Les fibres optiques

Les fibres optiques :
Supplément d’électromagnétisme appliqué
Par
Pierre-André Bélanger
Université Laval, Canada
Table des matières
Anatomie d’une fibre optique
1
Un matériau fort complexe.....................................................................................................3
La fabrication d’une fibre optique.........................................................................................5
Du multimode au monomode .................................................................................................7
Le défi des lignes transocéaniques .........................................................................................8
Combattre la non linéarité par la non linéarité.....................................................................8
1
Les communications optiques
10
1.1 Introduction ................................................................................................................10
1.2 Description du contenu...............................................................................................12
1.3 Utilisation de ce manuel..............................................................................................14
2
Rappel de la théorie de l’électromagnétisme
16
2.1 Équations de Maxwell.................................................................................................16
v
2.2 Équations d’onde (à second membre en ε )...............................................................19
2.3 Électromagnétisme. Propagation d’ondes planes électromagnétiques (TEM) .........20
2.4 Réflexion et réfraction à l’interface ...........................................................................22
v
2.4.1 Onde incidente polarisée dont le vecteur Ev est normal au plan d’incidence............24
2.4.2 Onde incidente polarisée dont le vecteur E est parallèle au plan d’incidence .........27
2.4.3 Coefficients de réflexion et de transmission de la puissance....................................29
2.5 Réflexion totale interne; champ évanescent...............................................................31
2.6 Déplacement de Goss-Hänchen ..................................................................................35
2.7 Dispersion....................................................................................................................38
2.7.1 Dispersion chromatique..........................................................................................39
2.7.2 Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif ............................................43
2.7.3 Propagation d’une impulsion gaussienne ................................................................46
2.7.4 Dispersion matériau et largeur de bande .................................................................50
2.7.5 Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif et non linéaire .....................52
3
Modes guidés d’une structure diélectrique plane 59
3.1 Diélectrique symétrique à trois couches :analyse globale..........................................59
3.1.1 Modèle mathématique (étape 1)..............................................................................60
3.1.2 Modes TE et TM (étape 2)......................................................................................62
3.1.3 Sélection de la forme appropriée de la solution (étape 3) ........................................63
3.1.4 Calcul du mode TE pair (étape 4) ...........................................................................64
3.1.5 Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure (étape 5)..................70
3.1.6 Relation de dispersion (étape 6)..............................................................................73
3.1.7 Modèle géométrico-ondulatoire..............................................................................81
3.1.8 Effet Goss-Hänchen et le modèle géométrico-ondulatoire.......................................85
4
Modes guidés d’une structure diélectrique plane 90
4.1 Équations de base et contraintes physiques...............................................................90
4.1.1 Modèle mathématique (étape 1)..............................................................................91
4.1.2 Condition physique de la symétrie de révolution (étape 2) ......................................92
4.1.3 Solution de l’équation radiale (étape 3) ..................................................................93
4.1.4 Conditions aux limites à l’interface coeur-gaine (étape 4).......................................94
4.1.5 Équation caractéristiqueet solutions modales (étape 5) ...........................................96
4.1.6 Solution numérique de l’équation caractéristique (étape 6) ................................... 100
4.2 Fibre monomode ....................................................................................................... 103
4.3 Modes polarisés linéairement (LP)........................................................................... 107
4.3.1 Nomenclature des modes LP ................................................................................ 112
5
La fibre à gradient d’indice 124
5.1 Modes polarisés linéairement (LPl,p)........................................................................ 125
5.2 Fibre à profil parabolique généralisée ..................................................................... 126
5.2.1 Solution mathématique du profil........................................................................... 127
5.2.2 Étude comparative de divers profils...................................................................... 129
5.3 Modes LP Laguerre-Gauss....................................................................................... 134
5.4 Modes LP et optique géométrique............................................................................ 137
5.5 Fibre à profil d’indice parabolique .......................................................................... 144
5.6 Le modèle de l’optique géométrique ........................................................................ 146
5.7 Fibre à profil optimisé .............................................................................................. 147
5.8 Largeur de bande et fibre optimale.......................................................................... 150
A.
Dérivation de l’équation de propagation d’une impulsion
155
A.1 Milieu dispersif linéaire ............................................................................................ 155
A.2 Milieu dispersif non linéaire..................................................................................... 156
B.
Guides plans couplé :Mode TE pair
157
B.1 Solution exacte pour les guides plans symétriques couplés ..................................... 157
B.2 Solution de faible couplage ....................................................................................... 161
C.
Fonctions mathématiques 163
C.1 Fonctions de Bessel :rappel ...................................................................................... 163
C.1.1 Fonctions de Bessel et fonctions de Hankel .......................................................... 163
C.2 Comportement asymptotique................................................................................... 167
C.3 Relations de récurrence ............................................................................................ 168
C.4 Fonctions de Bessel modifiées................................................................................... 168
D.
Approximation de l’optique géométrique 172
D.1 Équation de l’iconale ................................................................................................ 172
D.2 Le vecteur de Poynting en optique géométrique...................................................... 173
D.3 Équation des rayons lumineux ................................................................................. 174
D.4 Propagation dans un milieu d’indice n(r) ................................................................ 176
E.
Profil optimal181
E.1 Le profil SELFOC (sech(αr)) ................................................................................... 182
E.2 Profil optimal et rayons hélicoïdaux ........................................................................ 186
BIBLIOGRAPHIE 187
iii
Anatomie d’une fibre optique
Elle est lumineuse, résistante et de moins en moins coûteuse : Que peut-on demander de plus ? La fibre
optique, ce petit bijou technologique de la taille d’un cheveu, n’a pas fini de nous étonner et de révolutionner le
monde des télécommunications.
Lorsque vous naviguez sur Internet et que vous faites l’acquisition d’une image contenant quelques
centaines de mégabits (106 bits), vous constatez avec dépit que votre résidence est encore reliée au réseau par cette
bonne vieille paire de fils de cuivre de la compagnie de téléphone. L’image ne vient pas vite, vraiment pas vite. Mais
patience ! Déjà, la solution à ce délai, soit la fibre optique, gagne du terrain. Au cours de l’année 1997, on prévoit en
installer pas moins de 25 millions de kilomètres dans le monde. De l’Afrique au Canada, en passant par l’Europe, et
de Montréal à Toronto ou à New York, toutes les communications passent maintenant par des lignes en fibre optique
qui se rendent de plus en plus près de chez vous. Et si, pour des raisons de coûts de l’installation (entre 1500$ et
2500$ par résidence), la fibre optique « résidentielle» reste pour l’instant exclue, peut-être verrons-nous bientôt les
compagnies de téléphone et de câble s’entendre pour remplacer le fil de cuivre par un câble coaxial, ce qui
augmenterait déjà de beaucoup la qualité du service. L’autre solution serait d’envisager que les services de téléphone
et de télévision soient transmis par ondes de haute fréquence (comme avec votre téléphone sans fil) à partir d’une
station locale câblée par fibre optique.
Nos systèmes de télécommunications transmettent l’information en code binaire, c’est-à-dire sous la forme
de séquences synchronisées de « 0 » et de « 1 », chaque unité d’information (0 ou 1) correspondant à un bit. Pour
obtenir un grand débit, il faut transmettre plusieurs bits par seconde. Par exemple, une conversation téléphonique de
grande qualité requiert un taux de transmission d’environ 64 X 103 bits/s. Pour une petite pièce musicale d’une
qualité comparable à celle d’un disque compact, on parle d’un taux de 600 X 103 bits/s et pour une image de couleur
qualité, de 45 X 106 bits/s.
De ce fait, un fil de cuivre ne peut supporter simultanément que quelques communications, contre une
centaine pour le câble et… 300 000 pour la fibre optique. Mais la valeur d’une voie de communication ne se mesure
pas uniquement par sa capacité, mais également par sa qualité de transmission de l’information. Pour évaluer ce
critère, on utilise aujourd’hui un facteur de qualité (BL) qui correspond au nombre de bits/s (B) que l’on peut
transmettre, multiplié par la distance (L) à laquelle on doit régénérer le signal à cause de sa distorsion ou de son
atténuation. La figure 1 montre l’évolution de ce facteur de qualité en fonction des années. On remarque à quel point
l’arrivée des nouvelles technologies a modifié le facteur BL depuis l’invention du télégraphe.
Pour obtenir un grand débit de transmission, il faut envoyer des impulsions le plus courtes possible, chaque
impulsion correspondant à un bit. Or, plus une impulsion est brève, plus son contenu spectral, c’est-à-dire l’ensemble
de ses fréquences, est étendu, entre autres vers les hautes fréquences, ce qui n’est pas sans causer un problème.
Comme le montre la figure 2, si la paire de fils de cuivre atténue peu les basses fréquences utilisées pour transmettre
la voie humaine, elle abaisse dangereusement les hautes fréquences nécessaires à la transmission d’une image vidéo.
C’est pourquoi les compagnies responsables de la transmission du signal de télévision ont adopté le guide d’onde
coaxial. Toutefois, même dans un câble coaxial, les hautes fréquences finissent par être atténuées, provoquant ainsi
une détérioration rapide du signal. On comprend alors pourquoi les compagnies doivent réactiver leurs signaux en
installant des amplificateurs et des régénérateurs tout le long des rues qu’elles desservent. On comprend aussi que le
câble coaxial ne puisse être utilisé dans le cas d’un service téléphonique à très grand débit pour des distances
transocéaniques. Le coût d’installation d’équipements pour « rafraîchir » le signal à des distances inférieures au
kilomètre deviendrait, en effet, inacceptable. Bref, la solution qui s’impose est l’utilisation de fibres optiques.
Avec les fibres optiques, l’information n’est plus transmise sous forme électrique, mais lumineuse. Le
guidage de la lumière par réflexion totale interne est connu depuis fort longtemps. Il a souvent été utilisé dans des
œuvres d’art – par exemple, des fontaines où la lumière est guidée à l’intérieur des jets d’eau. L’invention du laser à
semi-conducteur, au début des années 60, a incité les scientifiques à envisager le développement d’un système de
communication optique où le signal lumineux généré par le laser voyagerait à l’intérieur d’une fibre optique. Mais la
route était encore longue avant que cette idée n’aboutisse au système que nous connaissons aujourd’hui.
1
2
Un matériau fort complexe
Une fibre optique est faite de verre et la première difficulté à surmonter fut le problème des pertes par
absorption du signal. En effet, même les verres de qualité optique provoquaient auparavant (1960-1966) des pertes
inacceptables pour une voie de communication de plusieurs kilomètres. Il fallait beaucoup d’audace pour rechercher
des verres dont les pertes intrinsèques puissent être de plusieurs ordres de grandeur inférieures à celle d’alors. Ce fut
principalement une équipe de scientifiques de la compagnie Corning ( oui, celle-là même qui fabrique des casseroles
de verre et de grands miroirs de télescope !) qui mena à bien cette recherche. En moins de 10 ans, l’équipe a réussi à
fabriquer un verre de pureté suffisante pour inciter d’autres chercheurs à s’attaquer aux autres problèmes
fondamentaux qui limitaient encore le système d’optique de communication (figure 3). Comme on l’explique à
l’encadré 1, la solution trouvée est d’une complexité extrême : on fabrique le verre en faisant réagir chimiquement
ses constituants primaires, alors en phase vapeur. Cette technologie permet d’obtenir des verres dont la perte
intrinsèque atteint la limite permise selon les lois physiques (diffusion de Rayleigh).
La fibre optique utilisée actuellement dans les systèmes de communication optique est fibre dit « à saut
d’indice » (figure 4). Cylindrique, elle est composée d’un cœur d’indice de réfraction n1 de diamètre a, entouré d’une
gaine d’indice n2, le tout enveloppé d’un revêtement de plastique. Pour que le signal, injecté dans le cœur de la fibre,
soit guidé sans se perdre dans la gaine, il faut s’assurer que les rayons lumineux subissent une réflexion totale à
3
l’interface cœur-gaine, condition qui sera respectée si n1 est plus grand que n2. C’est pourquoi, au cours de la
fabrication, on ajoute un dopant au verre constituant la gaine pour en diminuer l’indice. Toutefois, quand le signal est
injecté dans la fibre, on ne peut empêcher qu’une partie s’en aille dans la gaine. Heureusement, l’onde ainsi crée est
évanescente, c’est-à-dire que son amplitude décroît de façon exponentielle à partir de l’interface cœur-gaine. Il suffit
donc de s’assurer que la gaine soit suffisamment épaisse pour que l’effet sur le signal voyageant dans le cœur de la
fibre soit négligeable ; dans la pratique, une épaisseur d’environ 50-60 P est suffisante. Finalement, il faut noter
que bien qu’il n’est pas de pertes dues au guidage de la lumière, il y a toujours une faible perte intrinsèque due à
l’absorption du signal par le verre – de 0,2 dB/km -, ce qui signifie que l’énergie lumineuse est réduite de 1% après
100 km (tableau 1).
TABLEAU 1
DISTANCE QU’UN SIGNAL PEUT PARCOURIR AVANT
QUE SON ÉNERGIE NE SOIT RÉDUITE DE 1% , EN FONCTION
DE L’IMPORTANCE DE L’ATTÉNUATION.
ATTÉNUATION
(dB /km)
DISTANCE
20 000
1m
2000
10 m
20
1 km
0,2
100 km
4
La fabrication d’une fibre optique
La fabrication d’une fibre optique ayant les qualités requises pour les télécommunications a
nécessité la mise au point de procédés techniques très complexes. La technique générale de
fabrication comporte d’abord la fabrication d’une préforme, que l’on étire ensuite en fibre.
5
La préforme est un barreau cylindrique qui représente fidèlement la géométrie de la fibre. Ce
barreau peut être imaginé comme une grosse fibre de courte longueur. Une fois étirée, la fibre
préserve le même profil d’indice et le même rapport entre le diamètre du coeur et celui de la gaine que
ceux présents dans la préforme du départ. La répartition de la matière est également la même dans la
fibre optique.
Pour fabriquer des préformes, on utilise la méthode du dépôt chimique en phase vapeur, plus
communément appelée méthode CVD (Chemical Vapour Deposition). Cette technique permet de
fabriquer des verres de très haute qualité à partir d’une réaction chimique de produits en phase
vapeur. Les chlorures utilisés (SiCl4, GeCi4, POCl3, BCl3) sont transformés en oxydes (SiO2, GeO2,
P2O5, B2O3). La silice (SiO2) constitue la matière de base de la préforme. L’addition de GeO2 et de
P2O5 augmente l’indice de la silice ; l’addition de B2O3 le réduit. Il existe plusieurs variantes de cette
technique pour la fabrication de préformes. La technique par dépôt interne est appelée MCVD
(Modified Chemical Vapour Deposition) ou IVPO (Inside Vapour Phase Oxydation). Il y a aussi les
techniques de dépôts externes des oxydes. Ce sont la OVPO (Outside Vapour Phase Oxydation) et la
méthode VAD (Vertical Axial Deposition).
À l’Institut national d’optique (INO) nous fabriquons des fibres optiques spéciales pour des
applications de technologie de pointe. Nous utilisons la technique MCVD pour la fabrication des
préformes (voir ci-dessous).
Pour déposer à l’intérieur d’un tube de silice en rotation des couches de verre de silice dopée, on fait
circuler à l’intérieur des vapeurs de chlorures et d’oxygène. Un chalumeau extérieur chauffe les gaz et
les transforme en poussières fines d’oxyde (ou suie blanche) qui se déposent sur la partie froide du
tube, en aval du chalumeau se déplaçant d’un bout à l’autre du tube en rotation. La suie d’oxydes
déposée sur la paroi interne du tube se transforme ainsi en une couche de silice vitreuse dopée sous
le passage du chalumeau. Le nombre de déplacements de chalumeau dépend de l’épaisseur du
dépôt de silice dopée que l’on désire obtenir. L’indice de réfraction de chaque couche peut être
parfaitement contrôlé avec les concentrations relatives des chlorures utilisés qui correspondent aux
concentrations de dopant dans la silice.
Une fois les dépôts internes terminés, le tube doit être refermé. Cette étape consiste à
chauffer le tube à près de 2000ºC. À cette température, la silice s’amollit et le tube se referme sur luimême grâce aux tensions superficielles. Une pression légèrement positive est maintenue à l’intérieur
du tube durant cette étape pour qu’on obtienne une préforme parfaitement circulaire. Le fibrage, soit la
dernière opération, consiste à étirer la préforme en fibre. Cette étape consiste à chauffer l’extrémité de
la préforme à des températures voisinant la température de ramollissement du verre. Le verre en
fusion est tiré et la fibre produite est enroulée sur un tambour ou cabestan.
Le diamètre de la fibre doit avoir des dimensions bien définies et constantes. Par exemple, les
fibres standard de télécommunications ont un diamètre de 125 ± 1 P/¶RUGLQDWHXUFRQWUôle toutes les
conditions et tous les paramètres du fibrage. La température du four est ajustée pour maintenir une
6
tension suffisante sur la fibre pendant l’étirement. La vitesse de descente de la préforme dans le four
dépend de la dimension de la fibre et de la vitesse d’étirement. Un instrument optique à la sortie du
four mesure en continu le diamètre de la fibre et un asservissement contrôle la vitesse d’enroulement
pour maintenir le diamètre de la fibre constant. On appose une couche protectrice d’acrylique, après la
mesure du diamètre, pour améliorer les propriétés mécaniques de la fibre et faciliter sa manipulation.
Pour ce faire, la fibre circule dans un réservoir contenant l’acrylique liquide, et l’application doit être
rigoureusement concentrique. Cette couche liquide est ensuite cuite et solidifiée sous une lumière
ultraviolette. Toute cette procédure permet d’obtenir des fibres de très bonne qualité optique qui
résistent à des tensions minimales de 700 Mpa (1 m de fibre de 125 P GH GLDPètre doit supporter
près de 1 kg pendant une seconde). En fait, la fibre optique est aussi mince qu’un cheveu humain
mais, toutes proportions gardées, elle est plus forte que l’acier. En théorie, une fibre de 29 mm de
diamètre suspendue dans l’air pourrait supporter 216 éléphants de six tonnes dans un élévateur
stationnaire.
L’Institut national d’optique a adapté quelque peu la procédure décrite plus haut pour fabriquer
des fibres optiques spéciales en vue d’applications de technologie de pointe dans les
télécommunications, la télévision par câble, les capteurs ou la recherche fondamentale. On peut ainsi
fabriquer des fibres amplificatrices dont le coeur est dopé aux terres rares, des fibres avec une forte
atténuation, des fibres avec une grande ouverture numérique ou des fibres avec des géométries non
conventionnelles. L’Institut est le seul fabriquant de fibre optique au Canada et est reconnu comme un
chef de file mondial dans la fabrication sur mesure de fibres optiques spéciales.
François Chenard
responsable, Fibre optique spéciale,
Institut national d’optique
Du multimode au monomode
La fibre optique que nous venons de décrire est essentiellement multimode, c’est-à-dire que plusieurs
groupes de rayons, appelés « modes propres du guide », se propagent sans perte avec des angles et des vitesses
variables. Lorsque l’impulsion lumineuse est injectée dans la fibre, plusieurs modes propres sont alors excités ; mais
puisque les vitesses de propagation de chacun diffèrent, l’impulsion s’allonge au fur et à mesure qu’elle se propage
(comme un train dont le wagon de queue traînerait derrière le wagon de tête). Le résultat ? Au-delà d’une certaine
distance, une impulsion en vient à chevaucher l’impulsion précédente, provoquant ainsi une perte d’information. Une
telle fibre ne peut donc être utilisée que pour des communications sur de courtes distances, ou encore, pour des lignes
munies de nombreux régénérateurs ou amplificateurs de signal.
Pour régler ce problème, on fabrique une fibre monomode, où un seul mode de propagation est excité par
l’impulsion lumineuse. Toutefois, pour obtenir la condition de propagation monomode, il faut limiter au maximum le
rayon a du cœur de la fibre et le saut d’indice n1 –n2. De plus, la fibre doit être suffisamment large pour permettre
l’épissure des différents tronçons (connexion des fibres entre elles), et le saut d’indice suffisamment élevé pour
préserver des conditions de réflexion totale en cas de légère courbure. Le compromis habituel est l’utilisation d’une
fibre optique dont le cœur fait environ 9-10 PGHGLDPètre, de façon qu’on puisse la courber sur un rayon d’environ
10 cm sans perturber les conditions de guidage.
Malheureusement, cette fibre monomode ne se révèle pas encore la voie idéale pour les communications
optiques. En effet, le verre est un matériau dispersif, c’est-à-dire que les différentes fréquences composant
l’impulsion lumineuse et se propageant dans le mode de la fibre, ont des vitesses de propagation différentes. C’est le
même phénomène qui décompose dans un prisme la lumière en ses diverses couleurs. Toutefois, les différences de
vitesse sont de loin inférieures à celles mesurées entre les divers modes des fibres multimodes. La fibre monomode
reste donc, en général, appropriée pour les systèmes de communication.
7
Le défi des lignes transocéaniques
Pour les communications transocéaniques, on souhaite pouvoir transmettre une impulsion sur plusieurs
kilomètres sans devoir la régénérer. Or des études ont montré que la dispersion dans une fibre monomode est quasi
QXOOH SRXU XQ VLJQDO GRQW OD ORQJXHXU G¶RQGH HVW GH P (W FRPPH OD WHFKQRORJLH PRGHUQH QRXV SHUPHW
maintenant de fabriquer des sources laser à semi-conducteur pour cette longueur d’onde, les fibres monomodes
peuvent être utilisées comme voie de communication à très grand débit sur de très grandes distances.
De ce fait, les limitations actuelles ne viennent pas de la fibre optique comme telle, mais de l’ensemble des
systèmes électroniques chargés de générer, moduler, coder ou adresser le signal. Par exemple, le laser semiconducteur, qui génère l’impulsion lumineuse avec une longueur d’onde de 1,3 P HVW PRGXOé par une source
électronique dont le débit n’excède pas 5 X 109 bits/s.
Finalement, il ne faut pas oublier que – toute parfaite qu’elle soit – la fibre optique subit une perte
intrinsèque de 0,2 dB/km. On ne peut donc éviter de régénérer le signal en utilisant un autre laser semi-conducteur
comme régénérateur (régénérateur électro-optique). Pour un lien transatlantique, par exemple, il faut installer environ
50 régénérateurs. Fait à noter pour les lignes optiques de très haute qualité qui ne font qu’atténuer l’impulsion sans y
produire de distorsions, on peut se contenter d’installer des amplificateurs de signal fonctionnant par pompage
optique, soit des équipements beaucoup moins complexes que les régénérateurs électro-optiques.
Malheureusement encore, les amplificateurs à fibres optiques mis au point à ce jour fonctionnent
généralement à une longueur d’onde de 1,55 PDORUVTXHOHVILEUHVRSWLTXHVPRQRPRGHV à dispersion nulle le font
DYHFGHVRQGHVGH P4X¶à cela ne tienne! Les chercheurs ont conçu des fibres optiques à double saut d’indice
capables d’offrir une dispersion nulle à une longueur d’onde de 1,55 P OD ILEUH © idéale » en quelque sorte. De
plus, les recherches actuelles permettent d’envisager différentes solutions pour compenser la grande dispersion des
fibres optiques déjà installées lorsqu’on les utilise avec une porteuse à 1,55 P
Par ailleurs, on a mentionné qu’une des limitations au débit de la voie de communication était la vitesse des
systèmes électroniques que l’on doit nécessairement utiliser. Afin de dépasser cette limitation ( 5 X 10 9 bits/s), on
vient de mettre au point un système de multiplexage en longueurs d’ondes. Il suffit d’utiliser différentes sources laser
ayant des longueurs d’ondes légèrement différentes pour transmettre des données différentes sur une seule fibre. Les
systèmes actuels supportent environ 8 longueurs d’ondes différentes (donc 8 X 5 = 40 X 10 9 bits/s ) sans effet
d’interférence sur environ 3 000 km.
On peut donc transmettre sur une voie de communication à fibre optique active, c’est-à-dire transparente
grâce aux amplificateurs optiques, un débit de 40 milliards d’impulsions courtes par seconde sans que celles-ci ne
perdent l’information qu’elles transportent et ce, jusqu’à une distance d’environ 3 000 km. Pour des distances
supérieures, le taux d’erreur augmente rapidement à la suite de l’arrivée désordonnée (jittering) des impulsions. Cette
limitation est due aux bruits d’émission spontanée des amplificateurs et à certains effets non linéaires du verre de la
fibre optique.
Combattre la non linéarité par la non linéarité
Même si le verre optique est un matériau très peu non linéaire, c’est-à-dire que son indice de réfraction
dépend très peu de l’intensité de l’impulsion lumineuse qui s’y propage, le fait d’utiliser des impulsions très courtes,
d’une intensité très forte devant se propager sur de très grandes distances, entraîne que ces effets non linéaires
s’additionnent. Résultat : pour une distance d’environ 3 000 km, l’effet global devient significatif. Heureusement, il
est maintenant possible de surmonter ce problème en utilisant justement… la non-linéarité. Pour cela, on utilise des
fibres dont la dispersion est non nulle, dans des conditions où l’effet de dispersion, qui élargit l’impulsion, est
compensé par l’effet de la non-linéarité, qui comprime l’impulsion. C’est ainsi que l’on a pu propager, en laboratoire,
une impulsion lumineuse correspondant à ces conditions très spéciales ( appelée soliton) dans une fibre optique
comprenant des amplificateurs optiques et ce, sur des distances de 20 000 km sans constater de détérioration
limitative. Il s’agit d’un domaine de recherche en plein développement.
Les voies de communication que nous venons de décrire permettent de transmettre une telle quantité
d’information, donc de desservir simultanément un si grand nombre de clients, que même l’installation de lignes
transocéaniques est rentabilisée en moins d’un an. Pour les compagnies de téléphone, le coût réel des
8
communications interurbaines se limite presque maintenant aux coûts locaux d’émission et de réception du signal. La
technologie de la fibre optique est aujourd’hui si développée et si performante qu’elle ne coûte presque rien. Bientôt,
c’est toute la planète qui sera câblée! Il ne serait d’ailleurs pas surprenant de voir sous peu une conversation entre,
par exemple, le Canada et le France, passer par le Japon en cas de bris de la ligne transatlantique. En fait, le potentiel
de la fibre optique est si considérable que les investisseurs lui accordent une valeur aussi intéressante que celle des
minéraux ou du pétrole dans leurs transactions boursières…
9
1 Les communications optiques
1.1 Introduction
Nos sociétés modernes ont de plus en plus besoin de systèmes de télécommunication à grands débits afin de
pouvoir transmettre non seulement la voix humaine mais aussi les images. Les communications par satellite nous ont
déjà habitués à la transmission d’image vidéo à travers toute notre planète. Cependant, les coûts énormes de mise en
orbite et d’entretien des satellites limitent cette technologie aux services publics. Depuis l’invention des lasers à miconducteurs, des recherches ont permis de réaliser des fibres optiques capables de transmettre un faisceau de lumière
de ces lasers sur de très grandes distances. Cette technologie de communication par fibres optiques est maintenant
utilisée par les compagnies de téléphone pour relier non seulement les villes mais aussi les continents. Le coût
d’installation d’une fibre optique est aujourd’hui (1992) comparable à l’installation d’une paire de fils de cuivre
conventionnels. L’étape suivante sera l’introduction de ces fibres dans nos maisons, ce qui nous donnera accès à de
nouveaux services1.
L’objectif de ce manuel est l’étude des guides d’ondes diélectriques. Cette analyse permettra aux lecteurs de
comprendre les paramètres importants de la fibre optique pour les systèmes de communication. Afin d’apprécier
immédiatement ces divers paramètres, il est nécessaire de décrire à un niveau très simplifié ce qu’est une voie de
communication.
Les systèmes de communication téléphoniques utilisent un système de codage binaire. Le voie de
communication doit transmettre un train d’impulsions de mêmes longueurs et de mêmes largeurs (voir figure 1). La
performance de telle voie de communication est définie en termes de sa capacité de transmission et de la distance
parcourue sans l’aide d’un répéteur. La capacité de transmission (N) est simplement le nombre d’impulsions (bits)
qui peuvent être transmises par unité de temps (seconde) :
N = (Bits) (sec)
FIGURE 1.1 : Voie de communication : La largeur de bande est le nombre d’impulsions qui peuvent être transmises
par seconde sans qu’elles se confondent après avoir parcouru une distance d’un kilomètre.
1
. Le volume « The Rewiring of America : The Fiber Optics Revolution » [1] décrit les diverses étapes du
développement de cette technologie.
10
Si on veut que la valeur de N soit élevée, il faut générer des impulsions très brèves afin d’obtenir un
maximum d’impulsions par seconde. Le nombre de bits sera alors de l’ordre de l’inverse de la largeur des impulsions
∆ t.
Cependant, toutes les voies de communication non seulement atténuent le signal qui se propage mais
élargissent aussi les impulsions individuelles. Afin de caractériser cette propriété des voies de communication, on
spécifie le nombre d’impulsions par seconde du train après la distance de 1 kilomètre en introduisant alors la largeur
de bande B que l’on définit :
1
B =   (MHz-km)
 ∆t 
Ce paramètre est donné habituellement en MHz et on spécifie toujours que cette caractéristique est évaluée après un
kilomètre de propagation.
Aux longueurs d’ondes typiques des communications optiques (1,3 - 1,6 µm ) la qualité des fibres actuelles
est telle que la perte dans la fibre atteint la limite théorique permise par la diffusion de Rayleigh qui est de 0,2
dB/km. La figure 1.2 indique que sur une période d’environ cinquante ans (1965-1980), on a réussi à fabriquer un
verre de qualité suffisante pour permettre que les communications optiques deviennent compétitives. Ces résultats
sont dus à d’intenses recherches multidisciplinaires.
FIGURE 1.2 : Évolution de la perte du verre au cours des siècles. On note l’impact de la recherche scientifique
durant la période couvrant les années 1965 à 1980. Cette recherche avait pour objectif de réaliser des fibres optiques
11
de qualité suffisante pour les communications optiques (ce graphique est basé sur celui présenté par Madame
Suzanne Nagel).
La figure 1.3 montre l’atténuation de la paire de cuivre typique des communications téléphoniques, celle
d’un câble coaxial typique des services de télévision et l’atténuation d’une fibre optique standard en fonction de la
fréquence. Une bonne qualité de conversation téléphonique requiert un taux de transmission de 65 kbits/s. Les
impulsions à cette fréquence subissent une atténuation d’environ 3,5 dB/km dans la paire de cuivre typique des
services téléphoniques. D’autre part, si on voulait transmettre, sur cette même voie, de la musique avec la même
qualité d’audition que celle d’un disque compact, il faudrait un taux de transmission d’environ 620 kbits/s. Des
impulsions de 640 kHz subiraient alors une atténuation de plus de 15 dB/km dans cette paire de cuivre. Pour
transmettre un signal vidéo couleur, on doit compter sur un taux de transmission de 44 Mbits/s pour ce même
système binaire. L’atténuation de la paire de cuivre devient tout à fait inacceptable dans ce cas et même l’atténuation
d’un câble coaxial est déjà très grande. On comprend alors pourquoi les services de télévision par câble doivent
régénérer leurs signaux après de très courtes distances. Cependant, l’atténuation d’un signal par une fibre optique est
une faible valeur qui demeure constante (dans ce cas, 2 dB/km selon la figure 1.3), quelle que soit la fréquence des
impulsions (donc quel que soit le débit de transmission) et ce jusqu’à des fréquences de plus de 20 GHz. Cette
propriété surprenante de la fibre optique a été comprise par l’industrie dès les années soixante-dix, ce qui a conduit à
cette révolution des communications par fibres optiques et ses applications.
FIGURE 1.3 : Atténuation en fonction de la fréquence pour trois voies de communication. La surface de résistance
du cuivre augmente rapidement avec la fréquence. Il s’ensuit que les hautes fréquences sont fortement atténuées dans
une paire de fils de cuivre. L’utilisation d’un câble coaxial avec sa région annulaire diélectrique permet de diminuer
l’atténuation des hautes fréquences. La fibre optique avec son coeur et sa gaine entièrement constitués de matériaux
diélectriques permet de réduire l’atténuation pour des fréquences dépassant le gigahertz.
1.2 Description du contenu
Ce volume décrit la théorie électromagnétique pour des modes de propagation des guides d’ondes
diélectriques avec comme objectif de comprendre les applications de ces guides pour les systèmes de
12
télécommunication. Tous les volumes d’électromagnétisme classique présentent les guides d’ondes métalliques
comme un exemple d’application de solution des équations de Maxwell avec des conditions limites. Quelques
volumes décrivent sommairement les guides diélectriques. Cependant, à la suite de l’application de ces guides sous
la forme de fibre optique, il est devenu essentiel qu’un cours d’électromagnétisme appliqué contienne cette théorie et
insiste sur les caractéristiques de minimisation de la dispersion qui permet d’avoir une largeur de bande extrême.
Afin de clairement situer le contenu de chaque chapitre, la figure 1.4 présente schématiquement les trois
types de fibres optiques qui trouvent aujourd’hui des applications importantes.
FIGURE 1.4 a) : Profil d’indice des fibres multimodes à saut d’indice, des fibres monomodes et des fibres à gradient
d’indice.
FIGURE 1.4 b) : Tracé des rayons optiques pour la fibre multimode à saut d’indice, la fibre monomode et la fibre à
gradient d’indice. La largeur de bande typique de ces trois fibres est indiquée.
D’abord, la fibre multimode à saut d’indice. Nos notions déjà acquises de l’électromagnétisme et de
l’optique nous laisse déjà anticiper qu’afin de guider l’énergie dans cette structure, il devra y avoir une réflexion
totale interne des rayons à l’interface n1/n2. Il est donc essentiel de bien comprendre le phénomène de réflexion totale
13
interne pour caractériser ce type de guide d’ondes. Le chapitre 2 contient un bref rappel des équations de Maxwell et
des conditions aux limites de l’électromagnétisme tout en amenant les lecteurs à utiliser la notation de l’optique
moderne (e.g. la longueur d’onde du vide λ remplace presque partout la fréquence de l’onde ω ). L’étude de la
réflexion totale interne inclut le phénomène de glissement latéral (Goss-Hänchen) de l’onde qui servira à compléter
le modèle géométrique du guide planaire. La seconde partie de ce chapitre présente la dérivation de l’équation de
propagation pour une impulsion dans un milieu dispersif. L’effet non linéaire Kerr optique est inclu dans ce modèle
et conduit à l’équation non linéaire de Schrödinger. La solution solitonique de cette équation est discutée
sommairement afin d’informer les lecteurs de cette nouvelle forme d’application qui assurera bientôt les
communications transocéaniques.
La solution électromagnétique du guide plan est discutée au chapitre 3. Cette solution utilise des fonctions
mathématiques élémentaires qui facilitent la compréhension du guidage par une structure diélectrique. De plus, cette
structure nous amène au modèle au modèle gémétrico-ondulatoire des ondes planes. Ce modèle permet de
comprendre le fonctionnement de plusieurs systèmes optiques complexes. Le guide d’ondes planaire est aussi la
structure de base pour la réalisation de composantes de l’optique intégrée, tels que les coupleurs passifs qui sont déjà
utilisés dans des systèmes de communication. Afin d’initier le lecteur à ce type de couplage la solution
électromagnétique de deux guides d’ondes couplés est présentée dans l’annexe du chapitre 3.
Le chapitre 4 dérive la solution exacte de la fibre optique à saut d’indice. La notion de réflexion totale
interne ne suffit plus à expliquer l’opération de ce guide d’ondes. En particulier, les caractéristiques physiques de la
fibre monomode sont démontrées et discutées.
L’annexe du chapitre 4 fait un rappel utile des divers types de fonctions de Bessel nécessaires à la
description des modes EH et HE de la fibre. L’étude de la minimisation de la dispersion du guide d’ondes nous
amène au moyen d’abaques à la condition de faible guidage. Cette condition essentielle pour une fibre à grande
largeur de bande nous conduit aussi à l’introduction des modes LP qui permettent de simplifier par la suite l’analyse
du régime multimode. Cette étude paramétrique au moyen d’abaques permet de justifier à chaque étape le
développement mathématique très lourd, qui évite d’imposer des postulats « ad hoc » comme doivent le faire les
autres ouvrages spécialisés.
Le dernier chapitre amorce l’étude électromagnétique de la dernière classe de fibre optique soit la fibre à
gradient d’indice. L’analyse numérique des modes LP du profil parabolique convergent et divergent permet au
lecteur de comprendre pourquoi cette fibre augmente la largeur de bande d’une structure multimode. Comme
l’indique le schéma de la figure 1.4 le profil d’indice guide la lumière par focalisation interne. Le modèle de
l’optique géométrique sert généralement pour faciliter l’analyse de ce type de fibre. La deuxième partie de ce dernier
chapitre introduit ce modèle géométrique au moyen de la solution de l’iconale.
L’annexe du chapitre 5 (D) permet aux lecteurs de rapidement s’initier à la théorie de l’optique
géométrique, soit de l’équation de l’iconale et de l’équation des rayons à partir des équations de Maxwell à l’aide de
l’approximation des petites longueurs d’onde. La deuxième partie de l’annexe du chapitre 5 (E) dérive le profil idéal
de l’indice diélectrique qui permet d’égaliser la vitesse des modes méridionaux. Cet annexe est aussi une
introduction utile à la fibre SELFOC qui est devenue une composante optique essentielle pour le couplage détecteur
(source) – fibre monomode.
1.3 Utilisation de ce manuel
Il est aujourd’hui essentiel qu’un physicien et qu’un ingénieur (génie électrique, communication)
comprenne dès ses études de premier cycle le fonctionnement d’un guide d’ondes diélectrique et de la fibre optique
en particulier. Ce volume peut servir de complément à tous manuels d’électromagnétisme pour compléter l’étude des
guides d’onde métalliques. La deuxième partie du chapitre 2 sur la propagation des impulsions en milieu dispersif
combinée avec les chapitres 3 et 4 portant respectivement sur le guide plan et la fibre à saut d’indice serait un
excellent complément à ce cours fondamental.
D’autre part, plusieurs universités ont déjà introduit des cours spécialisés de communications optiques. Ce
manuel comporte la théorie élémentaire essentielle de la fibre optique et devra alors être compléter par l’utilisation
14
d’un manuel beaucoup plus technique décrivant les diverses composantes optiques ainsi que les sources et
détecteurs.
Enfin, ce manuel comprend la théorie minimale qui devrait être comprise par l’étudiant du 2ième cycle dans
ce domaine. L’étudiant du 3ième cycle devra compléter cette étude par l’analyse de structure à saut d’indice plus
complexe tel que la fibre à dispersion déplacée et une étude approfondie des effets non linéaires. L’étude des
capteurs à fibres optiques compléterait avantageusement la formation des étudiants de ces deux cycles.
15
2 Rappel de la théorie de l’électromagnétisme
L’étude des guides d’ondes diélectriques (tel que les fibres à saut d’indice et à gradient d’indice, les guides
d’ondes plans, etc) requiert une bonne connaissance de la théorie des ondes électromagnétiques. Alors, le but de ce
chapitre est de rappeler les concepts fondamentaux de cette théorie.
Nous considérerons d’une part, les aspects importants de la propagation des ondes dans un milieu
diélectrique infini et d’autre part, l’analyse des phénomènes de la réflexion et de la réfraction à l’interface de deux
milieux diélectriques différents nous préparera à l’étude ultérieure des guides d’ondes. Une attention particulière sera
aussi portée au phénomène de réflexion totale interne.
Pour commencer notre discussion, nous passerons en revue les équations de Maxwell. Celles-ci nous
permettront d’obtenir l’équation de la propagation des ondes pour un milieu diélectrique infini. L’onde progressive
plane, qui est une solution de cette équation, sera ensuite examinée en détail. Après avoir défini les principaux
paramètres relatifs aux ondes, nous examinerons les conséquences d’une discontinuité dans le milieu de
propagation : ceci nous permettra d’obtenir les différentes lois qui gouvernent les phénomènes de la réflexion et de la
réfraction à l’interface de deux milieux diélectriques. Les concepts de la réflexion totale interne et de champ
évanescent seront analysés, vu leur importance dans la compréhension du guide d’ondes. De plus, pour compléter
l’étude de la réflexion totale interne, nous discuterons du déplacement latéral de l’onde réfléchie (Goss-Hänchen).
Dans la dernière section de ce chapitre, nous étudierons la propagation d’une impulsion lumineuse dans un milieu de
dispersion, et, plus tard, dans un milieu de dispersion non linéaire.
2.1 Équations de Maxwell
Les équations de Maxwell2 ( tableau 2.1) contiennent des dérivées partielles couplées par rapport aux
r
v
variables de l’espace et du temps des champs vectoriels ε et H de la densité de charge ρ et de la densité de
r
courant J . Ce sont les quatre équations fondamentales de la théorie de l’électromagnétisme. Elles s’appliquent
partout où la distribution de courant de charge est continue. La théorie des guides d’ondes repose sur elles.
r
r
∇Xε
(I)
r
r
=−
r
r
∇XH = J +
(II)
r
r
r
r
∂B
∂t
(2
r
∂D
∂t
∇⋅B =0
∇⋅D = ρ
(2
(2
(2
r
ε
: champ électrique (V / m)
B : densité du flux magnétique (Tesla)
r
D : densité du déplacement électrique (C / m2)
r
H : champ magnétique (A / m)
r
r
J : densité du courant (A / m2)
ρ : densité de charge électrique (C / m3)
TABLEAU 2.1 : Les équations de Maxwell
2
. Plusieurs excellents livres peuvent être consultés pour une discussion détaillée des ondes électromagnétiques et des
équations de Maxwell.
16
Les relations de constitution caractérisant un milieu nous permettent d’exprimer la densité de champ et la
r
r
r
r
r
densité de courant D , B et J en fonction des champs ε et H :
r
r
r
D = D (ε )
r
r
r
B=B( H )
r
r
r
r
(2.5)
J = J ( ε ,H )
La forme spécifique de ces relations dépend de la nature du milieu. Ainsi, pour un milieu homogène (un
milieu dont les propriétés ne changent pas d’un point à un autre), isotrope (dont les propriétés sont les mêmes dans
toutes les directions données) et un milieu linéaire (un milieu où les relations de constitution sont linéaires avec le
r
r
respect de ε et H ), les relations (2.5) peuvent alors se réécrire comme
r
r
r
r
a)
D =ε ε
b)
B=µ H
(2.6)
De plus, si le milieu obéit à la loi d’Ohm, nous avons :
r
r
J =σ ε
c)
où ε , µ et σ sont des constantes indépendantes de
r
ε
(2.6)
r
et H (la notation X indique qu’il s’agit d’un tenseur). Les
milieux diélectriques isotropes et sans perte, que nous considérerons lorsque nous étudierons les guides d’ondes, ont
les caractéristiques suivantes où ε r est la permittivité relative et µ r la perméabilité relative :
σ =0
µr = µ / µ0
εr = ε /ε0 = n2
(milieu non-conducteur)
(pour les milieux non-magnétiques µ = µ 0 )
(n : indice de réfraction du milieu)
Plus généralement, les relations de constitution sont des équations tensorielles où
 ε 11 ε 12 ε 13 


