sommets est inclus dans V ′ et deux sommets sont reliés par des chaı̂nes dans lesquelles un
B-sommet est toujours suivi par un A-sommet ou un pseudo A-sommet, et réciproquement.
Pour simplifier la discussion, les A et B-sommets seront appelés sommets réels, de façon
qu’une chaı̂ne dans AB-ccg(y) sera formée de pseudo-sommets et de sommets réels.
Avec cette définition, un AB-échange généralisé est l’opération d’ inversion des couleurs
A et B dans AB-ccg(x) pour un sommet x de V .
Maintenant, supposons que, pour un sommet u, le B-voisin t de u doit devenir A. Si
u a aussi des A-voisins, alors le changement peut être fait : le nombre de couleurs de
N (u) n’augmente pas. Si u n’a pas de A-voisins, alors u est un pseudo A-sommet et tous
ses B-voisins deviendront des A-voisins après l’AB-échange généralisé. La cardinalité de
C(N (u)) n’est pas changée. Alors on peut énoncer le lemme suivant :
39
Lemme 2.18. Soit F un graphe et φ une coloration localement parfaite de F . La
coloration φ′ obtenue de φ en exécutant un échange généralisé dans F est localement
parfaite.
Cette extension de la transformation permet d’utiliser la récurrence par rapport au
nombre de sommets pour obtenir, sous certaines conditions, une coloration localement parfaite d’un graphe. Soit H le sous-graphe induit des sommets de G déjà coloriés et supposons
que la coloration est localement parfaite (pour |V (H)| = 1, 2 la supposition est évidemment
vraie). Pour le sommet suivant x, on considère la version modifiée de l’algorithme glouton
tempéré qui consiste à remplacer les AB-échanges par des AB-échanges généralisés. Si les
lemmes 2.12, 2.5 et 2.13 étaient toujours valides, alors on devrait obtenir une coloration
de H + x telle que N (x) soit colorié de manière optimale (c.à.d. avec ω(N (x)) couleurs)
dans H + x et, pour tout u de N (x), N (u) soit colorié de manière optimale dans H. Mais
sont-ils toujours valides ? Les lemmes 2.12 et 2.5 ne sont pas concernés par les échanges,
par conséquent leurs preuves restent valides. Malheureusement, la preuve du lemme 2.13
est essentiellement influencée par le fait qu’une chaı̂ne sans cordes dans AB-ccg(y) n’est
pas forcement une chaı̂ne sans cordes dans G. Des pseudo-sommets peuvent être adjacents
dans G sans être adjacents dans AB-ccg(y).
C’est la raison pour laquelle la classe de graphes que l’on peut colorier en utilisant cette
modification de l’algorithme est fortement réduite. Toutefois, il est possible de continuer
notre travail pour les graphes de parité. Le résultat suivant est la version du lemme 2.13
pour des composantes connexes généralisées (l’ordre ”<” est un ordre arbitraire sur V ).
Lemme 2.19. Soit G un graphe de parité. Même en utilisant les échanges généralisés,
la coloration de Nk (x) obtenue à l’aide de l’algorithme glouton tempéré est identique à la
coloration gloutonne de (Nk (x), <).
Preuve. Comme on l’a déjà vu dans la preuve du lemme 2.13, il suffit de montrer que,
au moment de l’AB-échange généralisé dans AB-ccg(z) (où z est le B-sommet de rang k
dans N (x)), aucun voisin de x plus petit que z n’existe dans AB-ccg(z). A cette fin on
suppose le contraire, c.à.d. qu’ il existe un tel sommet v et, par le lemme 2.5, on déduit
qu’ il peut être choisi un A-sommet. Evidemment, v et z ne sont pas adjacents, donc on
peut trouver une chaı̂ne impaire P sans cordes les reliant dans AB-ccg(z). De plus, on
peut supposer que v et z sont les plus proches tels voisins de x, non-adjacents entre eux,
le long de P . Sinon, un changement de notation peut-être fait pour y arriver.
40
Dans H + x, le sous-graphe induit par {x} ∪ V (P ) est un cycle impair à au moins cinq
sommets, car les couleurs ou pseudo-couleurs A, B alternent dans P . Ce cycle peut avoir
des cordes reliant x à n’ importe quel u ∈ V (P ) ou reliant deux pseudo-sommets de P .
Appelons RQ-arête (respectivement RQ-corde de P) une arête (respectivement une corde
de P) dont les extrémités sont un pseudo R-sommet et un pseudo Q-sommet.
′ avec V (P ′ ) ⊆ V (P )
Fait 2. Pour toute sous-chaı̂ne Pab de P , il existe une chaı̂ne Pab
ab
ab
′
telle qu’aucune arête de Pab ne soit une AA-arête ou une BB-arête et aucune corde de
′ ne soit une AB-corde. De plus, P
′
Pab
ab et Pab ont la même parité.
Preuve. On considère Pab = [a = t0 , t1 , t2 , . . . , tk = b]. Le sous-graphe induit par
V (Pab ) dans G contient des AA-cordes, des BB-cordes et des AB-cordes de Pab . Aucune
′ , mais chaque AB-arête est
AA-arête ou BB-arête ne peut être utilisée pour construire Pab
permise. Soit alors i le premier indice tel que ti est l’extrémité d’une AB-corde et soit ti tp
la plus longue telle corde. Pour tout w ∈ V (Pati ) et pour tout u ∈ V (Ptp b ), on peut avoir
wu ∈ E seulement si w, u ont la même pseudo-couleur.
Soit P1 la chaı̂ne obtenue de Pab en considérant l’AB-arête ti tp à la place de la souschaı̂ne Pti tp . Alors P1 a la même parité que Pab car Pti tp est impair et ti tp est une arête
(longueur 1). De même façon on peut construire P2 en considérant j ≥ p le premier indice
′ .2
tel que tj est l’extrémité d’une AB-corde. Par récurrence on obtient Pab
Une corde uv d’une chaı̂ne est appelée courte si les extrémités u et v sont à la distance
deux le long de la chaı̂ne.
Fait 3. Aucune corde courte de Pab n’est croisée par une autre corde de Pab .
Preuve. Dans Pab les cordes courtes sont soit des AA-cordes, soit des BB-cordes.
Pour toute AA-corde uw, il existe un unique B-sommet t ∈ V (Pab ) tel que ut, tw ∈ E.
Puisque t est un B-sommet et pas un pseudo B-sommet, t n’est pas l’extrémité d’une corde
de Pab .2
Fait 4. Toute AA-corde ou BB-corde de P est une corde courte.
Preuve. Supposons le contraire et soit l’AA-corde uw la plus courte (parmi les
AA-cordes et BB-cordes) telle corde qui n’est pas une corde courte de P . Alors V (Puw )
induit un cycle impair de G dans lequel toutes les AA-cordes et BB-cordes sont courtes,
41
par conséquent elles ne peuvent pas être croisées. En utilisant le fait 2 pour Puw on ob′ dont les sommets induisent dans G un cycle impair n’ayant pas
tient une chaı̂ne paire Puw
d’AB-cordes et telle que chaque AA-corde ou BB-corde est courte. Ces cordes sont aussi
des cordes courtes dans Pab , donc le fait 3 peut être utilisé. On en déduit que le cycle n’a
pas de cordes croisées. Alors il doit être un triangle.
Soit t le pseudo B-sommet tel que ut ∈ E, tw ∈ E. On considère le cycle impair C ′
induit par V (Pwt ) ∪ {u}. Il doit exister des AB-cordes dans ce cycle, sinon G ne serait pas
un graphe de parité. Puisque ut est la plus longue AB-corde ayant une extrémité u (par la
construction du fait 2) et toutes les AA-cordes de Puw (sauf uw elle-même) sont courtes,
il n’existe pas de cordes us, avec s ∈ V (Pwt ). Utilisant le fait 2 pour Pwt (la corde wt
′ ) qui n’a pas de cordes croisées,
exceptée), on obtient le cycle impair induit par u et V (Pwt
une contradiction. Conclusion : les AA-cordes et les BB-cordes de P sont courtes.2
Preuve du lemme 2.19 (suite). Maintenant on note par Pzv la chaı̂ne P reliant z
et v dans AB-ccg(z) dont la longueur est impaire. Deux remarques sont à faire concernant
′ ) (donné par le fait 2):
les cordes du cycle induit par x et V (Pzv
- pour toute corde croisée ayant une extrémité x, l’autre extrémité est un sommet réel
′ (par le fait 4, car toutes les cordes de P ′ sont des AA ou BB-cordes);
de Pzv
zv
′ − {z, v} qui peuvent être adjacents à x sont le B-voisin
- les seuls sommets réels de Pzv
de v (s’ il existe) et l’A-voisin de z (s’ il existe) ; mais ces cordes éventuelles ne peuvent
pas être croisées, car ni z, ni v n’est l’extrémité d’une AA-corde ou BB-corde.
On en déduit qu’ il n’existe pas de cordes croisées dans ce cycle impair : selon les
remarques précédentes, aucune telle corde ne peut avoir une extrémité x ; donc elle devrait
′ . Mais P ′ n’a pas de cordes croisées.
être une corde de Pzv
zv
Alors la suppositon faite (qu’ il existe des A-voisins de x non-adjacents à z dans
AB-ccg(z)) est fausse et N (x) est optimalement colorié par l’algorithme.2
L’algorithme glouton tempéré qui utilise des composantes connexes généralisées se
déroule, donc, assez bien pour les graphes de parité, mais dans la forme présente il n’est
pas suffisant pour obtenir une coloration localement parfaite d’un tel graphe. Le but
principal de cette section est de démontrer que l’amélioration de l’algorithme est encore
possible, et pour cela on a besoin du lemme suivant (N (u) designe toujours le voisinage
du sommet u dans le graphe colorié courant) :
Lemme 2.20. Pour tout voisin t de x, le nombre de couleurs de N (t) ∩ N (x) à la fin
de l’algorithme glouton dans N (x) est ω(N (t) ∩ N (x)).
42
Preuve. Soient c1 , c2 , . . . , cp (en ordre croissant) les couleurs de N (x) ∩ N (t) à la fin
de l’algorithme glouton. Par récurrence sur h on prouve que
(P3 ) N (x) ∩ N (t) contient une clique coloriée en c1 , . . . , ch .
Dans le cas h = 1, la propriété est évidemment valide.
Supposons maintenant qu’elle est valide pour h − 1 et prouvons-la pour h. Par
récurrence, t et x ont en commun une clique Qt coloriée en c1 , . . . , ch−1 . Si z ∈ N (t)∩N (x)
est colorié avec ch , alors z est adjacent à une clique Qz coloriée toujours en c1 , . . . , ch−1 et
contenue dans N (x) (grace à l’algorithme glouton appliqué dans le voisinage de x).
Soit
St = {v ∈ Qz | vt ∈ E}
Sz = {w ∈ Qt | zw ∈ E}.
Les cas suivants peuvent apparaı̂tre :
1. St = ∅, Sz = ∅. Soient u ∈ Qz , s ∈ Qt deux cj -sommets, j < h. Alors u, z, t, s est
un P4 dans N (x), une contradiction avec le lemme 2.12.
2. St = ∅, Sz 6= ∅. Alors Sz = Qt . En effet, s’ il existe un cj -sommet s ∈ Qt \ Sz
et u est le cj -sommet de Qz , alors le graphe induit par u, z, t, s est encore une fois un P4
dans N (x), une autre contradiction. La clique Q adjacente à t et x dont les sommets sont
coloriés en c1 , c2 , . . . , ch est Qt ∪ {z}.
3. St 6= ∅, Sz 6= ∅. Alors St , Sz peuvent contenir des sommets ayant la même couleur.
On définit
Q′ = St ∪ Sz \ {w ∈ Sz , C(w) ⊆ C(St )}.
Si Q′ est une clique, alors on a fini: les sommets z, t sont adjacents à la clique Q′ coloriée
en c1 , c2 , . . . , ch−1 (toutes les couleurs sont présentes dans Q′ , autrement on obtient un P4 ).
Alors Q = Q′ ∪ {z} est une clique dans N (x) coloriée en c1 , c2 , . . . , ch et adjacente à t. Si
Q′ n’est pas une clique, il existe v ∈ St , w ∈ Sz ∩ Q′ qui sont coloriés en ci , respectivement
cj tels que vw 6∈ E. Le cj -sommet s de Qz n’est pas dans St (sinon w[cj ] ne serait pas
dans Q′ ). Alors w, t, v, s induisent un P4 , une contradiction. Le lemme est prouvé.2
Dans la suite, on analyse les modifications à introduire dans l’algorithme afin d’établir
le théorème suivant :
Théorème 2.21. Si G = (V, E) est un graphe de parité, alors l’algorithme glouton
tempéré peut être modifié pour obtenir une coloration localement parfaite de G.
43
L’exécution des échanges généralisés garantit que les sommets de V (H)\N (x) ont leurs
voisinages dans H + x coloriés d’une manière optimale (lemme 2.18). Le graphe N (x) est
lui aussi colorié de manière optimale. Il reste à décider la couleur de x de façon que les
voisinages des sommets u de N (x) aient la même propriété dans H + x. A leur égard,
deux possibilités existent :
- la taille de la plus grande clique de N (u) augmente lorsqu’on ajoute le sommet x ;
alors n’ importe quelle couleur absente de N (u) est convenable pour x.
- la taille de la plus grande clique de N (u) reste inchangée ; alors x doit recevoir
une couleur qui existe déjà dans N (u). Selon le lemme 2.20, le nombre de couleurs dans
N (u) ∩ N (x) est précisement ω(N (u) ∩ N (x)), par conséquent il doit exister une couleur
dans C(N (u)) \ C(N (x)). Une telle couleur est dite disponible pour u. Alors chaque
sommet u de N (x) tel que ω(N (u) ∩ N (x)) < ω(N (u)) a une couleur disponible.
Si ω(N (x)) = ω(H), alors x va recevoir une couleur qui n’a pas encore été utilisée. Soit
S cette couleur. Si ω(N (x)) < ω(H), alors il existe une couleur S ∈ C(V (H)) \ C(N (x)).
Dans les deux cas précédents, on va essayer de rendre S disponible pour tout u de N (x)
qui a des couleurs disponibles, afin de colorier x en S. Pour cela, les échanges de couleurs
doivent être faits de telle façon que la bonne structure de la coloration soit conservée, c’est
à dire :
- H soit toujours localement parfait colorié ;
- aucun voisin de x ne devienne S lorsqu’on exécute un échange ;
- aucun voisin de x ne perde sa couleur disponible S lorsqu’on exécute un échange ;
- chaque voisin u de x avec ω(N (u) ∩ N (x)) < ω(N (u)) ait toujours une couleur
disponible, c.à.d. une couleur dans C(N (u)) \ C(N (x)).
La première condition est garantie par le lemme 2.18, car les échanges que l’on va
utiliser sont des échanges généralisés.
Maintenant, soit u un voisin de x. Si ω(N (u) ∩ N (x)) = ω(N (u)), alors on n’a rien à
faire. Au contraire, si u n’a pas S comme couleur disponible, mais il possède une autre
couleur disponible R, on doit changer la couleur disponible afin d’obtenir S.
Lemme 2.22. Pour tout voisin u de x ayant la couleur disponible R (donnée par
le R-voisin v de u), le RS-échange généralisé dans RS-ccg(v) fait S disponible pour u et
conserve la bonne structure de la coloration.
Preuve. Si un voisin w de x devient colorié en S pendant le RS-échange généralisé dans
RS-ccg(v), alors w est un R-sommet et il est contenu dans RS-ccg(v). Considérons une
chaı̂ne sans cordes P dans RS-ccg(v) reliant v et w et supposons, comme précédemment,
44
que v et w sont aussi proches que possible sur cette chaı̂ne. Alors ni u, ni x n’a de voisins
sur Pvw − {v, w} qui soient des sommets réels. Si c’était le cas, alors soit S serait déjà
disponible pour u, soit x aurait un voisin S. Dans tous les deux cas on aboutit à une
contradiction.
Par conséquent, grace au fait 4, on déduit comme auparavant que les seules paires de
cordes croisées sont telles qu’une corde a une extrémité x et l’autre a une extrémité u.
Soit s le voisin de u sur P qui minimise la distance à w. Si s est un pseudo R-sommet,
′ ) est impair et n’a pas de cordes croisées. Si, par
alors le cycle induit par x, u et V (Pws
contre, s est un pseudo S-sommet, alors sv 6∈ E (dans le cas contraire, le cycle donné par
′ ) n’aurait pas de cordes croisées), donc le cycle induit par u et P ′ fournit
x, u et V (Pwv
sv
une contradiction.
On en déduit qu’aucun R-sommet w ∈ N (x) ne change sa couleur pendant le RS-échange
dans RS-ccg(v).
On va prouver maintenant qu’aucun sommet ne perd sa couleur disponible S. Supposons le contraire et soit le sommet t ∈ N (x) un tel sommet. Alors tv 6∈ E, sinon S serait
disponible pour t après l’échange. Considérons w un S-sommet dans N (t) \ N (x) dont la
couleur devient R après l’échange (au moins un tel voisin existe). Comme auparavant, w
et v peuvent être choisis les plus proches possibles. Soit P une la plus courte chaı̂ne sans
cordes dans RS-ccg(v) reliant w et v.
Alors aucun des sommets t, x, u n’a des voisins sur Pwv qui soient des sommets réels.
En effet, si x avait un R-voisin sur cette chaı̂ne, alors celui-là deviendrait S par l’échange, et
ce n’est pas possible (voir le raisonnement ci-dessus). De même, en supposant le contraire
pour t ou u on obtient une contradiction.
Si x n’a pas de voisins sur P , alors au moins un des sommets u et t (disons u) a des
voisins sur P (autrement il n’y a pas de cordes croisées dans le cycle impair induit par
V (P ′ ) ∪ {x, u, t}). Notons par s le voisin de u sur P qui minimise la distance à w le long de
′ ) donne
la chaı̂ne. Si s est un pseudo R-sommet, alors le cycle induit par t, x, u et V (Pws
′ ) n’a
une contradiction. Si s est un pseudo S-sommet, alors le cycle induit par u et V (Psv
pas de cordes croisées.
Alors x a des voisins sur P . Soit y et z les deux sommets (éventuellement identifiés)
de P adjacents à x et tels qu’aucun autre voisin de x n’existe sur Pvy , respectivement sur
′ ∪ {x})
Pwz . Supposons que Pvy est paire. Alors pour le cycle impair induit par u et V (Pvy
on a une contradiction. On en déduit que Pvy est impaire et la même chose pour Pzw , donc
y est un pseudo S-sommet, tandis que z est un pseudo R-sommet. Maintenant, si zy 6∈ E,
′ ) donne une contradiction. Si zy ∈ E, alors
alors le cycle impair induit par x et V (Pyz
soient le pseudo R-sommet z1 et le pseudo S-sommet y1 le plus proches voisins de x le long
45
de la chaı̂ne Pzy , ayant ces propriétés. Alors le cycle induit par x et V (Pz′1 y1 ) (obtenue par
le fait 2 en ”oubliant” la possible corde y1 z1 ) doit avoir des cordes croisées, par conséquent
x doit avoir d’autres voisins sur Py′ 1 z1 . Ces voisins doivent être des pseudo-sommets, donc
y1 et x1 ne sont pas les plus proches possibles, une contradiction.
Par conséquent, aucun sommet t de N (x) ne perd sa couleur disponible S pendant
l’échange.
Pour prouver qu’après l’échange tout sommet u ∈ N (x) avec ω(N (u) ∩ N (x)) <
ω(N (u)) a toujours une couleur disponible (dans ce cas S pouvant devenir disponible
pour u), il suffit de remarquer que les sommets de N (x) ne changent pas leurs couleurs.
En effet, comme tous les échanges utilisent la couleur S, le fait qu’un sommet de N (x)
change sa couleur signifie soit qu’ il a la couleur S (ce qui n’est pas possible), soit qu’il
devient S (ce qui n’est pas possible non plus). Ca veut dire que le nombre de couleurs
disponibles pour u est inchangé.
Conclusion : il est possible de rendre S disponible pour tout voisin de x.2
Preuve du théorème 2.21. Les deux lemmes précédents permettent d’obtenir une
coloration localement parfaite de G en utilisant l’algorithme décrit ci-dessous :
Algorithme LocPar
Entrée : G graphe de parité, ” < ” ordre arbitraire sur V
Sortie : coloration localement parfaite de G.
• pour tout x de V (G) (en ordre croissant)
• exécuter l’algorithme glouton avec échanges généralisés dans N (x)
• choisir S selon la description
• rendre S disponible pour tous u de N (x) qui possèdent des couleurs disponibles
• colorier x avec S
• fin{pour}.
Le pas contenant l’algorithme glouton a la même complexité lorsque les composantes
connexes sont remplacées par des composantes connexes généralisées et cette complexité
est O(m2 + mn + n) pour l’ensemble de tous les x. Aussi, pour rendre S disponible à
chaque u de N (x) il faut effectuer au plus mx échanges (où mx est le nombre d’arêtes
reliant x a des sommets plus petits que lui), donc le nombre d’opérations est toujours en
O(mx m). Les deux autres pas de l’algorithme LocPar demandent O(1) opérations pour
un x fixé, donc la complexité totale est O(m2 + mn + n).
A propos de l’(α, ω)-structure
47
Chapitre 3.
Les résultats déjà obtenus sur la répartition et les propriétés des cliques et stables maximums dans un minimal imparfait – que l’on appelle (α, ω)-structure – prouvent l’efficacité
de ce genre d’outils, efficacité explicable par la définition même des graphes parfaits, qui
fait appel à des propriétés globales du graphe traduites en language de partition par des
stables ou, si l’on préfère, par des cliques. L’ introduction des graphes partitionnables est,
donc, compréhensible et suggère l’ idée qu’on pourrait éventuellement s’approcher de la
preuve de la Conjecture Forte en étudiant ces graphes. Un nouvel argument dans cette
direction est présenté dans ce qui suit. Tous les résultats de ce chapitre ont été prouvés
par Fouquet, Maire, Rusu, Thuillier [33].