ε =  ε 21 ε 22 ε 23 
ε

 31 ε 32 ε 33 
et
D x = ε 11ε x + ε 12ε y + ε 13ε z
D y = ε 21ε x + ε 22ε y + ε 23ε z
D x = ε 31ε x + ε 32 ε y + ε 33ε z
C’est ce type de relation qui prévaut pour des milieux cristallins, tel que le quartz, qui sont généralement
anisotropiques. De plus, si le milieu est inhomogène, la permittivité ou l’indice de réfraction sera une fonction des
coordonnées de l’espace ( ε (x, y, z)). Un exemple important d’un tel milieu est la fibre optique à gradient d’indice.
Si l’intensité du champ magnétique et de celle du champ électrique sont grandes des effets non linéaires peuvent se
manifester. On doit alors modéliser ces effets en incluant des termes non linéaires dans les relations de constitution.
Par exemple, aux fréquences optiques, le verre possède une non linéarité cubique (effet Kerr optique), qui peut être
écrite comme
r
r
D =ε ε + ε2
r2r
ε ε
(2.7)
17
Bien que la constante ε 2 soit très petite, l’utilisation d’impulsions très courtes et le confinement du champ
dans une très faible surface (e.g. fibre optique monomode) fait que ce terme non linéaire devient suffisamment
important en optique guidée. Nous verrons plus loin une manifestation spectaculaire de cet effet (SOLITON).
Dans ce qui suit, nous considérerons uniquement les milieux diélectriques isotropes sans charge, sans perte
et non magnétique. Les équations de Maxwell et les relations de constitution applicables pour de tels milieux sont
résumées au tableau 2.2.
r
r
∇ Xε
(I)
r
=−
r
r
r
r
r
(2.8)
∂t
r
∇XH =
(II)
r
∂B
∂D
(2.9)
∂t
∇⋅D =0
(2.10)
∇⋅B =0
r
(2.11)
r
B = µ0 H
r
r
(2.12)
r
D = ε ε = ε0 n2 ε
(2.13)
TABLEAU 2.2 : Milieux diélectriques isotropes sans charge et sans perte :
équations de Maxwell et relations de constitution
r
r
Les équations de Maxwell sont les équations différentielles dans lesquelles les champs ε et H , doivent
obéir lors de la propagation dans un milieu. Les solutions particulières de ces équations, pour un problème physique
donné, sont trouvées à partir des conditions aux limites. Les conditions limites générales pour différentes quantités
électromagnétiques sont données dans le tableau 2.3.
Continuité de la composante normale du courant de déplacement électrique :
(sr ) ⋅ (D2 − D1 ) = 0
r
r
(2.14)
Continuité de la composante tangentielle du champ électrique :
r
r
(sr ) × (ε 2 − ε 1 ) = 0
(2.15)
Continuité de la composante normale de la densité de flux magnétique :
(sr ) ⋅ (B2 − B1 ) = 0
r
r
(2.16)
Continuité de la composante tangentielle du champ magnétique :
(rs ) ×
(Hr 2 − Hr 1 )= 0
(2.17)
TABLEAU 2.3 : Continuité des composantes des champs électromagnétiques à l’interface de deux milieux d’indice
r
n1 et n2. Le vecteur unitaire s est la normale à l’interface.
18
v
2.2 Équations d’onde (à second membre en ε )
Les équations de Maxwell que nous venons de voir ne sont pas faciles à résoudre puisqu’elles forment un
système d’équations couplées. Cependant, à partir de ces dernières, nous pouvons développer un nouveau système
d’équations (appelé équations d’onde) qui est plus aisé à analyser. Le principal intérêt réside dans le fait que les
r
r
équations d’onde sont découplées, c’est-à-dire que chacune d’elles ne fait intervenir qu’un champ ( ε et H ). Elles
sont donc très utiles pour résoudre des problèmes de conditions aux limites.
Afin d’obtenir ces équations, nous prenons en premier lieu le rotationnel de l’équation (2.8), dans laquelle
nous avons substitué l’équation (2.12) :
r
r
r
∇ × ∇ ×ε
r
r
∂∇ × H
= −µ 0
∂t
(2.l8)
En utilisant les relations (2.9) et (2.13) et le fait que
r
r
r r
∇ × ∇ × A = −∇ 2 A + ∇(∇ ⋅ A)
nous avons :
∇
2
r
r
ε
− µ0 ε0 n
2
∂ 2ε
∂t
2
r r
r
= ∇ (∇ ⋅ ε )
(2.19)
En développant l’équation (2.10), nous trouvons :
r
r
r
r
r
r
∇ ⋅ D = ε 0 n 2∇ ⋅ ε + ε 0 ε ⋅ ∇ n 2 = 0
(2.20)
En substituant l’équation (2.20) dans l’équation (2.19), nous obtenons l’équation générale de l’onde
suivante :
∇
2
r
ε
r
− µ0 ε0 n
2
∂ 2ε
= −∇ (ε
∂t2
r
r ∇n 2
r
⋅
n
)
(2.21)
2
D’une façon similaire, il est possible de déduire que
r
∂ 2H
∇ H − µ0 ε0 n
=0
∂t2
2
r
2
(2.22)
Pour les milieux inhomogènes (milieux où l’indice de réfraction est une fonction des coordonnées de
r
l’espace (n (x, y, z)), le gradient de l’indice de réfraction est non-nul ( ∇n ≠ 0) . Par contre, pour un milieu
r
homogène, ∇n = 0 et la relation (2.21) devient alors l’équation d’onde homogène :
∇
2
r
ε
r
− µ0 ε0 n
2
∂ 2ε
∂t2
=0
(2.23)
Les équations (2.21), (2.22) et (2.23) représentent six équations scalaires découplées (en composantes
cartésiennes) où
∂2
∂2
∂2
+
+
∇2 =
∂ x 2 ∂ y2 ∂ z2
19
Le calcul du champ électromagnétique d’un guide revient donc à résoudre l’équation d’onde sous certaines
conditions limites. Ainsi, pour une fibre à saut d’indice, on résout l’équation homogène (2.23) à la fois dans le cœur
et dans la gaine pour obtenir les expressions des champs. Pour une fibre à gradient d’indice, on doit en principe
utiliser l’équation d’onde générale (2.21). Marcuse3 [2] a cependant démontré que, sous certaines conditions, on peut
employer l’équation d’onde homogène (2.23) et ce même si l’indice n est fonction des coordonnées de l’espace.
Cette approximation est seulement valide cependant si la variation de l’indice n est négligeable sur une distance
d’une longueur d’onde.
Dans la section suivante, nous étudierons une solution particulière de l’équation d’onde homogène : l’onde
progressive.
2.3 Électromagnétisme. Propagation d’ondes planes électromagnétiques
(TEM)
r
r
Dans les prochaines sections, nous utiliserons principalement les champs ε et H qui sont des fonctions
sinusoïdales du temps de la forme suivante,
(r
r
A = Re A e j ω t
)
r
où A est le vecteur complexe (phaseur) qui ne dépend que des coordonnées de l’espace. Dans ce cas particulier, nous
pouvons remplacer les dérivées par rapport au temps par le facteur j ω . Dans le tableau 2.4, nous retrouvons les
équations de Maxwell écrites particulièrement pour des champs à variation temporelle sinusoïdale.
r
r
r
r
∇ X E = − j ω µ 0 H = -j k 0 η 0 H
(I)
r
r
r
∇ X H = jω ε 0 n 2 E = j
(II)
n2
r
k0E
(2.2
(2.2
0
Tableau 2.4 : Équations de Maxwell pour un milieu diélectrique d’indice de réfraction n.
r
r
Notez que η 0 H possède les mêmes unités que E .
En utilisant la même technique que nous avons utilisé à la section précédente. Nous obtenons les équations
r
r
d’onde pour les phaseurs E et H en prenant les rotationnels des équations (2.24) et (2.25) :
r
r
∇2E + k 2E = 0
r
r
∇2H + k 2H = 0
(2.26)
où nous avons introduit le nombre d’onde « k » défini comme
k=n
où c=
3
1
ε 0µ0
ω
= nk0
c
(2.27)
est la vitesse de la lumière dans le vide.
. Notez que la variation de n (x, y, z) doit être incluse dans les équations homogènes (2.22) et (2.23).
20
Notez4 aussi que k0 =
2π
où λ est la longueur d’onde dans le vide.
λ
r
r
Les équations (2.26), obtenues pour les phaseurs E et H portent le nom d’équations de Helmoltz. Une
solution élémentaire de ces équations est l’onde plane uniforme :
r
r
r
r
r r
E = E1 e -j k ⋅ r
(2.28)
r r
H = H 1 e -j k ⋅ r
r
(2.29)
r
r
r
E et H sont deux vecteurs contenus dans un plan normal à la direction de propagation l et k est le vecteur d’onde
r r
r
orienté dans la direction de propagation l (k = k l ). L’application directe des équations de Maxwell sur cette onde
nous conduit à la relation d’impédance qui relie le champ électrique au champ magnétique
r
1r r
H 1 =   l × E1
η 
(2.30)
c’est-à-dire
η=
r
E1
=
H1
µ
ε
(2.31)
r
E1 et H 1 sont deux vecteurs constants , c. i. qui ne dépendent pas des variables x, y, z. Notez que η = (η 0 / n ) où η 0
est l’impédance du vide (377 HWQHVWO¶LQGLFHGHUéfraction du milieu diélectrique.
r
r
De plus, les équations de Maxwell nous montrent que les vecteurs E et H sont perpendiculaires entre eux
r
r
et que la direction de propagation est donnée par la direction du vecteur résultant du produit vectoriel E × H (voir
figure 2.1). On a donc une onde TEM puisque les champs électriques et magnétiques sont ⊥ à la direction de
propagation.
. L’optique moderne utilise fréquemment k0 ou λ au lieu de ω pour spécifier la fréquence de la source. Il y a aussi
un usage répandu qui utilise l’indice de réfraction n au lieu de la permittivité ε et de l’impédance η 0 au lieu de la
perméabilité µ 0 .
4
21
r
r
FIGURE 2.1 : Variation par rapport à l’axe z (à un instant donné) des vecteurs E et H d’une onde plane
électromagnétique se propageant selon l’axe des z positif. Les deux vecteurs sont en phase mais perpendiculaires
r r
entre eux. Le vecteur E × H donne la direction de propagation de l’onde.
En utilisant la notation de phaseur, on montre que le vecteur Poynting moyen
r
S =
r
r
1
Re ( E × H * )
2
(2.32)
représente la densité moyenne (temporelle) de la puissance transportée par l’onde (W/m2). Pour une onde uniforme
plane, le vecteur Poynting moyen est proportionnel au carré du champ électrique (ou magnétique) :
r
S =
1 r
E1
2η
2
(2.33)
2.4 Réflexion et réfraction à l’interface
L’onde plane uniforme est une solution très simple des équations de Maxwell. Cependant, cette solution est
fort importante parce qu’elle est la solution élémentaire qui permet au moyen de la théorie du spectre angulaire des
ondes planes d’analyser la propagation d’un faisceau quelconque. C’est pourquoi, en optique, la première
approximation pour une solution est obtenue en posant comme hypothèse que l’onde est plane, uniforme et incidente.
Par exemple ici, nous examinerons les conséquences de la discontinuité dans le milieu de propagation d’une onde
plane uniforme. De telles discontinuités existent, par exemple, à la frontière cœur-gaine d’une fibre à saut d’indice.
Imaginons une interface, telle que celle illustrée à la figure 2.2, infinie et plane entre deux milieux
diélectriques linéaires homogènes et isotropes. On suppose une onde plane uniforme incidente de direction de
r
propagation l i . Dans le milieu 2, on sait que l’onde plane uniforme est une solution aussi des équations de Maxwell.
On suppose aussi qu’une telle onde sera excitée par l’onde incidente, et que sa direction de propagation sera définie
r
par l t .
22
FIGURE 2.2 : Onde électromagnétique incidente à une interface entre deux milieux. Les vecteurs unitaires
r
l i , l r et l t pointent dans la direction de propagation. Les angles θ i , θ r et θ t sont respectivement l’angle
v
d’incidence, de réflexion et de transmission. Le vecteur s est la normale à l’interface.
r
r
L’application des conditions aux limites devrait nous permettre de trouver les paramètres de cette onde
transmise dans le milieu 2 si cette hypothèse est valide. On peut vérifier que ceci n’est pas possible.
r
Il faut supposer que l’onde incidente produit aussi une onde réfléchie dans la direction l r . Alors, les
conditions aux limites de continuité des champs électriques et magnétiques permettent de déterminer uniquement les
paramètres de ces deux ondes planes uniformes excitées. Le problème consiste maintenant à trouver les relations
r
r
r
reliant les trois vecteurs E 0i , E 0r et E 0t .
r
De façon générale, toute onde incidente est décomposable en deux polarisations : une dont le vecteur E est
r
normal au plan incidence et l’autre dont le vecteur E est parallèle à ce dernier. Nous donnons au tableau 2.5 les
différentes façons utilisées pour nommer chacune de ces conditions. Nous traiterons en détail du premier cas, soit
r
celui où l’onde incidente polarisée a son vecteur E normal au plan d’incidence (voir figure 2.3). Bien que nous
n’effectuerons pas le processus mathématique complet, nous énoncerons aussi les résultats propres au deuxième cas
r
( E parallèle au plan d’incidence).
r
r
Onde polarisée dont E est Onde polarisée dont E est
normal au plan d’incidence
parallèle au plan d’incidence
(P)
⊥ (N)
horizontal
vertical
TE
TM
s
P
TABLEAU 2.5 : Façons équivalentes de qualifier chacune des deux conditions de polarisation.
En optique, les conventions réfèrent habituellement au champ électrique.
23
v
2.4.1 Onde incidente polarisée dont le vecteur E est normal au plan
d’incidence
r
r
Les vecteurs E et H de l’onde incidente ont les orientations indiquées à la figure 2.3. Le champ électrique
de l’onde incidente (supposé connu) s’écrit de la façon suivante
r
r
r
r
E I = E 0 i e -j k 0 i ⋅ r
où
r
r
E0 i = E0 i a y
(2.34)
(2.35)
Notre objectif est d’écrire les expressions pour le champ transmis et le champ réfléchi en fonction
r
des paramètres E 0 i , θ i , n1 et n2 qui sont supposés être connus. Si les milieux sont isotropes, hypothèse que nous
r
avons faite au début de la section, les vecteurs E des ondes réfléchies et transmises sont aussi perpendiculaires au
plan d’incidence, tel qu’illustré à la figure 2.3.
FIGURE 2.3 : Plans de l’onde incidente, réfléchie et transmise pour une onde incidente polarisée d’une telle façon
r
que le vecteur E est normal au plan d’incidence.
On notera le champ réfléchi et le champ transmis :
r
r
r
r
r
r
r
E R = E0 r e -j k 0 r ⋅ r
(2.36)
r
ET = E0 t e -j k 0 t ⋅ r
(2.37)
où nous avons pour l’onde incidente,
r
r
k 0 i = k1 l i
24
r
r
r
l i = sin θ i a x − cos θ i a z
(2.38)
k1 = n1 k0
pour l’onde réfléchie
r
r
k 0 r = k1 l r
r
r
(2.39)
r
l r = sin θ r a x + cos θ r a z
et pour l’onde transmise
r
r
k 0 t = k 2 lt
r
r
r
l t = sin θ t a x − cos θ t a z
(2.40)
k2=n2k0
r
r
r
La méthode utilisée pour obtenir E 0 r , E 0t , θ r et θ t en fonction de E 0 i , θ i , n1 et n2 est la suivante. Pour
commencer, nous développons les expressions (2.34), (2.36) et (2.37) compte tenu des relations (2.38), (2.39) et
(2.40). On obtient alors :
r
r
r
r
r
r
E I = E0 i e
- j k 1 (x sin θ i − z cos θ i )
(2.41)
E R = E 0 r e - j k 1 (x sin θ r + z cos θ r )
(2.42)
ET = E0 t e - j k 2 (x sin θ t − z cos θ t )
(2.43)
Les propriétés des ondes TEM (section 2.3) entraînent que
r
r
r
r
r
r
r
r
r
H I = (1 / η1 ) l i × E I
(2.44)
H R = (1 / η1 ) l r × E R
où
r
r
r
(2.45)
H T = (1 / η 2 ) l t × ET
(2.46)
(A) η1 = η 0 /n1
(B) η 2 = η 0 /n2
(2.47)
r
Puisque E I , E R et ET sont parallèles à a y , on s’intéresse aux produits vectoriels suivants :
r
r
r
r
l i × a y = (cos θ i a x + sin θ i a z )
r
r
r
r
l r × a y = (− cos θ r a x + sin θ r a z )
r
r
r
r
l t × a y = (cos θ t a x + sin θ t a z )
25
En introduisant ces résultats dans les équations (2.44) à (2.46), on obtient les expressions suivantes pour les
champs magnétiques :
r
E n
r
r  - j k (x sin θ i − z cos θ
E n
H I =  0 i 1 cos θ i a x + 0 i 1 sin θ i a z  e 1
η0
 η0

i)
(2.48)
r
E n
r
r 
E n
H R =  0 r 1 sin θ r a z − 0 r 1 cosθ r a x  e - j k 1 (x sin θ r + z cos θ r )
η0
 η0

(2.49)
r
E n
r
r 
E n
H T =  0 t 2 cos θ t a x + 0 t 2 sin θ t a z  e - j k 2 (x sin θ t − z cos θ t )
η0
 η0

(2.50)
r
r
Finalement, pour évaluer les inconnues E R , E T , θ r et θ t , on applique les conditions de continuité
r
r
(Tableau 2.3) pour les composantes tangentielles de E et H à l’interface située à z = 0, c’est-à-dire :
r
r
r
r
r
r
r
r
r
s × ( E I + E R ) = s × ET
r
(2.51)
s × (H I + H R ) = s × H T
où
r
(2.52)
r
s = az
En substituant les équations (2.41) à (2.43) dans l’équation (2.51), pour z = 0, on obtient :
(E
0i
) (
e -j k1 x sin θ i + E0 r e - j k 1 x sin θ r = E0 t e - j k 2 x sin θ t
)
(2.53)
De même, en substituant les équations (2.48) à (2.50) dans l’équation de continuité (2.52), pour z = 0, nous
trouvons :
(E
0i
) (
n 1 cos θ i e -j k1 x sin θ i − E 0 r n 1 cos θ r e - j k1 x sin θ r = E 0 t n 2 cos θ t e - j k 2 x sin θ t
)
(2.54)
Afin de satisfaire les équations de continuité pour tous x, nous devons tout d’abord imposer que la phase des
phaseurs soient identiques de chaque côté des équations (2.53) et (2.54). Cela signifie que
sin θ i = sin θ r
et
(B) n1sin θ i = n 2 sin θ t
Puisque
k1=n1k0
et
k2=n2k0
l’équation (2.53) peut se réduire à
E0i+E0r=E0t
(2.55)
E0in1cos θ i -E0rn1cos θ i =E0tn2cos θ t
(2.56)
et l’équation (2.54) à
26
La condition (A) conduit au fait bien connu que l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence, tandis
que la condition (B) est la loi de Snell-Descartes qui détermine l’angle de réfraction par rapport à l’angle
d’incidence. Finalement, on peut résoudre les équations (2.55) et (2.56) pour les deux inconnues E0r et E0t en termes
du champ incident E0i pour trouver :
ΓN ≡
E 0r n 1 cos θ i − n 2 cos θ t
=
E 0i n1 cos θ i + n 2 cos θ t
(2.57)
τN ≡
E 0t
2 n 1 cos θ i
=
E 0i n 1 cos θ i + n 2 cos θ t
(2.58)
r
où N indique que E 0i est la normale au plan d’incidence.
Ce sont les deux équations de Fresnel dans le cas où la polarisation du champ E est perpendiculaire au plan
d’incidence. Elles nous donnent le rapport de l’amplitude des ondes transmises et réfléchies par rapport à celle de
l’onde incidente. Il est à remarquer que la valeur de l’équation (2.58) est toujours positive. Cela signifie qu’à
l’interface, l’onde transmise est toujours en phase avec l’onde incidente. Le rapport (E0r / E0i)N (équation (2.57)),
quant à lui, peut être positif ou négatif selon la valeur du rapport n1/n2.
v
2.4.2 Onde incidente polarisée dont le vecteur E est parallèle au plan
d’incidence
r
Dans ce cas, les vecteurs E des trois ondes à considérer (incidente, réfléchie et transmise) doivent être dans
le plan d’incidence, comme illustré à la figure 2.4. On obtient alors les résultats suivants :
ΓP ≡
E 0r -n 2 cos θ i + n 1 cos θ t
=
E 0i
n 2 cos θ i + n 1 cos θ t
(2.59)
τP ≡
E 0t
2 n 1 cos θ i
=
E 0i n 2 cos θ i + n 1 cos θ t
(2.60)
r
Le premier rapport (équation (2.59)) peut être positif ou négatif. Cela entraîne que E 0r peut avoir la
direction indiquée à la figure 2.4 (avec le même sens ou avec le sens opposé).
Le second rapport (équation (2.60)) est toujours positif, cela veut dire que les champs électriques incidents
et transmis sont toujours en phase à l’interface.
27
FIGURE 2.4 : Plans de l’onde incidente, réfléchie et transmise pour une onde incidente polarisée d’une telle façon
r
que le vecteur E est parallèle au plan d’incidence.
La figure 2.5 résume les différences de phase pour les composantes parallèles et perpendiculaires du champ
électrique. En conclusion, les équations (2.57) à (2.60) constituent l’ensemble des équations de Fresnel. Ces
équations et la loi de Snell-Descartes nous permettent de déterminer les relations existant entre l’onde incidente et les
ondes réfléchies et transmises, à l’interface entre deux diélectriques pour tous types de polarisation du champ
électrique.
Polarisation perpendiculaire
a)
b)
28
Polarisation parallèle
c)
d)
FIGURE 2.5 : Sauts de phase à réflexion pour les polarisations perpendiculaire Φ N et parallèle Φ P du
r
champ électrique E (voir équations (2.74) et (2.75)). Les cas de réflexion externe ( a et b) et de réflexion totale ( c et
d) sont illustrés.
2.4.3 Coefficients de réflexion et de transmission de la puissance
Les équations de Fresnel sont principalement utilisées pour calculer la puissance réfléchie et celle transmise
à une interface. Pour ce type de problème, nous utilisons généralement le coefficient de réflexion R et de
transmission T (en puissance).
Le flux moyen d’énergie par unité de surface de l’onde incidente dans la direction de l’axe des z est donné
par la valeur moyenne du vecteur Poynting (section 2.3) :
r
Si
z
r
Sr
z
r
St
z
=
n1
-n
2r r
2
E0i li ⋅ a k = 1 E0i cosθ i
2 η0
2 η0
=
n1
n
2r r
2
E0r l r ⋅ a k = 1 E 0r cos θ r
2 η0
2 η0
=
n2
-n
2r r
2
E0t l t ⋅ a k = 2 E0t cos θ t
2 η0
2 η0
On définit alors R et T comme étant la norme des rapports des valeurs moyennes des vecteurs Poynting
projetés à l’interface. Ainsi,
R=
T=
Sr
Si
St
Si
z
z
z
=
E oi
z
=
2
E or
2
n 2 E or
n 1 E oi
n cos θ t
= 2
τ
n 1 cos θ i
= Γ
2
2
2
cos θ
(2.61)
t
cos θ i
(2.62)
2
29
Il est important de noter que le coefficient de transmission en intensité T est différent du carré du coefficient
de transmission en amplitude τ
S i et S t
2
. Cette différence est due au fait que nous avons projeté les vecteurs de Poynting
dans deux milieux avec des indices de réfraction différents (n1 ≠ n2, d’où θ i ≠ θ t ).
On peut écrire, à partir des équations de Fresnel et de la loi de Snell-Descartes, les coefficients R et T pour
les polarisations normales et parallèles. Nous obtenons :
2
n cos θ − n 2 − n 2 sin 2 θ 
i
2
1
i 
 1

RN = 
2
n cos θ + n 2 − n 2 sin 2 θ 
1
i
2
1
i


(2.63)
2
- n cos θ + (n / n ) n 2 − n 2 sin 2 θ 
i
1
2
2
1
i 
 2

RP = 
2
n cos θ + (n / n ) n 2 − n 2 sin 2 θ 
2
i
1
2
2
1
i


TN =
TP =
4 n 1 cos θ i n 22 − n12 sin 2 θ i
n cos θ + n 2 − n 2 sin 2 θ 
i
2
1
i
 1

(2.65)
2
4 n 1 cos θ i n 22 − n 12 sin 2 θ i
n cos θ + (n / n ) n 2 − n 2 sin 2 θ 
i
1
2
2
1
i 
 2

(2.64)
2
(2.66)
Dans les deux cas, R + T = 1 comme on devrait s’y attendre, puisque l’énergie doit être conservée. Les
figures 2.6 et 2.7 représentent les coefficients de réflexion R et de transmission T en fonction de l’angle d’incidence
pour n1 = 1 et n2 = 1,5. Il est à noter que dans le cas parallèle (figure 2.7), il existe un angle d’incidence pour lequel R
= 0. À cet angle, nommé angle de Brewster, toute la puissance de l’onde incidence est transmise au milieu 2. L’angle
de Brewster est régi par l’équation suivante :
tan θ B =
n2
n1
(2.67)
qui est obtenu en posant RP = 0. Pour une interface air-verre, θ B = 56,3º.
30
FIGURE 2.6 : Coefficient de réflexion R et de transmission T pour la polarisation perpendiculaire
FIGURE 2.7 : Coefficient de réflexion R et de transmission T pour la polarisation parallèle
2.5 Réflexion totale interne; champ évanescent
Nous allons maintenant considérer le phénomène de réflexion totale interne qui est primordial à la
compréhension des guides d’ondes diélectriques.
Si n1 > n2 et si θ i est assez grand, la loi de Snell-Descartes, qui s’écrit
sin θ t =
n1
sin θ i
n2
(2.68)
31
conduit à un résultat assez étrange, soit sin θ t > 1. En fait, cela définit pour sin θ t = 1 et θ t = 90º, un angle critique
sin θ c =
n2
n1
(2.69)
Lorsque θ est plus grand que θ c , l’angle θ t prend des valeurs imaginaires puisque le sinus de cet angle
devient plus grand que 1. Alors, on doit se rappeler qu’on utilise la notation de phaseur et par conséquent une
quantité imaginaire peut correspondre à un phénomène physique.
FIGURE 2.8 : Pour des angles d’incidence θ i égaux ou supérieurs à l’angle critique θ c , l’onde est réfléchie
totalement à l’intérieur du premier milieu (verre).
Examinons donc le champ transmis au fur et à mesure que θ i tend vers θ c ( θ i → θ c ) selon la relation
(2.43), qui est
r
r
ET = E0 t e - j k 2 (x sin θ t − z cos θ t )
(2.70)
r
où E 0t dépend de l’état de polarisation. En utilisant l’identité suivante
[
cos θ t = 1 − (n 1 / n 2 )2 sin 2 θ i
]
1/ 2
nous pouvons réécrire l’équation (2.43) comme une fonction de θ i , soit
r
r
ET = E 0 t e
- j k 2  ( n1 / n 2 ) x sin θ i − z 1-( n1 / n 2 )2 sin 2θ i 


(2.71)
32
Lorsque θ i varie de 0 à θ c , le champ transmis a une composante qui se propage dans la direction des z
négative et une autre dans la direction des x positif. Lorsque θ i = θ c , sin 2 θ c = (n1 / n 2 )2 et le terme
[1 − (n
1
/ n 2 ) 2 sin 2 θ c
]
1/ 2
est nul :
2
2
 n  n 
1−  1   2  = 0
 n 2   n1 
alors l’équation (2.71) devient :
r
r
ET = E 0 t e - j k 2 x
Le champ se propage parallèlement à l’interface (x positifs).
Regardons maintenant le vecteur de Poynting pour l’onde transmise
r
 n
2r 
S t = Re  2 E 0t l t 
 2η0

où
r
r
r
l t = sin θ t a x − cos θ t a z
et cos θ t =0 et sin θ t =1. On obtient :
r
 n
2r 
S t = Re  2 E 0t a x 
 2η0

(2.72)
L’équation (2.72) nous confirme que le flux d’énergie est nul dans le milieu 2 et qu’il se propage seulement
dans la direction des x positifs (parallèlement à l’interface).
[
Lorsque θ i devient supérieur à θ c , on observe que sin 2 θ i > (n 1 / n 2 )2 et que 1 − (n 1 / n 2 )2 sin 2 θ i
devient une quantité imaginaire. On peut alors écrire que
1 − (n 1 / n 2 ) sin 2 θ i = − j
2
]
1/ 2
(n 1 / n 2 )2 sin 2 θ i − 1
Le choix du signe négatif provient de la condition limite sur l’énergie lorsque z tend vers moins l’infini. En
remplaçant cette dernière équation dans l’équation (2.71), on obtient l’expression suivante pour le champ transmis
dans le milieu 2, pour le cas où θ i > θ c
ET = E 0 t e + α z e -j β x
(2.73)
où
α = k2
(n 1 / n 2 )2 sin 2 θ i − 1 = n 1 k 0
β=
sin 2 θ i − sin 2 θ c
k 2 n1
sin θ i = n 1 k 0 sin 2θ i
n2
33
L’onde transmise (équation (2.73)) a un comportement particulier. Elle se déplace dans une direction
parallèle à l’interface5 avec une constante de propagation β et elle s’atténue exponentiellement avec une constante
d’atténuation α dans la direction perpendiculaire6. Le flux d’énergie total traversant la surface est nul.
Pour mettre en évidence ce fait, nous allons le calculer explicitement :
r 
 n
-n
r
2r
a z ⋅ S t = Re  2 E 0t a z ⋅ l t  = Re  2 E 0t
 2η0

 2η0
2

cos θ t 

Pour θ i > θ c , cos θ t est imaginaire (équation (2.68)) ce qui implique que la puissance moyenne transmise
est nulle. Il n’y a donc pas de transport d’énergie dans le milieu 2, même s’il existe une onde évanescente.
Cette situation nous conduit à s’interroger sur le principe de la conservation de l’énergie, puisque
localement nous avons une onde incidente d’amplitude unitaire, une onde transmise qui est aussi d’amplitude
unitaire, et enfin une onde réfléchie d’amplitude unitaire. Mais en fait, l’onde plane uniforme (TEM) possède déjà
une énergie infinie. Si on veut analyser le principe de la conservation de l’énergie, on doit d’abord considérer la
situation d’un faisceau limité qui contient une énergie finie. C’est ce que nous analyserons dans les sections
suivantes.
Cependant, le calcul de la phase de l’onde pour une réflexion totale nous éclaire davantage sur cette
situation. Examinons maintenant la phase de l’onde réfléchie pour les deux types de polarisation (perpendiculaire et
parallèle). Lorsque n1 > n2 et θ i > θ c (sin θ c = n2 / n1), les coefficients de réflexion perpendiculaire (équation
(2.57)) et parallèle (équation (2.59)) deviennent :
ΓN ≡
n cosθ i + j n12 sin 2 θ i − n 22
ER
= 1
EI
n1 cos θ i − j n12 sin 2 θ i − n 22
2
2
2
E R - n 2 cos θ i − j (n 1 / n 2 ) n 1 sin θ i − n 2
ΓP ≡
=
EI
n 2 cos θ i − j (n 1 / n 2 ) n 12 sin 2 θ i − n 22
On a alors deux nombres complexes de forme
Γ=±
A + jB
A - jB
qui peuvent être écrit sous la forme
Γ=
A 2 + B 2 e j arctan (B/A)
A 2 + B 2 e - j arctan (B/A)
soit
Γ = e 2 j arctan (B/A) = 1 e j Φ
5
. C’est pourquoi que l’on nomme aussi cette onde, une onde de surface.
6
. C’est pourquoi que l’on nomme aussi cette onde, une onde évanescente puisqu’elle décroît rapidement si on
s’éloigne de la surface.
34
On a donc
 n 2 sin 2 θ − n 2
1
i
2
Φ N = 2 arctan 

n 1 cos θ i





(2.74)
et
 n n 2 sin 2 θ − n 2
1
1
i
2
Φ P = 2 arctan 
2

n 2 cos θ i





(2.75)
Finalement, on obtient
E
ΓN =  R
 EI

 = e j ΦN

N
et
E 
ΓP =  R  = e j Φ P
 EI  P
Φ P et Φ N représentent donc des sauts de phase du champ électrique réfléchi par rapport au champ
électrique incident. Ces sauts de phase sont liés à un glissement latéral du faisceau lors de la réflexion totale. Ce
glissement est appelé effet Goss-Hänchen.
On interprète ce saut de phase en considérant le fait que le faisceau doit traverser une distance
supplémentaire dans un milieu moins dense avant de réapparaître dans le milieu le plus dense.
La figure 2.9 permet de visualiser cette interprétation. Cependant, la visualisation des rayons géométriques
est limitée. On doit considérer un faisceau de lumière avec une certaine dimension pour éclaircir cette situation.
FIGURE 2.9 : Le glissement latéral zs illustré à gauche est équivalent du point de vue de l’optique géométrique à un
coeur d’épaisseur effective deff illustré à droite pour une fibre à saut d’indice.
2.6 Déplacement de Goss-Hänchen
Pour un faisceau incident avec un angle supérieur à l’angle critique Θ c , on observe un glissement ∆ du
faisceau réfléchi.
Ce glissement correspond aussi à un glissement latéral D du faisceau réfléchi par rapport à sa position
anticipée selon l’optique géométrique.
35
FIGURE 2.10 : Réflexion totale interne d’un faisceau de dimension finie entre deux milieux dont les indices de
réfraction sont n1 et n2 et où n1 > n2.
Ce phénomène fut mesuré par les chercheurs Goss et Hänchen [3, 4, 5]. Les expériences démontrent que le
déplacement est de l’ordre de longueur d’onde et qu’il dépend de la polarisation de l’onde incidente. Comme nous
l’avons signalé auparavant, notre analyse de la réflexion totale au moyen de l’onde plane uniforme ne peut permettre
de prédire ce phénomène puisqu’une onde plane uniforme ne peut être absolument localisée et par conséquent un
déplacement à la réflexion ne peut l’être non plus.
FIGURE 2.11 : Réflexion totale d’un faisceau incident
Afin de localiser un point type de l’onde incidente, on considère, tel qu’illustré à la figure 2.11, un faisceau
optique formé de l’interférence de deux ondes incidentes planes à un angle Θ1 et Θ 2 respectivement. Ces ondes
s’écrivent selon la notation phaseur
E i(1) = E 0 e - j k 1 (x sin Θ1 + z cos Θ1 )
(2.76)
E i( 2 ) = E 0 e - j k 1 (x sin Θ 2 + z cos Θ 2 )
36
Le champ total incident est formé de l’interférence de ces ondes de même amplitude mais déphasées l’une
de l’autre d’un facteur π :
E i = E i(1) − E i( 2 )
Après quelques transformations trigonométriques, on montre que
 Θ 
Θ
Θ

- j 2 k1  sin −  x cos + - z sin +
2 
2
2

E i = E i(1) 1 − e


 
 
 
(2.77)


où on a introduit
Θ + = Θ 2 + Θ1
Θ − = Θ 2 − Θ1
L’équation (2.77) permet de localiser un des zéros du patron d’interférence au moyen de l’équation de la
droite suivante
x=ztan
Θ+
2
(2.78)
Notre démarche consiste maintenant à calculer le patron d’interférence des deux ondes réfléchies en
assumant que les angles Θ1 et Θ 2 sont plus grands que l’angle critique soit
E r = Ei(1) e j Φ1 − Ei( 2) e j Φ 2
(2.79)
où Φ1 et Φ 2 sont les sauts de phase à réflexion totale pour un angle Θ1 et Θ 2 respectivement.
On montre après quelques transformations que le faisceau réfléchi peut s’écrire

 Θ− 
Θ

x cos +
- j 2 k1  sin

2 
2

(1)


E r = E r 1 − e

- z sin

Θ+  
 + j (Φ 2 − Φ1 ) 
2  
 


(2.80)
L’équation de la droite du zéro central devient alors :
x=ztan
Θ+
+
2
(Φ 2 − Φ1 )
2 k 1 sin
Θ−
cos
2
Θ+
(2.81)
2
Le déplacement latéral ∆ (selon x) du zéro est donné par
∆=
(Φ 2 − Φ1 )
2 k 1 sin
Θ−
2
cos
Θ+
(2.82)
2
L’utilisation de l’interférence de deux ondes planes nous a permis de localiser un point de l’onde incidente.
Si nous désirons calculer le déplacement pour une onde incidente à un angle Θ , nous devons chercher la limite du
37
déplacement
∆
(équation (2.82)) lorsque
Θ1 → Θ −
∆Θ
2
et Θ 2 → Θ +
∆Θ
. Nous trouvons alors que
2
Θ + → 2Θ et Θ - → ∆Θ . Ainsi, l’équation (2.82) peut être exprimée comme suit
1
 ∆Φ 
∆=