3.1. Les graphes partitionnables et leurs propriétés
Le développement rapide que l’étude de l’(α, ω)-structure des graphes minimaux imparfaits a connu ces vingt dernières années est dû aux résultats très forts obtenus par
Padberg [87], bien que le début de cette étude puisse être attribué à Lovász [67]. Depuis
ces premiers résultats, des nombreux autres ont vu le jour (Tucker [105], Chvátal [15]), si
bien qu’aujourd’ hui une liste assez riche est à notre disposition. Voici ces résultats (G est
un graphe minimal imparfait, ω = ω(G), α = α(G), n = |G|) :
(S1) n = αω + 1 ;
(S2) pour tout w ∈ V , G − w a une unique partition en α ω-cliques et une unique
partition en ω α-stables (dans ce dernier cas, un α-stable s’appelle couleur de G − w) ;
48
(S3) G a précisément n α-stables et n ω-cliques ;
(S4) tout sommet de G est contenu dans précisément α α-stables et dans précisément
ω ω-cliques ;
(S5) pour tout α-stable S de G, il existe une unique ω-clique Q(S) de G telle que
S ∩ Q(S) = ∅ ; pour toute ω-clique Q de G, il existe un unique α-stable S(Q) de G tel
que Q ∩ S(Q) = ∅ ;
(S6) pour deux ω-cliques arbitraires Q 6= Q′ , si Q ∩ Q′ 6= ∅, alors S(Q) ∩ S(Q′ ) = ∅ ;
pour deux α-stables arbitraires S 6= S ′ , si S ∩ S ′ 6= ∅, alors Q(S) ∩ Q(S ′ ) = ∅ ;
(S7) pour toute ω-clique Q et tout x ∈ V , on a x ∈ Q si, et seulement si, S(Q) est une
couleur de G − x ; symétriquement pour tout stable S ;
(S8) G ne contient pas de petit transversal, c.à.d. d’ensemble d’au plus α + ω − 1
sommets qui intersecte toute ω-clique et tout α-stable.
Bland, Huang et Trotter [8] ont appelé un graphe partitionnable s’ il existe deux nombres α ≥ 2 et ω ≥ 2 de façon que (S1) et (S2) (moins la condition d’unicité) soient valides,
et ont remarqué que, pour un graphe partitionnable, α et ω doivent être le nombre de stabilité et, respectivement, le nombre de densité. De plus, ils ont prouvé que les propriétés
(S1)-(S7) présentées auparavant sont vraies non seulement pour les graphes minimaux
imparfaits, mais aussi pour tous les graphes partitionnables.
D’autre part, la propriété (S8) (due à Chvátal [15]) n’est pas valide pour tous les
3 qui a les
graphes partitionnables, fait prouvé par le graphe désigné généralement par C10
sommets 1, 2, . . . , 10 et les arêtes ij ∈ E si, et seulement si, i − j ∈ {1, 2, 8, 9}. En effet,
l’ensemble de sommets {1, 3, 5, 7, 9} est un petit transversal dans G. On peut alors espérer
d’obtenir une caractérisation des graphes minimaux imparfaits en ajoutant aux propriétés
des graphes partitionnables la condition (S8). Malheureusement, ce n’est pas vrai. Le
graphe F donné par l’ensemble de sommets {1, 2, . . . , 17} et ij ∈ E si, et seulement si,
i − j ∈ {2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15} n’est pas minimal imparfait, bien qu’ il soit partitionnable
et sans petit transversal. Ce graphe a été trouvé par Chvátal, Graham, Perold, Whitesides [17].
On en déduit qu’une autre propriété est nécessaire afin d’obtenir la caractérisation que
l’on cherche. Notre but ici est de suggérer une telle propriété et de montrer que, si elle
était vraie, alors elle serait suffisante pour une classe très large de graphes, à savoir pour
tous les graphes de diamètre au moins 7. Aussi, dans la preuve de notre résultat principal,
on présente une nouvelle voie d’approche des graphes minimaux imparfaits, qui est assez
49
puissante pour justifier l’étude des transversaux en général et des petits 2-transversaux
(voir la définition ci-dessous) en particulier.
3.2. Du petit transversal au petit 2-transversal
Afin de mieux justifier la généralisation du petit transversal, reprenons la preuve du
fait (S8). Supposons que le graphe minimal imparfait G de paramètres α et ω a un petit
transversal T ; alors G − T est un graphe parfait, donc le Théorème des graphes parfaits
garantit que
α(G − T )ω(G − T ) ≥ |G − T |.
De plus, T intersecte toute ω-clique et tout α-stable, par conséquent α(G − T ) ≤ α − 1 et
ω(G − T ) ≤ ω − 1. Utilisant la relation précédente et (S1) on déduit :
(α − 1)(ω − 1) ≥ α(G − T )ω(G − T ) ≥ |G| − |T | = αω + 1 − |T |
(1)
et alors
|T | ≥ α + ω,
une contradiction. La propriété (S8) est prouvée.
Supposons maintenant qu’on veuille trouver une propriété analogue concernant un
2-transversal, c.à.d. un ensemble de sommets intersectant toute ω-clique et tout α-stable
en au moins deux sommets. Si le même raisonnement était valable, alors la relation (3.1)
deviendrait
(α − 2)(ω − 2) ≥ α(G − T )ω(G − T ) ≥ |G| − |T | = αω + 1 − |T |
(2)
et on pourrait déduire
|T | ≥ 2α + 2ω − 3.
Pour en obtenir une contradiction il suffirait alors d’ imposer la condition de ”petit”
2-transversal suivante : |T | ≤ 2α + 2ω − 4. Malheureusement, la suite de relations (3.2) ne
peut pas être déduite à cause du fait que le 2-transversal T – bien qu’ il intersecte toutes les
50
ω-cliques et toutes les α-stables en deux sommets – n’ intersecte pas forcément toutes les
(ω − 1)-cliques et toutes les (α − 1)-stables ; il est donc possible d’avoir ω(G − T ) = ω − 1
ou α(G − T ) = α − 1.
On en déduit que la même idée de preuve ne peut pas être utilisée pour démontrer
qu’un minimal imparfait n’a pas de petits 2-transversaux. Toutefois, le concept de petit
2-transversal est intéressant, d’autant plus que les trous et les anti-trous ne contiennent
pas de tel ensemble.
Suivant les remarques précédentes, on dit qu’un ensemble T de sommets de G est un
petit 2-transversal de G si les deux conditions ci-dessous sont satisfaites :
• la cardinalité de T est au plus 2α + 2ω − 4 ;
• T intersecte tous les α-stables et toutes les ω-cliques en au moins deux sommets.
En effet, un trou ou un anti-trou n’a pas de petit 2-transversal. Si un trou en avait un
(noté T ), alors T devrait rencontrer toute arête en deux sommets, donc T devrait contenir
tous les sommets de G. Alors sa taille serait n, le nombre de sommets du trou, tandis que
2α + 2ω − 4 = 2α = ωα = n − 1, une contradiction. Un raisonnement similaire prouve
que les anti-trous n’admettent pas de petits 2-transversaux non plus. Alors la Conjecture
Forte implique la conjecture suivante :
Conjecture 3.1. Un graphe minimal imparfait n’admet pas de petit 2-transversal.
Comme pour les petits transversaux, on peut se demander s’ il existe des graphes
partitionnables sans petit 2-transversal qui ne sont pas minimaux imparfaits. Jusqu’ ici
nous n’avons pas trouvé un tel graphe, ce qui confirme – d’une certaine façon – l’ intuition
que la propriété d’un graphe de ne pas avoir un petit 2-transversal est plus forte que celle
similaire concernant le petit transversal.
En plus, le petit 2-transversal est un outil qui offre la possibilité d’ identifier une certaine structure et de raisonner là-dessus dans un graphe minimal imparfait sans aucune
propriété supplémentaire (ce qu’on va voir dans la section suivante), tandis que la même
chose n’est pas valable pour le petit transversal. Cette nouvelle voie va nous permettre de
prouver le théorème suivant (diam(G) est le diamètre de G) :
Théorème 3.2. Soit G un graphe avec ω 6= 3 et diam(G) ≥ 7. Alors :
G est partitionnable sans petit 2-transversal si, et seulement si, G est un trou.
51
On remarque que la condition ω 6= 3 n’a que peu d’ importance lorsqu’on s’ intéresse
aux graphes parfaits car Tucker [108] a établi la Conjecture Forte pour les graphes ayant
ω = 3. On peut alors déduire:
Corollaire 3.3. Pour les graphes de diamètre au moins 7, la Conjecture 3.1 est
équivalente à la Conjecture Forte.
Puisque la Conjecture Faible est prouvée, on peut aussi obtenir le résultat ci-dessous :
Corollaire 3.4. Soit G un graphe partitionnable avec ω > 3, α > 3. Alors :
1. soit diam(G) et diam(Ḡ) sont au plus 6 ;
2. soit G a un petit 2-transversal.
3.2.1. Résultats préliminaires
Soient u, v deux sommets dans le graphe partitionnable G = (V, E). Pour tout sommet
w ∈ V il existe, selon la propriété (S2), une unique partition de G − w en ω α-stables,
c.à.d. couleurs. Si, dans G − w, les sommets u, v ont la même couleur, cette couleur sera
dite noire. Dans le cas contraire (ou dans le cas où w ∈ {u, v}), on dira que la couleur de
u est rouge et la couleur de v est verte.
Une ω-clique Q est appelée noire si l’α-stable correspondant S(Q) est de couleur noire.
Cela veut dire que pour chaque sommet w de Q, l’ensemble S(Q) est de couleur noire dans
la partition de G − w (selon (S7)), donc il contient les deux sommets u et v.
Une ω-clique Q est appelée rouge (respectivement verte) si l’α-stable correspondant
S(Q) est de couleur rouge (respectivement verte). Alors pour chaque sommet t de la clique
rouge Q, S(Q) est la couleur de u dans G − t. Si t 6= v, soit S ′ la couleur de v dans G − t.
De nouveau par (S7), t doit être dans la clique verte correspondant à S ′ , c.à.d. Q(S ′ ). Par
conséquent, t est contenu dans une clique rouge et dans une clique verte qui correspondent
respectivement aux couleurs de u et v dans G − t.
Il est important de souligner les deux faits suivants:
1. deux cliques de la même couleur ne peuvent pas se rencontrer (sinon, par (S6), les
stables correspondants seraient disjoints, tandis que leur intersection contient en fait au
moins un des sommets u, v);
2. une clique noire ne peut pas intersecter une clique rouge ou verte (évidemment).
52
Pour cette raison, un sommet arbitraire w 6= u, v est soit dans une unique clique noire,
soit dans une unique clique rouge et une unique clique verte. Le sommet v est seulement
dans une clique rouge (notée V), celle qui a l’ intersection vide avec la couleur de u dans
G − v. De façon similaire, u est seulement dans une clique verte, notée U.
Soit H le graphe d’ intersection des cliques rouges et vertes dans G, c.à.d. le graphe
ayant pour ensemble de sommets
V (H) = {a | a est une clique rouge ou verte}
et pour ensemble d’arêtes
E(H) = {ab | a, b ∈ V (H), a ∩ b 6= ∅}.
Puisque les cliques de la même couleur sont disjointes, le graphe H est biparti.
Fait 1. Le graphe H est connexe.
Preuve. Montrons d’abord que U et V sont dans la même composante connexe de H.
Supposons que ce n’est pas le cas et soit F l’ensemble de sommets de G correspondant à
la composante connexe de H contenant U, mais pas V. Alors F est partitionné par des
cliques vertes, donc |F | = kω, où k est un entier positif. De plus, F − {u} est partitionné
par des cliques rouges, donc |F | − 1 = hω, où h est aussi un entier positif. Les deux
relations obtenues donnent une contradiction.
Supposons maintenant que H n’est pas connexe et soit C l’ensemble de sommets de G
correspondant à la composante connexe de H ne contenant pas U et V. On note RC et VC
l’ensemble des cliques rouges, respectivement vertes de C et RG−C , VG−C les ensembles
similaires de G − C. Avec la notation N pour l’ensemble des cliques noires de G, on a que
G − u est partitionné d’une part par N ∪ RC ∪ RG−C et d’autre part par N ∪ VC ∪ RG−C ,
ce qui contredit (S2). Par conséquent H est connexe.2
Soient maintenant A, B, C trois ω-cliques qui induisent une chaı̂ne à trois sommets
ABC dans H. On va dire que (AB, C) est une obstruction si A ∩ B est réduit à un seul
sommet et ce sommet est contenu dans le stable S(C). Un P4 ABCD dans H est dit
robuste si aucune des paires (AB, C) et (DC, B) n’est une obstruction.
Fait 2. Si H contient une des configurations de la Fig. 3.1., alors il contient aussi un
P4 robuste.
a
b
e
c
d
53
a
e
c
d
a
d
e
d (d ) = 2
H
b
f
c
f
d=/ U,V
b
(C3)
(C2)
(C1)
b
a
c
d
e
d
a
a
e
b
c
d
d ( c) = 2
H
b
c =/ U,V
c
(C4)
(C6)
(C5)
a
b
e
c
f
d
g
h
(C7)
Fig. 3.1.
Dans la figure 3.1. les arêtes doubles signifient que l’ intersection des cliques contient
au moins deux sommets de G, tandis que dH (d) est le degré du sommet d, c’est à dire le
nombre d’arêtes incidentes à d.
Preuve. Pour simplifier les discussions, considérons d’abord la notation suivante. On
va marquer une arête xy de H avec le symbole z (où z est un sommet de H) si (xy, z)
n’est pas une obstruction. Au contraire, l’arête sera marquée avec z̄ si (xy, z) est une
obstruction. On remarque que si w est un sommet de H, alors au plus une arête incidente
à w est marquée z̄, sinon la clique de G correspondant à w aurait deux sommets de la
même couleur.
Et maintenant considérons les configurations l’une après l’autre.
(C1) Si le P4 acde n’est pas robuste, alors on peut supposer que de est marquée avec
c̄, par conséquent df est marquée c. Puisque au moins une des arêtes ac, bc est marquée d
(disons bc), on obtient un P4 robuste bcdf .
(C2) Le même type de raisonnement conduit à l’obtention d’un P4 robuste.
(C3) L’ intersection de c et d est de cardinalité au plus ω − 2 (sinon au moins une des
intersections a ∩ c, b ∩ c serait vide) et, puisque d n’a pas d’autre voisins que c et e, on
54
en déduit que |d ∩ e| ≥ 2. Comme d peut former obstruction avec au plus une des arêtes
ac, bc, on en déduit l’existence d’un P4 robuste.
(C4), (C5), (C6) Se traitent de façon analogue à (C1), (C2), (C3), sauf que maintenant
les lignes doubles simplifient la discussion.
(C7) Si abeh n’est pas robuste, alors on peut supposer que eh est marquée b̄, cas dans
lequel f h, gh sont toutes les deux marquées b. Si abf h n’est pas robuste, alors ab est
forcément marquée f¯, par conséquent ac, ad sont marquées f . Encore une fois, si abgh
n’est pas robuste, on déduit que ab est ḡ et ac, ad sont g, tandis que adgh implique que
gh est d¯ et f h, eh sont d. Alors dans le P4 adf h, f h est marquée d et ad est marquée f ,
donc ce P4 est robuste.2
Le résultat ci-dessus garantit que l’on peut trouver un P4 robuste dans le graphe H
dès qu’on rencontre dans H une des configurations indiquées. La preuve du théorème 3.2,
présentée dans la section suivante, utilise la condition diam(G) ≥ 7 pour obtenir l’existence
dans H d’un P4 robuste tel qu’aucune de ses extrémités ne soit U ou V. Un tel P4 implique
l’existence d’un petit 2-transversal, comme prouvé ci-dessous, donc la partie ”seulement
si” du théorème 3.2 sera établie. La partie ”si” est évidemment vraie.
3.2.2. Les preuves
Supposons que G est un graphe partitionnable avec ω 6= 3 et diam(G) ≥ 7, différent
d’un trou. Puisque les seuls graphes partitionnables ayant ω = 2 sont les trous, on peut
supposer que ω ≥ 4. On va prouver que G a un petit 2-transversal.
Soient u, v deux sommets de G tels que la distance entre u et v dans G soit égale au
diamètre. Utilisant ces sommets, on peut définir les couleurs noire, rouge et verte, ainsi
que les cliques correspondantes comme précédemment. Le graphe H et les cliques U et V
ont les mêmes significations.
Fait 3. Si H contient un P4 robuste ABCD tel que {A, D} ∩ {U, V} = ∅, alors G
contient un petit 2-transversal.
Preuve. Puisque ABCD est robuste, (AB, C) et (DC, B) ne sont pas des obstructions.
Sans perte de généralité on peut supposer que A et C sont des cliques rouges, tandis que B
et D sont des cliques vertes. Les α-stables correspondants sont notés, comme d’habitude,
S(A), S(B), S(C), S(D) respectivement. Considérons l’ensemble T = A∪S(B)∪S(C)∪D
et montrons qu’ il est un petit 2-transversal. Evidemment, toute ω-clique de T intersecte
55
tout α-stable de T , donc |T | = 2α + 2ω − 4.
Soit Q une clique arbitraire dans G. Si Q 6= B et Q 6= C, alors Q intersecte les
ensembles stables disjoints, à cause de (S6), S(B) et S(C). Si Q = B, alors Q ∩ A 6= ∅ et
Q ∩ S(C) 6= ∅ ; dans le cas où |Q ∩ A| ≥ 2, on a fini ; dans le cas contraire, l’unique sommet
de Q ∩ A n’est pas dans S(C) (sinon (AB, C) serait une obstruction), donc |Q ∩ T | ≥ 2.
Le raisonnement est similaire pour Q = C.
Soit S un stable arbitraire de G. Si S 6= S(A) et S 6= S(D), alors S intersecte les
ω-cliques disjointes A et D, par conséquent |S ∩ T | ≥ 2. Pour S = S(A) on trouve
S ∩ S(C) ⊇ {u} et S ∩ D 6= ∅ donc, puisque D 6= U, on a |T ∩ S| ≥ 2. Le raisonnement
est similaire pour S = S(D).2
Le résultat précédent montre qu’ il est intéressant de trouver un P4 robuste d’extrémités
différentes de U et V dans H, car de cette façon on peut prouver l’existence d’un petit
2-transversal dans le graphe G. On va chercher ce P4 en deux étapes : d’abord on analyse
une chaı̂ne P reliant U et V dans H en essayant de trouver le P4 près de P ; puis, si on
n’a pas trouvé le P4 cherché, on identifie la structure particulière de H et on prouve qu’ il
doit exister un P4 convenable ailleurs.
Quelques nouvelles notations sont nécessaires avant de commencer cette recherche.
Appelons poids de l’arête xy de H (notation π(xy)) la cardinalité de x∩ y. Le poids du
sommet x (notation Π(x)) est le poids total des arêtes incidentes à x. Pour tout sommet
x 6= U, V, on a Π(x) = ω ; de plus, Π(U) = Π(V) = ω − 1.
On va appeler doublage d’une chaı̂ne sans cordes P un triplet de sommets consécutifs
a, b, c de P tels qu’ il existe un sommet d 6∈ V (P ) adjacent à a et c. Dans ce cas le sommet
b sera dit doublé.
Soient P = [u1 , u2 , . . . , uh−1 , uh ] et P ′ = [v1 , v2 , . . . , vh−1 , vh ] deux chaı̂nes disjointes
sans cordes de la même longueur dans H. On dit que P et P ′ sont parallèles si les deux
conditions suivantes sont satisfaites :
• pour tout i ∈ {1, 2, . . . , h}, ui vi ∈ E(H) et π(ui vi ) = ω − 2;
• pour tout i ∈ {1, 2, . . . , h − 1}, π(ui ui+1 ) = π(vi vi+1 ) = 1.
Puisque H est un graphe biparti connexe, entre U et V il existe dans H au moins une
plus courte chaı̂ne P = [U, x1 , x2 , . . . , x2p , V], de longueur impaire. Remarquer que p ≥ 3,
c.à.d. la longueur de P est au moins sept. Si ce n’était pas le cas, alors cette longueur
serait au plus cinq et on pourrait trouver dans G une chaı̂ne de longueur au plus 6 reliant
u et v, une contradiction.
56
Le centre de la chaı̂ne P est supposé être un sommet imaginaire au milieu de l’arête
xp xp+1 .
Si dans H il existe une plus courte chaı̂ne P reliant U et V qui contient un doublage,
alors on suppose P choisie de façon que le doublage soit le plus proche possible du centre
de la chaı̂ne. Dans le cas contraire, P est une plus courte chaı̂ne arbitraire.
Fait 4. Pour le graphe H et la chaı̂ne P , l’une au moins des deux propriétés suivantes
est vérifiée :
1. H contient un P4 robuste tel que {A, D} ∩ {U, V} = ∅.
2. H contient deux chaı̂nes parallèles C, C ′ telles que V (P ) ⊂ V (C) ∪ V (C ′ ) et U, V
sont parmi les extrémités des chaı̂nes C, C ′ .
Preuve. On suppose que 1 n’est pas vrai et on prouve 2.
Cas 1. P ne contient pas de doublage.
Remarquons qu’au moins un des sommets intérieurs xi , 2 ≤ i ≤ 2p − 1 de la chaı̂ne
doit avoir des voisins situés en dehors de la chaı̂ne. Sinon, alors soit π(x1 x2 ) = 1, et alors
π(x2 x3 ) = π(x4 x5 ) = ω − 1, donc x2 x3 x4 x5 satisfait 1 ; soit π(x1 x2 ) = r > 1, et alors
π(x3 x4 ) = r > 1, donc x1 x2 x3 x4 satisfait 1.
Par conséquent, il existe un sommet xk (2 ≤ k ≤ 2p − 1) ayant des voisins en dehors
de P . Soit Z l’ensemble de ces voisins. Sans perte de généralité on peut supposer que
2 ≤ k ≤ p, sinon on peut changer les notations pour y arriver. Alors xk−1 , xk+1 , xk+2 , xk+3
existent et, selon les hypothèses, sont tous différents de U et de V.