 ∆Θ  k 1 cos Θ
puisque alors Φ 2 − Φ1 → ∆Φ .
Finalement, à la limite, on trouve que le déplacement Goss-Hänchen est donné pour une onde plane
incidente à un angle Θ par
∆=
1
∂Φ
k1 cos Θ ∂ Θ
(2.83)
où Φ est le saut de phase à réflexion totale (équation (2.74) et (2.75)).
Lorsque Θ i est près de Θ c , le déplacement prédit est très grand. Cependant, il faut réaliser qu’alors notre
hypothèse de départ, soit que les deux ondes planes soient à réflexion totale, ne s’applique plus. Généralement, le
déplacement est de l’ordre de la longueur d’onde λ , donc très faible en optique (voir exercice 2.1). Cependant, la
présence de ce déplacement a été confirmée expérimentalement. Nous verrons lors de l’étude du guide d’onde
planaire que ce déplacement est nécessaire pour compléter le modèle géométrique.
Exercice 2.1
Déplacement de Goss-Hänchen
Calculez le déplacement de Goss-Hänchen D = ∆ cos Θ (voir figure (2.10)) pour une onde plane incidente
de polarisation normale (Φ N ) et perpendiculaire (Φ P ) .
Tracez le décalage pour un milieu d’indice n1 = 1,5 et n2 = 1, en fonction de l’angle d’incidence.
Normalisez le décalage selon la longueur d’onde du vide λ .
2.7 Dispersion
Nous avons introduit, au chapitre 1, les principaux problèmes que causait la transmission de la lumière dans
un milieu autre que le vide : nous avons vu qu’il faut que l’atténuation de la fibre soit relativement faible pour que
l’information (transmise sous forme de lumière) soit détectée à la fin du guide d’ondes (avec un nombre raisonnable
de répéteurs). Mais en plus d’avoir une faible atténuation, le signal reçu par le détecteur doit être facilement
reconnaissable. En effet, si on se réfère, par exemple, à la figure 1.1, la largeur temporelle des impulsions doit
demeurer relativement intacte, si on veut reconstruire le signal à l’aide d’une séquence très rapprochée de 0 et de 1
après une longue distance.
Lorsqu’un signal lumineux se propage dans un milieu, il subit un élargissement dans le temps que l’on
appelle la dispersion temporelle. Cet élargissement limite le débit dans un système de communication optique, car il
force à augmenter le délai entre deux impulsions. Il existe plusieurs causes d’élargissement temporel d’une
impulsion qui se propage dans un milieu dispersif. Une première cause vient du fait que pour une longueur d’onde
donnée (lorsque nous considérons la propagation dans une fibre multimode), les vitesses de groupe des différents
modes ne sont pas égales les unes aux autres ; nous analyserons cet effet, nommé dispersion modale, dans les
chapitres 3 et 4. Une seconde cause de la dispersion temporelle (qu’on étudiera dans cette section) vient du fait que
38
l’indice de réfraction d’un milieu dépend de la longueur d’onde et que les sources utilisées pour transmettre le signal
ne sont pas purement monochromatiques (on parle alors de dispersion chromatique ou de dispersion matériau). Les
différentes composantes spectrales d’une source ont donc des temps de propagation différents, ce qui provoque
l’élargissement d’une impulsion (peu importe le fait qu’elle soit guidée ou non).
Pour commencer, nous ferons quelques considérations générales sur la dispersion qui nous amènerons à
définir le délai entre différentes longueurs d’onde. Nous verrons alors de plus près les conditions qui permettent de
minimiser la dispersion matériau. Pour terminer, nous analyserons la propagation d’une impulsion gaussienne dans
un milieu dispersif après avoir dérivé l’équation de propagation de l’enveloppe d’un signal optique.
2.7.1 Dispersion chromatique
Une onde plane électromagnétique se propage à une vitesse de phase donnée par
vp =
ω
k
qui ne correspond pas à la vitesse de transmission du signal. En effet, un signal superposé à une onde se propage à
une vitesse de groupe qui est définie par
vg =
1
dk / dω
(2.84)
Dans un milieu non-dispersif, où l’indice de réfraction ne dépend pas de la fréquence (le vide, par exemple),
nous avons
k=
nω
c
La vitesse de groupe est ensuite égale à la vitesse de phase :
vg =
1
c
=
dk / dω n
Cependant, pour un milieu dispersif, où l’indice de réfraction est fonction de la fréquence, la vitesse de
groupe n’est pas égale à la vitesse de phase ( c / n) mais devient
vg =
1
=
dk / dω
c
n +ω
(2.85)
dn
dω
La vitesse à laquelle se propage l’information (vitesse de groupe) est donc différente pour chaque longueur
d’onde, ce qui entraîne une déformation temporelle de l’impulsion. En optique7, la vitesse de groupe est
généralement exprimée en fonction de la longueur d’onde : en utilisant la relation (2.27) avec ω =
2π c
λ
et
dn dn dλ
=
dω dλ dω
on trouve l’expression finale pour la vitesse de groupe
7
. En optique, on utilise la longueur d’onde du vide λ plutôt que la fréquence ω .
39
c
c
=
dn  N g

n - λ

dλ 

vg =
(2.86)
où
Ng = n - λ
dn
dλ
(2.87)
est l’indice de groupe caractérisant la propagation dans un milieu dispersif (notons que pour un milieu non-dispersif,
Ng = n).
Un signal lumineux parcourt donc, dans un milieu une distance L en un temps t qui est donné par
t=
L 
dn  L N g L
= n - λ
 =
vg 
dλ  c
c
(2.88)
Les sources utilisées ne sont pas monochromatiques, rappelons-le : elles ont une largeur spectrale ∆λ (qui
est définie comme la largeur à mi-hauteur) par rapport à la longueur d’onde centrale λ0 qui fait qu’une impulsion
s’élargit lorsqu’elle se propage dans un milieu dispersif. Le délai ∆ t entre deux longueurs d’onde séparées par ∆λ
est
∆λ  
∆λ 

∆t = t  λ0 +
 − t  λ0 −

2  
2 

(2.89)
En termes de l’indice de groupe Ng, cet élargissement s’exprime comme
∆t =
L
∆λ 
∆λ 


N g  λ0 +
 − N g  λ0 −

c
2 
2 


Pour des petites valeurs de ∆ t, ce résultat devient
d Ng
L
∆λ 
c
 dλ
∆t =



 λ =λ0
(2.90)
On peut montrer que
d Ng
dλ
= −λ
d2n
dλ 2
et que l’élargissement sera de l’ordre de
∆t =
L ∆λ 2 d 2 n
λ
c λ
dλ 2
(2.91)
λ = λ0
On définit la largeur spectrale relative de la source :
 ∆λ 
γs =

 λ  λ = λ0
(2.92)
40
On définit ensuite le coefficient de dispersion chromatique du matériau :
 d 2n 
γ m =  λ 2 2 
 dλ  λ =λ0
(2.93)
et nous obtenons ce résultat utile qui nous donne l’élargissement de l’impulsion de largeur spectrale ∆λ qui se
propage sur une distance L dans un milieu dispersif :
∆t =
L
γs γm
c
(2.94)
Dans la figure 2.12 a, nous retrouvons le graphique du coefficient de dispersion matériel γ m en fonction de
la longueur d’onde ( pour le profil d’indice de la silice fondue, illustré à la figure 2.12 b). Nous remarquons que
γ m change de signe à la longueur d’onde λ = λ 0 = 1,27 µ m , qui correspond au point d’inflexion de la courbe n ( λ )
en fonction de λ ; ce point est souvent qualifié de « longueur d’onde de dispersion zéro ». Il faut comprendre que
pour cette longueur d’onde, l’élargissement est nul, selon le calcul au premier ordre. D’une part, une source réelle
émet une certaine largeur spectrale car elle possède toujours un spectre de fréquences. D’autre part, la dispersion
monochromatique sera minimisée si la source utilisée émet à une longueur d’onde près de λ0 , qui est différente pour
chaque milieu de propagation.
FIGURE 2.12 a) : Le coefficient de dispersion γ m = λ 2
d 2n
dλ 2
en fonction de la longueur d’onde
41
FIGURE 2.12 b) : Indice de réfraction de la silice en fonction de la longueur d’onde
Si on veut calculer l’effet de la dispersion chromatique dans une fibre optique, on peut utiliser le résultat
précédent
∆t =
L
γs γm
c
où γ s est la largeur spectrale relative de l’impulsion générée par la source, qui peut différer de la largeur spectrale
de la source. Pour une impulsion gaussienne, l’élargissement d’impulsion ∆t prévu sera donné, selon l’exercice 2.2,
par
∆t =
L
c2
(0,44)
λ γm
T0
Cette dernière relation peut être transformée comme suit
∆t (ps - km ) = 5 γ m
λ ( µ m)
T0 (ns)
où les unités de ∆ t : picosecondes,
les unités de λ : microns
les unités de T0 : nanosecondes
et où la distance L a été fixée à 1 kilomètre.
Exercice 2.2
Largeur spectrale d’une impulsion
On suppose une impulsion gaussienne décrite par l’équation suivante
42
S(t)=S0 e − α 0 t
2
où
α0 =
2 ln 2
(T0 ) 2
et T0 est la largeur totale à mi-hauteur en intensité.
Calculez le spectre de fréquences E ( ω ) au moyen de la transformée de Fourier
E (ω ) =
2π ∫
1
+∞
−∞
E (t ) e - j ω t dt
Pour une impulsion optique S(t), le champ électrique s’écrit
E ( t ) = S(t) e j (ω0 t - k 0 z )
c’est-à-dire une impulsion S(t) à la fréquence de la porteuse ω 0 . On suppose que le champ électromagnétique est
une onde TEM se propageant selon la direction z (avec un vecteur d’onde k0).
Cet exercice vous permettra de démontrer le lien suivant entre la largeur T0 et de la largeur spectrale
γ s de l’impulsion :
T0 =
0,44λ
cγ s
Cette propriété fondamentale nous indique qu’une impulsion brève (T0 petit) a une largeur spectrale très
large ( ∆λ très grand ) . Une impulsion brève sera donc grandement affectée par la dispersion matériau.
2.7.2 Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif
L’analyse précédente nous a montré l’importance de la dispersion sur l’élargissement d’une impulsion qui
se propage dans un milieu dispersif. Dans cette section, nous dériverons une équation intégrale qui permet de
propager une impulsion quelconque dans un milieu dispersif du second ordre.
On sait qu’une onde plane uniforme qui se propage dans un milieu dispersif est caractérisée par un vecteur
d’onde β (ω ) qui s’écrit :
E (ω , z) = E (ω , 0) e -jβ z
(2.95)
où E est la composante transverse du champ électrique à la fréquence ω . Pour un milieu diélectrique chromatique,
on sait que β = k (ω ) =
ω
c
n (ω ) où n varie avec la fréquence. Pour un milieu guidé, on note généralement que le
vecteur d’onde β et sa dépendance en fréquence sont obtenus après le calcul des modes.
Par exemple, on sait que pour des guides métalliques que la fonction de dispersion est de la forme
ω
β (ω ) =
c
 ω c2 
1 − 2 
 ω 
1/ 2
43
où ω c est la fréquence de coupure du mode.
Afin d’évaluer la propagation d’une impulsion qui contient tout un spectre de fréquences, il faut appliquer la
loi de propagation (2.95) à chaque fréquence et par la suite reconstruire l’impulsion à partir du spectre des
fréquences. L’outil nécessaire pour la conversion temps versus fréquence est naturellement la transformée de
Fourier.
La figure 2.13 illustre schématiquement le processus suivi. D’abord, l’impulsion d’entrée (z = 0) subit une
première transformée de Fourier qui nous donne son spectre initial E( ω , 0). Chacune des fréquences du spectre est
propagée comme une onde plane dans le milieu dispersif β (ω ) .
FIGURE 2.13 : Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif. La transformée de Fourier permet d’obtenir la
propagation E ( t, z) à partir de E (t, 0) au moyen du schéma de cette figure.
Enfin, le nouveau spectre obtenu E( ω , z) est converti en une impulsion modifiée E (t, z) au moyen de la
transformée de Fourier inverse.
Ces diverses transformations s’écrivent successivement comme suit :
E (ω , 0) =
2π ∫
1
+∞
−∞
E ( t, 0) e - j ω t dt
E (ω , z ) = E (ω , 0) e -j β (ω ) z
E (t, z ) =
2π ∫
1
+∞
−∞
E (ω , z ) e
jω t
(2.96)
(2.97)
dω
(2.98)
On caractérise une impulsion optique au moyen de son enveloppe S(t) selon :
E (t, z ) = S (t, z) e j [ω0 t - β 0 z ]
(2.99)
44
où ω 0 est la fréquence de la porteuse et β 0 le vecteur d’onde à cette fréquence.
Après avoir introduit les équations (2.96) et(2.97) dans l’équation (2.98), on obtient la solution formelle
pour S(t, z) :
S (t, z) =
1
2π
+∞ +∞
∫ ∫
−∞ − ∞
S (t 0 , 0) e j (t 0 − t ) (ω 0 −ω ) e - j z (β (ω )− β 0 ) dω dt 0
(2.100)
où S(t0, 0) est la forme de l’enveloppe de l’impulsion initiale.
Nous pourrons donc déterminer l’évolution d’une impulsion dans un milieu dispersif lorsque la relation de
dispersion β (ω ) sera connue. Ce calcul, pour les guides d’ondes, sera l’objet des prochains chapitres. Nous pouvons
cependant poursuivre le développement mathématique de façon générale (c’est-à-dire sans spécifier de milieu
spécifique) en utilisant l’expansion de β (ω ) en série de Taylor :
β (ω ) = β 0 + (ω − ω 0 )β 1 + (ω − ω 0 )2
β2
+ ...
2
(2.101)
Cette approximation revient à supposer que la largeur de bande spectrale de l’impulsion considérée est
petite, ce qui est habituellement le cas ; nous négligeons donc les termes d’ordre supérieur à deux.
L’intégrale de propagation de l’enveloppe – équation (2.100)- devient alors :
1
S (t, z) =
2π
+∞ +∞
∫ ∫
−∞ −∞
S (t 0 , 0) e
[- j ((t 0 − t ) + β1 z ) (ω −ω 0 )]
e
 z β2
(ω −ω 0 )2 
−j
2


dω dt 0
(2.102)
En utilisant la relation
q2
∫
+∞
−∞
e -p
x +q x
2 2
dx =
π 4 p2
e
p
(2.103)
où il n’y a pas de restriction sur p et q , l’équation (2.102) devient :
S (t, z) =
1
2π j β2 z
∫
+∞
−∞
S (t 0 , 0) e
 (t - β1 z - t 0 )2 
j

 2 β 2 z 
dt 0
(2.104)
Cette équation intégrale contient toute l’information sur la déformation d’une impulsion qui se propage dans
un milieu dispersif de second ordre (voir équation (2.101)). On note que le centre de l’impulsion se propage à la
vitesse de groupe :
vg =
1
β1
(2.105)
z
vg
(2.106)
On définit alors une variable temporelle locale
τ =tet l’équation de propagation devient
45
S (t, z) =
∫
1
2π j β2 z
+∞
−∞
S (t 0 , 0) e
 (τ −τ 0 )2 
j

 2 β 2 z 
dτ 0
(2.107)
Cette dernière équation nous donne le changement de la forme de l’impulsion autour de son centre ( τ = 0),
lorsqu’elle se propage dans un milieu dispersif. En particulier, on note que le changement de la forme de l’impulsion
est proportionnel à la distance de propagation z multipliée par la dérivée seconde de dispersion β 2 . On note de plus
que ceci est en accord avec le modèle très simplifié de la section précédente.
On note de même que le changement de signe de β 2 (normale, anormale) change l’équation de propagation
– équation (2.107) – en un complexe conjugué. L’effet de ce changement de signe n’affectera pas le profil d’intensité
de l’impulsion. Afin de bien visualiser la déformation d’une impulsion dans un milieu dispersif, nous considérerons
l’exemple d’une impulsion gaussienne dans la section suivante.
2.7.3 Propagation d’une impulsion gaussienne
À titre d’exemple, nous allons considérer de plus près la propagation d’une impulsion gaussienne dans un
milieu dispersif ; pour ce faire, nous spécifierons l’enveloppe initiale S(t, 0) afin d’obtenir l’équation gouvernant la
propagation de l’enveloppe S(t, z). Soit une impulsion gaussienne donnée à z = 0 :
E ( t, 0) = S (t, 0) e j ω0 t
(2.108
S (t, 0) = S 0 e - α 0 t
(2.109)
)
où S(t,0) est égal à
2
Le paramètre α 0 est relié à la largeur totale à mi-hauteur de l’impulsion T0 (en intensité) par la relation
suivante :
T02 =
2 ln 2
α0
En portant la valeur de S(t, 0) donnée ci-dessus dans l’équation (2.107) et en utilisant l’intégrale précédente
(2.103), nous obtenons :
S (τ , z ) = S 0


-α 0τ 2


1+ 2 j α 0 β 2 z 
e
1 + 2 jα 0 β 2 z
(2.110)
Afin de pouvoir interpréter ce résultat, il faut tout d’abord l’exprimer en termes de ses parties imaginaires et
réelles, soit :
S (τ , z ) =
[1 + (2 α
S0
0
β 2 z) 2
]
1/ 4


- α 0τ 2
exp 

2
1 + (2 α 0 β 2 z) 
 j 2 α 02 β 2 z τ 2 
- j

× exp 
exp  arctan(2α 0 β 2 z )
2
2

1 + (2 α 0 β 2 z) 
Il est important de noter que cette enveloppe S( τ , z) appartient à une onde plane de fréquence de porteuse
ω 0 et de vecteur d’onde β 0 soit
46
E (τ , z ) = S (τ , z ) e j ω 0 t e -j β 0 z
L’interprétation électromagnétique du résultat est donc la suivante :
1.
L’amplitude de l’impulsion s’élargit toujours quelque soit le signe de β 2 tout en demeurant gaussienne. On
peut donc alors calculer la largeur totale à mi-hauteur qui est donnée par :
 (2,8 β 2 z) 2 
T(z) = T0 1 +

T04


1/2
(2.111)
Cet élargissement de l’impulsion est accompagné d’une diminution de l’amplitude centrale. Cependant, il y a
conservation de la puissance.
2.
L’effet du terme de phase parabolique (en τ 2 ) doit être associé au terme de fréquence ( ω 0 t) de l’onde. On
réalise ainsi que la fréquence change lorsqu’une impulsion se propage dans un milieu dispersif.
Si on définit une fréquence instantanée [ω ( t) = ω 0 + ω 0’ t] , on nomme alors le terme :
ω 0’ =
2 α 02 β 2 z
[1 + (2 α 0 β 2 z ) ]
2
(2.112)
le glissement (« chirp »). Ce terme de glissement peut être positif ou négatif selon le signe de β 2 (voir les
figures 2.14 a et 2.14 b). 8
3.
L’autre terme de phase est associé à une anomalie de phase qui fait que le vecteur d’onde véritable n’est pas
donné uniquement par β 0 .
En conclusion, on rappelle qu’une impulsion gaussienne s’élargit en se propageant dans un milieu dispersif
(normal ou anormal). Seul le signe du glissement (« chirp ») subit par l’onde peut nous indiquer que le milieu est à
dispersion normale ou anormale. Il est d’usage de définir une distance z0, longueur parcourue dans un milieu
dispersif pour laquelle l’impulsion double sa largeur temporelle. Cette relation entre la largeur temporelle et la
distance z0 peut être obtenue directement de l’équation (2.111) :
z 0 ≅ 0,62
T02
β2
(2.113)
D’après cette dernière définition, on remarque que plus une impulsion est courte, plus vite (en termes de
longueur de parcours) elle doublera sa longueur. On note aussi l’importance de la dérivée seconde de β 0 ( β 2 ) .
Ce résultat a été obtenu pour une impulsion gaussienne uniquement. Cependant, l’analyse numérique nous
montre qu’essentiellement les mêmes observations peuvent être faites pour une impulsion générale dont la forme est
du même type. Les figures 2.15 a et 2.15 b montrent l’évolution des impulsions gaussiennes lors de sa propagation
dans un milieu dispersif.
. Il est à noter que ces deux figures présentent les paramètres normalisés α 0 , ω 0 et ω 0’ qui ne correspondent pas à
des situations physiques réalistes.
8
47
FIGURE 2.14 a) : Impulsion avec glissement de fréquence positif (milieu à dispersion normale : les hautes
2
fréquences se déplaçant plus vite se trouvent au devant de l’impulsion) ( e -t cos (4t + t 2 ))
FIGURE 2.14 b) : Impulsion avec glissement de fréquence négatif (milieu à dispersion anormale : les basses
2
fréquences se déplaçant plus vite se trouvent au devant de l’impulsion) ( e -t cos (4t − t 2 ))
48
FIGURE 2.15 a) : Propagation d’une impulsion gaussienne en milieu dispersif pour diverses valeurs de z /z0
FIGURE 2.15 b) : Propagation d’une impulsion gaussienne en milieu dispersif, vue tridimensionnelle
49
2.7.4 Dispersion matériau et largeur de bande
En communication optique, on spécifie la capacité du lien optique par une largeur de bande en MHz-km.
Comme nous l’avons déjà mentionné, l’information dans un tel système de communication est limitée par la largeur
de bande minimale des impulsions qui sont transmises les unes à côtés des autres tout en pouvant être encore
distinguées les unes des autres. Si on ignore pour l’instant les problèmes techniques, on peut supposer que la source
émet des impulsions très brèves ; donc, à priori, la capacité du lien optique est extrêmement grande. Cependant,
comme nous venons de le voir (équation (2.94)), le phénomène de dispersion matériau (chromatique) fait que cette
impulsion aura une largeur typique de
τ=
L
γs γm
c
(2.114)
après avoir parcouru une distance L dans un milieu de coefficient de dispersion γ m , et ce pour une impulsion
générée par une source de largeur spectrale γ s .
La largeur de bande du lien optique est donnée par l’inverse de cette largeur :
B=
c
(2.115)
Lγ s γ m
Lorsque L est égal à un kilomètre, nous avons :
B=
0,3
γs γm
MHz - km
Pour une source LED, la largeur spectrale est typiquement de ∆λ = 30 nm à λ = 850 nm ( γ s ≈ 0,035) et le
coefficient de dispersion matériau est d’environ γ m = 0,021, ce qui donne une largeur de bande de B = 400 MHz-km.
Il est cependant plus juste de calculer la largeur de bande du lien optique au moyen de la largeur des
impulsions (T0) utilisées à l’entrée. En effet, une source de largeur spectrale ∆λ permet de générer une impulsion
lumineuse d’une largeur T0. Conséquemment, si nous utilisons des impulsions de largeur To, la largeur de bande sera
de 1 / T0. Cependant, comme nous l’avons vu à l’exercice 2.4, une impulsion gaussienne de largeur T0 s’élargit dans
un milieu dispersif, selon
 
T
T(z) = T0 1 +  m
 T
  0




4
1/2



(2.116)
La largeur de bande du lien optique sera donc donnée par l’inverse de cette largeur des impulsions lorsque
la distance z sera d’un kilomètre :
B=
1
T (1 km)
Exercice 2.3
Le paramètre de dispersion
L’équation (2.110) nous donne la loi de propagation pour une impulsion gaussienne dans un milieu de
50
dispersif caractérisé par la dérivée seconde
d2β
dω 2
= β2
à la fréquence de la porteuse ω 0 . Il est utile ici d’introduire un diamètre sans dimension γ = (ω 0 c )β 2 pour
caractériser la dispersion du système.
Pour un milieu chromatique n (λ ) , on caractérise la dispersion par le paramètre suivant :
 d 2n 
γ m =  λ 2 2 
 dλ  λ =λ0
où λ0 est la longueur d’onde de la porteuse. Montrez que dans ce cas γ = γ m . Ensuite, calculez la distance type
z0 (2.113) pour laquelle l’impulsion double sa largeur en fonction du paramètre de la dispersion matériau γ m .
Pour une diode LED émettant à 0,85 µm , donnez quelques exemples de cette longueur z0 pour des impulsions
allant de 10 ps à 100 ns.
Exercice 2.4
La loi de propagation pour la largeur d’une impulsion
Montrez que l’on peut écrire la loi de propagation T(z) d’une impulsion gaussienne pour une largeur
initiale T0 (voir équation (2.111)) de la manière suivante :
 
T
T(z) = T0 1 +  m
 T
  0




4
1/2



où
 0,44 γ λ z 
Tm = 

c2


1/2
Si on trace T en fonction de T0, on obtient une courbe avec un minimum à T0 = Tm. Vérifiez cette
affirmation.
51
Loi de propagation pour une impulsion gaussienne
On note que cette impulsion de largeur T0 = Tm est celle qui s’élargira le moins rapidement pour une
distance donnée. Calculer la largeur d’une telle impulsion pour une DEL opérant à λ = 0,8 µm et ce pour une
distance de 1 km, 10 km , 100 km.
2.7.5 Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif et non
linéaire
Nous venons de montrer qu’une impulsion optique qui se propage dans un milieu dispersif subit toujours un
élargissement. Un autre effet optique important, l’effet Kerr optique, modifie aussi la forme de l’impulsion
lumineuse. Cet effet non linéaire se caractérise par la relation de constitution suivante
r
r
D = ε ε + ε2
r2r
ε ε
(2.117)
En optique, on préfère écrire cette relation sous la forme d’un indice de réfraction non linéaire. Cependant,
l’indice de réfraction ne peut suivre les hautes fréquences contenues dans le terme
r
ε
2
. On remplace donc ce
terme par sa valeur moyenne calculée sur la partie la plus facile, laquelle est proportionnelle au carré de la valeur de
l’impulsion de l’enveloppe S
2
.
Pour une impulsion optique à la fréquence de la porteuse ω 0 et une enveloppe S(t), la relation devient :
n NL = n (ω ) + n 2 S(t)
2
(2.118)
On a donc pour un milieu non linéaire dispersif, un indice qui s’écrit comme une somme d’une partie
linéaire dispersive n (ω ) et d’un terme non linéaire qui dépend de l’intensité du champ électrique S(t) . L’indice
non linéaire n2 caractérise le milieu d’indice n0 à la fréquence de la porteuse. Aux longueurs d’ondes optiques,
l’indice non linéaire du verre est d’environ n2 = 2,3 X 10-22 (m2 / v2). Bien que cette valeur soit très petite, elle peut
2
conduire à des modifications importantes de la forme de l’impulsion lorsque le champ local S(t)
2
est très intense.
52
Par exemple, une fibre optique monomode, qui a un diamètre d’environ 10 µm , requiert seulement
quelques milliwatts pour que le terme non linéaire devienne important. Afin d’étudier le comportement d’une
impulsion optique dans un tel milieu non linéaire, il nous faut dériver une équation de propagation dans ce milieu. La
présence du terme non linéaire rend impossible l’obtention d’un propagateur intégral tel qu’obtenu pour le milieu
dispersif linéaire (2.107). Cependant, il est possible de dériver une équation différentielle pour cette situation.
En particulier, pour le cas d’un milieu dispersif linéaire, on montre par différentiation directe (à faire en
exercice), que le propagateur intégral (2.107) correspond à l’équation différentielle suivante pour l’enveloppe
S (τ , z ) :
β 2 ∂ 2S
∂S
+j
=0
2 ∂τ 2
∂z
(2.119)
On peut montrer (voir annexe 2) que pour un n2 petit que cette équation différentielle devient pour un milieu
dispersif et non linéaire :
β 2 ∂ 2S
∂S
2
+ j − n2 β0 S S = 0
2
2 ∂τ
∂z
(2.120)
En optique, cette équation non linéaire est connue sous le nom d’équation de Schrödinger non linéaire. En
effet, cette équation pour le cas linéaire (n2 = 0) est la même que l’équation de Schrödinger. Cependant, son
interprétation est ici tout à fait différente.
La propagation d’une impulsion optique dans un milieu dispersif non linéaire est donc régi par cette
équation différentielle que l’on résout habituellement par des méthodes numériques.
En particulier, l’étude numérique montre que pour un milieu focalisant (n2 > 0) tel que le verre, une
impulsion optique s’élargit toujours lorsque la dispersion est normale ( β 2 > 0). Cependant, lorsque la dispersion est
anormale ( β 2 < 0 , e.g. verre pour λ > 1,28 µm ) et que l’intensité de l’impulsion est supérieure à une certaine
limite, on observe une compression de l’impulsion.
Ces observations nous amènent à réaliser que la non linéarité peut éventuellement compenser la dispersion.
Ceci nous amène à chercher une forme temporelle pour l’enveloppe du type onde solitaire.
S (τ , z ) = e jΓ z F(τ )
(2.121)
L’équation différentielle pour F devient alors
β 2 d 2S
2
− Γ F − n2 β0 F F = 0
2
2 dτ
(2.122)
Cette équation peut avoir comme solution une sécante hyperbolique
F(τ ) = S1 sech (α τ )
(2.123)
à la condition que
Γ=
β2 α 2
2
(2.124)
et que
S1
2
=−
β 2α 2
β0 n2
(2.125)
53
On note que ceci n’est possible que si β 2 et n2 sont de signe opposé.
Par exemple, pour le verre n2 est positif et conséquemment, cette solution ne sera possible que dans la
région anormale ( β 2 < 0) soit pour des longueurs d’ondes supérieures à 1,28 µm . Pour obtenir cette solution, il faut
2
que l’intensité pointe S1 soit précisément égale à la valeur donnée par l’équation (2.125). Cette intensité pointe
est d’autant plus grande que la largeur de l’impulsion est petite (voir exercice 2.6). Cette onde solitaire est en fait un
soliton optique (suite à certaines propriétés mathématiques) et est générée maintenant dans les fibres optiques. Le
soliton optique possède donc la merveilleuse propriété de se propager dans un milieu dispersif sans changer sa
forme. On anticipe alors l’importance de cette forme d’impulsion pour les communications optiques sur de longues
distances.
Il est d’usage d’introduire dans l’étude des effets non linéaires dans une fibre optique, une notation
normalisée afin de faciliter l’analyse. On définit un temps normalisé
t =α τ =
τ
T
(2.126)
c’est-à-dire que cette variable temporelle sans dimension est égale au temps local τ divisé par la largeur type de
l’impulsion T. On définit aussi une distance de propagation normalisée
x = β2
z
(2.127)
T2
Enfin, on normalise l’enveloppe de l’impulsion S avec l’amplitude S1 de la solution soliton.
V (t, x) =
S (τ , z )
S1
(2.128)
où S1 est donné à l’équation (2.125).
Dans cette nouvelle notation l’équation de l’enveloppe normalisée devient
∂V
1 ∂ 2V
+j
+ V
2
∂x
2 ∂t
2
V=0
(2.129)
La solution fondamentale (N=1) s’écrit alors,
V (t, x) = (1) e j x /2 sech (t)
(2.130)
qui est une enveloppe d’amplitude unitaire et de largeur type unitaire. Ici, on a mentionné le soliton fondamental
(N=1) parce qu’il existe d’autres formes plus complexes de solitons lorsque l’amplitude initiale est un entier : 2, 3,
4,…
Ces solutions, pour une dispersion anormale, sont illustrées sur les figures suivantes où la forme de
l’impulsion initiale est donnée par V(t, 0) = N sech ( t). Il est à noter que ces solutions sont périodiques selon l’axe
des x et de période π /2 pour des valeurs entières de N (N= 2, 3,…), comme l’illustrent les figures suivantes.
54
FIGURE 2.16 : Propagation d’impulsion de coefficient N = 0,5 , selon la Méthode de Propagation de Faisceau
(MPF). Notez que l’impulsion se disperse pour x ∞ .
FIGURE 2.17 : Propagation d’impulsion de coefficient N = 1,0. L’impulsion ne subit aucune dispersion lors de sa
propagation. C’est le SOLITON FONDAMENTAL.
55
FIGURE 2.18 : Propagation d’impulsion de coefficient N = 1,5. L’impulsion se comprime et se disperse après une
distance x > π /2.
FIGURE 2.19 : Propagation d’impulsion de coefficient N = 2,0. L’impulsion se comprime jusqu’à un maximum à
π /4, se disperse par la suite et revient à sa forme originale à π /2 : on a alors un SOLITON PÉRIODIQUE.
56
FIGURE 2.20 : Propagation d’impulsion de coefficient N = 3,0. L’impulsion se comprime deux fois sur un cycle de
π /2 : on a alors un SOLITON PÉRIODIQUE.
Exercice 2.5
Le coefficient de dispersion D de la vitesse de groupe
L’effet de dispersion est contenu dans le terme de la dérivée seconde de la relation de dispersion ( β 2 ). La
valeur de β 2 n’est habituellement pas donnée dans les tables. C’est pour cette raison que nous avons introduit le
paramètre de dispersion γ = ω 0 c β 2 (voir exercice 2.3).
Pour une fibre optique, on utilise aussi un autre coefficient de dispersion D de la vitesse de groupe qui est
défini par
D=
d  1
dλ  v g