Pour z ∈ Z, à cause de la configuration (C4) appliquée au graphe induit par les sommets xk−1 , xk , z, xk+1 , xk+2 , on déduit que π(xk+1 xk+2 ) = 1. A cause de la configuration
(C3), xk+1 doit avoir lui aussi des voisins en dehors de P . Leur ensemble est désigné par
W . La configuration (C1) garantit que toutes les arêtes possibles sont présentes entre
Z et W , autrement on a déjà trouvé le P4 cherché. Encore une fois par (C4) et (C3)
(pour xk wxk+1 xk+2 xk+3 , où w ∈ W ) on a que π(xk+2 xk+3 ) = 1 et pour xk+2 il existe
aussi l’ensemble non-vide T des voisins non-situés sur la chaı̂ne. De plus, toutes les arêtes
existent entre W et T , sinon on a (C1).
La configuration (C4) pour txk+2 xk+3 xk+1 xk (t ∈ T ) donne π(xk xk+1 ) = 1, et donc
pour xk+1 soit on a |W | ≥ 2, soit il existe un unique w dans W et π(xk+1 w) = ω − 2.
Cas 1.1. |W | ≥ 2. Pour tout t ∈ T , tout z ∈ Z et deux sommets arbitraires
w1 , w2 ∈ W , (C5) donne π(xk+2 t) = 1, par conséquent |T | ≥ 2 (sinon Π(xk+2 ) = 3 < ω,
57
une contradiction). On considère alors t1 , t2 ∈ T . La configuration (C2) pour xk+2 ,
t1 , t2 , w1 et deux sommets de Z donne l’existence d’un P4 convenable, donc on peut
supposer que |Z| = 1. Maintenant, de xk zw1 w2 t1 et (C5) on obtient π(xk z) = 1. Puisque
π(xk−1 xk ) = 1, par (C5) pour xk−1 , xk , xk+1 , w, xk+2 , on a que Π(xk ) = 3 < ω, une
contradiction.
Cas 1.2. |W | = 1. Si w ∈ W , on a alors que π(xk+1 w) = ω − 2. Puisque Z 6= ∅ et
T 6= ∅, le poids de w implique |Z| = 1, |T | = 1. De plus, π(zw) = 1, π(wt) = 1 et on a
aussi π(xk z) = π(xk+2 t) = ω − 2 (car xk , xk+2 n’ont pas d’autres voisins).
Le même raisonnement est valable maintenant pour xk+1 et xk+2 , en considérant les
sommets consécutifs vers U ou vers V, selon les possibilités. De cette façon on obtient soit
un P4 convenable, soit une chaı̂ne [y2 , y3 , . . . , y2p−1 ] parallèle à [x2 , x3 , . . . , x2p−1 ].
Ensuite, y2 doit avoir encore un voisin y1 tel que π(y1 y2 ) = 1. A son tour, y1 doit
posséder encore des voisins. Si tous les voisins r de y1 distincts de y2 sont tels que
π(ry1 ) = 1, alors à cause de (C1) on obtient que y1 a précisément deux tels voisins et un
de ces voisins est en fait x1 . Mais alors Π(y1 ) = 3 < ω, une contradiction. Si, par contre,
y1 a un voisin q tel que π(qy1 ) ≥ 2, alors (C4) pour q, y1 , y2 , x2 , y3 donne q = x1 , donc
y1 x1 ∈ E(H). Puisque π(x1 y1 ) ≤ ω − 2 (sinon Π(x1 ) > ω), y1 a encore un voisin y0 (qui
est unique, en fait) tel que π(y0 y1 ) = 1. Par conséquent π(x1 y1 ) = ω − 2. De même façon
on obtient l’existence d’un sommet y2p qui continue la chaı̂ne [y2 , y3 , . . . , y2p−1 ] de l’autre
côté.
Comme on l’a déjà remarqué, y1 doit avoir un autre voisin y0 (qui est unique) tel que
π(y0 y1 ) = 1. Comme auparavant, on en déduit que y0 U ∈ E(H) et π(y0 U) = ω − 2. De
façon analogue, il existe un sommet y2p+1 qui continue la chaı̂ne de l’autre coté. Le fait 4
est prouvé dans ce cas.
Cas 2. P contient au moins un doublage.
Considérons le doublage qui est le plus proche du milieu et soit xk−1 , xk , xk+1 les
sommets concernés.
Cas 2.1. k 6= p, p + 1. Alors on suppose sans perte de généralité que k < p et ni
xk+1 , ni xk+2 n’est le sommet central d’un doublage. Il existe aussi le sommet xk+3 qui
est différent de V.
On note x′k un autre sommet adjacent à xk−1 , xk+1 . La configuration (C4) pour
xk , x′k , xk+1 , xk+2 , xk+3 implique π(xk+2 xk+3 ) = 1. La configuration (C3) pour xk , x′k ,
xk+1 , xk+2 , xk+3 donne l’existence d’un sommet z adjacent à xk+2 . En utilisant (C1), on
a que z est adjacent à au moins un des sommets xk , x′k . Il ne peut pas être adjacent à
58
xk , car alors xk , xk+1 , xk+2 serait un doublage plus proche du centre. Et il ne peut pas
être adjacent à x′k non plus, car on trouverait la chaı̂ne U . . . xk−1 x′k xk+1 xk+2 xk+3 . . . V de
la même longueur que P , mais ayant le doublage plus proche du centre. On a donc une
contradiction.
Cas 2.2. k = p ou k = p + 1. Sans perte de généralité on suppose que k = p.
Puisque k ≥ 3, les sommets xk−2 , xk−1 , xk+1 , xk+2 , xk+3 sont différents de U et V. Soit A
l’ensemble des sommets adjacents à xk−1 et xk+1 . On a |A| ≥ 2 et on considère x′k ∈ A,
x′k 6= xk . A cause de (C5) et, respectivement, (C4) on a π(xk+1 xk+2 ) = π(xk+2 xk+3 ) = 1,
donc xk+2 a au moins un autre voisin z.
Cas 2.2.1. |A| ≥ 3. Soit x′k , x′′k deux sommets de A \ {xk }. La configuration (C1)
pour x′k , x′′k , xk+1 , xk+2 , z, xk+3 impose que z soit adjacent à au moins |A| − 1 sommets de
A.
Si z est adjacent à A \ {xk }, mais il n’est pas adjacent à xk , alors π(xk−1 xk ) = 1 à
cause de (C5) pour z, x′k , x′′k , xk−1 , xk . De plus, toujours (C5) impose que π(xk−1 x′k ) = 1,
pour tout x′k ∈ A \ {xk }, et π(xk−2 xk−1 ) = 1. La configuration (C2) garantit que
xk−1 n’a pas d’autres voisins à part des sommets de A et de xk−2 . On en déduit que
|A| = ω − 1, par conséquent z est adjacent à ω − 2 sommets de A. Toutes les arêtes zx′k
sont de poids 1 à cause de (C5) pour z, x′k , xk−1 , xk , xk+1 . Ensuite, de nouveau (C5) donne
π(zxk+2 ) = 1 et alors z doit avoir un voisin w 6= xk+2 qui n’est pas dans A. Mais alors
xk−1 , x′k , x′′k , z, xk+2 , w est la configuration (C2), une contradiction.
On peut donc supposer que tout z 6= xk+1 , xk+3 adjacent à xk+2 est aussi adjacent à
tous les sommets de A. La configuration (C5) garantit que π(zxk+2 ) = 1 pour tout tel z,
par conséquent il existe au moins deux voisins z, z ′ de xk+2 . Alors xk−1 , xk , x′k , x′′k , xk+1 ,
z, z ′ , xk+2 est la configuration (C7).
Cas 2.2.2. |A| = 2. Soient xk , x′k les sommets de A. Comme on l’a déjà dit,
π(xk+1 xk+2 ) = π(xk+2 xk+3 ) = 1 et xk+2 a au moins un autre voisin z. La configuration
(C1) implique l’adjacence de z à au moins un des sommets xk , x′k . Au cas où il serait adjacent à tous les deux, (C5) impliquerait que π(xk−1 x′k ) = π(xk−1 xk ) = π(xk−2 xk−1 ) = 1.
Alors Π(xk−1 ) = 3 < ω, une contradiction.
On peut donc supposer que z est adjacent à x′k et qu’ il n’est pas adjacent à xk . La
configuration (C5) donne d’une part, π(xk xk+1 ) = 1 (à cause de z, x′k , xk+1 , xk+2 , xk ) et
d’autre part π(x′k z) = 1 (à cause de xk−1 , xk , x′k , xk+1 , z). De façon analogue on obtient
que π(xk−1 x′k ) = 1. Comme xk+1 n’a pas d’autres voisins (grâce à (C2)), on en déduit que
π(xk+1 x′k ) = ω − 2 et, similairement, π(xk+2 z) = π(xk−1 xk ) = ω − 2.
Si on analyse les chaı̂nes xk−1 x′k z et xk xk+1 xk+2 , on remarque qu’elles sont parallèles.
59
On aimerait bien les prolonger. A ce moment, les chaı̂nes qui promettent d’être parallèles
sont [U, x1 , . . . , xk−2 , xk−1 , x′k , z] et [xk , xk+1 , . . . , x2p , V]. Au début, on se rappelle qu’on
avait une seule chaı̂ne qui a été cassée parce qu’un doublage est apparu. Le phénomène
est en fait le même chaque fois qu’un doublage apparaı̂t.
Pour voir cela, remarquons que xk−2 ne peut pas être le sommet central d’un doublage
de P parce qu’on a déjà Π(xk−1 ) = ω. Tant qu’on a de tels sommets, la chaı̂ne peut être
étendue avec l’argument utilisé dans le cas 1. Supposons maintenant, par exemple, que
xk−3 soit doublé. Alors un sommet x′k−3 adjacent à xk−2 existe et le graphe induit par
xk−3 , x′k−3 , xk−2 , xk−1 , xk est la configuration (C4), excepté si xk x′k−3 est une arête. Alors
la chaı̂ne est cassée encore une fois, et U, V sont de nouveau sur la même chaı̂ne parmi
les deux chaı̂nes parallèles. Par récurrence, utilisant les arguments ci-dessus, on déduit
l’existence de deux chaı̂nes parallèles qui ne contiennent pas U, V, mais contiennent tous
les autres sommets. Très facilement ces chaı̂nes peuvent être prolongées de façon que ces
deux sommets particuliers soient contenus, donc le fait 4 est prouvé.2
Preuve du théorème 3.2. Si G est un graphe partitionnable avec ω ≥ 4, diam(G) ≥ 7
et qui n’est pas un trou, alors par le fait 4, soit on a un P4 robuste avec les extrémités
distinctes de U, V (et dans ce cas le fait 3 garantit l’existence d’un petit 2-transversal),
ou bien il existe deux chaı̂nes parallèles C et C ′ .
Dans ce dernier cas, soit a le voisin de U tel que π(aU) = ω −2 et b le voisin similaire de
V. Alors a et b doivent avoir, chacun d’eux, un autre voisin, U ′ , respectivement V ′ , tels que
π(aU ′ ) = 1 et π(bV ′ ) = 1. On remarque que U ′ a la même couleur que U (vert) et V ′ a la
même couleur que V (rouge). De plus, que (à cause du fait que les sommets de V (C)∪V (C ′ )
sont saturés) U ′ et V ′ sont dans la même composante connexe de H \ V (C) \ V (C ′ ) ; la
preuve est similaire à la preuve du fait 1, première partie. Par conséquent, il existe une
chaı̂ne la plus courte P ′ reliant U ′ et V ′ dans H \ V (C) \ V (C ′ ). Elle doit être de longueur
au moins trois, sinon U et V pourraient être reliés par une chaı̂ne de longueur cinq, une
contradiction.
Considérons maintenant la chaı̂ne P ′′ donnée par U, a, P ′ , b, V. Cette chaı̂ne est de
longueur au moins sept, est la plus courte parmi les chaı̂nes reliant U et V dans H\{les
sommets internes de C et C ′ }, et peut être choisie de façon que le doublage (s’il y en a)
soit le plus proche possible du centre. Le fait 4 peut être appliqué aussi pour la chaı̂ne P ′′
(le même raisonnement dans la preuve) afin de déduire soit l’existence d’un P4 convenable
(et on a fini), soit l’existence de deux chaı̂nes parallèles contenant les sommets de P ′′ .
Ce dernier cas est évidemment impossible : U a précisement deux voisins et un d’eux est
saturé dans C ∪ C ′ , donc il ne peut pas être contenu dans les nouvelles chaı̂nes parallèles.2
60
Remarque 3.5. Utilisant les idées de la preuve précédente, on peut facilement construire un graphe H, de diamètre cinq, qui ne contient pas un P4 convenable. Dans ce cas
il suffit de considérer les deux chaı̂nes parallèles C, C ′ et d’ introduire une arête de poids
ω − 1 entre U ′ et V ′ . Cet exemple montre que la même méthode n’est pas suffisante pour
réduire le diamètre des graphes qu’on considère.
Preuve du corollaire 3.3. On a déjà remarqué que la Conjecture Forte implique la
conjecture 3.1.
On va prouver maintenant l’ inverse. Considérons un graphe minimal imparfait G de
diamètre au moins sept. Alors il est partitionnable et, de plus, par la conjecture 3.1, il
n’admet pas de petit 2-transversal. Alors on a soit ω = 3 (et par le résultat de Tucker [108]
on a une contradiction), ou un trou (par le théorème 3.2). On en déduit que la Conjecture
Forte est vraie.2
Preuve du corollaire 3.4. Supposons que ni la propriété 1, ni la propriété 2 n’est
valide. Alors G n’a pas de petit 2-transversal et le diamètre de G ou le diamètre de Ḡ est
au moins sept. Supposons, sans perte de généralité, que diam(G) ≥ 7. Alors toutes les
hypothèses du théorème 3.2 sont satisfaites, donc G doit être un trou. Mais alors ω = 2,
une contradiction.2
A propos de la parité
61
Chapitre 4.
Les paires d’amis ne doivent pas leur célébrité à un avantage algorithmique étonnant,
ce qui est vrai, par exemple, pour les ordres parfaits ; non plus à un avantage théorique
étonnant, car leur utilité n’égale pas jusqu’ ici celle, par exemple, des étoiles déconnectantes ;
plutôt à une intuition que l’on n’arrive pas a concrétiser. Encore des essais, encore des
contre-exemples, dans ce chapitre.
4.1. Des résultats aux conjectures
L’idée de Meyniel [77] pour prouver qu’un graphe minimal imparfait ne contient pas
de paire d’amis s’appuie sur le lemme suivant (dû à Fonlupt, Uhry [32]) qui, à son tour,
utilise l’opération d’ identification des sommets.
En partant d’un graphe G = (V, E), considérons le graphe Gxy obtenu à partir de
G en remplaçant les sommets non-adjacents x et y de G par un seul sommet z dont le
voisinage est la réunion des voisinages de x et y. On dit alors que Gxy se déduit à partir
de G par l’identification de x et y. Evidemment, l’ identification d’une paire arbitraire de
sommets peut aboutir à la construction d’un trou impair, ce qui, du point de vue de la
perfection, n’est pas souhaitable. Par contre, si la paire de sommets est reliée seulement
par des chaı̂nes sans cordes de longueur paire, alors tous les trous formés sont pairs. De
plus, dans ce cas ni le nombre de densité, ni le nombre chromatique du graphe Gxy ne
sont augmentés ou réduits par rapport à ceux de G.
62
Lemme 4.1. (Fonlupt, Uhry) Si (x, y) est une paire d’amis de G = (V, E), alors
le graphe Gxy satisfait
ω(Gxy ) = ω(G)
χ(Gxy ) = χ(G).
A partir de ce lemme, il n’est pas difficile de montrer qu’un graphe minimal imparfait G
ne peut pas contenir une paire d’amis (par ailleurs, Reed [96] prouve qu’ il en est de même
pour n’ importe quel graphe partitionnable). De plus, le Théorème des Graphes Parfaits
garantit que la même propriété est vraie pour Ḡ. Par conséquent, il apparaı̂t naturel de
définir les graphes impair-connexes qui sont tels que ni le graphe, ni son complémentaire ne
contient de paire d’amis. Alors tout graphe minimal imparfait est impair-connexe et tout
graphe qui n’est pas de quasi-parité contient au moins un sous-graphe impair-connexe.
Ayant toujours pour but d’examiner la Conjecture Forte, la question qui se pose, dans
le cas des paires d’amis aussi bien que dans le cas de n’ importe quelle autre structure
particulière, est : quelle propriété concrète (et surtout utile) satisfont les graphes de Berge
qui ne sont pas le support d’une telle structure ? L’ intention serait ainsi de couvrir la
classe des graphes de Berge par des classes dont la perfection est connue ou, au moins,
pourrait être approchée avec plus de chances que pour les graphes de Berge en général.
Le premier essai dans cette direction a été fait par Reed [94] qui a proposé la conjecture
suivante :
Conjecture 4.2. (Reed) Soit G un graphe de Berge tel que
1. ni G, ni Ḡ n’admet de paire d’amis ;
2. ni G, ni Ḡ n’admet d’étoile déconnectante.
Alors G ou Ḡ est le graphe représentantif des arêtes d’un graphe biparti H.
Le graphe représentatif des arêtes de H est le graphe H ′ ayant l’ensemble de sommets
V (H ′ ) = E(H) et l’ensemble d’arêtes {e1 e2 | e1 , e2 ∈ E(H), e1 et e2 sont incidentes dans H}.
Si cette conjecture avait été vraie, elle aurait impliqué la Conjecture Forte, car pour les
graphes représentatifs des arêtes d’un biparti la perfection est établie. Malheureusement,
elle a été détruite par Hougardy [62].
Indépendamment l’un de l’autre, Hoàng, Maffray et Reed ont proposé une conjecture
moins forte, que voici (le diamant est le graphe obtenu à partir d’une clique à quatre
sommets en effaçant une arête) :
63
Conjecture 4.3. Soit G un graphe de Berge tel que
1. ni G, ni Ḡ n’admet de paire d’amis ;
2. ni G, ni Ḡ n’admet d’étoile déconnectante ;
3. ni G, ni Ḡ n’admet d’ensemble déconnectant stable.
Alors G ou Ḡ est diamant-libre.
Evidemment, les graphes diamant-libres étant parfaits (Tucker [109]), une preuve de
cette conjecture serait aussi une preuve de la Conjecture Forte. Notre but dans la section
4.2 est de donner un contre-exemple non seulement pour cette conjecture, mais aussi pour
toute version plus faible obtenue en remplaçant le diamant par n’ importe quel graphe H
qui est l’union complète d’une clique et d’un stable (c.à.d. toutes les arêtes possibles entre
la clique et le stable sont présentes).
La section 4.3 portera sur le même genre d’essais en s’accrochant au problème de
démontrer que les graphes de Berge qui ne sont pas de quasi-parité forment une classe de
graphes parfaits. Evidemment, cela impliquerait la Conjecture Forte et, encore une fois,
notre résultat renforce l’ idée qu’une telle approche est difficile en établirant que la classe
des graphes de Berge impair-connexes ne peut pas être incluse dans une classe de graphes
F-libres, où F est une famille arbitraire de graphes de Berge.
Les résultats rassemblés dans ce chapitre proviennent de Rusu [100, 101].
4.2. Une conjecture sur les graphes parfaits
Dès les premiers essais pour trouver un graphe satisfaisant toutes les hypothèses de la
Conjecture 4.3 d’une manière empirique, on se rend compte que le hasard devrait nous
donner un bon coup de main pour y arriver. Plutôt que d’espérer une telle chance, mieux
vaut introduire un certain contrôle dans les recherches, de façon qu’au moins une partie des
propriétés soient vérifiées a priori, ce qui reste à faire après étant de corriger, si possible,
le graphe pour garantir l’ intégralité des caractéristiques demandées. Mieux encore est de
ne rien laisser au hasard et de contrôler, dès le début et pendant tout le processus de
recherche, toutes les propriétés qui nous intéressent en nous assurant que chaque étape est
gagnante et nous approche de la solution.
Pour cela, l’ idéal serait de pouvoir suivre les trois pas ci-dessous :
64
1. identifier une classe de graphes de base qui satisfont toutes les hypothèses de la
conjecture, même s’ ils ne contredisent pas la conclusion ;
2. trouver une opération binaire φ qui préserve les hypothèses de la conjecture (sous
certaines conditions supplémentaires, éventuellement) ;
3. à partir des graphes de base, construire à l’aide de φ un graphe qui contredise la
conjecture.
Ce sont précisément les pas principaux de l’algorithme utilisé pour la construction de
notre contre-exemple. La classe Γ, définie comme la clôture de la classe des graphes de base
par rapport à l’opération φ, sera en fait une collection de graphes ”non-conventionnels”,
c.à.d. parfaits, mais qui ne se soumettent à aucun des résultats classiques inventoriés par
les hypothèses de la conjecture.
4.2.1. Le couplage et les graphes de base
Soit G = (V, E) un graphe et considérons une partition de son ensemble de sommets V
en trois sous-ensembles R, N, B correspondants aux couleurs rouge, noir et bleu. Les sommets de chaque sous-ensemble seront dits coloriés avec la couleur correspondante. On va
aussi utiliser le terme de Q-sommet pour un sommet colorié avec la couleur Q ∈ {R, N, B}.
Pour toute paire Q, P ∈ {R, N, B}, une QP-arête est une arête dont une extrémité est coloriée en Q, et l’autre en P.
Etant donnés deux graphes G1 = (V1 , E1 ) et G2 = (V2 , E2 ) coloriés en R, N, B, on va
noter G1 φG2 le graphe G = (V, E) défini comme suit :
V = V 1 ∪ V2
E = E1 ∪ E2 ∪ {xy | (x, y) ∈ R1 × R2 } ∪ {zt | (z, t) ∈ N1 × N2 },
où Ri (respectivement Ni ) est l’ensemble des sommets rouges (respectivement noirs) de
Gi , pour i = 1, 2. Les sommets bleus de G ont précisément les mêmes voisins que dans les
graphes Gi (i = 1, 2).
Remarquons que le graphe G peut être aussi obtenu à partir des graphes
G′1 = (V (G1 ) ∪ {x1 , y1 }, E(G1 ) ∪ {x1 v, v ∈ R1 } ∪ {y1 w, w ∈ N1 } ∪ {x1 y1 })
et
G′2 = (V (G2 ) ∪ {x2 , y2 }, E(G2 ) ∪ {x2 v, v ∈ R2 } ∪ {y2 w, w ∈ N2 } ∪ {x2 y2 })
en utilisant l’opération de 2-union définie par Cornuéjols et Cunningham [22]. Selon la
définition, la 2-union de G′1 et G′2 est le graphe H obtenu en éliminant xi , yi (i = 1, 2)
K
n
K
K
65
R
n
N
n
B
Fig. 4.1. Le graphe Fn .
et en reliant tout voisin de x1 (respectivement de y1 ) dans G1 avec tout voisin de x2
(respectivement de y2 ) dans G2 . Une brève vérification montre que H et G sont en fait le
même graphe.
Quant à nous, nous dirons que le graphe G = G1 φG2 est le couplage de G1 et G2 .
L’opération φ sera dite opération de couplage.
Pour tout n ≥ 2, considérons maintenant le graphe Fn (déjà colorié) ayant l’ensemble
de sommets
V (Fn ) = {x1 , x2 , . . . , xn } ∪ {y1 , y2 , . . . , yn } ∪ {z1 , z2 , . . . , zn },
où R = {x1 , x2 , . . . , xn }, N = {y1 , y2 , . . . , yn }, B = {z1 , z2 , . . . , zn } sont les ensembles de
sommets coloriés respectivement en rouge, noir et bleu.
L’ensemble d’arêtes E(Fn ) est définie de telle façon que [R]Fn , [N]Fn , [B]Fn sont des
n-cliques et pour tout i ∈ {1, 2, . . . , n}, [xi , yi , zi ]Fn est une 3-clique. Voir Fig. 4.1.
Il est facile de vérifier que, pour n ≥ 3, Fn satisfait les hypothèses de la conjecture
(le cas n = 2 est particulier). Afin de définir une classe de graphes utilisant Fn (n ≥ 2)
et l’opération de couplage, on essaie d’abord d’ identifier les conditions nécessaires pour
conserver les hypothèses.
Dans les quatre lemmes suivants, on va dire qu’un graphe est colorié en R, N, B (ou,
plus simplement encore, colorié) si son ensemble de sommets est partitionné en R, N, B
de façon que la condition suivante soit satisfaite (Q est n’ importe laquelle des couleurs
R, N, B) :
(C1) : Pour tout Q-sommet x ∈ V , le voisinage NG (x) intersecte chacun
des ensembles R, N, B, mais ne contient aucun d’eux, à l’exception
éventuelle de Q.
66
Evidemment, le couplage de deux graphes coloriés est aussi un graphe colorié.
Les preuves des lemmes sont symétriques pour R, N et pour les deux graphes G1 , G2 ,
par conséquent on va analyser seulement les cas non-symétriques.
Lemme 4.4. Soient Gi (i = 1, 2) deux graphes de Berge coloriés qui satisfont les
conditions suivantes :
(C2) : Si x ∈ Bi , alors NGi (x) = K1 ∪ K2 , où K1 ⊂ Bi et K2 ⊂ Ri ∪ Ni
sont deux cliques disjointes telles qu’aucune arête n’existe entre
elles ;
(C3) : Pour toute chaı̂ne impaire sans cordes Ru1 u2 . . . u2k R (respectivement Nu1 u2 . . . u2k N) dans Gi , il existe un p ∈ {1, 2, . . . , 2k} tel
que up ∈ Ri (respectivement Ni ) ;
(C4) : Il n’existe pas une chaı̂ne impaire sans cordes RNN . . . NR (respectivement NRR . . . RN) dans Ḡi .
Alors les mêmes propriétés sont valides pour G = G1 φG2 .
Preuve. On montre d’abord que G n’a pas de trous ou anti-trous impairs. Supposons
qu’ il existe un trou impair C dans G et soit V (C) son ensemble de sommets. Evidemment,
C n’est pas entièrement contenu dans un graphe Gi puisque ces graphes sont de Berge.
Pour passer d’un graphe dans l’autre, une arête xy telle que x et y aient la même couleur
est nécessaire. Sans perte de généralité on peut supposer que x ∈ R1 et y ∈ R2 . Soit z
l’autre voisin de x le long du cycle C. Si z ∈ R1 alors yz ∈ E(G) est une corde dans C,
une contradiction. Alors z ∈ R2 ou bien z n’est pas un sommet rouge.
Trois positions du cycle par rapport aux graphes de départ sont possibles :
• C = xyP2 zx, où x ∈ R1 , z, y ∈ R2 et P2 est une chaı̂ne sans cordes dans G2 − R2 .
Dans ce cas, yP2 z est une chaı̂ne impaire sans cordes dans G2 n’ayant comme sommets
rouges que les extrémités. Par (C3), une telle chaı̂ne n’est pas induite dans G2 .
• C = xyP2 tuvP2′ zx, où x ∈ R1 , z, y ∈ R2 , u ∈ N1 , t, v ∈ N2 et P2 , P2′ sont des chaı̂nes
sans cordes dans B2 . Supposons que yP2 t est pair. Alors V (P2 ) doit contenir un nombre
impair de B-sommets. Mais ce n’est pas possible à cause de (C2).
• C = xyP2 tvP1 x, où x ∈ R1 , y ∈ R2 , v ∈ N1 , t ∈ N2 et Pi (i = 1, 2) sont des chaı̂nes
sans cordes dans Bi (i = 1, 2). De nouveau, une des chaı̂nes doit contenir un nombre
impair de B-sommets et ce n’est pas possible.
67
On en déduit que G ne contient pas de trous impairs.
Supposons maintenant que G contienne un anti-trou impair C̄ et que C̄ a au moins
un B-sommet. Si C̄ a plus de cinq sommets, alors dans Ḡ le B-sommet est non-adjacent
à au moins une chaı̂ne sans cordes à quatre sommets. Dans G le B-sommet a donc une
telle chaı̂ne dans son voisinage. Mais cela contredit (C2). Par conséquent, C̄ induit un
5-cycle dans Ḡ, donc son complémentaire est un 5-cycle dans G. Mais G n’a pas de trous
impairs, une contradiction.
On peut donc supposer que l’anti-trou C ne contient pas de B-sommets. Selon (C4),
un raisonnement similaire à celui qu’on a utilisé pour déduire que G n’a pas de trous
impairs prouve qu’en fait il n’existe pas de trou impair dans Ḡ.
Ainsi G est un graphe de Berge.
On va démontrer maintenant que G satisfait les conditions (C2), (C3), (C4).
(C2) : Par définition, l’opération φ ne change pas l’ensemble des voisins d’un B-sommet.
(C3) : Supposons le contraire et soient x, y deux R-sommets non-adjacents dans G qui
sont reliés par une chaı̂ne impaire P sans cordes ne contenant pas d’autres R-sommets.
Alors x et y sont tous les deux dans G1 ou tous les deux dans G2 (disons qu’ il s’agit de
G1 ). Selon (C2), s’ il existe des B-sommets sur P , leur nombre est pair. Un nombre pair
de N-sommets est alors nécessaire afin d’avoir une chaı̂ne impaire sans cordes (à noter que
s’ il n’existe pas de N-sommets, P est entièrement contenue dans G1 , une contradiction).
Quelle que soit la répartition des N-sommets dans G1 et G2 , P aurait une corde.
(C4) : Supposons le contraire et soient x, y deux R-sommets non-adjacents dans Ḡ reliés
par une chaı̂ne P ′ impaire sans cordes ne contenant que des N-sommets. A noter que dans
Ḡ les sommets rouges d’un graphe sont reliés aux sommets noirs et bleus de l’autre graphe.
Par conséquent, si x et y sont tous les deux dans G1 , alors tout N-sommet de P ′ dans G2
(et il en existe au moins un) est adjacent à la fois à x et y, une contradiction. Le seul cas
possible est x ∈ R1 , y ∈ R2 tels que leur voisins le long de P ′ (u et, respectivement, v)
soient dans N2 , respectivement dans N1 . Les N-sommets u et v sont non-adjacents dans
Ḡ, par conséquent au moins un autre N-sommet existe sur P ′ . Mais alors P ′ aurait des
cordes.2
Remarque 4.5. Il est facile de voir que la condition (C2) pourrait être relâchée, mais
une telle modification relâcherait aussi la conclusion du lemme 4.4. Les raisonnements qui
suivent vont utiliser précisement la forme indiquée de (C2).
68
Lemme 4.6. Soient Gi (i = 1, 2) deux graphes coloriés tels que ni Gi , ni Ḡi ne
contient de paire d’amis et
(C2) : Si x ∈ Bi , alors NGi (x) = K1 ∪ K2 , où K1 ⊂ Bi et K2 ⊂ Ri ∪ Ni
sont deux cliques disjointes telles qu’aucune arête n’existe entre
elles ;
(C5) : Pour chaque R-sommet (respectivement N-sommet) x de Gi , il
existe une chaı̂ne paire sans cordes xRR . . . RN (respectivement
xNN . . . NR) dans Gi .
Alors les mêmes propriétés sont valides pour G = G1 φG2 .
Preuve. Pour toute paire de sommets u, v dans le même graphe Gi , si u et v sont
non-adjacents (respectivement adjacents) alors il existe une chaı̂ne impaire sans cordes
les reliant dans le même graphe (respectivement dans le graphe complémentaire). Cette
chaı̂ne est aussi une chaı̂ne impaire sans cordes dans G (respectivement Ḡ).
Soit maintenant u, v une paire de sommets de G telle que u ∈ V (G1 ) et v ∈ V (G2 ).
Quatre cas non-symétriques peuvent apparaı̂tre :
• u ∈ R1 , v ∈ R2 ; selon (C1), il existe un N-sommet t dans G1 adjacent à u et,
évidemment, non-adjacent à v. De même, il existe un B-sommet w de G2 adjacent à v et
non-adjacent à u. De plus, t et w ne sont pas adjacents, donc tuvw est une chaı̂ne sans
cordes à quatre sommets dans G. Le graphe complémentaire de ce graphe est la chaı̂ne
sans cordes à quatre sommets uwtv qui relie u et v dans Ḡ. On en déduit que (u, v) n’est
pas une paire d’amis dans Ḡ.
• u ∈ R1 , v ∈ N2 ; selon (C5), il existe une chaı̂ne paire sans cordes uRR . . . RN dans
G1 ; alors uRR . . . RNv est une chaı̂ne impaire sans cordes dans G.
• u ∈ R1 , v ∈ B2 ; selon (C1) il existe un voisin w de v dans B2 et selon (C2) w a
un R-voisin t qui n’est pas adjacent à v. Alors utwv est une chaı̂ne impaire sans cordes
reliant u et v dans G.
• u ∈ B1 , v ∈ B2 ; si t est un N-sommet de G1 adjacent à u (conformément à (C1))
et w est un N-sommet de G2 adjacent à v, alors utwv est une chaı̂ne impaire sans cordes
reliant u et v dans G.
Ainsi G et Ḡ n’ont pas de paire d’amis. Evidemment, les conditions (C2) et (C5) sont
toujours valides pour G.2
Remarque 4.7. En fait, les RN-, RB- et NB-arêtes de Gi peuvent être des paires
d’amis dans Gi et la conclusion est toujours valide. Lorsque l’opération de couplage est
69
appliquée à G1 et G2 , on peut trouver par (C1) pour toute NR-arête xy de G1 un N-sommet
u et un R-sommet v dans G2 tels que uv 6∈ E(G), donc xvuy est une chaı̂ne impaire reliant
x et y dans Ḡ. Pour une NB-arête zt de G1 , puisque (C2) est vraie, le B-sommet t a un
B-voisin a dans G1 non-adjacent à z. Comme auparavant, z a un N-voisin b dans G2 et
atzb est un P4 dans G qui induit une chaı̂ne impaire sans cordes qui relie z et t dans Ḡ.
Lemme 4.8. Soient Gi (i = 1, 2) deux graphes coloriés tels que ni Gi , ni Ḡi n’a
d’ensemble déconnectant stable. Alors la même propriété est valide pour G = G1 φG2 .
Preuve. Supposons le contraire et soit S un ensemble déconnectant stable dans G.
On considère d’abord le cas S ⊆ V (G1 ). Alors G′1 = G1 − S est connexe, G2 est connexe,
et G − S est connexe sauf si G′1 ne contient pas de R-sommets et de N-sommets. Dans ce
dernier cas, on a R1 ∪ N1 ⊆ S, par conséquent selon (C1) S n’est pas un stable.
Alors S contient des sommets de G1 et de G2 . Puisque ni G1 , ni G2 n’a d’ensemble
déconnectant stable, G′1 = G1 −S et G′2 = G2 −S sont connexes. De plus, ils peuvent avoir
au plus une couleur en commun et l’unique possibilité est B (sinon G − S est connexe).
Alors S contient au moins un des ensembles R1 , R2 et, par (C1), n’est pas un stable.
Soit maintenant S ′ un ensemble déconnectant stable de Ḡ et soient Ḡ′1 , Ḡ′2 les composantes connexes de Ḡ − S ′ . Ni Ḡ′1 , ni Ḡ′2 ne contient un B-sommet (sinon les deux
sous-graphes sont connectés), par conséquent tous les B-sommets sont dans S ′ . Mais aucun des ensembles B1 , B2 n’est vide, donc S ′ ne peut pas être un stable, une contradiction.
2
Remarque 4.9. On peut remarquer que dans la preuve on n’a pas réellement besoin
de l’ hypothèse que Ḡi (i = 1, 2) n’a pas d’ensemble déconnectant stable. En effet, soit
S ′ un ensemble déconnectant stable de Ḡ et considérons A1 , A2 , . . . , As les composantes
connexes de Ḡ − S ′ . Le graphe Ḡ − S ′ contient au moins un B-sommet v. Sans perte de
généralité on peut supposer que v est un B-sommet de Ḡ1 contenu dans la composante
connexe A1 . Alors les composantes connexes Ai (i = 2, . . . , s) possèdent seulement des
sommets de R1 et N1 , par suite aucun B-sommet de G2 n’existe dans A1 ou dans Ai (sinon
A1 et Ai sont connectés). On en déduit que B2 ⊆ S ′ et, puisque tout sommet de B2 est
adjacent à tout sommet de B1 , que B1 ⊆ Ḡ − S ′ . De plus, tout N- ou R-sommet de Ḡ2 − S ′
est dans A1 , donc B1 ⊆ A1 . Selon (C1), tout sommet de Ai (i = 2, . . . , s) a un B-voisin
dans A1 , et alors Ḡ − S ′ est connexe, une contradiction.
Lemme 4.10. Soient Gi (i = 1, 2) deux graphes coloriés tels que ni Gi , ni Ḡi ne
contient d’étoile déconnectante. Alors la même propriété est valide pour G = G1 φG2 .
70
Preuve. Supposons le contraire pour G et soit S une étoile déconnectante de G. On
note x le sommet de S adjacent à tous les autres sommets de S. Deux cas non-symétriques
peuvent apparaı̂tre :
• x ∈ B1 ; alors S ⊂ V (G1 ) et G1 − S est connexe. Les deux composantes connexes
sont précisément G1 − S et G2 , par conséquent G1 − S ne contient pas de R-sommets, ni
de N-sommets. La condition (C1) est contredite.
• x ∈ R1 ; on note NG′ (x) = NG (x) ∪ {x} et G′1 = G1 − NG′ (x). Alors V (G) − NG′ (x) =
N2 ∪ B2 ∪ V (G′1 ). Selon (C1), tout B-sommet de G2 a un voisin dans G2 colorié N. Ce
voisin est adjacent à tous les N-sommets de G′1 (au moins un tel sommet existe, par (C1)).
De plus, G′1 est un graphe connexe (sinon NG′ (x) ∩ V (G′1 ) serait une étoile déconnectante
de G1 , une contradiction). Conclusion : G − NG′ (x) est connexe.
Afin de démontrer qu’ il n’y a pas d’étoile déconnectante S dans G, il suffit de montrer
que chaque voisin de x dans G est adjacent à au moins un non-voisin de x. Pour les voisins
de x dans G1 , cette propriété est garantie par le fait que G1 n’a pas d’étoile déconnectante.
Les voisins de x dans G2 sont des R-sommets, qui sont adjacents à des N-sommets de G2 .
On va démontrer maintenant que Ḡ n’a pas d’étoile déconnectante. Supposons le
contraire.
• x ∈ B1 ; comme auparavant, notons NḠ′ (x) = {x}∪NḠ (x) et soit Ḡ′1 = Ḡ1 − NḠ′ (x) le
graphe (connexe) induit dans Ḡ1 par les sommets non-adjacents à x. On a Ḡ′1 = Ḡ − NḠ′ (x)
(car tous les sommets de Ḡ2 sont adjacents à x), donc NḠ′ (x) n’est pas une étoile déconnectante de Ḡ. Selon (C1), il existe au moins un N-sommet et au moins un R-sommet dans
G1 adjacents à x. Pour cette raison, dans Ḡ′1 il existe au moins un R-sommet et au moins
un N-sommet. Par conséquent, tout voisin y ∈ Ḡ2 de x est adjacent à un non-voisin de
x (à savoir le R-sommet ou le N-sommet de G′1 ). Puisque NḠ′ (x) ∩ V (Ḡ1 ) n’est pas une
étoile déconnectante dans Ḡ1 , la même propriété est valide pour les voisins de x dans Ḡ1 .
• x ∈ R1 ; le graphe Ḡ′1 est connexe et contient au moins un N-sommet, selon (C1). Ce
sommet est adjacent à tous les R-sommets de Ḡ2 , donc Ḡ − NḠ′ (x) est connexe (puisque
Ḡ − NḠ′ (x) = Ḡ′1 ∪ R2 ). Tout voisin y ∈ V (G2 ) de x est un N-sommet ou un B-sommet et,
encore une fois par (C1), est adjacent à au moins un R-sommet z de Ḡ2 (non-adjacent à
x). Aussi, tout voisin y ∈ V (G1 ) de x est adjacent à un non-voisin de x dans Ḡ1 , car Ḡ1
n’a pas d’étoile déconnectante.2
Les cinq conditions identifiées dans les lemmes sont maintenant suffisantes pour définir
la classe des graphes engendrée par Fn (n ≥ 2) en utilisant l’opération de couplage.
71
Définissons d’abord un graphe G comme étant joliment coloriable si son ensemble de
sommets peut être partitionné en trois ensembles R, N, B tels que les conditions (C1)-(C5)
soient satisfaites. Une coloration de G ayant ces propriétés est appelée jolie et un graphe
G pourvu d’une jolie coloration est dit joliment colorié.
On définit la classe Γ engendrée par les graphes de base Fn (n ≥ 2) comme suit :
• pour tout n ≥ 2, Fn ∈ Γ ;
• si les graphes G1 et G2 de Γ sont joliment coloriés en R, N, B, alors G1 φG2 ∈ Γ.
Le théorème suivant utilise les quatre lemmes précédents pour prouver que Γ est bien
définie et, de plus, que tout graphe de Γ \ {F2 } satisfait les hypothèses de la conjecture :
Théorème 4.11. Les graphes de Γ\{F2 } sont des graphes de Berge joliment coloriables
ayant les propriétés ci-dessous :
1. ni G, ni Ḡ ne contient de paire d’amis ;
2. ni G, ni Ḡ ne contient d’étoile déconnectante ;
3. ni G, ni Ḡ ne contient d’ensemble déconnectant stable.
Preuve. Il est facile de vérifier que pour n ≥ 3 Fn satisfait les hypothèses des lemmes
4.4, 4.6, 4.8, 4.10.
Pour n = 2, il existe des conditions qui ne sont pas accomplies. Plus précisément, il
existe deux exceptions, toutes les deux dans F¯2 :
- les paires non-adjacentes de sommets coloriés en RN, RB ou NB sont des paires
d’amis dans F¯2 ;
- les deux 3-stables sont des ensembles déconnectants stables dans F¯2 .
Selon les remarques 4.7 et 4.9, les deux exceptions précédentes ne perturbent pas les
preuves des lemmes 4.6 et 4.8. Alors on peut démontrer très facilement par récurrence
que tout graphe de Γ \ {F2 } a les propriétés indiquées.2
Remarque 4.12. La construction montre que toutes les chaı̂nes impaires qui prouvent
la non-existence d’une paire d’amis dans G ou Ḡ sont en fait des P4 .
72
4.2.2. Une classe de graphes parfaits
Le but de cette section est de démontrer que la classe Γ définie dans la section
précédente est une classe de graphes parfaits. Pour cela on prouve que les jolies colorations
des graphes de Γ ont une structure commune et on utilise cette propriété pour déduire
qu’aucun P4 de type RRRR, NNNN n’existe dans une jolie coloration. La perfection sera
alors une conséquence d’un théorème du à Chvátal, Lenhart et Sbihi [19].
Puisque tous les graphes de Γ sont obtenus à partir des graphes de base en appliquant
l’opération de couplage, il est naturel de regarder chaque G ∈ Γ comme un ensemble de
graphes de base dont les sommets sont reliés conformément aux règles indiquées. Apparemment, dans une jolie coloration de G il n’est pas nécessaire qu’un graphe de base
arbitraire ait les trois cliques coloriées respectivement en R, N, B. En fait, elles doivent
être coloriées de cette façon.
Lemme 4.13. Dans une jolie coloration de G ∈ Γ, tout graphe de base est joliment
colorié.
Preuve. Une vérification rapide montre qu’une jolie coloration d’un graphe de base
Fn est une bijection de l’ensemble des n-cliques sur l’ensemble des couleurs, donc pour ce
cas simple le lemme est prouvé.
Soit G = G1 φG2 un graphe de Γ obtenu par le couplage des deux graphes joliment
anc
(respectivement Nanc
coloriés G1 et G2 . On note Ranc
i , Bi ) les ensembles de R-sommets
i
(respectivement N-, B-sommets) dans les jolies colorations de Gi utilisées pour obtenir G,
nou
(respectivement Nnou
et Rnou
i , Bi ) les sommets de Gi (i = 1, 2) coloriés en R (respeci
est
tivement N, B) dans une jolie coloration arbitraire de G. Alors tout sommet de Ranc
1
anc
adjacent à tout sommet de R2 et la propriété similaire est vraie pour N. Les sommets
(i = 1, 2) ont des voisins seulement dans Gi .
de Banc
i
Fait 1. Aucun R- ou N-sommet de Gi (ancien) ne devient un B-sommet dans G
(nouveau).