Les unités de D sont généralement ps / nm-km.
Établissez la relation entre les coefficients D et γ . Complétez la table suivante pour les différentes
valeurs de D. Considérez que la longueur d’onde est de λ = 1,3 µm .
57
γ
D (ps / nm-km)
1
4
-2
-3
Exercice 2.6
Calcul de SOLITON
Complétez le tableau suivant pour un soliton se propageant dans une fibre optique (diamètre* = 9 µm ) à
une longueur d’onde de λ = 1,3 µm en posant un coefficient de dispersion de groupe de D = 15 ps / nm-km.
Largeur de
l’impulsion
Puissance du soliton
(Watts)
Période du soliton
(m ou km)
0,5 ps
5 ps
50 ps
500 ps
* Supposez que c’est un diamètre effectif sur lequel la distribution transverse est uniforme.
58
3 Modes guidés d’une structure diélectrique plane
L’analyse des guides diélectriques symétriques à trois couches (« slab waveguide ») a l’avantage de
présenter des solutions mathématiques simples et faciles à comprendre. Ces guides (voir figure 3.1) sont non
seulement des outils pédagogiques importants mais sont aussi des structures essentielles pour la technologie de
l’optique intégrée.
L’étude d’un diélectrique est un problème aux conditions limites. En effet, pour obtenir les expressions
complètes des modes de propagation, on résout l’équation d’onde sujette à des conditions frontières. L’une de ces
conditions fixe l’amplitude relative des champs à l’intérieur et à l’extérieur du guide; l’autre résulte en une équation
aux valeurs propres permettant le calcul de la constante de propagation du mode guidé.
Pour simplifier notre analyse, nous allons séparer les modes guidés en mode TE et TM pairs et impairs.
Après avoir trouvé les expressions des constantes de propagation des modes, nous ferons un parallèle entre modes et
ondes planes. Nous verrons que la coupure d’un mode correspond à la perte de réflexion totale interne des ondes
planes se propageant dans le guide. Ceci nous amènera à introduire un modèle géométrico-ondulatoire de la
propagation des modes. Nous discuterons ensuite de la relation de dispersion des modes ainsi que des propriétés
spatiales de ces modes. Pour terminer ce chapitre, nous considérerons deux guides plans identiques séparés par une
distance finie. Cet exercice nous permettra d’introduire clairement les équations fort importantes pour les
applications des modes couplés.
3.1 Diélectrique symétrique à trois couches :analyse globale
Un guide à trois couches est un guide bidimensionnel (selon les directions x et z) et infiniment étendu dans
la direction des y (voir figure 3.1). Afin de simplifier notre première analyse, nous supposerons que la couche du
substrat possède le même indice diélectrique n2 que la couche de la gaine. Le problème consiste donc à trouver les
modes de propagation possibles dans un guide donné où les valeurs de n1, n2, k0 et a sont connues. Cela revient à dire
qu’il faut trouver chacune des composantes des champs électriques et magnétiques et évaluer leurs constantes de
propagation dans cette structure. Les étapes que nous suivrons afin de résoudre ce problème de conditions aux
limites du guide plan sont résumées au tableau 3.1.
FIGURE 3.1 : Géométrie d’un guide diélectrique à trois couches
59
1.
Modèle mathématique du guide plan à saut d’indice utilisant l’équation d’onde et de Maxwell en
coordonnées cartésiennes.
2.
Identification des deux familles de mode TE et TM.
3.
Sélection de la forme appropriée de la solution de l’équation d’onde dans les régions d’indice n1 et n2 à
partir des considérations physiques de guidage.
4.
Applications des conditions aux limites à l’interface n1 / n2 et obtention de l’équation caractéristique et
des solutions modales correspondantes.
Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure.
TABLEAU 3.1 : Analyse du guide diélectrique plan – étapes suivies
3.1.1 Modèle mathématique (étape 1)
La solution d’un guide d’ondes consiste à chercher des solutions des équations de Maxwell qui satisfont les
conditions aux limites et qui propagent l’énergie selon une direction définie. Nous savons déjà que les équations de
Maxwell consistent en fait en 6 équations différentielles scalaires couplées (équation (2.26)). On anticipe que la
solution de ce problème peut être très lourde. Cependant, une analyse mathématique des équations de Maxwell qui
tient compte de la géométrie du problème physique permet de simplifier passablement l’analyse et la compréhension
du guidage des modes. Les guides intéressants pour les applications possèdent toujours une symétrie élémentaire
reliée d’abord au processus de fabrication (e.g. plan, cylindrique…). Ici nous considérerons un guide plan infini
selon la direction y et qui contient l’énergie dans le plan x tout en la propageant selon la direction +z.
Afin de bien identifier ces conditions, nous écrivons le champ électrique et magnétique de la façon suivante.
v
r
}
(3.1)
r
}
(3.2)
= Re { E 0 (x)e-j β ze j ω t
v
H = Re { H 0 ( x)e-j β z e j ω t
C’est-à-dire que nous cherchons une solution monochromatique de fréquence ω qui propage l’énergie
selon la direction +z avec une constante de propagation β 9. De plus, cette onde aura une distribution d’amplitude
selon l’axe x, nous cherchons avant tout les solutions dont l’amplitude est importante dans la région –a < x < a.
Enfin, nous supposerons que cette distribution d’amplitude sera uniforme selon l’axe y, c’est-à-dire que les champs
r
r
E 0 et H 0 ne sont pas fonction de la position y.
En substituant cette forme pour les champs électriques et magnétiques, les équations de Maxwell –
r
r
équations (2.24) et (2.25)- s’écrivent, pour chacune des composantes scalaires E 0 et H 0 :
β H y0 =
- j β H x0 −
9
k0 2 o
n Ex
η0
dH z0
k
= j 0 n 2 E y0
η0
dx
(3.3a)
(3.3b)
. Ceci est vrai si β est un nombre réel.
60
dH y0
k0 2 0
n Ez
η0
(3.3c)
β E y0 = - k 0η 0 H x0
(3.4a)
=j
dx
j β E x0 +
dE y0
dx
dE z0
= j k 0 η 0 H y0
dx
(3.4b)
= − j k 0 η 0 H z0
(3.4c)
Notez que nous avons encore utilisé k0 au lieu de la fréquence ω de la source ; nous avons aussi employé η 0 pour
désigner l’impédance du vide au lieu d’utiliser ε o et µ 0 en vue de se conformer aux usages de l’optique.
Il est possible d’écrire toutes les composantes transverses des champs (Ex, Ey, Hx, Hy) en fonction des
composantes longitudinales Ez et Hz.
Par exemple, nous obtenons l’expression de Ex en fonction de Ez et Hz en substituant (3.4b) dans (3.3a).
Ainsi, on montre que :
(n 2 k 20 − β 2 ) E x0 = - j β
dE z0
dx
(3.5)
Il est utile de définir une nouvelle constante γ de la façon suivante
γ 2 ≡ n 2 k 20 - β 2
(3.6)
afin d’alléger la notation puisque cette constante, qui est en fait la différence entre le carré de la constante de
propagation d’une onde plane dans le milieu d’indice n (k = nk0) et le carré de la constante de l’onde guidée β ,
interviendra tout au long des calculs des modes de structures planaires ou cylindriques. On nommera cette constante,
la constante de propagation transverse.
Pour ces combinaisons linéaires entre les diverses composantes, on obtient les relations suivantes :
E x0 = -
j
γ2
η 0 H y0 = n 2
dE z0
dx
(3.7a)
ko 0
Ex
β
(3.7b)
β
c’est-à-dire que les composantes Ex et Hy ne dépendent que du champ Ez. De même on montre que
E y0 = +
j k 0η 0 dH z0
dx
γ2
η 0 H x0 = -
β 0
Ey
k0
(3.8a)
(3.8b)
61
où on note maintenant que les composantes Ey et Hx ne sont fonction que du champ Hz.
D’autre part, on sait (équations (2.26)) que chacune des composantes des champs obéit à l’équation d’onde
scalaire. Ici, on choisira naturellement d’écrire l’équation d’onde seulement pour les composantes longitudinales des
champs soit :
d 2 E zo
dx
2
d 2 H zo
dx 2
+ γ 2 E z0 = 0
(3.9a)
+ γ 2 H z0 = 0
(3.9b)
La solution des modes du guide est maintenant ramenée à la solution de ces équations d’onde (3.9) qui
permettront, par la suite, le calcul des composantes transverses (3.7) et (3.8) dans les deux régions d’indice n1 et n2.
3.1.2 Modes TE et TM (étape 2)
La solution de l’équation d’onde (3.9a) amènera pour le champ Ez deux constantes arbitraires d’intégration
l’une reliée à l’amplitude dans la région 1 et l’autre à l’amplitude du champ dans la région 2. De même, la solution
du champ Hz donnera deux autres constantes. L’application des conditions aux limites sur les champs tangentiels à
l’interface n1/n2 reliera les 4 contantes (Ey, Hy et Ez, Hz) sous la forme de 4 équations. Ce système de 4 équations, 4
inconnus pourrait être solutionné globalement. Cependant, l’analyse des équations que nous venons de dériver (3.7)
et (3.8) nous indique que l’application des conditions aux limites sur Hy et Ez reliera les constantes d’intégration du
champ Ez des régions 1 et 2 alors qu’indépendamment l’application des conditions aux limites sur Ey et Hz reliera les
deux constantes du champ Hz. Il s’ensuit que le système de 4 équations, 4 inconnus sera formé de deux groupes de 2
équations, 2 inconnus complètement indépendants. Il est d’usage d’étudier indépendamment ces deux groupes en
supposant d’abord que les constantes du champ Ez sont nulles, i.e. que le champ Ez ≡ 0.
On obtient alors l’ensemble des champs indiqués au tableau 3.2.
TE
H zo : solution de 3.9b
E z0 ≡ 0
E x0 = 0
E y0 = j
où γ 2 = n 2 k 02 −
η 0 k o dH z0
γ 2 dx
H x0 = − j
β dH z0
γ 2 dx
H y0 = 0
2
N.B. : n = n1 dans le coeur et n = n2 dans la gaine
TABLEAU3.2 :ComposantesdeschampspourlemodeTE
Ce groupe correspond à la famille des modes que l’on qualifie TE puisque la seule composante du champ
électrique non nulle se situe dans le plan transverse (Ey). L’autre groupe s’obtient en supposant que le champ axial
Hz ≡ 0. On a alors la famille des modes TM, puisque le champ magnétique a seulement une composante transverse.
Le tableau 3.3 nous indique les diverses composantes des modes TM.
62
TM
E zo : solution de 3.9a
E x0 = − j
H z0 ≡ 0
β dE z0
γ 2 dx
H x0 = 0
H y0 = − j
E y0 = 0
où γ 2 = n 2 k 02 −
n 2 k o dE z0
η 0 γ 2 dx
2
N.B. : n = n1 dans le coeur et n = n2 dans la gaine
TABLEAU 3.3 : Composantes des champs pour le mode TM
Il suffit maintenant de trouver la solution de l’équation d’onde (3.9), pour le champ longitudinal dans les
deux milieux pour ensuite au moyen des deux tableaux 3.2 et 3.3, calculer explicitement les diverses composantes
des modes TE et TM. Cependant, nous savons déjà que l’équation d’onde possède plusieurs types de solutions (e.g.
onde progressive, stationnaire, évanescence…). Il est important de bien choisir le type de solution pour rapidement
identifier les solutions guidées.
3.1.3 Sélection de la forme appropriée de la solution (étape 3)
Nous cherchons maintenant une forme mathématique qui est solution de l’équation d’onde modifiée
(équation 3.9) qui sera caractéristique d’une onde qui se propage dans le centre d’indice n1 de la structure du guide et
qui y est contenue de préférence. Notre connaissance des équations différentielles ainsi que les notions élémentaires
de l’électromagnétisme nous amènent à choisir pour le milieu d’indice n2 des solutions mathématiques de forme e-w
| x |
, c’est-à-dire des champs qui décroissent exponentiellement en s’éloignant du centre (x “ ’ 6RXV FHV
conditions particulières, on aura une composante E 0z pour les modes TM ou une composante H 0z pour les modes TE
de la forme :
E z0
=Ae
-w x
A = cte
(3.10)
H z0
Pour que cette forme soit solution des équations d’onde modifiées (équations 3.9), il faut que
w 2 ≡ -γ
2
(n=n2)
dans le milieu d’indice n2, ce qui revient à dire que
w 2 ≡ β 2 − n 22 k 02
(3.11)
Dans le coeur de la structure (indice n1), les solutions de l’équation d’onde peuvent être des exponentielles
complexes (ondes progressives). Cependant, nous anticipons que ces ondes progressives seront réfléchies à
l’interface n1/n2 et changeront de ce fait de direction (complexe conjugué), pour être par la suite réfléchie une
seconde fois à l’autre interface du guide. La symétrie de structure laisse entrevoir que, selon la direction de l’axe x,
ces ondes formeront un patron d’ondes stationnaires ; nous avons donc tout intérêt à choisir pour solution, dans le
milieu n1, des fonctions trigonométriques (sin ux ou cos ux) afin de simplifier au maximum notre analyse. Nous
écrivons donc, pour le milieu n1, les composantes E 0z et H 0z de la façon suivante :
63
E z0
= B cos(ux) + C sin (ux)
(3.12)
H z0
Pour que cette forme mathématique soit solution des équations d’onde modifiées (3.9), il faut que
u2 ≡ γ
2
(n=n1)
c’est-à-dire que
u 2 = n 12 k 02 − β 2
(3.13)
En résumé, nous avons choisi une forme mathématique d’onde évanescente dans le milieu n2 et une forme
d’onde stationnaire selon la direction de l’axe x dans le milieu n1 afin de pouvoir discuter simplement des modes
guidés dans le coeur de cette structure planaire. La suite de notre étude nous indiquera si ce choix est judicieux ; s’il
nous conduit à trouver des solutions réelles pour la constante de propagation guidée β , nous avons vu juste! Nous
avons introduit deux nouveaux paramètres w (3.11) et u (3.13) afin d’éviter une confusion de notation avec le
paramètre γ du milieu 1 et 2. Cependant il faut bien réaliser ici que seule la constante de propagation β est
l’inconnu à déterminer et que u et w sont des paramètres intermédiaires qui cachent cette constante de propagation.
3.1.4 Calcul du mode TE pair (étape 4)
Dans cette section, la constante de propagation β sera déterminée en appliquant les conditions aux limites
imposées par la structure guidante aux diverses composantes des champs électriques et magnétiques (voir tableaux
3.2 et 3.3). Il nous faut maintenant calculer la constante de propagation β en respectant les conditions aux limites à
l’interface n1/n2. Nous savons que ces conditions exigent la continuité des composantes tangentielles (dans notre cas,
ce sont les composantes en z et en y) des champs électriques et magnétiques.
On étudiera de façon indépendante les modes TE et TM car les constantes de propagation sont différentes
pour chacun de ces modes. De plus, le choix du champ axial en cos(ux) ou sin(ux) conduit à des solutions différentes
pour β ; les modes pairs et impairs seront donc considérés séparément lors de l’étude des modes TE ou TM. Notez
bien qu’il est possible de faire cette analyse sans poser à priori cette décomposition : cependant, elle sera alors plus
longue à compléter et elle nous conduira de toute façon à identifier ces quatre familles de modes ayant des constantes
de propagation différentes.
Pour le mode TE pair, on choisit H 0z = C sin ux et les composantes du mode se calculent en utilisant les
composantes données au tableau 3.2. Dans le coeur où n = n1, on obtient :
Coeur
TE : pair
E z0 ≡ 0
H zo = C sin(ux)
E x0 = 0
H x0 = − j
E y0 = j
η0k oC
cos (ux)
u
βC
cos (ux)
u
H y0 = 0
où u 2 = n 12 k 02 −
2
64
TABLEAU 3.4 : Composantes des champs pour le mode TE pair dans le coeur
Notez que ce mode TE est qualifié de pair car la seule composante non-nulle de champ électrique (Ey) est une
fonction paire (cos(ux)).
Dans la gaine de la structure où n = n2, on obtient au moyen du tableau (3.2) :
Gaine
TE : pair
E z0 ≡ 0
H zo = A e
E x0 = 0
H x0 = − j
E y0 = j
η0k o
-w x
Ae
w
où w 2 =
2
-w x
β
-w x
Ae
w
H y0 = 0
- n 22 k 02
TABLEAU 3.5 : Composante des champs pour le mode TE pair dans la gaine
On peut maintenant appliquer les conditions aux limites sur les composantes tangentielles des champs
(étape 4) aux interfaces x = ± a ; les composantes H z et ε y doivent alors être continues à l’interface. On a donc :
{
Re C sin (ua) e j ( ω t - β z) = Ae - wa e
Re
{
j
j(ω t - β z)
}
η0 k 0
η k
C cos (ua) e j ( ω t - β z) = j 0 0 A e
u
w
(3.14a)
- wa
e j(ω t - β z)
}
(3.14b)
Ces équations de continuité doivent être respectées en tout temps et en tous points de l’axe des z. Nous
constatons aussi que la fréquence ω dans les deux milieux doit être la même, comme nous l’avions supposé dès le
départ. De même, la constante de propagation β doit être identique dans les deux milieux, comme nous l’avions
anticipé. Les deux équations de continuité se réduisent donc à :
C sin (ua) - A e -wa = 0
C cos (ua) - (
(3.15a)
u
) A e - wa = 0
w
(3.15b)
Nous avons donc un système à deux équations homogènes possédant deux inconnues, les constantes A et C.
Pour trouver une solution non-triviale à ce système, nous devons tout d’abord exiger que son déterminant soit nul.
Cette condition nous amène à l’équation transcendante (étape 4) :
E.C.
tan (ua) = (
w
)
u
(3.16)
Ceci est l’équation caractéristique du mode TE pair. Cette équation permet de calculer la constante ( en fait,
les constantes) de propagation β en termes des paramètres de la structure guidante (n1, n2 et a) et de la fréquence de
la source (k0). Notez aussi que la continuité à x = -a conduit à la même équation caractéristique.
Afin de compléter la solution du système à deux équations, on exprime ensuite la constante A en fonction
de l’autre constante, C. Cette dernière constante fixe l’amplitude maximale de la composante Ey au centre de la
65
structure (c’est-à-dire à x = 0). Cependant, il est plus souvent utile de déterminer la constante C en spécifiant la
puissance totale transportée par la structure.
La puissance transportée est donnée par l’intégrale du vecteur Poynting sur la surface du guide. Le vecteur
de Poynting moyen est
S =
{
r
r
1
Re E X H *
2
}
(3.17)
Il sera donné pour le mode TE par :
S =
{
}
{
1 r
1 r
a x Re E y H *z - a z Re E y H *x
2
2
}
On considère ici que le mode se propage (au-dessous de certaines fréquences de coupure qu’on étudiera à la
section suivante) c’est-à-dire que la constante de propagation β est réelle. On montre alors que le terme Ey H *z est
un imaginaire pur, la partie réelle de ce terme étant nulle, on conclut que le vecteur de Poynting moyen est
uniquement selon la direction z. Il est donné par :
S
z
=
2
1 β
Ey
2 η0 k 0
(3.18)
La puissance transportée P sera égale à
P=
1 β
2 η0k 0
∫ dy ∫ E
2
y
dx
Puisque la distribution du champ Ey ne dépend que de la variable x, l’intégrale sur la direction y sera
évaluée de –b à +b (2b est la largeur du guide), d’où nous trouvons :
P=
βb
η0k 0
∫E
2
y
(3.19)
dx
La puissance est donc transportée par le guide selon la direction +z tel que nous l’avions exigé au départ de
notre analyse. Le fait que la puissance moyenne selon x soit nulle indique la présence d’une onde stationnaire qui
entraîne que la puissance se dirige selon +x sur la moitié du cycle et selon –x sur l’autre moitié.
Le calcul de la puissance transportée dans le coeur (n = n1) du guide planaire nous donne :
P1 = β η 0 k 0 b
2
C
u
3

1

ua + sin (2ua)
2


(3.20)
et celui de la puissance transportée dans le milieu 2 ( dans les régions x >a et x <-a) :
P2 = β η 0 k 0 b
A
w
2
3
e - 2wa
En utilisant la relation de continuité (équation (3.15a)) qui relie les constantes A et C, on écrit cette dernière
équation sous la forme :
66
β η0 k 0 b
P2 =
w
3
sin 2 (ua ) C
2
(3.21)
On peut aussi calculer la puissance totale PT = P1 + P2 transportée dans la structure et obtenir, en utilisant
l’équation caractéristique (3.16) que
PT =
β η0 k 0 b C
u3
2
[ (ua) + cotg (ua)]
(3.22)
On note que l’amplitude maximale du champ EM est donnée ( voir tableau (3.4)) par la relation
EM =
ηo k 0
C
u
ce qui nous permet d’écrire que :
PT =
β (ab) 2
EM
η0 k 0
 cotg (ua) 
1 +

(ua) 

(3.23)
Il est aussi très utile de calculer le rapport de la puissance contenue dans le coeur à la puissance totale
transportée :
Γ=
P1
P1 + P2
Pour le mode TE pair, ce rapport devient :
 (ua) + sin (ua) cos (ua) 
Γ=

(ua) + cotg(ua)


(3.24)
Pour terminer cette section, nous allons écrire les équations des modes TE pair en termes de l’amplitude
maximale du champ électrique en définissant
EM = j C
ηo k 0
u
(3.25)
Les diverses composantes des champs s’écrivent alors pour le coeur du guide comme :
Coeur
TE : pair
εz
εx
εy
≡0
Hz =
=0
= E M cos (ux) cos (ω t - β z)
où u =
n 12 k 02
−
β
E M cos (ux) cos (ω t - β z - π )
k 0η 0
=0
Hx =
H
2
π
u
E M sin (ux) cos (ω t - β z - )
k 0η 0
2
y
2
67
TABLEAU 3.6 : Diverses composantes des champs dans le coeur du guide pour le mode TE pair
Pour la gaine, nous avons :
Gaine
TE : pair
εz ≡ 0
εx = 0
ε y = EM cos (ua) e-w( x − a) cos (ω t - β z)
Hz =
π
u
- w ( x −a )
cos (ω t - β z - )
EM sin (ua) e
k 0η0
2
Hx =
β
- w ( x −a )
EM cos (ua) e
cos (ω t - β z - π
k 0η0
H
où w 2 =
2
y
=0
- n 22 k 02
TABLEAU 3.7 : Diverses composantes des champs dans la gaine du guide pour le mode TE pair
Cette forme de la solution modale indique clairement la continuité des champs ε y et H z ainsi que les
différences de phases des champs. Les figures 3.2 et 3.3 nous montrent la distribution transverse du champ électrique
pour les deux premiers modes TE0 et TE1. Notez la continuité de ces solutions à l’interface ainsi que la continuité des
dérivés de ces fonctions.
FIGURE 3.2 : Champ Ey du mode TE0 dans un guide à trois couches
68
FIGURE 3.3 : Champ Ey du mode TE1 dans un guide à trois couches
Finalement, rappelons que la constante de propagation β des divers modes est calculée en trouvant toutes
les solutions possibles de l’équation caractéristique (3.16) ; on peut réécrire cette dernière équation en fonction de
β , des paramètres du milieu et de la source de la façon suivante :
E.C.
1
 β 2 − n 2k 2  2
tan  a n 12 k 02 − β 2  =  2 2 2 20 

  n 1 k 0 − β 
On note alors que la seule inconnu dans cette relation est bien la constante de propagation β . L’analyse de
cette équation transcendante sera faite à la prochaine section.
Le calcul des modes TE impairs ainsi que celui des modes TM pairs et impairs s’effectue de façon identique
et conduit aux équations caractéristiques suivantes :
E.C.
TE : PAIR
w
u
u
tan (ua) = w
tan (ua) =
n
tan (ua) =  1
 n2
TE : IMPAIR
2
 w

 u
n
tan (ua) = -  2
 n1
2
 u

 w
TM : PAIR
TM : IMPAIR
TABLEAU 3.8 : Équations caractéristiques pour les modes TE et TM (pairs et impairs)
69
Le calcul des diverses composantes de ces structures modales est laissé en exercice ; il en va de même pour
le calcul du rapport de la puissance transportée dans le coeur par rapport à la puissance transportée selon l’axe +z.
Notez que le mode TM pair ou impair correspond à la parité de l’unique champ magnétique non-nul (Hy).
3.1.5 Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure
(étape 5)
Nous avons vu qu’il existe des formes mathématiques pour les solutions des équations de Maxwell qui satisfont les
conditions aux limites du guide planaire et qui peuvent transporter la puissance selon un axe privilégié (axe +z). Ces
solutions ont une structure d’onde TE ou TM paire et impaire. La possibilité que ces solutions puissent être excitées
dans un tel guide dépend si on peut trouver une constante de propagation β réelle, en considérant les paramètres
imposés par le guide et par la fréquence de la source excitatrice. Il nous faut donc maintenant résoudre les équations
caractéristiques du tableau 3.8 ; ce type d’équations transcendantes se résout par une méthode graphique (méthode
que l’on applique efficacement en utilisant un ordinateur…).
On définit tout d’abord, en considérant un graphique dont les axes sont X et Y, les variables suivantes :
X=(ua)
Y=(wa)
(3.26)
Les deux équations caractéristiques des modes TE deviennent alors :
Y=XtanX
Y=-XcotX
TE :PAIR
TE :IMPAIR
(3.27)
Les équations (3.27) sont tracées à la figure 3.4.
FIGURE 3.4 : Graphique des équations caractéristiques pour le mode TE d’un guide diélectrique symétrique à trois
couches.
70
On remarque ensuite que les variables X et Y sont reliées aux paramètres n1, n2 et a du guide et à la
fréquence de la source via k0 par la relation :
X2+Y2=(n 12 -n 22 )k 20 a2
On définit alors une fréquence normalisée V
V = ko a n12 − n 22
(3.28)
X2+Y2=V2
(3.29)
et l’on écrit que
Les variables X et Y sont donc reliées sous forme d’un cercle de rayon V tel que tracé à la figure 3.4. Les
solutions des équations caractéristiques se trouvent donc aux intersections de ce cercle et des courbes X tan X et –
X cotan X.
Ces intersections nous donnent une valeur pour (ua) qui nous permet d’évaluer la constante β au moyen de
β 2 = n 12 k 02 − u 2
(3.30)
Pour des valeurs réelles de X et Y, il existe toujours au moins une intersection entre le cercle de rayon V et
les courbes tangentes. On conclut donc de ce fait qu’il y a toujours au moins un mode guidé (c’est-à-dire que pour ce
mode, la fréquence de coupure est nulle). Avec l’augmentation du rayon V apparaît de nouvelles intersections, donc
de nouveaux modes, que l’on ordonne selon leur apparition. De plus, les intersections alternent entre les modes pairs
(m = 0, 2, 4,…) et les modes impairs (m = 1, 3, 5,…).
Comme nous venons de le mentionner, le nombre de modes se propageant dans un guide est proportionnel à
la fréquence normalisée V. Pour
V=k0a n 12 − n 22 <
π
2
il n’y a qu’un seul mode de propagation, soit le mode TE0, puisque le cercle de rayon V n’intercepte que la première
branche de la courbe X tan X (voir figure 3.4). Ceci nous permet d’énoncer un résultat très important soit l’absence
de fréquence du coupure pour le mode TE0 (c’est-à-dire peu importe les caractéristiques du guide et de la source, le
mode TE0 est toujours présent).
On retrouve au tableau 3.9 les influences qu’ont les paramètres physiques du guide et de la source sur le
nombre de modes pouvant s’y propager.
PARAMÈTRES PHYSIQUES
( DXJPHQWDWLRQ
NOMBRE DE MODES DE PROPAGATION
LQGLFHGXFRHXUQ1
LQGLFHGHODJDLQHQ2
ODUJHXUGXJXLGHD
ORQJXHXUG¶RQGH
0
N0
71
TABLEAU 3.9 : Influence des paramètres physiques (du guide et de la source) sur le nombre de modes pouvant se
propager
Un guide aura plusieurs modes guidés si
V=k0a n 12 − n 22
!!
(3.31)
λ
NA
(3.32)
Une structure multimode devra avoir une dimension telle que
a>>
λ
n 12 − n 22
=
où
NA= n 12 − n 22
(3.33)
est l’ouverture numérique du guide.
Pour les modes TM, on procède de la même manière. Cependant, on doit porter en graphique les relations
2
n
Y=  2
 n1