∩ Nanc
Preuve. Supposons qu’ il existe un tel sommet x ∈ Bnou
2 . Alors x a au moins
2
anc
un voisin y dans B2 . Il faut considérer les trois cas suivants :
∩ Rnou
• x a un voisin y ∈ Banc
2 . Alors tous les voisins de x dans G1 doivent être des
2
B-sommets (nouveaux), sinon les R- et N-voisins de x dans G n’ induisent pas une clique
sont maintenant des
et cela contredit (C2). Par conséquent, tous les sommets de Nanc
1
73
B-sommets et forment une clique. Soit z un sommet dans cet ensemble. Selon (C1), z a
un R-voisin t dans G. Si t est dans G1 , alors tzxy est un P4 colorié RBBR et (C3) est
contredite. Donc tous les R-voisins de z dans G sont en fait dans Nanc
2 . On en déduit
ou dans
qu’aucun N-voisin (nouveau) u de z n’apparaı̂t dans G1 . Sinon u est dans Ranc
1
anc
B1 et il n’est pas adjacent à t, donc z contredit (C2). Maintenant, le voisinage de z
(conformément à (C1) dans G1 ),
colorié avec B contient x et au moins un sommet de Banc
1
donc ce n’est pas une clique, une contradiction.
∩ Nnou
• x a un voisin y ∈ Banc
2 . Le raisonnement est similaire au raisonnement
2
précédent.
• tout voisin de x dans B2 (ancien) est aussi colorié avec B dans G. Alors tous les
sont maintenant coloriés en R ou N, et forment une clique. De même,
sommets de Nanc
1
est un B-sommet dans G.
tout voisin de x dans Ranc
2
on a en même temps des N-sommets et des R-sommets
Montrons d’abord que dans Nanc
1
sont N dans la nouvelle
nouveaux. Par l’absurde, supposons que tous les sommets de Nanc
1
coloration. On considère alors un R-voisin ancien y de x (qui doit être un B-sommet dans la
nouvelle coloration) et un voisin q de y dans Ranc
1 , qui n’est pas adjacent à un sommet fixé
anc
s de N1 (un tel sommet q existe, sinon s serait adjacent à tout Ranc
1 , une contradiction).
nou
(sinon les NLe P4 qyxs implique q ∈ R1 . Soit r un R-voisin actuel de x, donc r ∈ Nanc
2
et R-voisins actuels de x ne formeraient pas une clique). On en déduit que qyxr est un P4
colorié RBBR, sauf si yr ∈ E ; mais alors r et y sont deux voisins adjacents du B-sommet
x coloriés en R et B, une contradiction. Le raisonnement est similaire si on suppose que
sont R dans la nouvelle coloration.
tous les sommets de Nanc
1
il existe des R-sommets et des N-sommets nouveaux. Soit
Par conséquent, dans Nanc
1
anc
z un voisin de x dans B2 . Alors z est aussi un B-sommet dans G et ses R- ou N-voisins
ou dans Ranc
sont tous dans G2 . Supposons qu’ il a un R-voisin v dans Banc
2 . Pour tout
2
nou
anc
sommet w ∈ N1 ∩ R1 , on obtient un P4 wxzv colorié RBBR, une contradiction. On
en déduit que tout R-voisin de z était colorié avec N dans la jolie coloration de G2 . De la
même façon, on obtient que tout N-voisin de z était colorié avec N dans la jolie coloration
de G2 .
Considérons maintenant un voisin t de x dans Ranc
2 . Alors t est colorié avec B (nouveau)
et ses voisins de G1 ne peuvent pas être des B-sommets (car x est aussi un B-voisin de t,
anc un
et alors les B-voisins adjacents à t ne formeraient pas une clique). Soit u ∈ Rnou
1 ∩ R1
un R-voisin de z. Puisque tz ∈ E(G) (tous les deux
voisin de t (s’ il y en a) et v ∈ Nanc
2
sont des B-sommets dans NG (x)), alors utzv est un P4 colorié RBBR, et on a encore une
contradiction avec (C3). Alors nécessairement tv ∈ E(G) et cela contredit le fait que les
R- et N-sommets adjacents à t forment une clique (puisque v et u ne sont pas adjacents).
74
Le même raisonnement est valable pour les N-voisins de t dans Ranc
1 , donc les anciens
R-sommets de G1 ne peuvent pas être coloriés en R, N ou B, une contradiction.2
Fait 2. Aucun B-sommet de Gi (ancien) ne peut changer sa couleur dans une jolie
coloration de G.
Preuve. Dans les graphes de base Fn , tout R- ou N-sommet est adjacent à précisément
un B-sommet. Par le fait 1, aucun B-sommet ne peut être ajouté à la classe initiale, donc
par récurrence on peut supposer que pour G1 et G2 tout R- ou N-sommet est aussi adjacent
à précisément un B-sommet. Si un B-sommet (ancien) t de Gi (i = 1, 2) changeait sa
couleur, alors tout ancien R-voisin de t resterait sans B-voisins dans la nouvelle coloration
de G, et ce n’est pas possible par (C1).2
Preuve du lemme 4.13 (suite). On va montrer que dans toute jolie coloration de
G, tout graphe de base a les sommets d’une même n-clique coloriés avec la même couleur.
Par les faits 1 et 2, l’ensemble de B-sommets d’un graphe de base reste inchangé lorsqu’on
recolorie un graphe obtenu par l’opération de couplage. Par conséquent, une des trois
n-cliques de chaque Fn (disons {z1 , z2 , . . . , zn }) reste toujours coloriée en B et tous ses
voisins sont des sommets du même Fn (voir Fig. 4.1.). Par (C1) et (C2) pour G, tout
B-sommet zi a la propriété que ses voisins xi et yi sont coloriés en R et N. Supposons que
pour deux indices i et j, xi et xj n’ont pas la même couleur. Si xi est un R-sommet et
xj est un N-sommet, alors yj est un R-sommet et xi zi zj yj est un P4 colorié RBBR, une
contradiction. Alors tous les sommets d’une n-clique ont la même couleur et on a une
jolie coloration de Fn . En fait, toute jolie coloration de G peut être obtenue à partir d’une
autre jolie coloration en changeant les couleurs R et N dans certains graphes de base.2
Remarque 4.14. Le lemme 4.13 garantit que les sommets d’une n-clique dans un
graphe de base Fn sont toujours de la même couleur dans une jolie coloration de G et
qu’ ils ont le même voisinage dans G − Fn . De plus, le voisinage dans G de tout B-sommet
est précisément son voisinage dans le graphe de base le contenant. Enfin, étant donnés
deux sous-graphes de base d’un graphe colorié G ∈ Γ, leur connection est de type R-R,
N-N, ou bien de type N-R, R-N.
Lemme 4.15. Aucun P4 de type RRRR ou NNNN n’est induit par une jolie coloration
de G ∈ Γ.
75
Preuve. Supposons le contraire et soit xyzt un P4 de type RRRR.
Si deux sommets quelconques de cette chaı̂ne appartiennent au même graphe de base
Fn , alors ils sont contenus dans la même n-clique de ce graphe, par conséquent ils ont le
même voisinage dans G − Fn , selon la remarque 4.14. Les deux autres sommets doivent
être alors dans le même graphe de base et, de plus, dans la même clique (celle coloriée en
R), une contradiction.
On en déduit que deux sommets quelconques sont dans des graphes de base différents.
Considérons maintenant F x et F z les graphes de base contenant x et, respectivement,
z. Les R-sommets de F z ne sont pas adjacents aux R-sommets de F x , donc, selon la
remarque 4.14, ils doivent être adjacents aux N-sommets de F x . Si x′ est un N-sommet
de F x , on a x′ z ∈ E(G). De façon similaire on obtient que si t′ est un N-sommet de F t ,
alors yt′ ∈ E(G). De plus, x′ et t′ ne sont pas adjacents (sinon les arêtes reliant F x et
F t seraient de type R-R, N-N et x serait adjacent à t puisqu’ ils sont tous les deux des
R-sommets). On en déduit que x′ zyt′ est un P4 colorié NRRN, une contradiction.2
Théorème 4.16. Les graphes de Γ sont des graphes parfaits.
Preuve. Soit G ∈ Γ un graphe joliment colorié. Selon le lemme 4.15, la jolie coloration
est une partition de V (G) en trois ensembles R, N, B telle que :
- aucun P4 induit de G n’est colorié RRRR, NRRN, RNNR, NNNN ;
- pour chaque B-sommet x de G, NG (x) = K1 ∪ K2 , où K1 et K2 sont deux cliques
disjointes sans arêtes entre elles.
Si G n’était pas parfait, alors il contiendrait un sous-graphe minimal imparfait G′ .
Deux cas peuvent apparaı̂tre :
Cas 1. G′ ne contient pas de B-sommets. Si tous les sommets de G′ ont la même
couleur, alors G′ est P4 -libre, donc parfait. Ainsi toutes les deux couleurs R et N sont
présentes dans G′ , et on a une partition de V (G′ ) en deux ensembles R, N telle qu’aucun
P4 induit dans G′ n’est colorié RRRR, RNNR, NRRN ou NNNN. Selon un théorème de
Chvátal, Lenhart et Sbihi [19], le graphe G′ est parfait si, et seulement si, les sous-graphes
induits par les sommets coloriés R et, respectivement, N sont parfaits. Dans notre cas, ils
sont P4 -libres, donc parfaits. Conclusion : G′ est parfait lui aussi, une contradiction.
Cas 2. G′ contient au moins un B-sommet. Puisque G′ est minimal imparfait, le
B-sommet est contenu dans précisément ω ω-cliques, où ω = ω(G′ ) est la taille maximum
d’une clique de G′ . Mais tout B-sommet est contenu dans précisément deux cliques dans
76
G, donc il est contenu dans au plus deux cliques dans G′ , et alors ω = 1 ou 2. Dans le
premier cas, G′ est parfait ; dans le deuxième, il est un trou impair et cela contredit le fait
que G est un graphe de Berge.
Dans les deux cas on conclut que G ne peut pas contenir un sous-graphe minimal
imparfait, donc il est parfait.2
4.2.3. Contre-exemples
Pour un graphe arbitraire H, considérons la conjecture suivante :
Conjecture (CH ) Si G est un graphe de Berge tel que
1. ni G, ni Ḡ ne contient de paire d’amis ;
2. ni G, ni Ḡ ne contient d’étoile déconnectante ;
3. ni G, ni Ḡ ne contient d’ensemble déconnectant stable
alors G ou Ḡ est H-libre.
Pour tous les graphes H tels qu’ il existe un graphe GH de Γ contenant à la fois H et H̄
comme sous-graphes induits, la conjecture correspondante (CH ) est fausse. Nous ne savons
pas précisément quels sont ces graphes, mais on va indiquer une méthode de construction
pour trouver des contre-exemples dans les cas où H est l’union complète d’une clique et
d’un ensemble stable.
Si G = G1 φG2 , soit (G1 φG2 )(R↔N ) ou G(R↔N ) le graphe G avec la coloration obtenue
à partir de la coloration initiale en échangeant les couleurs R et N dans G2 . Alors les arêtes
reliant G1 et G2 ne sont plus des RR-arêtes ou des NN-arêtes, mais des RN- ou NR-arêtes.
Evidemment, la nouvelle coloration est une jolie coloration pour les graphes G1 et G2 .
Mais est-elle toujours une jolie coloration pour le graphe G ? Un raisonnement similaire
au raisonnement du lemme 4.4 donne la réponse affirmative pour les conditions (C3), (C4)
(à noter que dans G(R↔N ) l’adjacence est R-N, N-R, comme dans Ḡ avant l’échange des
couleurs R et N). Les autres conditions sont garanties par les propriétés internes de Gi
(i = 1, 2).
Pour un n fixé (n ≥ 2), on considère maintenant la séquence de graphes définie par
récurrence comme suit :
77
G1n = Fn
G2n = Fn φFn
. . . . . . . .
k
Gn = Gk−1
n,(R↔N ) φFn
. . . . . . . .
Le graphe Gkn est déduit de Gk−1
en échangeant les couleurs R et N dans son sousn
graphe Fn (c.à.d. le sous-graphe utilisé pour construire Gk−1
n ) et en couplant avec un
k
nouveau graphe Fn . Alors Gn ∈ Γ.
La construction itérative précédente permet d’ identifier une certaine structure de ces
graphes. Plus précisément, si on note par Fni le graphe Fn utilisé pendant le pas i de la
i
composition (autrement dit, le graphe composé avec Gi−1
n,(R↔N ) pour obtenir Gn ) et par
Ri , Ni , Bi les n-cliques de Fni coloriées en R, N, B au moment présent de la composition,
alors le graphe Gkn (k ≥ 2) a la structure de la Fig. 4.2. (les n-cliques sont représentées par
des points, l’union complète de deux sous-graphes par une ligne continue et les connexions
déjà connues de Fni par des lignes pointillées).
R
R
1
N
2
N
1
B
2
B
1
2
...
R
...
N
...
B
j
j
...
R
...
N
...
B
j
N
k-1
k
R
k-1
k
B
k-1
k
Fig. 4.2.
En effet, le graphe G2n a précisément cette structure. Par récurrence, supposons que
est obtenu de Gkn en échangeant
Gkn a la configuration de la Fig. 4.2. Son successeur Gk+1
n
les couleurs R, N dans Fnk (par conséquent, dans la Fig. 4.2. Nk devient Rk et inversement)
et en composant avec Fnk+1 conformément à la nouvelle coloration. La structure obtenue
de cette façon est à nouveau celle de la Fig. 4.2.
tout sommet de la clique Nk+1 est adjacent à tout sommet des cliques
Dans Gk+1
n
N1 , N2 , . . . , Nk , pour chaque k ≥ 1. On en déduit que Gn+1
contient comme sous-graphe
n
induit le graphe Hn qui est l’union complète d’une n-clique et un n-stable. Egalement,
78
Gn+1
contient H̄n , car la n-clique Nn+1 est non-adjacente aux cliques R1 , R2 , . . . , Rn . Donc
n
ni G, ni Ḡ n’est Hn -libre.
On peut alors affirmer que la conjecture (CH ) est fausse pour chaque H qui est l’union
complète d’une clique K et un stable S. Un contre-exemple est Gp+1
p , où p = max{|K|, |S|}.
Remarque 4.17. Une autre conjecture affirme, comme on l’a déjà vu dans le chapitre
introductif, qu’un graphe minimal imparfait ne peut pas contenir une paire d’ennemis,
c.à.d. une paire de sommets non-adjacents reliés seulement par des chaı̂nes sans cordes de
longueur impaire. De façon similaire au lemme 4.6 et à la remarque 4.7 on peut montrer
que si les seules paires d’ennemis de Gi , Ḡi (i = 1, 2) correspondent aux RR-, NN-, BBarêtes de Gi , alors le couplage G a la propriété que ni G, ni Ḡ ne contient une paire
d’ennemis. Par conséquent tous les Gkn (sauf G12 = F2 ) ont cette propriété et même si on
ajoute aux hypothèses de (CH ) la condition :
4. ni G, ni Ḡ ne contient de paire d’ennemis
la conjecture est fausse.
Pour n = 2, le graphe Hn = H2 est précisément le diamant et le contre-exemple G32
est le couplage des deux graphes de la Fig. 4.3.
R
N
R
R
R
N
B
B
B
B
B
B
N
R
N
N
N
R
2
G 2,(R
F
N)
Fig. 4.3.
2
79
Le graphe ainsi obtenu peut être reconstruit d’une manière plus claire du point de vue
intuitif : pour tout i = 1, . . . , 6, on substitue le graphe complet ayant les sommets ui , vi au
sommet wi du cycle induit à six sommets w1 , w2 , . . . , w6 ; après quoi, pour tout i = 1, 2, 3,
on ajoute les sommets xi , yi et les arêtes xi yi , xi ui , xi ui+3 , ui ui+3 , yi vi , yi vi+3 , vi vi+3 . Le
graphe obtenu est G32 .
4.3. De la quasi-parité à la perfection
Dans la section précédente on a vu comment on essaie, avec les connaissances aquises
jusqu’à nos jours sur les graphes parfaits, de combiner certaines propriétés afin de couvrir
toute la classe des graphes de Berge. Le contre-exemple exhibé par Hougardy, ainsi que
celui que l’on a présenté ci-dessus, montrent que cette tâche n’est pas facile, mais ils sont
loin encore de nous convaincre qu’ il est inutile de continuer ces essais.
Dans cette section on va se référer à un problème similaire qui, cette fois-ci, nous
propose de démontrer que les graphes de Berge qui ne sont pas de quasi-parité forment
une classe de graphes parfaits. Si ce n’était pas le cas, alors on pourrait trouver un graphe
de Berge minimal imparfait qui soit impair-connexe (car un graphe minimal imparfait
ne peut pas avoir de paire d’amis). Afin d’arriver à une contradiction, la solution serait
d’ inclure les graphes de Berge impair-connexes dans une classe de graphes C dont la
perfection est connue ou bien dont on connaı̂t une caractérisation vraiment utile pour
approcher la perfection.
Les premiers résultats obtenus dans la théorie des graphes parfaits montrent que souvent (mais pas toujours) il est assez facile d’aborder la perfection des classes de graphes
F-libres, où F est une famille de graphes de Berge. Notre but ici est de démontrer qu’en
fait C ne peut pas être la classe des graphes F-libres, quelle que soit F. Par conséquent,
d’autres conditions, et probablement des conditions globales, doivent être ajoutées à ces
conditions locales pour obtenir un résultat satisfaisant.
4.3.1. Comment détruire les paires d’amis ?
Comme précédemment, soit F une famille de graphes de Berge, et considérons C la
famille des graphes F-libres. Afin de prouver que dans ce cas C ne peut pas satisfaire
les conditions demandées, il faut construire un graphe de Berge G qui n’a pas de paires
80
d’amis (ni dans G, ni dans Ḡ), mais contient au moins un graphe H ∈ F. Pour cela, on va
détruire l’une après l’autre les paires d’amis de H et H̄ en ajoutant un graphe convenable
sur les arêtes de H et H̄. Cette opération est possible, le théorème suivant le garantit.
Pour la formuler, disons qu’un graphe G′ est trou-équivalent à son sous-graphe induit G
si tous les trous et anti-trous impairs de G′ sont contenus dans G. Nous conservons le
terme de impair-connexe pour designer un graphe G tel que ni G, ni Ḡ ne contient de
paire d’amis.
Théorème 4.18. Pour tout graphe H, il existe un graphe impair-connexe GH tel que :
1. H est un sous-graphe induit de GH ;
2. GH est trou-équivalent à H.
Evidemment, on peut supposer sans perte de généralité que H n’a pas de sommets
universels et que H, H̄ sont 2-connexes ; sinon on peut ajouter des sommets afin d’obtenir
un graphe H ′ ayant ces propriétés et contenant H comme sous-graphe induit. Le graphe
GH ′ obtenu à partir de H ′ serait alors trou-équivalent à H.
On notera Fab le graphe de la Fig. 4.4. qui, on peut très facilement le vérifier, est
impair-connexe.
Lemme 4.19. Soit G un graphe et e une arête de G. Le graphe G′ obtenu à partir de
G et Fab en identifiant les arêtes e et ab est trou-équivalent à G.
Preuve. Remarquons d’abord que Fab lui-même est un graphe de Berge. En effet,
puisqu’ il a huit sommets, les trous et anti-trous impairs qui pourraient être induits de2
1
3
4
5
6
a
b
Fig. 4.4. Le graphe Fab .
81
vraient avoir cinq ou sept sommets. De plus, les sommets 1, 2, 3, 4, 5, 6 induisent un C̄6 ,
donc tout trou ou anti-trou impair doit contenir au moins un des sommets a et b (en fait,
tous les deux). Mais une simple vérification montre que ce n’est pas possible.
Par conséquent, un cycle sans cordes induit dans G′ devrait avoir des sommets dans les
deux graphes G et Fab , mais ce n’est pas possible non plus, car alors ab serait une corde.
De façon similaire, un anti-trou impair induit dans G′ devrait aussi avoir des sommets
dans les deux graphes, mais alors ab serait une étoile déconnectante.
On en déduit que G′ est trou-équivalent à G.2
Etant donné le graphe H, considérons maintenant l’algorithme de construction suivant
(où m = |E(H)|, m′ = |E(H̄)|) :
Algorithme de Prolongation
Entrée : H, Fai bi (i = 1, . . . , m), Fcj dj (j = 1, . . . , m′ );
Sortie : GH
pour i = 1, m exécuter
• identifier ei ∈ E(H) et ai bi ∈ E(Fai bi )
fin{pour};
pour j = 1, m′ exécuter
• identifier e′j ∈ E(H̄) et cj dj ∈ E(Fcj dj )
fin{pour}.
Par le lemme 4.19, le graphe H ′ obtenu après l’exécution de l’algorithme de prolongation est trou-équivalent à H. Pour démontrer qu’ il est en effet le graphe GH que l’on
cherche, il suffit de montrer que dans H ′ et H̄ ′ n’ importe quelle paire de sommets nonadjacents est reliée par une chaı̂ne sans cordes de longueur impaire. A cette fin, remarquons
d’abord la façon dont les divers sous-graphes de G′ sont reliés :
- pour tout i ∈ {1, . . . , m}, tout sommet propre de Fai bi est adjacent à tout sommet
propre de F̄cj dj (j ∈ {1, . . . , m′ }, mais n’est adjacent à aucun sommet de Fai′ bi′ (i′ 6= i),
ni à aucun sommet de H (à l’exception de ai , bi )
- pour tout j ∈ {1, . . . , m′ }, tout sommet propre de F̄cj dj est adjacent à tout sommet
de H ′ − F̄cj dj .
(Un sommet propre de Fab est un sommet quelconque de Fab distinct de a et b ; un
sommet de base est soit a ou b.)
82
Lemme 4.20. Le graphe H ′ obtenu de H en utilisant l’algorithme de prolongation est
impair-connexe.
Preuve. Selon la remarque déjà faite, le graphe Fab de la Fig. 4.4. est impair-connexe.
En effet, deux sommets non-adjacents arbitraires de Fab ou F̄ab sont reliés par une chaı̂ne
sans cordes à quatre sommets. Par conséquent, dans H ′ et H̄ ′ ces paires ne sont pas des
paires d’amis.