 XtanX

n
Y=-  2
 n1

 XcotX

TM :PAIR
2
TM :IMPAIR
On note alors que la valeur de la constante de propagation β ne pourra plus être obtenue en spécifiant uniquement la
fréquence normalisée V mais qu’on devra aussi fixer un rapport (n2/n1). Ce rapport étant plus petit que 1, il s’ensuit
que la courbe des modes TM sera toujours sous la courbe des modes TE. Il est possible pourtant, en principe, d’avoir
une structure monomode en choisissant d’abord une fréquence normalisée V plus petite que HW HQ IL[DQW HQVXLWH
la polarisation de la source afin d’exciter uniquement soit le mode TE ou le mode TM.
La fréquence de coupure des modes est définie comme la fréquence pour laquelle le mode cesse d’être
guidé ; le mode cesse, dans ces conditions, d’être évanescent dans la gaine (c’est-à-dire la fréquence où le paramètre
w = 0). Lorsque w = 0, la constante de propagation du mode devient
β c=n2k0
(3.34)
À cette fréquence Vc, la constante de propagation β c devient égale à la constante de propagation d’une
onde plane dans la gaine d’indice n2. L’onde n’est alors plus guidée et devient un mode radiatif puisque la puissance
contenue dans le coeur se trouve rapidement dans la gaine sous forme d’une onde plane progressive selon une
direction dans le plan xz.
La fréquence de coupure normalisée des modes est simplement donnée par
Vc=m
π
(m=0,1,2,3…)
2
(3.35)
à la fois pour les modes TE et TM. L’ensemble fini des modes TE et TM que l’on vient d’obtenir constitue un
ensemble des modes guidés d’un diélectrique symétrique à trois couches. L’ensemble complet de modes
comprendrait, en plus du nombre fini de modes guidés, une infinité de modes radiatifs.
72
3.1.6 Relation de dispersion (étape 6)
La relation de dispersion d’un guide d’onde est simplement la dépendance de la constante de propagation
β en fonction de la fréquence ω . Cette relation nous donne, en particulier la vitesse de propagation des divers
1
) alors que la dérivée seconde d2 β / dω 2 nous permettra de calculer l’élargissement d’une
dβ /dω
impulsion (voir chapitre 2) qui se propage dans le guide. À la section précédente, on a vu que la constante de
propagation s’évaluait au moyen de l’équation caractéristique du mode. On a aussi montré que cette équation pouvait
s’analyser au moyen d’un paramètre sans dimension V (équation (3.28)) relié à la fréquence ω .
modes (vg =
Il est donc d’usage de mettre en graphique l’indice effectif du mode défini par
nef=
β
k0
(3.36)
en fonction de la fréquence normalisée V. La figure 3.5 nous présente cette relation de dispersion pour un guide
d’indice qui varie de n1 = 2,2 à n2 = 1,3. On remarque que l’indice effectif varie de n2 à la fréquence de coupure
jusqu’à n1 à haute fréquence.
Pour une fréquence normalisée plus petite que OHJXLGHQHSHXWSURSDJHUTXHOHPRGH7(0 et TM0. On a
alors une structure monomode puisque ces deux modes peuvent être excités indépendamment en choisissant la
polarisation de la source. La figure 3.6 montre le rapport normalisé de la vitesse de groupe c/vg. Ce rapport est
obtenu en dérivant numériquement la courbe de la figure 3.5 obtenue précédemment. On remarque que ce rapport va
aussi de n2 à la coupure jusqu’à n1 à haute fréquence. La courbe de dispersion est obtenu numériquement en
solutionnant l’équation transcendante (équation caractéristique) par des méthodes numériques connues (voir exercice
3.1).
FIGURE 3.5 : Constante de propagation normalisée (indice effectif) en fonction de la fréquence normalisée V.
73
FIGURE 3.6 : Vitesse de groupe normalisée en fonction de la fréquence normalisée V.
En optique intégrée le guide d’ondes planaire est souvent fabriqué de diélectriques dont les indices n1 et n2
sont très proches. Les figures 3.7 et 3.8 présentées à la page suivante montrent la relation de dispersion pour un guide
d’indice n1 = 1,5 et n2 = 1,48. On observe alors que les modes TE et TM ne peuvent plus être distingués.
FIGURE 3.7 : Constante de propagation normalisée (indice légèrement différent) en fonction de la fréquence
normalisée V.
74
FIGURE 3.8 : Vitesse de groupe normalisée (pour des indices légèrement différents) en fonction de la fréquence
normalisée V.
Exercice 3.1
Calcul numérique de la relation de dispersion
Vous noterez que les équations caractéristiques du guide plan (tableau 3.8) peuvent se résumer
ainsi :
w
PAIR : tan (ua ) = m 
u
π

w
IMPAIR : tan ua −  = m 
2

u
où m = 1 pour les modes TE
n
et m= ( 1 )2 pour les modes TM
n2
Tracer le graphique la constante de propagation transverse normalisée (ua) en fonction de la
fréquence normalisée V pour les deux premiers modes TE et TM d’un guide plan formé de diélectrique
d’indice n1 =1,5 et n2 =1.
Tracer ensuite le graphique du rapport ( Γ ) de la puissance transportée dans le coeur sur la puissance
totale.
75
Lors de l’étude détaillée du mode TE pair (section 3.1.4), on a montré que la puissance totale transportée
par le guide était une fonction de l’indice effectif et aussi du paramètre (ua) (équation (3.23)). De même, on a montré
que le rapport de la puissance transportée dans le coeur par rapport à la puissance totale (équation (3.24)) était une
fonction du paramètre (ua).
Il est donc essentiel de visualiser la variation de (ua) en fonction de la fréquence normalisée V. En fait, ceci s’obtient
en solutionnant l’équation caractéristique des modes.
Par exemple, pour le mode TE pair on écrit l’équation caractéristique sous la forme :
tan (ua ) =
(V 2 − (ua) 2 )1 / 2
ua
(3.37)
La solution numérique de cette équation permet de générer la relation ua vs V (voir par exemple l’exercice 3.1).
La figure 3.9 nous montre cette relation pour les premiers modes TE et TM. Ces courbes nous permettent
ensuite de calculer la constante de propagation β pour une fréquence normalisée au moyen de la relation (3.13) soit
β 2 = n12 k 20 − u 2 .
FIGURE 3.9 : Constante transverse de phase normalisée ua en fonction de la fréquence normalisée V.
De même on peut, par la suite, calculer le rapport Γ de la puissance transportée dans le coeur par rapport à
la puissance totale transportée. La figure 3.10 nous présente ce rapport pour les premiers modes TE et TM. On note
que pour des fréquences proches de la fréquence de coupure que le rapport Γ est petit ; la puissance est alors
transportée presque entièrement dans la gaine. Le rapport Γ augmente, par la suite rapidement, cependant il n’est
que d’environ 80% lorsque le mode suivant apparaît. Par exemple, pour une structure monomode i.e. V < LO
restera toujours au moins 20% de la puissance transportée dans la gaine. On comprend ici que la gaine fait partie
intégrante du guide d’onde et qu’elle n’est pas simplement une couche protectrice.
76
FIGURE 3.10 : Rapport de puissance transportée Γ = Pcoeur / Ptot en fonction de la fréquence normalisée V.
La figure 3.11 nous montre la puissance moyenne qui se propage dans la direction du guide par unité de
surface. À basse fréquence V, la distribution de cette densité de puissance s’étale largement dans le coeur et la gaine.
Cependant, comme indiqué par le rapport Γ (figure 3.10), à haute fréquence la distribution de puissance est
concentrée presque exclusivement dans le coeur du guide.
FIGURE 3.11 : Distribution de la densité de puissance en fonction de la fréquence normalisée V.
77
Exercice 3.2
Design d’un guide monomode
Cet exercice consiste à spécifier les valeurs des différents paramètres décrivant un guide d’onde diélectrique
monomode TE. La source utilisée est une source DEL à PTXLSRVVède une largeur spectrale de ¨ Le coeur est fabriqué d’un verre d’indice n1 = 1,6.
Pour des raisons techniques évidentes, on exige que l’épaisseur du coeur soit maximum.
La gaine pourra être une couche de verre d’indice n2 = 1,5 ou bien être fabriquée avec le même verre que le
coeur mais légèrement dopée de sorte que n2 = 1,598.
Spécifiez n2 et l’épaisseur du milieu n2 afin que l’intensité du champ externe soit environ 10-3 fois plus petite
que le champ maximum dans le milieu n1.
Exercice 3.3
Guide d’ondes et électrodes métalliques
Pour fabriquer des composantes électro-optiques, on utilise souvent une couche diélectrique mince
sur un conducteur qui sert d’électrode.
1. Calculer les modes de ce guide.
N.B. La condition limite sur un métal parfait est : Etan ≡ 0.
N.B. Vous n’avez pas nécessairement à tout refaire les calculs si vous avez de l’intuition!
78
2. Application :
On construit ce guide avec n1 = 1,46 , n2
a.
D
PSRXUXQHVRXUFH
à
P
Calculer le rapport de la puissance transportée dans le guide (n1 , 0 < x < a) sur la puissance totale
transportée pour le mode TM.
Γ = %
b.
Ce guide sera-t-il un monomode TM?
Exercice 3.4
Guide plan 3 couches
En optique intégrée, le guide plan est généralement fabriqué sur un substrat d’indice n2 (n2 < n1) et
recouvert d’une gaine d’indice n3 (n3 < n1).
1. Calculez les modes TE de cette structure.
2. Vérifiez que votre solution dégénère bien vers la solution connue du guide plan symétrique (n3 = n2).
Afin de tenir compte de l’asymétrie du guide, il faut écrire dans le coeur une solution trigonométrique de la
forme cos (ux + φ 0). Il faut par la suite déterminer φ 0 et écrire l’équation caractéristique en fonction de cet
angle φ 0.
Exercice 3.5
Guide d’ondes et modulateurs
En optique intégrée, le guide plan est souvent constitué de plusieurs couches diélectriques et même
de couches métalliques qui servent d’électrodes pour des modulateurs. Afin d’étudier l’effet de ces
couches, calculez la structure modale des modes TE pairs du guide suivant :
79
Ce guide est terminé en x par un métal parfait ( x = ± a0).
1. Obtenez la forme analytique des modes TE pairs dans les deux régions n1 et n2.
2. Calculez le rapport de la puissance transportée dans la région n1 sur la puissance totale transportée.
3. Analysez l’équation caractéristique des modes (i.e. fréquences de coupure).
4. Considérez la situation a0
numériques.
’ D0
= a + ε ( ε <<a) et le cas a0 = 2a pour donner des exemples
5. Discutez sans présenter les calculs de la situation où n2 > n1.
Exercice 3.6
Vitesse de groupe
1
à la vitesse de transmission de
dβ /dω
l’information. Dans le cas d’un guide d’ondes, on peut montrer que cette vitesse correspond bien à la
vitesse de propagation de la puissance transportée selon l’axe du guide.
On associe généralement la vitesse de groupe vg =
La densité d’énergie électromagnétique est donnée par
µ
U=  H
4
2
+
ε
E
4
2


(J/m3)
Si on fait le rapport suivant
∫ S dx dy
∫ U dx dy
z
v0=
i.e. v0 est le rapport de la puissance moyenne transportée selon z à travers la surface (xy) sur l’énergie
moyenne encerclée par cette même surface.
Pour un guide diélectrique plan, on peut calculer ces intégrales pour le mode TE ou TM. Notez qu’il
80
faut effectuer ces intégrales dans les diverses régions µ 1 = µ 0 , ε 1 = n 1 2 ε 0 et µ 2 = µ 0 , ε 2 = n 2 2 ε 0 , avec
les formes appropriées des champs E et H. On montre alors que :
v0 ≡ vg
Faites cette démonstration pour les modes TE pairs.
3.1.7 Modèle géométrico-ondulatoire
Le modèle géométrico-ondulatoire (zigzag) utilise des arguments géométriques et l’interférence de deux
ondes planes à l’intérieur du guide pour expliquer la propagation des modes. Afin de bien illustrer son application,
nous allons dans cette section l’utiliser pour dériver les équations caractéristiques des modes TE d’un guide
symétrique à trois couches.
Ce modèle est donc basé sur le fait que l’onde stationnaire selon l’axe x peut s’interpréter, à l’intérieur du
guide, comme l’interférence de deux ondes planes progressives se propageant à un angle θ par rapport à l’interface
n1/n2. Par exemple, rappelons que nous avons obtenu pour le mode TE pair du champ électrique l’expression
suivante ( voir tableau 3.6) en notation phaseur
Ey=EMcos(ux)e j (ω t - β z)
(3.38)
ce qui peut s’écrire comme
Ey=
[
1
E M e j ω t e j (ux - β z) +e - j (ux + β z)
2
]
(3.39)
On observe donc que ce mode correspond à la superposition de deux ondes planes uniformes faisant un
angle ±θ par rapport à l’interface, donné par
β 
tan θ = ± 
u
(3.40)
et tel qu’illustré à la figure 3.12 :
FIGURE 3.12 : Deux ondes planes uniformes faisant un angle ±θ par rapport à l’interface du guide
Étant donné l’importance pratique de cette visualisation et pour bien montrer l’exactitude de ce modèle,
nous faisons maintenant abstraction des résultats précédents ; nous allons dans ce qui suit retrouver ces mêmes
résultats pour les modes TE et TM en cherchant simplement sous quelles conditions un guide plan peut supporter
sans perte cet ensemble de deux ondes planes qui sont réfléchies en haut et en bas du guide, aux interfaces n1/n2.
81
FIGURE 3.13 a) : Trajectoire des rayons dans un guide d’ondes
FIGURE 3.13 b) : Tous les rayons qui se propagent dans la même direction appartiennent au même plan d’onde,
portent le même front d’onde (---- ligne pointillée). N.B. Le front de phase de l’onde réfléchie a été délibérément
omis.
Considérons la figure 3.13 a et examinons le parcours en zigzag d’un rayon lumineux associé à une onde
plane ( θ ). Cette figure représente la trajectoire d’un rayon optique confiné à l’intérieur d’un guide qui possède une
réflexion totale interne lorsque θ < θ c . Dans ce modèle, un rayon optique est utilisé pour représenter une onde plane
avec un front d’onde perpendiculaire au rayon.
Dans la figure 3.13 b, les lignes pointillées représentent le front de phase de l’onde plane qui se propage
vers la droite. Dans la même figure, un deuxième rayon optique (AB) appartenant à la même onde plane est aussi
illustré. On suppose que ce rayon incident (AB) n’a pas subi aucune réflexion à l’interface n1/n2. Par contre, le rayon
(CD) appartenant à l’onde réfléchie a subi par rapport au rayon (AB) deux réflexions totales internes aux interfaces
n1/n2. Les points du même front d’onde possèdent la même phase, par exemple C avec A et aussi B avec D. Cette
onde plane θ sera associée à un mode guidé si elle retourne à son état initial après deux réflexions (une en haut de
l’interface et une en bas de l’interface). Cela signifie que le front de phase CA et le front de phase BD doivent être
identiques pour un multiple entier de 2 π . De ce fait, il s’ensuit que la géométrie de la structure doit être telle que la
différence de phase entre le rayon (CD), qui subit deux changements de phase Goss-Hänchen aux interfaces, par
rapport au rayon (AB) doit être un multiple entier de 2 π . Ce qui peut s’écrire comme :
-(k0n1)(CD-AB)+2 Φ = −2 Nπ 2
(3.41)
où Φ est la phase du coefficient de réflexion à une interface et N, un nombre entier (N = 0, 1, 2, 3,…). Il est
important de se rappeler que Φ dépend de θ et de la polarisation du champ électrique (équations (2.74) et (2.75)).
Considérant la géométrie des figures 3.13, l’équation (3.41) peut être réécrite comme :
82
E.C.
(2 a) (n1 k0 ) cos θ - Φ =N π
(3.42)
L’équation (3.42) n’est rien d’autre que la condition de résonance transverse ; elle dit que l’énergie sera
confinée à l’intérieur du guide si la réflexion est totale et si la somme des déphasages subis par un rayon dans un
aller-retour (d’une frontière à l’autre du guide) donne lieu à une interférence constructive. Cette condition de
résonance transverse assure l’existence, à l’intérieur du guide, d’un mode de propagation suivant l’axe z et d’une
onde stationnaire suivant l’axe x (on retrouve les ondes évanescentes à l’extérieur du guide).
On peut retrouver les équations caractéristiques des modes TE en exprimant la relation (3.42) en fonction
des paramètres physiques du guide (n1, n2 et a) et en fonction de θ . Pour des angles tels que θ > θ c , la réflexion est
totale ( R =1). Le coefficient de réflexion est alors complexe ( R = e j Φ ) et un changement de phase a lieu lors de
la réflexion.
Pour des modes TE (polarisation perpendiculaire de E, c’est-à-dire E = Ey, voir équation (2.75)), on obtient
comme déphasage :
 n 2 sin 2θ − n 2
1
2
φ TE = 2 arctan 

n 1 cos θ





(3.43)
Sachant alors que les constantes de propagation axiales et transverses s’écrivent :
β =n1k0sin θ
u=n1k0cos θ
on peut écrire l’équation (3.43) en fonction de β et u :
 β 2 − n2k 2
2 0
φ TE = 2 arctan 

u





(3.44)
Le terme β 2 = n 22 k 02 n’est rien d’autre que le paramètre w tel que défini lors des sections précédentes. On a donc :
w
φ TE = 2 arctan( )
u
(3.45)
De plus, l’équation de résonance (3.42) peut être écrite comme
φ TE = 2 (ua) - Nπ
(3.46)
On a donc, pour un champ polarisé selon une forme TE, que

Nπ   w 
tan  ua  =   N=0,1,2,…
2  u

(3.47)
Cette équation nous permet de calculer les valeurs de β pour lesquelles il y aura en premier lieu réflexion
totale et ensuite interférence constructive. En fait, cette dernière équation n’est rien d’autre que l’équation
caractéristique obtenue précédemment pour les modes TE. En effet, lorsque N est pair (N = 2m ; m = 0, 1, 2,…), on
montre que l’équation (3.47) devient
83
w
tan(ua)=  
u
soit l’équation caractéristique (3.16).
On montre aussi que si N est impair (N = (2m+1); m = 0, 1, 2, …), l’équation (3.47) s’écrit alors sous la
forme
u
tan(ua)= −  
w
qui est l’équation caractéristique du mode TE impair (voir tableau 3.8).
Nous avons vu précédemment que la condition de coupure de ces modes correspondait à w = 0, c’est-à-dire
β = n2 k0 ; l’angle θ par rapport à l’interface n1/n2 que fait ce mode à la coupure est donné par
tan θ c =
n2
n 12 − n 22
À l’aide de la trigonométrie, cette relation peut s’exprimer sous la forme
sin θ c =
n2
n1
(3.48)
qui est simplement la condition où il commence à avoir réflexion totale interne (voir chapitre 2).
Les modes guidés (au-dessus de la fréquence de coupure) correspondent donc bien à des réflexions totales
internes ; par contre, les modes radiatifs ne satisfont pas cette condition de réflexion totale interne. Cependant, il peut
arriver qu’un mode satisfasse la condition d’interférence constructive mais que son angle de propagation soit
inférieur à celui de réflexion totale. On a alors un mode guidé mais puisqu’il y a une perte de puissance importante à
chaque réflexion, ce mode est appelé un mode de fuite. Dans notre modèle électromagnétique, nous avons pas
analysé ce type de mode puisque nous avons restreint notre étude dès le départ à une forme évanescente dans la gaine
( β : réel).
Sur les figures de dispersion 3.5 et 3.7 de la section précédente, on a mis en ordonnée du côté droit les
valeurs de l’angle modal Θ , pour chaque mode, débutant à Θ c jusqu’à 90º à haute fréquence. Pour une fréquence
normalisée V fixée, cette relation de dispersion graphique nous donne l’angle de résonance des divers modes.
Expérimentalement, ces angles de résonance sont observés directement en laboratoire au moyen d’un faisceau
parallèle de lumière (e.g. laser visible) que l’on balaye selon un schéma simple comme celui par exemple de la figure
3.14.
On réalise ainsi que ce modèle géométrico-ondulatoire est exact en ce sens qu’il conduit aux mêmes
résultats que le modèle électromagnétique. Ce modèle géométrique est non seulement d’intérêt pédagogique mais
s’avère aussi un outil de design puissant pour l’ingénieur.
Par exemple (voir figure 3.15), des considérations géométriques simples nous indiquent qu’une source
ponctuelle placée à l’entrée du guide excitera des modes guidés seulement pour la radiation émise sous un angle
maximum α :
sin α = n12 − n 22
84
Cet angle est généralement petit puisque n1 §Q2. On nomme habituellement cet angle l’ouverture numérique
de système (NA) :
NA = n12 − n 22
D’autre part, connaissant l’angle modal θ 0 du mode fondamental, on peut exciter favorablement ce mode
en plaçant une source de lumière parallèle (hors axe – voir figure 3.14) polarisée convenablement. Lorsque nous
étudierons aux prochains chapitres la fibre optique circulaire, nous ne pourrons plus décomposer la solution
électromagnétique sous la forme d’onde géométrique simple. Cependant, la décomposition exacte présentée ici
permettra quand même d’analyser certains résultats.
3.1.8 Effet Goss-Hänchen et le modèle géométrico-ondulatoire
On vient de montrer que le modèle géométrico-ondulatoire du guide plan conduit à la solution exacte des
modes TE et TM telle que l’on a obtenu selon le formalisme électromagnétique. Selon ce modèle géométrique on
prédit que la vitesse de propagation axiale de l’énergie devrait être (voir figure 3.16)
vgo=
c
sin Θ
n1
(3.49)
L’équation (3.49) s’écrit en termes de la constante de propagation du mode
v g0 =
c β
n 12 k 0
(3.50)
FIGURE 3.14 : Schéma d’excitation du mode fondamental d’un guide par une source ponctuelle placée hors axe.
FIGURE 3.15 : Schéma d’excitation d’un guide par une source ponctuelle
85
FIGURE 3.16 : Modèle du « zig zag »
Exercice 3.7
Vitesse de groupe et relation de dispersion
La vitesse de groupe se calcule au moyen de la relation
vg =
c
dβ
dk 0
Si on accepte la relation 3.50 pour la vitesse du groupe des modes guidés, montrez alors que la solution de
l’équation différentielle d β /dk0 conduit à une forme de la relation de dispersion β (k0) qui n’est pas celle obtenue
en appliquant les conditions aux limites ( voir équation (3.47)).
On doit alors conclure que l’expression (3.50) pour la vitesse de groupe est fausse.
Si on compare ce résultat avec celui qu’on a obtenu avec la vitesse de groupe par la différentiation de
l’équation caractéristique (voir exercice 3.7), on réalise que le modèle géométrique–ondulatoire ne prédit pas le
même résultat. Cependant, on a vu que le modèle géométrique conduit à la relation de dispersion exacte. On doit
dont ici conclure que notre interprétation géométrique de l’énergie de propagation est fausse. En effet, on a vu au
chapitre précédent (section 2.6) que pour une réflexion totale, l’onde subit un déplacement axial (Goss-Hänchen).
Notre interprétation géométrique de l’énergie de propagation qui nous conduit à la relation (3.49) ne tenait pas en
considération du parcours supplémentaire dans la gaine. On va maintenant démontrer que l’inclusion de ce parcours
peut conduire à la même relation pour la vitesse de groupe.
On sait que la vitesse de propagation de l’énergie dans un guide est réellement égale à la vitesse de groupe
(voir exercice 3.6). On va d’abord redériver l’expression pour la vitesse de groupe au moyen de l’équation
caractéristique (3.42) obtenue selon le modèle géométrique qui peut être réécrite sous la forme suivante :
2a n12 k 02 − β 2 = N π + Φ
(3.51)
afin de faire apparaître les constantes de propagation β = n 1 k 0 sin Θ . Le saut de phase Φ a été obtenu au chapitre 2
(équations (2.74) et (2.75)) pour une polarisation perpendiculaire (onde TE) et pour une polarisation parallèle (onde
TM).
86
Ce saut de phase peut s’écrire en fonction de β
β 2 −n2 k2 
Φ = 2 tan −1 (m )  2 2 2 02 
 n 1 k 0 − β 
où le paramètre
et
m =1
m = (n1 / n2 )2
1/ 2
(3.52)
onde TE
onde TM
(3.53)
Le calcul de la vitesse de groupe s’obtient au moyen de la dérivée de β par rapport à k0 :
vg =
c
dβ / d k 0
(3.54)
En dérivant l’équation caractéristique (3.51) par rapport à k0, on doit calculer d Φ/ d k 0 ce qui s’écrit
∂Φ  ∂Φ  ∂β
dΦ