Une simple vérification montre maintenant que, dans le graphe Fab , si x est un sommet
propre non-adjacent au sommet de base u, alors x et u sont reliés à la fois par une chaı̂ne
paire sans cordes et une chaı̂ne impaire sans cordes, aucune d’elles ne contenant l’autre
sommet de base. Finalement, il est facile de voir que dans Fab tout sommet propre est
non-adjacent à au moins un sommet de base.
Pour prouver que dans H ′ et H̄ ′ deux sommets quelconques non-adjacents x, y sont
reliés par une chaı̂ne impaire sans cordes, on doit considérer les quelques cas ci-dessous,
concernant la disposition de x et y dans les diverses composantes de H ′ . La notation
utilisée est Fab pour n’ importe quel sous-graphe Fai bi de H ′ et F̄cd pour n’ importe quel
sous-graphe F̄cj dj de H ′ . De plus, x ∈ Fab ou x ∈ F̄cd signifie que x est un sommet propre
dans le graphe respectif.
Cas 1. x ∈ H, y ∈ H. Si x, y sont non-adjacents dans H, alors F̄xy garantit l’existence
d’un P4 reliant x et y dans H ′ ; sinon, ils sont adjacents et, à cause de Fxy , (x, y) n’est pas
une paire d’amis dans H̄ ′ .
Cas 2. x ∈ H, y ∈ Fab . On peut supposer que x 6= a, b, de sorte que x et y sont
non-adjacents. Selon une remarque précédente, y est non-adjacent à au moins un sommet
de base de Fab , disons a. Puisque H est supposé être un graphe 2-connexe, il existe une
chaı̂ne sans cordes P dans H reliant x et a qui ne contient pas b. De plus, y et a sont reliés
dans Fab à la fois par des chaı̂nes paires et impaires ne contenant pas b, par conséquent on
peut trouver une chaı̂ne P ′ de parité convenable, telle que P ∪ P ′ soit de longueur impaire.
Evidemment, cette chaı̂ne n’a pas de cordes.
Cas 3. x ∈ H, y ∈ F̄cd . Encore une fois, on peut supposer que x 6= c, d, donc x et
y sont adjacents. En transférant le raisonnement dans H̄ ′ , on obtient x ∈ H̄, y ∈ Fcd et
x, y sont non-adjacents. De façon analogue au cas 2, on en déduit l’existence d’une chaı̂ne
convenable.
Cas 4. x ∈ Fab , y ∈ Fa′ b′ . Soit a le sommet de base non-adjacent à x, et a′ le sommet
de base adjacent à y (s’ il en existe un) ou un sommet de base arbitraire de Fa′ b′ (dans le
83
cas contraire). Alors de a à a′ on peut trouver une chaı̂ne sans cordes P qui ne contient
pas b (mais qui peut contenir b′ ). De y à a′ on peut trouver une chaı̂ne sans cordes P ′ de
Fa′ ′ b′ ne contenant pas un voisin de b′ , donc P ∪ P ′ est une chaı̂ne sans cordes reliant a et
y. Comme auparavant, on peut choisir dans Fab une chaı̂ne convenable P ′′ reliant x et a
telle que P ∪ P ′ ∪ P ′′ soit une chaı̂ne impaire sans cordes.
Cas 5. x ∈ Fab , y ∈ F̄cd . Alors x et y sont adjacents, donc on doit continuer le
raisonnement dans H̄ ′ . Ici on a x ∈ F̄ab , y ∈ Fcd et x, y sont non-adjacents. De plus, les
sommets propres de F̄ab sont reliés à tous les sommets de H̄ \ {a, b}. Si c est le sommet de
base non-adjacent à y, alors soit xc ∈ E(H̄ ′ ) (et on peut trouver une chaı̂ne convenable
dans Fcd reliant c à y) ou c = a (et on peut convenablement relier x à a dans Fab et y à c
dans Fcd ).
Cas 6. x ∈ F̄cd , y ∈ F̄cd . Alors x, y sont adjacents et lorsqu’on transfère le raisonnement dans H̄ ′ , on obtient la situation du cas 4.
Par conséquent, pour toute paire de sommets non-adjacents de H ′ ou H̄ ′ il existe une
chaı̂ne impaire sans cordes les reliant. Le lemme 4.20 est prouvé.2
Preuve du théorème 4.18. Les lemmes 1 et 2 garantissent que le graphe GH obtenu
par l’algorithme de prolongation contient H, est impair-connexe et trou-équivalent à H.2
Corollaire 4.21. La classe C ne peut pas être une classe de graphes F-libres.
Preuve. Le graphe GH obtenu pour un graphe H ∈ F est de Berge impair-connexe,
mais il contient H ; il n’est donc pas contenu dans C = {graphes F-libres}.2
Remarque 4.22. L’algorithme de prolongation ajoute un graphe isomorphe à Fab
sur toute arête de H et H̄ afin d’introduire des chaı̂nes impaires sans cordes dans le
complémentaire. En fait, il peut exister des paires de sommets qui n’ont pas besoin
d’une telle opération (car ils sont déjà reliés par des chaı̂nes impaires), mais il semble très
difficile de les identifier par voie algorithmique. C’est la raison pour laquelle l’algorithme
de prolongation qu’on a présenté est préférable à l’algorithme qui aurait d’abord identifié
les paires d’amis et aurait fait ensuite l’adjonction des graphes Fab aux bons endroits.
84
4.3.2. Une équivalence polynomiale
Considérons maintenant les deux problèmes de décision suivants, concernant la reconnaissance des graphes de Berge :
Problème 1.
Instance : Un graphe H.
Question : H est-il un graphe de Berge ?
Problème 2.
Instance : Un graphe impair-connexe H.
Question : H est-il un graphe de Berge ?
Du théorème 4.18 on peut aussi déduire :
Corollaire 4.23. Les problèmes 1 et 2 sont polynomialement équivalents.
Preuve. Evidemment, le Problème 2 n’est rien de plus qu’un cas particulier du
Problème 1, donc il se réduit polynomialement au Problème 1.
Pour réduire le Problème 1 au Problème 2, il suffit de construire, à partir de l’ instance
H du Problème 1, le graphe GH donné par le Théorème 4.18. Puisque GH a précisément
les mêmes trous et anti-trous que G, une réponse positive pour H dans le Problème 1
induit une réponse positive pour GH dans le Problème 2 et inversement.2
A propos des P4
85
Chapitre 5.
A propos des P4
L’ importance des P4 , chaı̂nes induites à quatre sommets, pour l’étude des graphes
parfaits est indéniable et les arguments à apporter pour soutenir cette affirmation peuvent
être cherchés aussi bien au début de l’étude des graphes parfaits que de nos jours. Il ne
s’agit pas seulement de l’ intérêt suscité par la classe des graphes P4 -libres, car pour le
P4 les propriétés vont bien plus loin : les graphes parfaitement ordonnables, proprement
ordonnables, d’opposition (voir Olariu [82]), de Hoàng et, de plus, la P4 -structure sont
autant d’arguments en faveur d’une étude plus approfondie du rôle que les chaı̂nes induites
à quatre sommets jouent vis-à-vis de la perfection.
5.1. Généralités sur les P4
Si l’on essaie d’ identifier les catégories de conditions à travers lesquelles on peut mieux
regarder le progrès obtenu sur les graphes parfaits ces dernières trente années, il est pratiquement impossible de passer à côté des deux suivantes : les conditions sur les trous et
les conditions sur les P4 .
Si l’ importance primordiale des trous pour l’étude des graphes parfaits a été mise
en évidence dès le début par Berge, lors de ses premiers travaux qui ont culminé avec
l’énoncé de la Conjecture Forte, l’ importance des P4 est devenue claire bien plus tard,
quand Chvátal [14] introduisit la notion de P4 -structure et formula la Conjecture DemiForte.
Suivant Chvátal, on dit qu’un graphe G1 = (V1 , E1 ) a la P4 -structure du graphe
G2 = (V2 , E2 ) s’ il existe une application bijective φ : V1 → V2 telle que a, b, c, d ∈ V1
86
A propos des P4
forment un P4 dans G1 si, et seulement si, φ(a), φ(b), φ(c), φ(d) ∈ V2 forment un P4
dans G2 .
Avec cette nouvelle définition, Chvátal prouve que les seuls graphes ayant la P4 -structure
d’un trou impair sont le trou lui-même et son complémentaire. Par conséquent, la conjecture suivante se place entre la Conjecture Faible et la Conjecture Forte.
Conjecture 5.1. (Demi-Forte) Si le graphe G a la P4 -structure d’un graphe parfait,
alors G est parfait.
Encore une fois, la Conjecture Forte résiste à tout essai de preuve, tandis que la
conjecture moins forte, qui est, cette fois-ci, la Conjecture Demi-Forte, se transforme en
théorème, étant prouvée par Reed [95].
Etant donnés ces forts liens entre les trous et les P4 , on peut se demander si cette
affinité ne pourrait pas être identifiée aussi au-delà des limites de la perfection. La réponse,
affirmative, sera donnée dans la section 5.2, où l’on présente une conjecture formulée par
R. Sritharan et démontrée par Chvátal, Rusu [20].
Dans la section 5.3 on va s’occuper de ce qui est, probablement, l’essai le plus récent
d’étudier la perfection à l’aide des conditions imposées sur les P4 .
Le premier pas dans cette direction a été fait par Seinsche qui a prouvé dans [103] que
les graphes P4 -libres sont parfaits. L’ idée la plus naturelle pour généraliser ce résultat est
de ne pas interdire tous les P4 , mais seulement une partie d’entre eux. Lesquels va-t-on
interdire, doit-on privilégier une interdiction d’ordre global ou local ?
Qu’elles soient locales ou globales, les conditions imposées sont en général d’un des
trois types suivants :
1. imposer que la densité des P4 dans le graphe ne soit pas trop élevée (voir Hoàng
[53], Jamison, Olariu [65]) ;
2. imposer que le graphe admette une orientation des arêtes de façon qu’aucun P4 ayant
une orientation particulière indiquée ne soit pas induit dans le graphe (voir Chvátal [13],
Olariu [82]) ;
3. imposer que le graphe admette une coloration des sommets en deux couleurs de
façon qu’aucun P4 ayant une certaine coloration indiquée n’apparaisse dans le graphe
(voir Chvátal, Lenhart, Sbihi [19]).
A part ces trois types de conditions, qui ont donné des bons résultats, un autre type
a été récemment introduit par Hoàng [56]. Jusqu’ ici, malgré la puissance apparente des
conditions, seuls des résultats partiels ont éte trouvés ; à ces résultats on va en ajouter un
dans la section 5.3.
A propos des P4
87
5.2. Une conjecture sur les graphes sans trous
Notre but dans cette section est de démontrer une conjecture de R. Sritharan qui
constitue une caractérisation des graphes sans trous. A partir de cette conjecture, deux
autres résultats sont déduits et seront présentés à la suite : l’un concerne les graphes
faiblement triangulés, l’autre est une généralisation du résultat présenté ci-dessous.
Soit G = (V, E) un graphe fini et simple. Si G n’a pas d’arêtes, il sera appelé graphe
nul. Dans le cas contraire, il sera dit non-nul. Comme d’ habitude, on va noter N (v)
l’ensemble des sommets adjacents à v ∈ V et M (v) l’ensemble des sommets non-adjacents
à v (et distincts de v). Pour un P4 ayant les sommets a, b, c, d et les arêtes ab, bc, cd, l’arête
bc sera dite arête centrale du P4 .
Conjecture 5.2. (Sritharan) Un graphe G ne contient pas de trous si, et seulement
si, tout sous-graphe non-nul de G possède une arête qui n’est pas l’arête centrale d’un P4 .
La partie ”si” est triviale, on va donc démontrer seulement la partie ”seulement si”.
Pour cela, appelons libre une arête de G qui n’est pas l’arête centrale d’un P4 dans G.
Théorème 5.3. (Chvátal, Rusu [20]) Si G est un graphe non-nul sans trous, alors
G contient une arête libre.
Preuve. On considère les affirmations suivantes:
An : Soit G un graphe non-nul ayant au plus n sommets, ne contenant
pas de trous. Alors G contient une arête libre.
Bn : Soit G un graphe ayant au plus n sommets, ne contenant pas de
trous, mais possédant un sommet v ∈ V tel que M (v) induise au
moins une arête. Alors G contient une arête libre ayant ses deux
extrémités dans M (v).
Par récurrence sur n on va prouver que Bn ⇒ An et que An &Bn ⇒ Bn+1 .
Bn ⇒ An : On considère un graphe G ayant au plus n sommets, contenant au moins
une arête, mais aucun trou. Si G a un sommet v tel que M (v) induise au moins une
arête, alors par Bn il existe dans G une arête libre ; autrement G est un graphe multiparti
complet et toutes ses arêtes sont libres.
88
A propos des P4
An &Bn ⇒ Bn+1 : Maintenant, soit G un graphe ayant au plus n + 1 sommets, ne
contenant pas de trous, et soit v un sommet de G tel que M (v) induise au moins une
arête. Grace à l’affirmation An , dans le sous-graphe de G induit par M (v) on trouve une
arête libre, disons bc. On peut sans doute supposer que bc est l’arête centrale d’un P4 dans
G, sinon on a déjà trouvé l’arête libre de G. Alors on note abcd ce P4 et on remarque le
fait qu’au moins un des sommets a et d (disons d) est extérieur à N (v) (sinon vabcd serait
un trou).
Soit Q un sous-ensemble minimal de N (c) ∪ N (d) tel que cd soit dans une composante
connexe de G−Q et v dans une autre. On note S la composante de G−Q qui contient v, et
H le graphe obtenu à partir de G en identifiant tous les sommets de S en un seul sommet
w. Evidemment, H ne contient pas de trous et, puisque S a au moins deux sommets (v
et a), H a au plus n sommets. La minimalité de Q garantit que tout sommet de Q a
au moins un voisin dans S, par conséquent Q = NH (w). L’arête libre que l’on cherche
s’obtient par Bn avec H à la place de G et w à la place de v.
L’affirmation Bn+1 étant vraie, le théorème est prouvé.2
Evidemment, une fois qu’on a établi ce théorème il est naturel de se demander ce qu’on
pourrait obtenir de plus dans le cas des graphes faiblement triangulés, pour lesquels ni le
graphe lui-même, ni le complémentaire ne contient de trous. La réponse est donnée par
Hayward [47] : une caractérisation de ces graphes qui garantit, une fois de plus, le lien
structurel entre les graphes triangulés et les graphes faiblement triangulés.
Il est bien connu (voir Dirac [26]) qu’un graphe est triangulé si, et seulement si, tout
sous-graphe contient un sommet dont le voisinage est une clique. Autrement formulée,
cette propriété est retrouvée dans le théorème ci-dessous :
Théorème 5.4. Un graphe est triangulé si, et seulement si, il peut être engendré de
la manière suivante :
• Commencer avec un graphe G0 sans sommets.
• Pour tout i ≥ 1 :
- ajouter au graphe Gi−1 le sommet xi tel que xi ne soit pas le
sommet central d’un P3 dans Gi−1 + xi ;
- appeler Gi le nouveau graphe.
A partir du théorème 5.3, il est facile de voir que tout sous-graphe d’un graphe faiblement triangulé contient une arête libre. En fait, on peut éliminer une à une les arêtes libres
convenablement choisies afin d’obtenir un graphe nul. Inversement, on peut construire un
graphe faiblement triangulé à partir d’un graphe nul en ajoutant des arêtes libres.
A propos des P4
89
Théorème 5.5. (Hayward) Un graphe est faiblement triangulé si, et seulement si,
il peut être engendré de la manière suivante :
• Commencer avec un graphe nul G0 .
• Pour tout i ≥ 1 :
- ajouter au graphe Gi−1 une arête ei telle que ei ne soit pas l’arête
centrale d’un P4 dans Gi−1 + ei ;
- appeler Gi le nouveau graphe.
En plus de ces remarques, ajoutons la généralisation du théorème 5.3 obtenue par
Eschen, Sritharan [30] en utilisant la même idée de preuve. Pour cela, appelons séparables
deux arêtes ab et cd telles qu’aucune arête ne relie a, b de c, d. Un graphe est dit inséparable
s’ il ne contient pas d’arêtes séparables et séparable dans le cas contraire. Une arête xy est
k-simpliciale si dans Ḡ les sommets x et y ne sont pas les extrémités d’un Pi , 4 ≤ i ≤ k.
De plus, un i-anti-trou est le complémentaire d’un trou de longueur i. Avec la notation h
pour la taille de la plus grande composante connexe du sous-graphe H, on a le théorème
suivant :
Théorème 5.6. (Eschen, Sritharan) Le graphe G ne contient ni de trous, ni de
i-anti-trous, avec 5 ≤ i ≤ k + 1, si, et seulement si, pour tout sous-graphe non-nul H de
G on a :
• soit H est inséparable et contient au moins h/2 arêtes k-simpliciales ;
• soit H a deux arêtes séparables k-simpliciales.
5.3. Sur les graphes de Hoàng
Toujours en nous intéressant aux chaı̂nes à quatre sommets, considérons maintenant
les graphes de Hoàng.
Un graphe de Hoàng est un graphe G = (V, E) dont les arêtes peuvent être coloriées en
deux couleurs R (rouge) et V (vert) de façon que tout P4 abcd ait les ailes ab et cd coloriées
différemment. Ni les trous, ni les anti-trous ne sont des graphes de Hoàng. Le problème de
démontrer que les graphes de Hoàng sont parfaits, quoique naturelle au moment où l’on a
épuisé (Chvátal, Lenhart, Sbihi [19]) les conditions sur les P4 ayant les sommets coloriés
en deux couleurs, est en fait un cas particulier d’ un autre problème dont l’exposition
90
A propos des P4
nécessite quelques définitions supplémentaires.
Soit G = (V, E) un graphe arbitraire et W (G) le graphe obtenu à partir de G en
considérant l’ensemble de sommets
V = {uv ∈ E | uv est l’aile d’ un P4 dans G}
et l’ensemble d’arêtes
E = {(uv)(u′ v ′ ) | uv, u′ v ′ sont les ailes d’ un même P4 dans G}.
Le graphe G est dit W-parfait (wing-perfect, angl.) si W (G) ne contient pas de trous
impairs. Evidemment, les graphes de Hoàng sont précisément les graphes pour lesquels
W (G) est biparti. Une preuve de la perfection des graphes de Hoàng n’établirait, donc,
qu’un cas particulier du problème similaire concernant les graphes W-parfaits, mais elle
pourrait offrir des moyens efficaces de l’approcher.
Outre l’étude des relations possibles entre la W-perfection et la perfection, Hoàng [56]
donne deux résultats partiels concernant les graphes qui portent son nom :
Théorème 5.7. (Hoàng, [56]) Si les arêtes d’un graphe peuvent être coloriées en R
et V de façon que :
i) les ailes de tout P4 soient coloriées différemment ;
ii) toute arête qui est le milieu d’un P4 soit coloriée V,
alors le graphe est parfait.
Théorème 5.8. (Hoàng, [56]) Si un graphe admet une coloration des arêtes en R
et V de façon que dans tout P4 et tout C4 les arêtes non-adjacentes aient des couleurs
différentes, alors il est parfait.
Afin de mieux saisir la sévérité de ses contraintes, remarquons que pour le théorème
5.7 la condition ii), ajoutée à la première, interdit l’existence dans G comme sous-graphes
induits des graphes représentés dans la Fig. 5.1.
Fig. 5.1.
A propos des P4
91
De façon analogue, les hypothèses du théorème 5.8 interdisent l’existence comme sousgraphes induits dans le graphe G des quatre graphes présentés dans la Fig. 5.2.
Fig. 5.2.
Le résultat que l’on va donner dans cette section vient prolonger la liste de ces sousclasses de graphes parfaits. La condition supplémentaire que l’on impose cette fois-ci ne
se réfère pas à la coloration (comme pour les sous-classes considérées par Hoàng) mais aux
sous-graphes induits.
5.3.1. Graphes de Hoàng réductibles.
Un graphe de Hoàng G = (V, E) est dit réductible s’ il ne contient pas comme sousgraphes induits les graphes F1 , F2 , F3 , F4 de la Fig. 5.3.
F
1
F
F
2
3
F
4
Fig. 5.3.
Pour établir la perfection des graphes de Hoàng réductibles, on va démontrer d’abord
les deux théorèmes suivants :
Théorème 5.9. Pour tout graphe de Hoàng réductible G = (V, E), au moins une des
deux affirmations suivantes est valable :
i) G est cassable
ii) G est gemme-libre,
92
A propos des P4
où l’on appelle gemme le graphe décrit dans la Fig. 5.4.
Fig. 5.4.
Théorème 5.10. Si G est un graphe de Hoàng gemme-libre, alors G est parfait.
Des deux théorèmes précédents on déduit
Théorème 5.11. Tout graphe de Hoàng réductible est parfait.
Avant de donner les preuves de ces résultats, introduisons quelques notations spécifiques. Pour un sommet arbitraire v et une couleur B ∈ {R, V}, un sommet q ∈ N (v)
est dit sommet colorié B (y compris : par rapport à v) et est noté q(B) si vq est B. Un
ensemble Q ⊆ N (v) est appelé monocolorié si tous ses sommets ont la même couleur par
rapport à v. Il est appelé bicolorié s’ il contient des sommets de couleurs différentes par
rapport à v.
On va noter par (C) l’affirmation suivante, qui apparaı̂tra dans plusieurs lemmes (Q
et P sont des ensembles de sommets situés respectivement dans le voisinage N (v) de v et
dans le non-voisinage M (v) de v) :
(C) 1) soit il existe un sommet q ∈ Q adjacent à aucun sommet de P ;
2) soit il existe un sommet p ∈ P adjacent à tous les sommets de Q.
Avec ces nouvelles notations, on peut esquisser maintenant les preuves des théorèmes
présentés auparavant. Les démonstrations complètes de tous les lemmes non-justifiés ici
seront développées dans la section suivante.
Preuve du théorème 5.9. On essaie de démontrer que pour tout graphe G qui est
Hoàng réductible, on a une des affirmations suivantes :
A propos des P4
93
i) soit pour tout v ∈ V , toutes les composantes connexes de N (v) sont monocoloriées ;
ii) soit il existe au moins une composante connexe bicoloriée (disons pour le sommet
v) et alors G est cassable.
Pour cela on va supposer que i) n’est pas vraie et on va déduire ii). Après quoi on
verra que i) implique assez facilement le fait que G est gemme-libre et, puisque ii) assure
que G est cassable, on en déduira le théorème 5.9.
La preuve est basée sur une idée de Hayward [48] et consiste à démontrer d’abord que
pour toute composante connexe bicoloriée Ni de N (v), la conclusion (C) est valide avec
Q = Ni et P = M (v) (on suppose que M (v) est non-vide et connexe, sinon on aurait déjà
une étoile déconnectante dans G ou Ḡ). C’est ce qu’on va faire au fur et à mesure dans
les lemmes 5.12–5.14. Après, on va essayer d’étendre ce résultat au cas Q = N (v) et d’en
déduire que G est cassable, s’ il a au moins une composante connexe bicoloriée (lemme
5.15). La conclusion que G est gemme-libre s’ il n’est pas cassable sera une conséquence
du lemme 5.16.
Le plan de la preuve est le suivant (G est un graphe de Hoàng réductible) :
Lemme 5.12. Pour tout v ∈ V , si
Q = q1 q2 . . . qt est une chaı̂ne induite sans cordes dans N (v)
P = p1 p2 . . . pk est une chaı̂ne induite sans cordes dans M (v)
telles que q1 (R) et qt (V), alors on a (C).
Q est un ensemble connexe bicolorié dans N (v)
P = p1 p2 . . . pk est une chaı̂ne induite sans cordes dans M (v),
alors on a (C).
Q est un ensemble connexe bicolorié dans N (v)
P est un ensemble connexe dans M (v),
alors on a (C).
Lemme 5.15. Si dans G il existe un sommet v tel que N (v) a au moins une composante connexe bicoloriée alors G est cassable.
94
A propos des P4
Lemme 5.16. Si G est un graphe de Hoàng tel que, pour tout v ∈ V , N (v) a les
composantes connexes monocoloriées, alors G est gemme-libre.
Des lemmes 5.15 et 5.16 on déduit facilement le théorème 5.9.
Preuve du théorème 5.10. On va en fait réécrire la preuve d’un thèorème de
Lubiw [71], pour démontrer qu’ il est valide pour une classe plus large que celle considérée
par Lubiw et contenant les graphes de Hoàng gemme-libres. Rappelons d’abord une
définition.
Définition 5.17. Un graphe G = (V, E) est dit Raspail si tout cycle impair contient
au moins une corde courte.
Théorème 5.18. (Lubiw, [71]) Un graphe Raspail minimal imparfait ne contient
pas de sommet v tel que N (v) soit P4 -libre.
Considérons la classe des graphes quasi-Raspail, définis comme suit :
Définition 5.19. Un graphe est dit quasi-Raspail si pour tout sommet v et toute
chaı̂ne impaire sans cordes P de G − v reliant deux sommets x, y ∈ N (v), le cycle induit
par {v} ∪ V (P ) a au moins une corde courte.
Remarque 5.20. La classe des graphes Raspail est incluse dans la classe des graphes
quasi-Raspail et l’ inclusion est stricte, comme le prouve l’exemple ci-dessous, qui est, en
fait, C̄7 . Par conséquent, les graphes quasi-Raspail ne sont pas forcément des graphes de
Berge, bien que les graphes Raspail le soient.
Fig. 5.5.
A propos des P4
95
On va démontrer les deux propositions suivantes :
Lemme 5.21. Tout graphe de Hoàng est quasi-Raspail.
Lemme 5.22. Un graphe quasi-Raspail minimal imparfait ne contient pas de sommet
v tel que N (v) soit P4 -libre.
Des lemmes 5.21 et 5.22 on déduit le théorème 5.10 qui, avec le théorème 5.9, implique
le théorème 5.11 : tout graphe de Hoàng réductible est parfait.
5.3.2. Les preuves
Pour les preuves des lemmes 5.12-5.15 on suppose que la condition (C1) n’est pas
satisfaite, c.à.d. tout sommet q ∈ Q a un voisin dans P . On va démontrer qu’ il existe un
sommet p ∈ P adjacent à tous les sommets de Q.
Preuve du lemme 5.12. Soient v ∈ V et Q, P deux chaı̂nes induites dans N (v), respectivement dans M (v) telles que les extrémités q1 et qt de Q aient des couleurs différentes
R, respectivement V. On applique la récurrence par rapport à la cardinalité |Q| de Q, que
l’on définit comme étant le nombre de sommets de la chaı̂ne.
Si |Q| = 2, alors t = 2 et q1 qt ∈ E. Chacun des q1 et qt a au moins un voisin sur P .
Notons a et b un voisin de q1 , respectivement de qt tels que la sous-chaı̂ne Pab entre a et
b ne contienne plus de voisins de q1 ou de qt .
Si a = b alors on a démontré (C2). Autrement on considère a1 , b1 les voisins de a,
respectivement de b sur Pab . Alors vq1 aa1 donne que aa1 est V et, de même, vqt bb1 donne
que bb1 est R, par conséquent b1 6= a. Grâce au P4 induit par a1 , a, q1 , qt on obtient que
q1 qt est R, donc b1 bqt q1 est mal colorié, une contradiction.
On en déduit que pour le cas |Q| = 2 le lemme est valide.
Prouvons-le maintenant pour une chaı̂ne Q telle que |Q| ≥ 3, en supposant qu’ il est
déjà vrai pour tout Q′ avec |Q′ | < |Q| et les extrémités différemment coloriées. De nouveau
on va utiliser la récurrence, cette fois-ci par rapport à |P |, mais on va traiter les deux cas
|P | = 2 et |P | ≥ 3 ensemble, car la preuve est similaire. On se place, donc, dans une des
deux situations :
96
A propos des P4
A) |P | = 2 et le lemme est valide, par récurrence, pour toute paire (Q′ , P ′ ) de chaı̂nes
sans cordes avec |Q′ | < |Q|, Q′ ayant les extrémités R et V ;
B) |P | ≥ 3 et le lemme est valide, par récurrence, pour toute paire (Q′ , P ′ ) de chaı̂nes
sans cordes telles que Q′ ait les extrémités R et V, et de plus : soit |Q′ | < |Q| et tout P ′ ;
soit |Q′ | = |Q| et |P ′ | < |P |.
Etant donné que les extrémités de Q sont R, V et |Q| ≥ 3, il est facile de voir que dans
Q il existe une sous-chaı̂ne Q′ telle que |Q′ | < |Q| et ses extrémités sont R, V. Une telle
chaı̂ne peut être utilisée pour appliquer la récurrence dans les deux situations A) et B).
Allant de q1 vers qt , soit ql 6= q1 le premier sommet R rencontré. S’ il n’y a pas de
tel sommet, alors q2 , . . . , qt sont tous des sommets V. En changeant les couleurs R et V
(toute arête R devient V et réciproquement), ainsi que la numérotation de Q (q1 q2 . . . qt
′
. . . q1′ ), alors pour la nouvelle chaı̂ne et par la règle indiquée on a l = 2, car
devient qt′ qt−1
q1′ et q2′ sont R tous les deux. Le raisonnement suivant est valable dans ce cas aussi. Cette
opération de renversement du problème sera utilisée plusieurs fois dans la preuve.
De même façon, allant de qt vers q1 , soit qs 6= qt le premier sommet V rencontré, s’ il
y en a. S’ il n’existe pas un tel sommet, on va supposer par convention que s = 1, afin de
ne faire qu’un seul raisonnement pour les deux cas. Mais on se rappelle que q1 est en fait
un sommet R.
L’ hypothèse de récurrence pour ql . . . qt et P (respectivement pour q1 . . . qs et P ) implique l’existence d’un sommet ph (respectivement pi ) dans P adjacent à ql , . . . , qt (respectivement à q1 , . . . , qs ). Alors tout sommet de Q a au moins un voisin sur la sous-chaı̂ne
Ppi ph (car Qq1 qs et Qql qt couvrent toute la chaı̂ne Q), donc l’ hypothèse de récurrence pour
Ppi ph et Q donne (C2), sauf si pi , ph sont les extrémités de P . Dans ce dernier cas, on
peut supposer sans perte de généralité que pi = p1 et ph = pk .
Deux cas peuvent apparaı̂tre à ce point de la preuve : q1 pk ∈ E et, respectivement,
q1 pk 6∈ E, mais seul le deuxième est essentiel. Dès que celui-ci a été établi, le premier peut
être très facilement resolu, comme suit.
Puisque q1 pk ∈ E, on a soit que pk est adjacent à tout Q (et on a (C2)) soit que l > 2
et il existe qu (1 < u < l) non-adjacent à pk . Par conséquent, il existe s ≥ 2 et p1 est
adjacent à q1 , . . . , qs . On peut supposer que p1 qt ∈ E, sinon en renversant le problème
on arrive dans le cas essentiel, que l’on suppose déjà établi. Alors p1 n’est pas adjacent à
Qq1 qt−1 (autrement p1 est adjacent à Q et on a fini), donc qt−1 est forcément un sommet
R. L’ hypothèse de récurrence pour q2 . . . qt−1 et P donne l’existence d’un sommet pr ∈ P
adjacent à q2 , . . . , qt−1 , sommet qui ne peut pas être pk (car pk qu 6∈ E), ni intérieur à la
chaı̂ne P (sinon l’ hypothèse de récurrence pour Q et Pp1 pr donne (C2)), donc pr = p1 .
A propos des P4
97
Alors p1 est adjacent à Q et ce cas est fini.
On suppose donc pour le reste de la preuve que pk q1 6∈ E. De plus, on peut considérer
que p1 qt 6∈ E, car dans le cas contraire la conclusion (C2) est valide. Avant de démontrer ce
résultat, remarquons que le sommet pk est adjacent à q2 , . . . , qt . En effet, q1 vqt pk implique
que qt pk est V, tandis que pour tout u ∈ {2, . . . , l − 1} le graphe induit par qu vqt pk donne
qu pk ∈ E.
Fait 1. Si p1 qt ∈ E, alors on a (C2).
Preuve. Supposons qu’ il existe un sommet qw non-adjacent à p1 . Alors w ∈ {s + 1,
. . . , t − 1}, donc qw est R. S’ il existe un tel w supérieur à 2, alors qw vq1 p1 implique le fait
que q1 p1 est V, tandis que q1 p1 qt pk donne p1 pk ∈ E. Dans ce cas, v, q1 , p1 , pk , qw induisent
un C5 , qui n’est pas un graphe de Hoàng. Par conséquent, le seul sommet non-adjacent à
p1 est q2 . On a alors qs = q1 (c.à.d. le seul sommet V de Q est qt ) et ql = q2 .
Deux cas peuvent apparaı̂tre, selon la longueur de P . Si k > 2, alors pk qt p1 q1 donne
que p1 q1 est R et p1 q1 ql pk donne que ql pk est V. De plus, si t 6= l + 1, ql vqt p1 implique que
qt p1 est V, donc ql pk qt p1 est mal colorié, une contradiction. Alors t = l + 1 = 3. Puisque
ql n’a pas de voisins sur Pp1 pk−1 (autrement l’ hypothèse de récurrence pour cette chaı̂ne
et Q donne (C2)), on en déduit, grâce à vql pk pk−1 , que pk pk−1 est V et de vqt pk pk−1 que
qt pk−1 ∈ E. Le graphe induit par v, q1 , ql , qt , pk−1 , pk est alors F1 .
Si k = 2, on obtient soit l’existence d’un F4 (induit par v, q1 , ql , qt , p1 , pk ), si t = l + 1,
soit l’existence d’un F3 (induit par v, ql , ql+1 , ql+2 , pk , p1 ) dans le cas contraire.
Dans toutes les situations on contredit le fait que G est un graphe de Hoàng réductible.2
Avec ces réductions, on peut éliminer aussi le cas k = 2, car alors v, q1 , p1 , pk , qt
induisent un C5 .
Il nous reste, donc, à déduire (C2) dans la situation suivante : |P | ≥ 3, |Q| ≥ 3,
pk q1 6∈ E, p1 qt 6∈ E, pk est adjacent à q2 , . . . , qt ; p1 est adjacent à q1 , . . . , qs . A cette fin,
on remarque d’abord que q1 n’a pas de voisins sur Pp2 pk (sinon on applique l’ hypothèse
de récurrence). Ensuite, pour tout j < t − 1, si qj p1 ∈ E alors il est R (à cause de qt vqj p1 )
et pour tout j > 2 on a que qj pk est V (à cause de q1 vqj pk ). De plus, vq1 p1 p2 et q1 p1 p2 p3
donnent que p1 p2 , p2 p3 sont V. Evidemment, dans ce cas-là, qt p2 , qt p3 6∈ E (autrement on
arrive à qt p1 ∈ E), donc k ≥ 4.
Prouvons que t ne peut avoir que les valeurs 3 et 4. Pour cela, on observe que pour
98
A propos des P4
tout j avec max(2, s) < j < t, le sous-graphe induit par qj , v, q1 , p1 donne que qj p1 ∈ E.
Ensuite, supposons que t 6= 3, 4. Alors q1 vq3 pk donne que q3 pk est V, donc de pk q3 p1 p2
on déduit que q3 p2 ∈ E et est V, grace à q1 vq3 p2 ; p2 q3 vqt est alors mal colorié, une
contradiction.
On analyse les deux cas t = 3 et t = 4.
i) t = 3 ; on a encore deux possibilités, selon l’existence ou non-existence d’une arête
qt pj , avec j < k.
S’ il existe une telle arête, alors q2 n’a pas de voisins sur Pp1 pk−1 . De vq2 pk pk−1 on
déduit que pk pk−1 est V et, par conséquent, qt pk−1 ∈ E (à cause de vqt pk pk−1 ). Le
sous-graphe induit par v, q1 , q2 , qt , pk−1 , pk est F1 , une contradiction.
S’ il n’existe pas une telle arête, alors le P4 vqt pk pk−1 donne que pk pk−1 est R et de
vq2 pk pk−1 on a que q2 pk−1 ∈ E. De la même manière, on obtient l’existence de l’arête
q2 pk−2 . Soit maintenant pr le voisin de q2 sur P le plus proche de p1 . Alors r 6= 1 (sinon
v, q1 , q2 , qt , p1 , pk induisent un F2 ) et pr−1 pr est V (autrement, vq2 pr pr−1 implique que
q2 pr−1 ∈ E). La chaı̂ne pr−1 pr q2 pk exige que q2 pk soit R (car r ≤ k − 2) et alors p1 q1 q2 pk
est mal colorié, une contradiction.
ii) t = 4 ; dans le cas où q2 ou q3 est V, tous les deux sont adjacents à p1 (sinon on a
un F2 donné par v, q1 , q2 , q3 , p1 , pk ), donc le graphe induit par p1 , q1 , q2 , q3 , qt , pk est F1 . Si
les deux sommets q2 , q3 sont R, alors on a qt pk−1 ∈ E. Autrement, pk pk−1 serait coloriée
R et le sous-graphe induit par vq2 pk pk−1 impliquerait d’abord que q2 pk−1 ∈ E, tandis
que qt vq2 pk−1 donnerait ensuite que q2 pk−1 est R. La chaı̂ne pk−1 q2 q1 p1 serait alors mal
coloriée, une contradiction.
Puisque q3 p1 ∈ E (à cause de q3 vq1 p1 ) et le sommet q2 n’a pas de voisins sur Pp1 pk−1
(sinon, l’ hypothèse de récurrence pour Q et p1 . . . pk−1 prouverait (C2)), pk pk−1 est V (à
cause de vq2 pk pk−1 ). On a alors les déductions suivantes : p2 p1 q3 pk implique q3 p2 ∈ E,
q1 vq3 p2 implique que q3 p2 est V et p2 q3 pk pk−1 donne q3 pk−1 ∈ E (p2 pk−1 6∈ E, autrement
p1 p2 pk−1 pk serait mal colorié). Le sous-graphe induit par v, q1 , q2 , q3 , pk−1 , pk est alors F1 .
Fin du lemme 5.12.2
Preuve du lemme 5.13. Maintenant, Q est un ensemble connexe bicolorié dans
N (v), tandis que P est toujours une chaı̂ne sans cordes dans M (v). On suppose que tout
sommet de Q a un voisin sur P et on démontre (C2), c.à.d. qu’ il existe un sommet de P
A propos des P4
99
adjacent à tout sommet de Q. Pour cela on fait encore une récurrence par rapport à la
cardinalité de Q.
Si |Q| = 2, alors Q est une arête ayant les extrémités différemment coloriées et, par le
lemme 5.12, on déduit (C2).
Soit maintenant Q de cardinalité |Q| ≥ 3. On va prouver d’abord pour |P | = 2. Ensuite
on va faire une récurrence par rapport à la cardinalité de P . Pour cela, remarquons que
dans un connexe bicolorié Q on peut toujours trouver un sommet q1 tel que Q − q1 soit
connexe bicolorié. En effet, dans Q il existe au moins deux sommets q1 et qt tels que
Q − q1 , Q − qt soit connexes (en fait, pour toute chaı̂ne maximale, ses extrémités ont cette
propriété).
Si q1 , qt ont la même couleur R, alors dans Q − q1 − qt il existe au moins un sommet
V, donc Q − q1 est un connexe bicolorié.
Si q1 , qt ont des couleurs différentes, R et V, alors au moins une des deux couleurs
(disons R) est présente encore une fois dans Q − q1 − qt . Le graphe induit par Q − q1 est
un connexe bicolorié.
Soit q1 (R) un sommet de Q tel que Q − q1 est connexe bicolorié. Par récurrence pour
Q − q1 et P il existe un sommet ph adjacent à tous les sommets de Q − q1 . De plus, q1
a un voisin pi dans P . On peut supposer que pi , ph sont les plus proches possibles avec
les propriétés ci-dessus et que i = 1, h = k (sinon on a (C2), par récurrence). On veut
démontrer que p1 est adjacent à Q.
On considère qr un sommet arbitraire de Q − q1 . Si qr est V et Q′ est une chaı̂ne
sans cordes de q1 à qr dans Q, alors le lemme 5.12 donne l’existence d’un sommet pj ∈ P
adjacent à Q′ . Comme pk q1 6∈ E, on déduit que pj = p1 (sinon on a l’existence d’un
sommet pj , j 6= 1 adjacent à q1 , une contradiction).
Supposons maintenant qu’ il existe au moins un sommet qr colorié R qui n’est pas
adjacent à p1 ; alors on peut faire quelques observations générales concernant les chaı̂nes
maximales sans cordes. Mais d’abord une remarque.
Remarque 5.23. Si un sommet u de Q a la propriété que q1 , qr et un sommet V
sont dans la même composante connexe Q′′ de Q − u, alors p1 est adjacent à qr . En effet,
l’ hypothèse de récurrence pour Q′′ et P donne l’existence d’un sommet pr ∈ P adjacent
à Q′′ . Ce sommet est forcement identique à p1 .
Concernant les chaı̂nes maximales sans cordes de Q, on peut dire que :
i) toute telle chaı̂ne a au moins une extrémité qui est q1 ou qr ; autrement pour au
moins une des extrémités on peut appliquer la remarque 5.23 ;
100
A propos des P4
ii) si une extrémité de la chaı̂ne est différente de q1 et qr , alors elle est V et, de plus,
c’est l’unique sommet V de Q ; si ce n’est pas le cas, alors pour ce sommet on peut
appliquer la remarque 5.23 ;
iii) toute chaı̂ne C qui passe par q1 et qr est maximale ayant les extrémités q1 et qr ;
sinon, une extrémité est l’unique sommet V de Q, donc pour la chaı̂ne C (qui est bicoloriée)
et pour P on peut appliquer le lemme 5.12 afin de déduire que p1 est adjacent à qr .
Pour démontrer qu’en fait la supposition ”il existe qr non-adjacent à p1 ” est fausse, on
va se placer dans le cadre d’une récurrence sur |P |.
Soit d’abord |P | = 2. De vq1 p1 pk qr on obtient que q1 qr ∈ E (sinon on a un C5 induit).
Considérons maintenant dans Q une chaı̂ne maximale C sans cordes reliant q1 et
l’unique sommet V de Q, noté qt . Alors le lemme 5.12 pour q1 . . . qt et P donne que
p1 est adjacent à q1 . . . qt . De plus, qr n’est pas sur cette chaı̂ne, ni ne la prolonge (sinon
par le lemme 5.12 pour la chaı̂ne et P on aurait (C2)), donc il existe une arête qr qw , avec
qw situé sur la chaı̂ne. A cause de la remarque 5.23, qw doit être adjacent à q1 , cas dans
lequel v, q1 , qr , qw , p1 , pk induisent le graphe F3 , une contradiction.
Si |P | ≥ 3, on considère une chaı̂ne maximale sans cordes C qui relie q1 et qt (l’unique
sommet V de Q). On a deux possibilités :
Cas 1. Cette chaı̂ne contient qr .
Alors qt est situé entre q1 et qr , autrement le lemme 5.12 finit la preuve. On applique
la récurrence pour P et C − qr (qui est un connexe bicolorié de cardinalité inférieure à
|Q|) et on déduit que p1 est adjacent à C − qr . Donc les seules arêtes qui manquent ayant
une extrémité p1 ou pk sont pk q1 et p1 qr . La chaı̂ne qr vq1 p1 implique le fait que p1 q1 est
V, tandis que (avec la notation qj pour le sommet qui précède qr sur C) la chaı̂ne q1 vqj pk
implique que qj pk est aussi V (sauf si |C| = 3). Alors q1 p1 qj pk est mal colorié, ce qui
contredit le fait que le graphe est de Hoàng.
Dans le cas où |C| = 3, le sous-graphe induit par v, q1 , q2 , qr , p1 , pk est F2 .
Cas 2. La chaı̂ne ne passe pas par qr .