+
=
d k 0 ∂ k 0  ∂ β  ∂ k 0
(3.55)
puisque Φ dépend à la fois de β et de k0. En dérivant l’équation caractéristique (3.51), on montre que

2a β
∂Φ
+

2
2
2
∂β
v g  n1 k 0 − β
=
2
c
 2 a n1 k 0
∂Φ
−

2 2
2
k0
∂
 n 1 k 0 − β







(3.56)
Si l’angle d’incidence Θ est plus petit que l’angle critique Θ c , on sait alors que le saut de phase est
constant ce qui implique que d Φ/ d β = d Φ/ d k 0 = 0. On obtient dans ce cas
vg =
βc
n 12 k 0
=
c
sinΘ (3.57)
n1
Ce résultat correspond alors à la vitesse vg0 du modèle géométrique simple (3.49). Cependant, lorsque nous
avons une onde guidée, l’angle d’incidence est plus grand que l’angle critique et le saut de phase Φ dépend de β et
de k0. On conclut donc que le terme supplémentaire ( d Φ/ d β ) dans l’équation (3.56) correspond à la distance
 1 ∂Φ 

supplémentaire ( ∆ L) que l’onde doit parcourir, suite au déplacement de Goss-Hänchen et que le terme  −

 c ∂ko 
doit être égal au temps de propagation de l’onde ( ∆ T) qui parcourt ce parcours supplémentaire ( ∆ L) puisque la
vitesse est donnée par le rapport de la distance sur le temps.
87
FIGURE 3.17 : Modèle modifié
L’interprétation géométrique de la vitesse de groupe peut se faire en tenant compte de cet effet. À la figure
3.17, on montre schématiquement les parcours supplémentaires. On peut donc écrire que la vitesse de propagation de
l’énergie comme le rapport de la distance d = [ A’B + BB’ + B’C + CC’] sur le temps. Cette distance d s’écrit
comme selon notre géométrie comme
d = 4 a tan Θ + 2 (BB’)
Pour les parcours A’B et B’C, on sait que la vitesse doit être vg0 = c / n1 sin Θ ce qui correspond à un temps
 4 n1 a 
de parcours de 
 .
 c cos Θ 
On obtient finalement la vitesse de groupe


 2 a tan Θ + BB’
vg = 

 2 a n 1 + ∆T 
 c cos Θ

(3.58)
En comparant les expressions (3.56) et (3.58), après les avoir écrites dans la même notation
( β = n 1 k 0 sin Θ ), on obtient que le déplacement de Goss-Hänchen est donné par
BB’=
dΦ
dβ
(3.59)
Ce résultat pour le déplacement de Goss-Hänchen est en parfait accord avec celui obtenu au chapitre 2.
En effet, dans la section 2.6 du chapitre 2, on a montré qu’un faisceau souffre d’un déplacement à la
réflexion totale donné par la dérivée du saut de phase par rapport au vecteur d’onde ( β = n 1 k 0 sin Θ ) et que (voir
l’équation (2.83))
BB’=
1
dΦ
n 1 k 0 cos Θ dΘ
ce qui est exactement le même résultat qu’on a obtenu (équation (3.59)). On conclut donc que le modèle
géométrique–ondulatoire est complètement exact si on inclut le déplacement Goss-Hänchen dans l’interprétation de
88
la vitesse de phase. De même, cette interprétation est une démonstration spectaculaire de l’existence physique du
déplacement Goss-Hänchen. Bien que ce déplacement est relativement petit, il a été observé expérimentalement dans
un guide plan en observant une séparation spatiale de deux ondes TE et TM qui subissent un déplacement GossHänchen différent (facteur m) selon l’expression (3.52).
89
4 Modes guidés d’une structure diélectrique plane
Le guide diélectrique que nous venons d’étudier, ne peut être fabriqué sur de très grandes distances. C’est
pourquoi son utilisation en communication optique est limitée pour l’instant à la fabrication de circuits optiques.
Techniquement, il est cependant possible de fabriquer des guides diélectriques circulaires sur de très grandes
distances. C’est pourquoi ce type de guide sous forme de fibre est devenu la voie principale des systèmes de
communication optique. Dans ce chapitre, la fibre optique à saut d’indice (step-index) sera traitée comme un
problème de conditions aux limites en vue d’obtenir les expressions des différents modes se propageant dans ce type
de guide. Les conditions de coupure de ces modes seront ensuite analysées et une équation de conception (servant à
déterminer les paramètres caractéristiques nécessaires à la fabrication de la fibre) sera développée.
Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous analyserons de plus près la fibre monomode à saut d’indice.
Ensuite, l’élargissement des impulsions dans les fibres monomode et multimode sera abordé et nous considérerons
alors les mécanismes qui limitent la largeur de bande de ces types de fibres. Pour terminer ce chapitre, nous
introduirons les modes polarisés linéairement (LP).
4.1 Équations de base et contraintes physiques
Au chapitre 3, nous avons développé les expressions complètes des modes de propagation dans un guide
diélectrique symétrique à trois couches en utilisant la théorie d’électromagnétique pour résoudre le problème de
conditions aux limites posé par ce genre de guide. Rappelons que l’équation d’onde a été solutionnée pour l’intérieur
et l’extérieur du guide et que les solutions obtenues, sujettes à des conditions frontières, et que ces solutions nous ont
permis de trouver une équation aux valeurs propres. À partir de cette équation caractéristique, nous avons obtenu les
constantes associées aux différents modes présents dans le guide.
Afin d’analyser le guide d’ondes circulaire qu’est la fibre à saut d’indice (avec cœur homogène), nous utiliserons la
même approche qu’au chapitre 3. En premier lieu, nous supposerons que b, le rayon de la gaine de la fibre, est
suffisamment grand pour que le champ à l’intérieur de cette gaine décroisse exponentiellement et tende vers zéro à
l’interface gaine-air. Cela nous permettra, tel qu’illustré à la figure 4.1, d’analyser la fibre à saut d’indice comme un
problème de conditions aux limites entre deux milieux. Cette supposition correspond bien aux conditions existant
dans une telle fibre lorsqu’elle est adéquatement conçue. Les étapes que nous suivrons afin de résoudre le problème
des conditions aux limites de la fibre à saut d’indice sont résumées au tableau 4.1.
1. Modèle mathématique de la fibre à saut d’indice utilisant l’équation d’onde et de Maxwell en coordonnées
cylindriques.
2. Utilisation de la technique de séparation des variables et considération sur la symétrie de révolution.
3. Définition des conditions physiques requises qui influencent le choix des solutions radiales des champs dans le
cœur et dans la gaine.
4. Applications des conditions aux limites à l’interface cœur-gaine.
5. Étude de l’équation caractéristique et nomenclature des solutions modales correspondantes.
TABLEAU 4.1 : Analyse de la fibre à saut d’indice- étapes suivies
90
FIGURE 4.1 a) : Géométrie de la fibre à saut d’indice
FIGURE 4.1 b) : Modèle utilisé lors de son analyse
4.1.1 Modèle mathématique (étape 1)
La solution de ce guide consiste encore à chercher des solutions aux équations de Maxwell qui satisfont les
conditions aux limites et qui propagent l’énergie selon la direction +z. On doit tenir compte de la géométrie du
problème en choisissant naturellement d’écrire les équations de Maxwell en coordonnées cylindriques. On écrit donc
le champ électrique et magnétique de la façon suivante.
v
r
r
r
ε = Re  E r0 a r + Eφ0 a φ + E z0 a z  e j(ω t - β z)

r

r
r
H = Re  H r0 a r + H φ0 a φ

r
+ H z0 a z  e j(ω t - β z)

(4.1)
(4.2)
On pourra par la suite appliquer simplement les conditions aux limites à l’interface r = a aux composantes
tangentielles en φ et en z des champs.
Les équations de Maxwell (2.24 et 2.25) permettent d’établir un lien entre les diverses composantes des
champs. Encore ici, on peut combiner linéairement ces diverses relations et écrire les composantes transverses des
champs (r, φ ) en termes des composantes axiales du champ E 0z et H 0z (à faire en exercice). On obtient alors pour les
composantes transverses du champ E
E r0 = -
0
j  ∂E z0
1 ∂H z 

β
k
η
+

0 0
r ∂φ 
γ 2  ∂r
(4.3a)
Eφ0 = -
∂H z0 
j  1 ∂E z0

β
η
−
k

0 0
∂r 
γ 2  r ∂φ
(4.3b)
0
∂H z0
j 
1 ∂E z 
2

β
η
n
k

0
0
r ∂φ 
∂r
γ 2 
(4.4a)
et pour les champs H
η 0 H r0 = -
91
η 0 H φ0 = -
0
∂E z0 
j 
1 ∂H z
2

+
n
k
β
η

0
0
r ∂φ
∂r 
γ 2 
(4.4b)
où
γ 2 = n 2 k 20 − β 2
(4.5)
D’autre part, on sait que la composante axiale obéit à l’équation d’onde. En particulier, les équations
d’ondes modifiées deviendront :
∂ 2 E z0
∂r 2
∂ 2 H z0
∂r 2
+
0
2 0
1 ∂E z
1 ∂ Ez
+ 2
+ γ 2 E z0 = 0
r ∂r
r ∂φ 2
(4.6)
+
0
2
0
1 ∂H z
1 ∂ Hz
+ 2
+ γ 2 H z0 = 0
r ∂r
r ∂φ 2
(4.7)
Cette analyse mathématique, nous amène à la solution des équations d’ondes (4.6) et (4.7) pour les champs
axiaux E 0z et H 0z et par la suite, aux composantes des champs transverses E 0r , Eφ0 , H r0 et H φ0 grâce aux relations
différentielles (4.3) et (4.4).
4.1.2 Condition physique de la symétrie de révolution (étape 2)
On sait maintenant que les modes d’un guide d’ondes optique consistent en une famille de solutions
possibles possédant une certaine constante de propagation β . Ici, suite à la géométrie cylindrique de la fibre, il est
naturel de chercher des solutions ayant une symétrie circulaire. Par conséquent, pour solutionner l’équation d’onde
(4.6 et 4.7) , nous posons la séparation de variables suivantes :
E z0 (r, φ )
= R (r) Q(φ )
(4.8)
H z0 (r, φ )
nous obtenons alors les deux équations différentielles totales pour Q( φ ) et R(r) :
d 2Q
dφ
d2R
dr
2
+
2
= - m 2Q
1 dR  2 m 2
+ γ − 2
r dr 
r
(4.9)

R =0


(4.10)
où m2 est la constante de séparation.
À cette étape, nous décidons de choisir des solutions qui ont une symétrie de révolution; nous décomposons alors le
champ Ez (ou Hz) en solutions de symétrie azimutale de la forme
Q( φ )=Accos(m φ )+Assin(m φ )
92
et ce dans le coeur et dans la gaine. Naturellement, la constante de séparation m devra être un nombre entier afin que
Q ( φ +2 π ) = Q ( φ )10. Ac et As sont deux constantes; notez que Ac réfère à la dépendance en cos (m φ ) et As à celle
en sin (m φ ).
On écrit donc les champs Ez et Hz sous la forme suivante
E 0z = R(r) [A c cos (mφ ) + A s sin (mφ )]
(4.11)
H 0z = R(r) [B c cos (mφ ) + Bs sin (mφ )]
(4.12)
où Bc et Bs sont aussi des constantes à déterminer.
Il est important de réaliser qu’en fait nous avons ici deux familles de solutions : une en cos (m φ ) et une
autre en sin (m φ ). Ces deux familles conduisent à des solutions identiques mais l’une de ces familles a subi une
π
)) . Afin de simplifier le reste du développement (4
2
équations, 4 inconnues au lieu de 8 équations, 8 inconnues), il convient de ne considérer qu’un seul type de solution
à la fois.
rotation de 90 degrés par rapport à l’autre (sin φ = cos ( φ +
Nous choisissons d’écrire :
E 0z = A R(r) cos(m φ + φ 0 )
Par la suite, les deux familles de solution seront obtenues en posant φ 0 = 0 pour la première et φ 0 =
(4.13)
π
pour
2
la deuxième.
Cependant, ce choix pour le champ électrique (équation 4.13) nous oblige à choisir le champ magnétique la
forme suivante :
H 0z = B R(r) sin (m φ + φ 0 )
(4.14)
Pour comprendre ce choix, il nous faut anticiper sur les conditions aux limites qui seront appliquées sur les
composantes tangentielles en E φ0 et H φ0 . Selon les équations (4.3) et (4.4), ces composantes tangentielles font
intervenir la somme d’une dérivée par rapport à φ avec un terme dérivé par rapport à r. La dérivée par rapport à φ
changera les cosinus (sinus) en sinus (cosinus). Si l’on veut que la condition limite s’applique en tous points φ , on
doit combiner la dépendance azimutale du champ électrique et magnétique telle que définies en (4.13) et (4.14).
4.1.3 Solution de l’équation radiale (étape 3)
Il nous reste maintenant à solutionner l’équation radiale (4.10) à la fois dans le coeur (indice n1) et dans la
gaine (indice n2). Cette équation est connue sous le nom d’équation de Bessel. À l’annexe (A4), on rappelle les
solutions élémentaires de cette équation différentielle.
Il existe quatre types de fonctions de Bessel ayant des comportements asymptotiques différents. Notre calcul
sera d’autant simplifié si notre choix mathématique correspond à la réalité physique d’un mode guidé. Comme il a
été souligné au chapitre 3, pour une géométrie plane dans la région guidée, l’onde est de type onde stationnaire
puisqu’il y a une réflexion totale à l’interface (en haut et en bas du guide).
1. Notons que Q( φ ) représente ici une quantité physique (Ez ou Hz) et que cette quantité ne peut avoir qu’une seule
valeur au même point dans l’espace.
93
La géométrie circulaire est par contre plus difficile à visualiser. Cependant, nous savons que les fonctions de
Bessel Jm et Nm sont de type onde stationnaire. Il est donc naturel de les choisir pour la région du coeur ; mais il faut
bien se rappeler que les fonctions de Neuman Nm sont infinies à l’origine. Nous devons donc à priori ne pas les
inclure puisque nous voulons représenter une quantité physique : les composantes de Ez et Hz doivent être finies
partout.
Dans le coeur, nous choisissons donc
E 0z = A J m (ur) cos (mφ + φ 0 )
(4.15)
H 0z = B J m (ur) sin (mφ + φ 0 )
(4.16)
u 2 = n 12 k 20 − β 2
(4.17)
et
où
Nous avons encore ici redéfini γ 1 en utilisant le paramètre u pour se conformer à la notation la plus usuelle.
Notons aussi qu’il faudra que le paramètre u soit réel ( β 2 < n 12 k 02 ) si nous voulons que la fonction de Bessel Jm (ur)
soit du type onde stationnaire c’est-à-dire une onde guidée.
Afin que l’onde soit contenue dans la région du coeur, on doit exiger que, dans la gaine, l’onde soit de type
évanescent lorsque r ’ 1RXV DYRQV YX à l’appendice (A4) qu’une seule fonction de Bessel satisfait cette
condition : c’est la fonction de Hankel modifiée d’ordre deux soit Km (wr).
On écrit donc la solution dans la gaine :
E 0z = C K m ( wr) cos (mφ + φ 0 )
(4.18)
H 0z = D K m ( wr) sin (mφ + φ 0 )
(4.19)
w 2 = −γ 22 = β 2 − n 22 k 20
(4.20)
et
où
β
2
Pour que l’onde soit évanescente lorsque r
.
’ LO IDXW TXH Z VRLW XQ QRPEUH UpHO F¶HVW
à-dire que
> n 22 k 02
Notons aussi que nous aurions pu choisir (et plusieurs auteurs le font), la fonction H (2)
m ( j γ 2 r) pour
s’assurer que l’onde décroisse lorsque r tend vers l’infini. Cependant, notre choix de la fonction de Hankel modifiée
Km nous amène à travailler avec des paramètres u et v purement réels lorsque l’onde est guidée, alors que le
paramètre γ 2 serait imaginaire. Les constantes A, B , C et D restent à déterminer tout comme la constante de
propagation
β
.
4.1.4 Conditions aux limites à l’interface coeur-gaine (étape 4)
Il nous faut maintenant appliquer les conditions aux limites à l’interface entre le cœur et la gaine afin de
pouvoir déterminer la constante de propagation β et les diverses constantes d’amplitude A, B, C et D. Puisque les
conditions aux limites s’appliquent sur les composantes tangentielles des champs E et H (Ez, Hz et E φ , H φ ), il nous
faut d’abord calculer les composantes E φ et H φ au moyen des équations (4.3b) et (4.4b) et des composantes
longitudinales Ez et Hz que nous venons d’expliciter. Le calcul de E φ dans le cœur nous conduit à :
94
(E φ0 ) coeur =
∂J (ur) 
β
j 
Am J m (ur) + B k 0 η 0 m
sin (mφ + φ 0 )
2 
∂r 
r
u 
(4.21)
et dans la gaine à :
(E φ0 ) gaine = −
∂K m (wr) 
β
j 
Cm K m ( wr) + D k 0 η 0
 sin (mφ + φ 0 )
2 
∂r
r
w 

(4.22)
L’application de la continuité du champ tangentiel E φ = Eφ0 e j (ω t - kz) à l’interface r = a implique que la
constante de propagation β est la même dans les deux médias (comme on l’avait anticipé) et que pour ces valeurs
de t, z et φ , on doit avoir :
(E φ0 ) coeur = (E φ0 ) gaine
à r=a
(4.23)
c’est-à-dire
k η

k η

 mβ

 mβ

A  2 2 J m (ua)  + B  0 0 J ’m (ua)  = −C  2 2 K m (ua)  − D  0 0 K ’m (wa) 
u
a
w
a
u a

w a





où J ’m et K ’m indiquent les dérivées avec le respect de l’argument.
Notons que le terme en sin (m φ ) se simplifie de chaque côté. Si nous n’avions pas anticipé les deux
familles angulaires de solutions et si nous avions travaillé à la fois avec les champs Ez et Hz en sin (m φ ) et cos
(m φ ), il aurait été nécessaire à cette étape de distinguer ces deux familles.
De même, l’application de la continuité du champ tangentiel H φ à l’interface r =a nous permet d’écrire :
(H φ0 ) coeur = (H φ0 ) gaine
à r=a
(4.24)
qui nous conduit à une deuxième équation reliant les diverses constantes :
 k 0 n 12 ’

A 
J m (ua) + B
 ua

 η 0 mβ

 2 2 J m (ua) = −C
u a

 k 0 n 22 ’


−
 w a K m (wa) D


 η 0 mβ

 2 2 K m (ua)
w a

De plus, il faut s’assurer de la continuité du champ tangentiel Ez à l’interface r = a
(E 0z ) coeur = (E 0z ) gaine
à r=a
(4.25)
ce qui conduit à la troisième équation :
A(Jm(ua))=C(Km(wa))
Enfin, la continuité du champ magnétique tangentiel Hz donne
(H 0z ) coeur = (H 0z ) gaine
à r=a
(4.26)
et nous obtenons ainsi la quatrième équation :
B(Jm(ua))=D(Km(wa))
95
Ces équations de continuité permettent de déterminer entièrement les constantes d’amplitude et la constante
de propagation.
 mβ

A 2 2 J m (ua) 
u a

k η

+ B  0 0 J ’m (ua) 
u
a


 mβ

+ C  2 2 K m (ua) 
w a

k η

+ D  0 0 K ’m (wa) 
 wa

=0
(I)
 k n2

A  0 1 J ’m (ua) 
 ua




 η mβ
+ B  02 2 J m (ua) 

u a

 k n2
+ C  0 2 K ’m (wa) 

 wa


 η mβ

+ D  02 2 K m (ua) 
w a

=0
(II)
A (Jm (ua))
+ B (0)
- C (Km (wa))
+D (0)
=0
(II)
A (0)
+ B (Jm (ua))
- C (0)
-D (Km (wa))
=0
(IV)
TABLEAU 4.2 : Équations obtenues pour la fibre à saut d’indice lors de l’application des conditions aux limites à
l’interface cœur-gaine
4.1.5 Équation caractéristiqueet solutions modales (étape 5)
L’ensemble des équations (I), (II), (III) et (IV) forme un système d’équations homogènes que l’on a réécrit
sous la forme du tableau 4.2. Des solutions non-triviales existent si et seulement si le déterminant du système est nul.
Le calcul de ce déterminant 4 X 4 est laborieux et nous ne donnerons ici que le résultat soit l’équation caractéristique
suivante :
Det=0
  J ’ (ua )
K ’m ( wa) 
2
m

+
=m
  (ua ) J (ua ) (wa ) K ( wa ) 
m
m


E.C.
 1
1

+
 (ua ) 2 ( wa ) 2

  n 12 1
1

+
  n 2 (ua ) 2 (wa ) 2
 2
 n 2 J ’m (ua )
K ’m ( wa)  
X  12
+


 n 2 (ua ) J m (ua ) (wa ) K m (wa )  




(4.27)
Cette équation caractéristique détermine les valeurs possibles de la constante de propagation pour une
valeur d’indice du cœur n1 et de la gaine n2 donnée lorsque la dimension du cœur (a) est fixée et que la longueur
d’onde λ de la source est spécifiée. Cette équation caractéristique est écrite ici en termes des paramètres normalisés
de la constante de propagation (ua) et (wa). On peut ici introduire la fréquence de la fibre en notant d’abord que l’on
a encore
(ua)2+(wa)2=V2
(4.28)
Cette dernière relation nous amène à la définition de la fréquence normalisée
V=(k0a) n 12 − n 22
(4.29)
Il est donc possible ici de déterminer la constante de propagation après avoir spécifié uniquement la
fréquence normalisée V, le rapport d’indice (n1/n2) et l’indice azimutal du mode (m).
Après avoir trouvé une solution pour la valeur de la constante de propagation β au moyen de l’équation
caractéristique (4.27), on peut en principe calculer les coefficients B, C et D en fonction du coefficient A (qui lui est
évalué seulement lorsqu’on précise le contenu en puissance du mode) et ainsi déterminer complètement le contenu
modal. On voit que la solution de l’équation caractéristique ne peut qu’être numérique et que les classements des
divers modes semblent à priori difficiles. Par contre, on note un cas particulier qui semble simplifier quelque peu
l’équation caractéristique.
96
Modes TE-TM
En effet, lorsque m = 0, c’est-à-dire lorsqu’il y a symétrie de révolution pour la solution modale, l’équation
caractéristique se réduit au produit de deux quantités qui demeure nul. On a alors la possibilité d’avoir ces deux
quantités nulles indépendamment l’une de l’autre. Afin de bien identifier ce cas (m=0), on réécrit ci-dessous les
équations de continuité pour m = 0 :
 J ’ (ua ) 
+ D
B 0
 (ua ) 


 n 2 J ’ (ua ) 
+ C
A 1 0
 (ua ) 


 K ’0 ( wa ) 

=0
 (wa ) 


 n 22 K ’0 ( wa ) 

=0


(
wa
)


(I)
(II)
A(J0(ua))-C(K0(wa))=0
(III)
B(J0(ua))-D(K0(wa))=0
(IV)
On note que les équations (I) et (IV) forment un groupe qui permet le calcul de B et D indépendamment de
A et C. De même, les équations (II) et (III) permettent de déterminer les coefficients A et C indépendamment de B et
D.
Il est alors justifié de distinguer deux sous-familles. Premièrement, on pose A = C = 0 et on obtient, en vu
de déterminer B et D, l’équation caractéristique suivante :
 J ’ (ua )
K ’0 (wa ) 
0

+
 =0
 (ua ) J 0 (ua ) ( wa ) K 0 ( wa) 
(4.30)
Cependant, l’égalité A= C= 0 implique (voir les équations (4.15) et (4.18)) que Ez = 0 ; on a alors un mode
TE et les constantes de propagation de ces modes sont déterminées par l’équation caractéristique (4.30). De même, si
on pose B =D = 0, on impose que Hz = 0 (équations (4.16) et (4.19)) et le mode devient un mode TM. L’équation
caractéristique de ces modes correspond au déterminant des équations (II) et (III) , pour m=0, c’est-à-dire :
 n 2 J ’ (ua )
K ’0 ( wa ) 
0
 12
+
 =0
 n 2 (ua ) J 0 (ua ) ( wa ) K 0 (wa) 
(4.31)
Notez que ces résultats (4.30) et (4.31) peuvent être obtenus directement de l’équation (4.27) pour m=0, en
posant indépendamment les deux expressions entre crochets égales à zéro.
Fréquences de coupure
Afin de poursuivre la classification des autres modes (m ≠ 0), on simplifie l’équation caractéristique (4.27)
en supposant que l’on est proche d’une fréquence de coupure. La coupure se manifeste encore ici lorsque le mode se
détache de la structure guidante c’est-à-dire du cœur. Le paramètre w tend alors vers zéro ce qui implique que
l’amplitude des champs ne décroît plus lorsque r tend vers l’infini.
Lorsque w →0 , β → n2 k0 ce qui veut dire que la constante de propagation β est la même qu’une onde
TEM dans un milieu d’indice n2. Dans ce cas, le paramètre (ua) → V. Lorsque leur argument tend vers zéro, les
fonctions de Hankel modifiées Km(x) deviennent infinies. Il nous faut donc, pour déterminer la coupure, prendre avec
soin la limite (wa) → 0.
En utilisant les identités suivantes :
97
J ’m ( x)
x J m (x )
=
J m -1 ( x )
x J m (x )
−
m
x
2
=−
J m +1 ( x )
x J m (x)
+
m
(4.32)
x2
et
K ’m ( x )
=−
x K m ( x)
K m -1 ( x )
x K m (x )
−
m
x
2
=−
K m +1 ( x)
x K m (x)
+
m
x2
(4.33)
nous écrivons l’équation caractéristique (4.27) sous la forme suivante (notez que le développement algébrique est
très long) :
K m +1 (wa)  (n 2 + 1) J m -1 (ua)
2 K m -1 (wa) 
−

=
(wa) K m (wa)  (ua ) J m (ua)
( wa ) K m ( wa) 
- J m +1 (ua)  2 n 2 J m -1 (ua) (n 2 + 1) K m -1 ( wa) 
−


(ua ) J m (ua)  (ua ) J m (ua)
( wa ) K m (wa) 
E.C.
(4.34)
où
=
n1
>1
n2
Par la suite, on analyse le comportement de cette équation lorsque (wa) → 0 et (ua) → V0 (V0 = Vcoupure).
Tout d’abord , il faut noter que pour m=0, nous avons
K -1 ( x) K 1 (x)
=
K 0 (x) K 0 (x)
lim x →0
K 1 ( x)
1
=−
K 0 (x )
x ln x
De même, on montre (voir annexe A4) que
lim x →0
K m +1 (x ) 2m
=
K m (x)
x
(m>1)
En se servant de ces valeurs asymptotiques, on montre que l’équation caractéristique sous la forme de
l’équation (4.34) devient pour un (wa) petit et m > 1 de la forme
[
4 m V0 J m (V0 ) (n 2 + 1) (m − 1) J m -1 (V0 ) − V0 J m (V0 )] →
[
− ( wa) J m +1 (V0 ) 4 n 2 (m − 1) J m −1 (V0 ) − (n 2 + 1) V0 J m (V0 )] → 0
2
(4.35)
On conclut qu’il existe dans ce cas deux solutions possibles lorsque (wa) → 0.
m(V0)=0
n2+1)(m-1)Jm-1(V0)=V0Jm(V0)
Nous notons aussi que la deuxième solution peut aussi s’écrire
98
m-2(V0)=
(1 − n 2 )
(1 + n 2 )
J m (V0 )
On verra plus loin que le rapport d’indice est généralement très proche de 1 pour les fibres de
communication optique ; il s’ensuit que les fréquences de coupure seront alors proches des zéros de Jm-2. Pour des
valeurs de l’indice azimutal m plus grand que 1, il existe deux fréquences de coupure distinctes. On anticipe donc
qu’il doit y avoir deux sous-familles distinctes de modes ayant des constantes de propagation β différentes.
Ces modes, ayant toutes leurs composantes vectorielles de leur champ E et H non-nulles, sont
qualifiés de mode hybride. On nomme la sous-famille ayant comme fréquence de coupure les zéros de Jm(V0)
(relation 1) les modes EHm,p , m étant l’indice azimutal et p désignant le pième zéro (p=1, 2,...). L’indice p désigne
aussi le nombre de zéros du mode contenus dans le coeur (l’indice est alors appelé indice radial). On nomme par la
suite l’autre sous famille ayant comme fréquence de coupure la relation 2 les modes HEm,p.
Il faut noter ici que la fréquence de coupure V0 = 0 n’est pas une solution de la relation (4.35) (à vérifier en
exercice).
Pour l’indice azimutal m=1, l’équation caractéristique devient pour (wa)→ 0