Par le lemme 5.12 pour les chaı̂nes C et P on obtient que p1 est adjacent à tout C. De
plus, on a toujours que pk est adjacent à Q − q1 , donc il est adjacent aussi à tout sommet
(sauf q1 ) d’une chaı̂ne sans cordes C ′ reliant q1 et qr . On choisit cette chaı̂ne de façon que
tous les sommets sauf qr soient adjacents à p1 (éventuellement on prend un autre qr ). Si
qr avait sur P un voisin pj différent de pk , alors l’ hypothèse de récurrence pour C ∪ C ′ et
A propos des P4
101
Pp1 pj prouverait que p1 qr ∈ E. Conclusion : ni q1 , ni qr n’ont de voisins sur p2 . . . pk−1 .
Soit qs ∈ C ′ − q1 − qr ; s’ il n’est pas adjacent à q1 alors q1 vqs pk donne que qs pk est V, et
(comme q1 p1 est V à cause de qr vq1 p1 ) on a que q1 p1 qs pk est mal colorié, une contradiction.
On en déduit que tout qs (s’ il y en a) est adjacent à q1 , c.à.d. C ′ a la longueur 1 ou 2.
i) Supposons que la longueur de C ′ est 2 et soit qs le sommet de C ′ différent de q1 , qr .
Alors q1 p1 est V (à cause de qr vq1 p1 ), qt pk est aussi V (à cause de q1 vqt pk , si q1 qt 6∈ E)
et q1 p1 qt pk est mal colorié sauf si q1 qt ∈ E. Dans ce dernier cas, remarquons que la
chaı̂ne qr qs q1 qt doit avoir des cordes (car elle est bicoloriée et par le lemme 5.12 on obtient
p1 qr ∈ E), mais elle n’admet pas la corde qr qt (pour le sommet qs on pourrait appliquer
la remarque 5.23) ; par conséquent, qs qt ∈ E, qr qt 6∈ E.
On a les déductions suivantes : pk pk−1 est V (à cause de vqr pk pk−1 ), qr pk est V (à
cause de q1 vqr pk ), pk−1 pk−2 est R (à cause de qr pk pk−1 pk−2 ), qt pk−1 ∈ E (à cause de
vqt pk pk−1 ). Alors k ≥ 5 (sinon p1 p2 p3 p4 serait mal colorié, car p1 p2 est V à cause de
vq1 p1 p2 ) .
Montrons que qs pk−1 ∈ E. En effet, si qs pk est V alors pk qs p1 p2 implique qs p2 ∈ E
et de même façon, en utilisant soit vqs , soit pk qs , on obtient que qs est adjacent à tous
les sommets de P . Si, par contre, qs pk est R, alors qs pk pk−1 pk−2 donne qs pk−1 ∈ E ou
qs pk−2 ∈ E. Dans ce dernier cas, vqs pk−2 pk−1 implique qs pk−1 ∈ E. Conclusion : dans les
deux cas, qs pk−1 ∈ E.
Alors le sous-graphe induit par v, qr , qs , qt , pk , pk−1 est F3 .
ii) La longueur de C ′ est 1, c.à.d. q1 qr ∈ E. Alors qr doit avoir un voisin sur la chaı̂ne
C et ce voisin ne peut être, selon la remarque 5.23, que le sommet qw ∈ C adjacent à q1 .
Remarquons d’abord que, dans ce cas aussi, q1 qt ∈ E. Sinon, la suite suivante de
déductions conduit à une contradiction : qt pk est V (à cause de q1 vqt pk ), ce qui implique
le fait que q1 p1 est R (grace à pk qt p1 q1 ) et puis que qr pk est V (à cause de p1 q1 qr pk ). Par
conséquent, qr pk qt p1 donne que p1 qt est R et donc p1 qt vqr est mal colorié, une contradiction.
On a alors q1 qt ∈ E ou, equivalent, t = w. Encore une fois, de vq1 p1 p2 on déduit
que p1 p2 est V, et de vqt p1 p2 on a que qt p2 ∈ E. Alors p1 , q1 , qt , p2 , v, p3 induisent
un F2 , si qt p3 ∈ E. Dans le cas contraire, la chaı̂ne vqt p2 p3 impose que p2 p3 soit R,
après quoi p3 p2 p1 q1 donne que p1 q1 est V. A cause du P4 p1 q1 qr pk on a que qr pk est R,
donc pk pk−1 et pk−1 pk−2 sont V toutes les deux (les chaı̂nes vqr pk pk−1 et qr pk pk−1 pk−2
l’imposent). Par conséquent, qt est adjacent à pk−1 et pk−2 , donc le sous-graphe induit
par pk , qr , qt , pk−1 , v, pk−2 est précisément F2 .
Fin du lemme 5.13.2
102
A propos des P4
Preuve du lemme 5.14. On considère maintenant Q un ensemble connexe bicolorié
dans N (v) et P un ensemble connexe dans M (v). Encore une fois, on fait une récurrence
par rapport à |Q|.
Si |Q| = 2, alors Q = q1 q2 et les deux sommets de Q ont chacun au moins un voisin
dans P . Puisque P est connexe, il existe une chaı̂ne sans cordes dans P reliant les deux
voisins. Le lemme 5.12 montre alors qu’ il existe dans P un sommet adjacent avec q1 et
q2 .
Si |Q| ≥ 3, on suppose par récurrence que le lemme est vrai pour tout connexe bicolorié
Q′ avec |Q′ | < |Q|. De plus, on fait une récurrence par rapport à |P |. Dans le cas |P | = 2,
c’est le lemme 5.13 qui garantit la réponse.
Pour le cas |P | ≥ 3, on choisit un sommet q1 ∈ Q tel que Q − q1 soit connexe bicolorié.
Pour Q − q1 et P on applique l’ hypothèse de récurrence et on déduit qu’ il existe un
sommet pk ∈ P adjacent à Q − q1 . De plus, il existe p1 ∈ P adjacent à q1 . Puisque P est
connexe, on peut trouver une chaı̂ne reliant p1 et pk , pour laquelle on peut appliquer le
lemme 5.13 (car tout sommet de Q a au moins un voisin sur cette chaı̂ne) afin d’obtenir
la conclusion.
Fin du lemme 5.14.2
Preuve du lemme 5.15. Soit v tel que N (v) ait une composante connexe bicoloriée.
On va démontrer que G est cassable. Pour cela, on va supposer le contraire et on va
déduire une contradiction.
Si N (v) est connexe alors par le lemme 5.14 on a (C), car le non-voisinage M (v) de v
peut être supposé connexe (sinon on déjà une étoile déconnectante). Par conséquent soit
il existe un sommet p ∈ M (v) adjacent à tous les sommets de N (v), ou bien il existe un
sommet q ∈ N (v) adjacent à aucun sommet de M (v).
Dans le cas où (C1) est accomplie, {v} ∪ N (v) \ {q} est une étoile déconnectante dans
G. Dans le cas où (C2) est accomplie, {p} ∪ N (v) est une étoile déconnectante dans G,
car M (v) 6= {p} (Ḡ serait non-connexe).
On peut donc supposer qu’ il existe au moins deux composantes connexes dans N (v).
Soit N1 la composante connexe bicoloriée et N2 une autre composante connexe. Dans N1
on peut trouver les sommets y(R) et z(V) qui soient adjacents. Considérons aussi x un
sommet de N2 .
Si {y} ∪ N (y) \ {z} n’est pas une étoile déconnectante, il existe une chaı̂ne reliant x et
z qui ne passe pas par cet ensemble. Soit x′ ∈ N2 le premier sommet de la chaı̂ne allant
de x vers z tel que son voisin w sur la chaı̂ne soit dans M (v). Alors yvx′ w impose que
A propos des P4
103
x′ w soit V , tandis que zvx′ w donne zw ∈ E. Alors de x′ wzy on déduit que zy est R.
De façon similaire, en considérant cette fois-ci l’ensemble {z} ∪ N (z) \ {y} qui ne peut
pas être une étoile déconnectante, on obtient que zy devrait être V. On est arrivé à une
contradiction.
Par conséquent, dans un graphe de Hoàng réductible incassable, pour tout v ∈ V , les
composantes connexes de N (v) sont monocoloriées.
Fin du lemme 5.15.2
Preuve du lemme 5.16. Supposons qu’ il existe un sommet v ∈ V tel que dans le
voisinage de v le P4 abcd est induit. Alors a, b, c, d sont dans la même composante connexe
de N (v), par conséquent toutes les arêtes va, vb, vc, vd ont la même couleur, disons R.
Parmi ab et cd, une des arêtes est coloriée en V, disons ab. Alors le voisinage du sommet
a contient une composante connexe bicolorié, plus précisément celle qui contient b et v,
une contradiction.2
Des lemmes 5.15 et 5.16 on déduit très facilement le théorème 5.9. Prouvons maintenant le théorème 5.10.
Preuve du lemme 5.21. Supposons que le lemme n’est pas vrai et soient G = (V, E)
un graphe de Hoàng, v un sommet de G et P une chaı̂ne impaire reliant les sommets
x, y ∈ N (v) qui contredisent le lemme. Le cycle induit par v et P étant impair, il existe
une paire (a, b) de sommets de P adjacents à v tels que ab ∈ E, a ∈ Pxb et aucune autre
paire similaire n’est contenue dans Pxa . De même, il existe une paire (a′ , b′ ) de sommets de
P adjacents à v tels que a′ b′ ∈ E, b′ ∈ Pa′ y et aucune autre paire similaire n’est contenue
dans Pb′ y (éventuellement, les deux paires peuvent s’ identifier).
Soient aussi c, d les voisins de x, respectivement de a sur Pxa , et c′ , d′ les voisins de y,
respectivement b′ sur Pyb′ . Puisque le cycle n’a pas de cordes courtes, a 6= c et b′ 6= c′ .
Deux cas sont possibles :
Cas 1. vx, vy ont la même couleur (disons R). De yvxc et yvad on obtient que cx, ad
sont V, tandis que de xvyc′ et xvb′ d′ on a que yc′ , b′ d′ sont V aussi. Si c 6= d et e est l’autre
voisin de c sur la chaı̂ne, alors vxce donne que ce est V. Donc, indépendamment du fait
que c = d ou non, la chaı̂ne commence par deux arêtes V et, de même façon, finit par deux
arêtes V. En ajoutant le fait que G est un graphe de Hoàng (donc dans toute chaı̂ne les
arêtes de la même couleur sont groupées par deux, sauf eventuellement aux extrémités),
on en déduit que la chaı̂ne est paire, une contradiction.
104
A propos des P4
Cas 2. vx est R, vy est V. Encore une fois, yvxc et yvad impliquent que xc et ad sont
R, tandis que xvyc′ et xvb′ d′ donnent que b′ d′ et yc′ sont V. Le graphe induit par d, a, v, x
implique c = d. Les premières deux arêtes de la chaı̂ne sont donc coloriées en R. De la
même manière on déduit que les deux dernières arêtes sont V, par conséquent la chaı̂ne
est paire, une contradiction.2
Preuve du lemme 5.22. Soit G un graphe quasi-Raspail minimal imparfait qui
contredit le lemme et tel que le paramètre
tG = max {|NG (u)| : u ∈ V et NG (u) est P4 -libre}
soit minimum.
Si tG = 1, alors tout sommet v ayant le voisinage P4 -libre a |N (v)|=1, donc G est
parfait (il existe une étoile déconnectante).
Si tG ≥ 2, alors tout G′ tel que tG′ < tG est parfait. Soit v tel que N (v) = NG (v)
ait la cardinalité tG et, de plus, N (v) soit P4 -libre. Alors on peut supposer que N (v)
est non-connexe (sinon, [N (v)]Ḡ serait non-connexe et le graphe Ḡ aurait une étoile
déconnectante).
Soit donc N (v) = N1 ∪ N2 de façon que N1 ∩ N2 = ∅ et il n’y ait aucune arête qui relie
un sommet de N1 et un sommet de N2 . On construit le graphe G′ ayant:
V (G′ ) = V (G) \ {v} ∪ {v1 , v2 };
E(G′ ) = E(G − v) ∪ {v1 u | u ∈ N1 } ∪ {v2 w | w ∈ N2 }.
Fait 2. v1 , v2 est une paire d’amis dans G′ .
Preuve. En effet, une chaı̂ne de longueur 3 imposerait l’existence d’une arête entre
N1 et N2 , ce qui contredit la supposition faite concernant N1 et N2 .
Si, par l’absurde, il existe une chaı̂ne impaire sans cordes de longueur au moins 5, soit
P = u0 . . . u2k+1 une telle chaı̂ne entre v1 = u0 et v2 = u2k+1 . Dans G, un cycle impair
donné par v et u1 . . . u2k correspond à cette chaı̂ne. Puisque G est un graphe quasi-Raspail,
il existe une corde courte vh ∈ E, donc h ∈ N1 ou h ∈ N2 , ce qui prouve que la chaı̂ne P
n’était pas sans cordes, une contradiction.2
Les sommets (v1 , v2 ) étant amis, on déduit du lemme 4.1, que
ω(G′ ) = ω(G)
χ(G′ ) = χ(G),
A propos des P4
105
car G′ s’obtient à partir de G en identifiant les deux sommets qui constituent une paire
d’amis.
Fait 3. G′ est un graphe quasi-Raspail.
Preuve. Soit w ∈ V (G′ ) et P une chaı̂ne sans cordes dans G′ , impaire, entre a, b de
N (w). Il faut prouver que le cycle induit par w et P a une corde courte. Trois cas peuvent
apparaı̂tre :
Cas 1. v1 , v2 6∈ V (P ) ∪ {w}. Alors le cycle existe aussi dans G, donc on peut trouver
une corde courte.
Cas 2. v1 ∈ V (P ) ∪ {w}, mais v2 6∈ V (P ) ∪ {w}.
Si v1 = w, alors le même cycle existe dans G avec v à la place de w, par conséquent il
existe une corde courte vu (supposons que ua ∈ E). Si cette corde reste dans G′ , alors on
n’a plus rien a démontrer. Sinon, on n’a pas v1 u ∈ E, mais v2 u ∈ E et alors ua est une
arête entre N1 et N2 , une contradiction.
Si v1 ∈ V (P ), alors le même cycle existe dans G avec v à la place de v1 , donc il existe
une corde courte wu dans G′ . Si cette corde est aussi une corde dans le cycle de G′ , on a
fini ; dans le cas contraire, on a u = v1 , w ∈ N2 et encore une fois on a une arête entre N1
et N2 , contradiction.
Cas 3. v1 , v2 ∈ V (P ) ∪ {w}.
Dans le cas où v1 ou v2 est égal à w (disons v1 ), considérons la sous-chaı̂ne impaire de
longueur supérieure à 5 reliant v1 et v2 sur le cycle (on peut supposer qu’elle est waPav2 ).
Soit q le sommet voisin de v2 sur cette sous-chaı̂ne. Puisque G est quasi-Raspail, alors
pour le cycle induit dans G par la sous-chaı̂ne Paq et le sommet v on a une corde courte
vu. Remarquons que u 6∈ N2 (autrement P aurait une corde dans G′ ). Alors u ∈ N1 et la
corde reste dans G′ sauf si u est le voisin de q, cas dans lequel il existe une arête entre N1
et N2 , une contradiction.
Dans le cas où v1 , v2 ∈ V (P ), considérons de nouveau la sous-chaı̂ne impaire P ′ reliant
v1 et v2 sur le cycle, et remarquons que w ∈ V (P ′ ) (sinon on obtient dans G′ un cycle
impair sans cordes). Pour le cycle impair induit dans G par w et le reste de la sous-chaı̂ne,
on a dans G une corde courte wu (disons que ua ∈ E) qui reste aussi une corde dans le
cycle de G′ si u 6= v, ou si u = v = v1 (par exemple) et w ∈ N1 . Si u = v = v1 , mais
w ∈ N2 , alors v2 wav1 est un P4 , donc il existe l’arête aw entre N1 et N2 .
Conclusion : G′ est un graphe quasi-Raspail.2
106
A propos des P4
On va montrer maintenant que G′ est un graphe parfait, ce qui prouvera, à cause des
relations d’égalité qui ont lieu entre les paramètres de G et G′ , que G peut être colorié en
ω(G) couleurs. Puisque G est minimal imparfait, on va aboutir à une contradiction.
Pour cela, considérons un autre paramètre
kG = |{v ∈ V | NG (v) est P4 -libre et |NG (v)| = tG }|
et supposons que G est minimal par rapport aussi à ce paramètre (sinon, on prend le
graphe qui a cette propriété et on fait pour lui la construction correspondante à G′ ).
Si kG = 1, alors pour tout sous-graphe H de G′ on a :
i) soit H ne contient ni v1 , ni v2 , auquel cas H est un sous-graphe de G, et est donc
parfait ;
ii) soit H contient v1 ou/et v2 et dans ce cas H n’est plus un sous-graphe de G, mais
il a la propriété que 1 ≤ tH < tG (car |NH (vi )| < |NH (v)|, i = 1, 2). Alors H est parfait.
Si k(G) > 1, alors pour tout sous-graphe H de G′ on a :
i) soit H ne contient ni v1 , ni v2 , auquel cas H est un sous-graphe de G, et est donc
parfait ;
ii) soit H contient v1 ou/et v2 et dans ce cas H n’est plus un sous-graphe de G, mais
il a la propriété que tH = tG et kH < k(G) (car |NH (vi )| < |NH (v)|, i = 1, 2). Encore une
fois, H est parfait.
Dans tous les deux cas, G′ est parfait, donc G est parfait, ce qui contredit l’ hypothèse.
Fin du lemme 5.22.2
Ces preuves rendent définitif le théorème 5.11, donc les graphes de Hoàng réductibles
sont parfaits.
Remarque 5.24. La classe des graphes de Hoàng réductibles est distincte de toutes
les classes de graphes parfaits trouvées jusqu’ici. Les contre-exemples pour les éventuelles
relations d’ inclusion étant faciles à trouver, on n’ insistera pas.
Conclusion
Les résultats obtenus depuis son introduction sur la classe des graphes parfaits, ainsi
que les résultats de cette thèse, montrent – comme on l’a déjà signalé dans l’avant-propos
– que presque tous les progrès que l’on fait sont petits par rapport au but que l’on se
propose ; et que, jusqu’ ici, les petits progrès, pris ensemble, ne nous permettent pas
de tirer des grandes conclusions. C’est la situation présente et c’est, probablement, une
situation transitoire.
Etant donné que des résultats assez importants ont été obtenus utilisant des méthodes
empruntées à d’autres domaines (de l’algèbre linéaire et, plus recemment, de la théorie
des jeux), il est tentant de s’orienter vers cette façon d’approcher les graphes parfaits.
Toutefois, l’auteur continue de croire que ce n’est pas le pouvoir absolu de la théorie des
graphes qui est déficient, mais notre capacité à l’utiliser pour arriver au but.
Cette thèse n’a certainement pas pour ambition de prouver, sans l’ombre d’un doute,
une telle affirmation. Elle élimine quelques questions et en pose d’autres. D’une part,
elle élargit les connaissances sur les graphes parfaits ; d’autre part, elle signale les limites
de ces connaissances. Ainsi, elle ajoute un nouveau petit progrès à ceux déjà obtenus au
cours des années.
107
Index
A
conjecture
aile 16, 89
Faible 8, 9
algorithme 17
Forte 9,10
glouton 20
composante connexe généralisée 38
glouton tempéré 22, 24
RQ-corde 40
anti-trou 6, 9
corde 6
courte 40
approche algébrique 10
approche graphes 11
couleur 47
disponible 43
RQ-arête 40
arête centrale d’un P4 87
couplage 64
arête libre 87
cycle 6
cycle induit 6
C
centre d’une chaı̂ne 56
chaı̂ne 6
induite 6
chaı̂nes parallèles 55
D
diamant 62
diamètre 6
distance 6
doublage 55
classe héréditaire 6, 22
clique 7
noire 51
E
rouge 51
AB-échange 23
verte 51
AB-échange généralisé 38
r-clique 7
ensemble
coloration 7, 19
bicolorié 92
gloutonne 20
déconnectant 11
jolie 71
monocolorié 92
localement parfaite 37
équivalence polynomiale 84
optimale 20
étoile déconnectante 11
109
110
Index
G
quasi-Raspail 94
Raspail 15, 94
représentatif des arêtes 62
de stricte quasi-parité 16
triangulé 8, 15, 88
trou-équivalent à un sous- 80
W-parfait 90
gemme 92
graphe
de base 64
de Berge 9
biparti 16
cassable 93
colorié en R, N, B 65
complémentaire 6
I
connexe 11
identification de sommets 61
diamant-libre 17
faiblement triangulé 15, 89
N
fortement parfait 16
nombre
de densité 7, 17
de stabilité 7, 17
chromatique 7, 17
de couverture par des cliques 7, 17
non-voisinage 12
F-libre 17
de Hoàng 16, 89
de Hoàng réductible 91
impair-connexe 62, 79
incassable 12
joliment coloriable 71
localement parfait 37
O
de Meyniel 15
obstruction 20
ordre parfait 20
ordre propre 25
minimal imparfait 10
multiparti complet 13
nul 87
χ-parfait 8
P
α-parfait 8
P4 robuste 52
paire d’amis 13, 61, 104
paire d’ennemis 13
partition antisymétrique 12
petit transversal 48
petit 2-transversal 50
poids d’une arête 55
poids d’un sommet 55
problème NP-complet 17, 21
pseudo-sommet 38
puits 24
parfait 8, 9
parfaitement ordonnable 16, 20
parfaitement ordonné 20
de parité 15, 39
de parité ordonnable 31
de parité ordonné 32
partitionnable 47
proprement ordonnable 25
proprement ordonné 25
de quasi-parité 16, 79
Index
S
W
A-sommet 23
WPGC 8
sommet
de base 81
doublé 55
maximum 31
nul 31
propre 81
réel 38
sommets
adjacents 5
anti-jumeaux 14
source 24
sous-graphe
induit 5
partiel 5
SPGC 9
stable 7
r-stable 7
(α, ω)-structure 47
P4 -structure 85
T
θ(G) 7
Théorème des graphes parfaits 9
trou 6, 9, 87
U
union complète 63
2-union 64
V
A-voisin 23
voisinage 12
Notations
Pk 6
Ck 6
α(G) 7
ω(G) 7
θ(G) 7
χ(G) 7
AB-cc(x) 23
AB-ccg(y) 38
mx 24
N*(K1 + K2 ) 34
111
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Université de Paris-Sud - Membres du Departement d`Informatique

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