2 V0 J 1 (V0 ) 
V0J1(V0) (n 2 + 1) J 0 (V0 ) +
→0
ln (wa) 

4.36)
La coupure sera alors donnée par le zéro de J1(V0) ou par la solution possible V0 = 0. Le mode d’indice m=1
ayant comme fréquence de coupure les zéros de J1 (V0) correspondra naturellement aux modes EH1, p. Les modes
HE m, p peuvent aussi exister, cependant, on doit ici conclure que leur fréquence de coupure est la même que ceux des
modes EH1, p ; ils sont donc dégénérés à la coupure. Il reste encore un mode dont la fréquence de coupure est nul;
c’est-à-dire un mode qui peut se propager quelque soit la fréquence de la source. On convient de nommer ce mode
important le mode HE1,1. Enfin pour m= 0, on montre que l’équation caractéristique se réduit pour (wa) à la
condition
J0(V0)=0
(4.37)
On sait déjà que ceci correspond aux modes TE et TM. Ces modes sont aussi dégénérés à la coupure.
MODE
CONDITION
HE11
FRÉQUENCE DE COUPURE V0
V0 = 0
TE0, pTM0, p
J0 (V0 ) = 0
V0 = 2,40, 5,52, 8,65, 11,79,…
EHm, p
Jm (V0 ) = 0
V0 (m=1) = 3,83, 7,01, 10,17, 13,32, …
V0 (m=2) = 5,13, 8,41, 11,62, 14,80, …
V0 (m=3) = 6,38, 9,76, 13,01, 16,22, …
…
HE1, p+1
J1 (V0 ) = 0
HEm, p
Jm-2(V0) = n’Jm(V0)
V0 = 3,83, 7,01, 10,17, 13,32, …
V0 (m=2) = 2,40, 5,52, 8,65, 11,79,…
V0 (m=3) = 3,83, 7,01, 10,17,
13,32, …
V0 (m=4) = 5,14, 8,42, 11,62, 14,80, …
… (zéros de Jm-2 quand n1 ≈ n2)
99
où n’ =
1− n 2
1+ n2
TABLEAU 4.3 : Nomenclature des modes
Le tableau 4.3 résume ainsi les conditions de coupure ainsi que la désignation des modes.
L’analyse des fréquences de coupure peut sembler superflue puisque nous savons déjà que l’équation
caractéristique sera résout numériquement plus tard. Au contraire, cette analyse est loin d’être inutile puisqu’elle est
essentielle à l’orientation de la solution numérique de l’équation caractéristique.
4.1.6 Solution numérique de l’équation caractéristique (étape 6)
La figure 4.2 présente la solution numérique de l’équation caractéristique pour le rapport β /k0 (indice
effectif de la fibre) en fonction de la fréquence normalisée V, pour un indice du coeur n1 = 1,5 et un indice de la
gaine n2 = 1.
Ces courbes sont générées par des techniques numériques de solution d’équations transcendantes. On
procède par un suivi adiabatique de chacun des modes à partir d’une haute fréquence V, jusqu’à leur fréquence de
coupure. On comprend maintenant qu’il était essentiel de connaître ces fréquences de coupure afin de s’assurer du
calcul de l’ensemble complet des modes guidés. Comme on s’y attendait, la valeur de l’indice effectif va de n2 à la
fréquence de coupure jusqu’à la valeur n1 à haute fréquence pour chacun des modes.
Lorsque la fréquence normalisée est plus grande que le premier zéro de la fonction de Bessel d’ordre zéro
(V = 2,4), la fibre devient multimode. L’élargissement d’une impulsion lumineuse sera alors une conséquence des
vitesses de propagation différentes des modes supérieurs. La figure 4.3 nous montre le rapport normalisé de la vitesse
de groupe pour les mêmes valeurs d’indices que la figure précédente. Ce rapport est obtenu en supposant que n1 et n2
ne dépendent pas de la fréquence, on a alors que
d ( β /k 0 ) β
dβ
c
=
=V
+
v g dk 0
dV
k0
(4.38)
Ce rapport est obtenu par différentiation numérique du rapport ( β /k0). La vitesse des modes varie de c/n2 à
la coupure jusqu’à c/n1 à haute fréquence. Chacun des modes atteint une vitesse minimale à une certaine fréquence
V. En pratique, on spécifie l’élargissement de l’impulsion à partir de ces deux valeurs extrêmes sans s’occuper des
vitesses minimales. On a alors que l’élargissement est donné par
∆t =
L
(n1–n2)
c
La largueur de bande due à la dispersion intermodale sera donc de l’ordre de
B=
0,3
MHz–km(4.39)
(n 1 − n 2 )
Pour augmenter cette largeur de bande, il y a avantage à choisir l’indice de la gaine n2 proche de l’indice du coeur n1.
100
101
102
4.2 Fibre monomode
L’étude précédente sur les fréquences de coupure des divers modes nous a appris que la fibre à saut d’indice
était monomode lorsque la fréquence normalisée V était plus petite que le premier zéro de la fonction de Bessel
d’ordre zéro soit :
V=
2π
a n 12 − n 22 <2,4
λ
(4.40)
Le design d’une fibre monomode se réduit ici à cette équation fort simple qui relie les divers paramètres de
la fibre (n1), (n2), (a) et la longueur d’onde de la source λ . La structure électromagnétique du mode fondamental
correspond donc à celle du mode HE11 qui est constitué des trois champs électriques Er, E φ , Ez et des trois champs
magnétiques Hr, H φ , Hz non nuls pour l’indice azimutal m=1. De plus, comme nous l’avons signalé dès le départ, il
existe pour m=1 deux distributions angulaires possibles soit celle en sin ( φ ) et celle en cos ( φ ). Il y a donc deux
modes HE11. Cependant, ces deux modes sont dégénérés puisqu’ils ont la même constante de propagation β . Pour
les communications optiques, il est nécessaire de quantifier la largeur de bande du guide même lorsqu’il est
monomode. On a vu au chapitre 2 que l’élargissement d’une impulsion qui se propage dans un milieu dispersif
β (ω ) est défini par la dérivée seconde de la dispersion. On définit ici un coefficient de dispersion du guide d’ondes :
γ =ω c
d2β
dω 2
(4.41)
En assumant que l’indice n1 ≠ n 1 (ω ) et n2 ≠ n 2 (ω ) , c’est-à-dire qu’il n’y a pas de dispersion chromatique
dans le milieu, le coefficient de dispersion γ est alors seulement caractérisé par la dispersion du guide, c’est-à-dire
γ = γ g . Nous démontrerons que le coefficient de dispersion du guide d’ondes est alors donné par
γg =V
d c
dV v g
(4.42)
FIGURE 4.4 : Coefficient de dispersion du guide d’ondes en fonction de V
103
Ce coefficient est, par la suite, évalué grâce à une dérivation du rapport de vitesse. Dans l’exemple
précédent, la figure 4.4 nous montre ce coefficient pour le mode fondamental HE11 en fonction de la fréquence
normalisée V. Ce coefficient est utile d’ailleurs seulement pour le mode HE11 et ce dans la région monomode. On
note que la dispersion du guide d’ondes est toujours positive dans la région monomode et que sa valeur est très
grande même près de V=2,4 si elle est comparée avec la dispersion de matériau du verre (voir figure 4.5). Pour des
longueurs d’onde plus courtes que 1,3 µ m, la dispersion totale est certainement plus importante. On devra sûrement
passer par des longueurs d’onde très grandes pour espérer compenser une si forte dispersion du guide d’ondes au
moyen d’une constante de matériau négative. Ces observations s’appliquent aux cas particuliers où n1 = 1,5 et n2 = 1.
Il est maintenant essentiel d’analyser le comportement de la fibre monomode pour d’autres combinaisons de n1 et n2
avant de définir définitivement la fibre monomode.
D’abord, il faut à partir de la condition monomode V < 2,4 , calculer le rayon (a) de la fibre aux longueurs
d’onde des sources disponibles et surtout aux longueurs d’onde de perte minimale du verre. La figure 4.6 montre la
variation de l’écart ( n 12 − n 22 ) en fonction du rayon (a) aux trois longueurs d’onde couramment utilisées pour un
paramètre V près du maximum permis (V = 2,25) afin d’obtenir le plus grand rayon (a) possible.
Ainsi, de cette courbe, on conclut qu’il faut que la différence d’indice (n1 – n2) soit très faible pour que la
fibre ait un diamètre (2a) suffisamment grand pour être techniquement réalisable. D’autre part, l’écart d’indice (n1 –
n2) doit être suffisamment grand pour assurer un guidage du mode même en présence de courbure. Présentement, la
fibre monomode à saut d’indice (pour les communications optiques) a un diamètre entre 9 et 10 µ m généralement.
On a donc alors, un écart d’indice ( n 12 − n 22 ) de l’ordre de 0,01 ; c’est-à-dire que si n1=1,5 on trouve n2 = 1,497.
FIGURE 4.5 : Coefficient de dispersion matériau en fonction de
104
FIGURE 4.6 : Saut d’indice en fonction du rayon du coeur (a)
FIGURE 4.7 : Évolution de la relation de dispersion en fonction de V
Il faut donc étudier le comportement monomode d’une fibre optique qui possède un indice n2 près de n1. Par
exemple, la figure 4.7 montre l’évolution d’un coefficient de dispersion d’un guide d’ondes pour des variations
d’indice n2 entre 1 et 1,49. On observe que lorsque n2 tend vers n1, que la dispersion du guide d’ondes diminue
rapidement. Dans la figure suivante (figure 4.8), on a tracé le coefficient de dispersion d’un guide d’ondes pour la
fréquence d’opération V = 2,25. Quand l’indice n2 est très près de n1, comme elle doit l’être pour un diamètre de
fibre assez grand, la dispersion du guide d’ondes devient assez petite. Ainsi, on peut donc espérer compenser cette
dispersion, laquelle est toujours positive dans la région monomode, par une constante de dispersion matériau
négative quand la fréquence de la source est plus grande que 1,3 µ m. Afin de mieux quantifier la dispersion du
guide d’ondes lorsque n2 est près de n1, on définit un paramètre de dispersion monomode D(V) :
105
D(V)=
γg
n1 − n 2
(4.43)
FIGURE 4.8 : Coefficient de dispersion du guide d’ondes en fonction de l’indice de la gaine
La figure 4.9 montre l’évolution de ce paramètre avec la variation de n2. On note que le paramètre de
dispersion monomode D(V) varie très peu lorsque n2 Q1.
FIGURE 4.9 : Évolution de la fonction universelle de dispersion (HE11)
Sur la figure 4.10, on isole maintenant ce paramètre universel de dispersion monomode D(V) lorsque n2
n1. Cette courbe permet de calculer le coefficient de dispersion du guide d’ondes γ g au moyen de la relation (4.43)
et ainsi d’estimer la largeur de la bande de la fibre monomode (voir exercice 1).
106
FIGURE 4.10 : Fonction de dispersion universelle D(V) à la limite n1 §Q2
Cette condition de faible guidage n1 ≅ n2 pour le design d’une fibre monomode amène une grande
simplification de la structure multimode que nous introduirons à la section suivante.
4.3 Modes polarisés linéairement (LP)
La condition n1 ≅ n2 est nommée condition de faible guidage [6, 7] . Si on étudie la relation de dispersion
pour un indice n2 se rapprochant de n1, par exemple n1 = 1,5 et n2 =1,4 (figure 4.11), on observe que les modes HE21,
TE01 et TM01 ont une constante de propagation presque identique pour toutes les valeurs de V. De même, les modes
EH11 et HE31 semblent s’identifier à la même constante de propagation. Pour un indice n2 encore plus près de n1, le
regroupement des modes devient plus évident (voir figure 4.12 et 4.13). Il est communément pratique d’identifier les
modes qui ont la même relation de dispersion selon une nouvelle nomenclature, soit les modes LP01, LP11, LP21,
etc.…
FIGURE 4.11 : Constante de propagation normalisée ( ∆ = 0,064)
107
FIGURE 4.12 : Constante de propagation normalisée ( ∆ = 0,033)
FIGURE 4.13 : Constante de propagation normalisée ( ∆ = 0,013)
Lorsque n1 §Q2 , le paramètre n (n = n1/n2) est environ égal à 1 et l’équation caractéristique (sous la forme
donnée par l’équation (4.34)) se sépare en deux équations caractéristiques :
108
(É.C.)EH ⇒
J m +1 (ua)
-K m +1 (wa)
=
(ua) J m (ua)
(wa) K m (wa)
(4.44)
(É.C.)HE ⇒
J m −1 (ua)
K m −1 (wa)
=
(ua) J m (ua)
(wa) K m (wa)
(4.45)
et
Nous identifions l’équation (4.44) aux modes EH et l’équation (4.45) aux modes HE afin d’être consistant
avec notre nomenclature précédente pour les fréquences de coupure, lorsque m > 1. Pour m=0, les deux équations
caractéristiques sont identiques puisque J-1(x) = -J1 (x) et K-1(x) = K1(x) :
J 1 (ua)
-K 1 (wa)
=
(ua) J 0 (ua)
(wa) K 0 (wa)
(É.C.)TE,TM ⇒
(4.46)
Cette équation devient l’équation caractéristique pour les modes TE et TM. Selon l’approximation n1 ≈ n2,
les modes TE et TM sont dégénérés puisqu’ils ont la même constante de propagation : la solution de l’équation
(4.46).
L’équation caractéristique du mode HE11 est incluse dans l’équation (4.45); pour m =1, nous avons :
(É.C.) HE 11 ⇒
J 0 (ua)
K 0 (wa)
=
(ua) J 1 (ua)
(wa) K 1 (wa)
(4.47)
Il faut noter ici que si nous utilisons la forme de l’équation caractéristique donnée à l’équation (4.34), le
choix du signe ( ± ) avant le terme de droite mène, après l’utilisation des identités de Bessel, aux mêmes équations
que nous venons de définir. De plus, l’analyse de ces équations caractéristiques pour les modes EH et HE nous
montre que (C.E.) HE m + 2 = (C.E.) EH m ce qui signifie que le mode HEm+2 a la même constante de propagation que le
mode EHm. Ils sont par conséquent dégénérés ( β HE m + 2 = β EH m , pour m >1). Par conséquent, de l’équation (4.45)
nous tirons
(É.C.) HE m + 2 ⇒
J m +1 (ua)
K m +1 (wa)
=
(ua) J m + 2 (ua)
(wa) K m + 2 (wa)
Les identités suivantes des fonctions de Bessel
J m + 2 (x) =
2 (m + 1)
J m +1 (x) − J m (x)
x
et
K m+ 2 (x) =
2 (m + 1)
K m+1 (x) + K m (x)
x
permettent de transformer cette relation en la relation suivante
(É.C.) HE m + 2 ⇒
J m +1 (ua)
-K m +1 (wa)
=
(ua) J m (ua)
(wa) K m (wa)
c’est-à-dire que l’on retrouve l’équation caractéristique pour les modes EHm :
(É.C) HE m + 2 ≡ (É.C) EH m
109
Puisque ces modes sont dégénérés, on peut les combiner pour former un nouvel ensemble de modes. Avant
de procéder, il nous faut écrire explicitement la forme des composantes transverses des champs dans le coeur et la
gaine selon cette approximation de faible guidage. Ce calcul est très laborieux, nous ferons seulement ici le calcul du
champ électrique dans le coeur et nous donnerons le résultat final pour les autres cas. D’abord, il faut résoudre
l’ensemble des équations (I), (II), (III) et (IV) du tableau 4.2 pour relier les diverses constantes B, C, D à la constante
A. Par exemple, on montre que :
B=
 1
- A (mβ )  2
 (ua)

( k 0η 0 ) 
 ( ua)
+
1
(wa)
2



(4.48)

+

J m (ua ) ( wa) K m (wa ) 

’
J m ( ua )
’
K m ( wa )
L’équation caractéristique de la forme de l’équation (4.27), lorsque n1 ≈ n2 devient :
 J ’m (ua )
 1
K ’m (wa ) 
1
+
+
 = ± m 

2
(wa) 2
 (ua)
 (ua ) J m (ua ) ( wa ) K m (wa ) 




(4.49)
Le signe (+) correspond au mode EH et le signe (-) correspond au mode HE.
L’équation caractéristique (4.49) simplifie la relation (4.48) qui peut maintenant être écrite comme
B=
±β A
k 0η 0
(4.50)
On peut maintenant trouver les composantes E 0r (4.3a) et E φ0 (4.3b) à partir des composantes axiales E 0z
(4.15) et H 0z (4.16).
Pour les modes HE (signe (+) dans l’équation (4.50)), on peut montrer que
+
 Aβ 
E 0r = − j
 J m -1 (ur) cos (mφ + φ 0 )
 u 
(4.51)
+  Aβ 
E φ0 =  j
 J m −1 (ur) sin (mφ + φ 0 )
 u 
(4.52)
et
Pour les modes EH (signe (-) dans l’équation (4.50)), on peut montrer que
−  Aβ 
E 0r =  j
 J m +1 (ur) cos (mφ + φ 0 )
 u 
(4.53)
−  Aβ 
E φ0 =  j
 J m +1 (ur) sin (mφ + φ 0 )
 u 
(4.54)
et
Puisque les modes HE (m+1) (signe positif) sont dégénérés par rapport aux modes EH(m-1) (signe négatif), on
peut les combiner car ils ont la même constante de propagation β : par exemple, on peut écrire
110
−
 +
Er =  E r0 (m + 1) + E r0 (m - 1)  e - j β z


(4.55)
−
 +
E φ =  Eφ0 (m + 1) + Eφ0 (m - 1)  e - j β z


(4.56)
En utilisant les identités trigonométriques, nous transformons ces équations en
 Aβ 
-jβ z
sin φ
Er=  2j
 J m (ur) sin (mφ + φ 0 ) e
u 

(4.57)
 Aβ 
-jβ
E φ =  2j
 J m (ur) sin (mφ + φ 0 ) e
u


(4.58)
et
z
cos φ
Cette forme obtenue pour la composante radiale et angulaire de E suggère de les combiner pour former un
ensemble de mode polarisé linéairement selon x ou y.
Unmodepolarisélinéairementestobtenuencalculant
Ex=Ercos φ − Eφ sin φ
et
Ey=Ersin φ + Eφ cos φ
On obtient alors pour la présente combinaison que
Ex=0
(4.59)
et que
 Aβ 
-jβ
Ey=  2j
 J m (ur) sin (mφ + φ 0 ) e
u 

z
(4.60)
On peut aussi selon les mêmes combinaisons, calculer le champ magnétique dans le coeur et montrer que
pour ce choix on trouve :
Hy=0
(4.61)
et
Hx=
η1  Aβ 
-j β
 2j
 J m (ur) sin (mφ + φ 0 ) e
η0  u 
z
(4.62)
Dans le plan (xy), cette combinaison des modes EH et HE, nous mène à un champ polarisé linéairement Ey ,
Hx. Une autre combinaison qui consiste à soustraire les modes HEm+1 et EHm-1 aux équations (4.55) et (4.56) nous
conduirait à un mode polarisé selon Ex , Hy.
Cependant, il ne faut pas oublier qu’il existe à la fois une composante Ez et Hz données ici par
Ez=A [J m +1 (ur) cos ((m + 1)φ + φ 0 ) + J m-1 (ur) cos ((m − 1)φ + φ 0 )] e -jβ z
(4.63)
et
Hz=
βA
[J m +1 (ur) cos ((m + 1)φ + φ 0 ) - J m-1 (ur) cos ((m − 1)φ + φ 0 )] e - jβ z
k 0η 0
(4.64)
Calculons maintenant le rapport typique de
111
n12 k 20 − β 2
Ez
u
≈
=
2β
Ey
(4.65)
2β
Selon la condition de faible guidage, on sait que β < n1 k0 et que β > n2 k0 d’où on a alors :
2
Ez
Ey
≈
n 12 − n 22
max
(4.66)
n 12
Pour des valeurs (n1 – n2) petites, Ez est très négligeable en comparaison avec la composante transverse Ey.
La même conclusion s’applique pour le rapport H z /H y .
De plus, il faut noter le rapport d’impédance qui existe entre Ey et Hx
Hx=
1
Ey
η1
où η1 est l’impédance du milieu n1 ( η 0 /n1). On conclut donc que cette structure de modes polarisée linéairement est
presque une structure TEM. Pour compléter le calcul de ces modes polarisés linéairement, il faut maintenant calculer
la distribution de ces modes dans la gaine.
On peut ici simplifier le calcul en utilisant la continuité des champs E φ et H φ à l’interface n1/n2. Ainsi, on
peut anticiper que la même combinaison des champs dégénérés EH et HE nous donnera un résultat semblable à celui
obtenu dans le coeur pour la composante E φ dans la gaine. On s’inspire de l’équation (4.58) pour écrire que ce
champ sera
E φ = C 0 K m (wr) sin (mφ + φ 0 ) e -j β
z
cos φ
(4.67)
Dans cette équation, la fonction de Bessel a été remplacée par la fonction de Hankel qui est la solution de
l’équation radiale dans la gaine. La constante C0 peut être trouvée à l’aide de l’équation de continuité pour E φ ce qui
donne
C0=
2 j A β J m (ua)
u K m (wa)
(4.68)
Le champ radial dans la gaine Er sera aussi de la même forme (voir équations (4.57) et (4.58)). Par
conséquent, un mode polarisé avec le respect de x et y peut être généré. De même, on montre que les composantes du
champ E sont reliées avec les composantes du champ H par une relation d’impédance et que les composantes axiales
de E et H sont négligeables dans la gaine selon l’approximation du faible guidage.
4.3.1 Nomenclature des modes LP
En résumé, lorsque l’indice n2 de la gaine est proche de celui du coeur n1, on observe que les constantes de
propagation des modes HEm+1 et EHm-1 s’identifient l’une à l’autre. Cette dégénérescence nous amène à combiner les
diverses composantes transverses pour former un mode polarisé linéairement. Cette structure modale est alors une
onde quasi-TEM puisque les composantes axiales des champs Ez et Hz sont beaucoup plus faibles que les
composantes transverses.
112
4.3.1.1.1
Coeur
Ex = 0
Ey = A0 J1(ur) sin (l φ + φ 0 ) e -j β z
Ez ≈ 0
Hx =
η1
Hy = 0
Hz ≈ 0
Où u 2 = n 12 k 02 −
et η1 = η 0 /n 1
4.3.1.1.2
Ey
2
Gaine
Ex = 0
J (ua)
K1(wr) sin (l φ + φ 0 ) e -j β z
Ey = A0 l
K l (wa)
Ez ≈
Hx =
Ey
η2
Hy = 0
Hz ≈ 0
Où w 2 = 2 - n 22 k 02
et η 2 = η 0 /n 2
TABLEAU 4.4 : Mode LP polarisé en (y/x)
Notez que pour l’indice m = 0, on a une combinaison de modes HE11, c’est-à-dire de modes fondamentaux.
Afin d’éviter la confusion avec la notation précédente où m =0 correspondait au mode TE ou TM on introduit
l’indice l = 0, 1, 2 pour désigner la dépendance azimutale des modes LP du tableau 4.4. Le mode fondamental est
donc le mode LP01.
FIGURE 4.14 : Quatre distributions de champ possibles pour le mode LP11
Ici, le mode a été décrit pour des composantes Ex =0, mais il va de soi qu’il peut exister aussi la même
distribution pour l’autre polarisation, c’est-à-dire Ey = 0. Notez aussi que chacune de ces deux polarisations peut
avoir une distribution en cos ( φ ) ou sin ( φ ). Comme l’illustre la figure 4.14, pour chaque indice m, il existe
généralement quatre distributions possibles.
113
La constante de propagation de ce mode polarisé linéairement est trouvée en utilisant les trois équations
caractéristiques (4.44), (4.45) et (4.46) obtenues précédemment. Ces trois équations peuvent être écrites en seule de
la façon suivante
(ua) J l −1 (ua)
(wa) K l −1 (wa)
=−
J l (ua)
K l (wa)
(4.69)
où l’indice l est donné par
mode TE, TM
1

l= m + 1 mode EH
m - 1 mode HE

Exercice 4.1
Équation caractéristique pour les modes LPl,p
Vérifier que cette équation caractéristique comprend bien les trois précédentes en vous servant des
identités des fonctions de Bessel et de Hankel.
L’équation (4.69) est donc l’équation pour les modes polarisés que l’on désigne LPl, p où l est l’indice azimutal relié à
l’indice azimutal m des modes hybrides et p = 1, 2, 3,… est l’indice radial. La figure 4.15 nous montre la solution de
cette équation caractéristique pour l’indice effectif ( β / k0) alors que la figure 4.16 nous montre les vitesses de
groupe des modes LP. Notez que l’équation caractéristique (4.69) ne dépend plus des indices n1 et n2; on peut alors
résoudre cette équation une fois pour toutes en écrivant la solution du paramètre (ua) en fonction de la fréquence
normalisée V (figure 4.17).
114
FIGURE 4.15 : Constante de propagation normalisée en fonction de V
FIGURE 4.16 : Vitesse de groupe normalisée
115
116
Le tableau 4.5 nous donne le lien entre cette désignation en modes LP et la désignation traditionnelle en
modes hybrides.
Désignation en mode LP
Nombre de modes dégénérés
LP01
Désignation traditionnelle et nombre
de modes
HE11 X 2
LP11
TE01 ,TM01, HE21 X 2
4
LP21
EH11 X 2, HE31 X 2
4
LP02
HE12 X 2
2
LP31
EH21 X 2, HE41 X 2
4
LP12
TE02, TM02, HE22 X 2
4
LP41
EH31 X 2, HE51 X 2
4
LP22
EH12 X 2, HE32 X 2
4
LP03
HE13 X 2
2
LP51
EH41 X 2, HE61 X 2
4
2
TABLEAU 4.5 : Relations entre les désignations traditionnelles et LP pour les dix premiers modes
La distribution radiale des composantes transverses des champs de divers modes LP est montrée à la figure
4.18. On note sur cette figure la continuité des fonctions de Bessel et Hankel à l’interface. De même, on peut voir
que la dérivée est continue, ce qui est en fait une conséquence de l’équation caractéristique (voir exercice 4.2).
117
FIGURE 4.18 : Distribution radiale de champ des six premiers modes de la fibre à saut d’indice dans l’ordre de leur
apparition à la fréquence de coupure du mode supérieur
Exercice 4.2
Continuité à l’interface
Montrez que l’équation caractéristique des modes LP implique que la fonction radiale d’amplitude des
champs transverse est continue de même que sa dérivée.
Les modes LP étant des ondes quasi-TEM, on peut calculer simplement la puissance transportée au moyen
de la relation
Sz=
1
Ex
2η
2
(4.70)
La figure 4.19 nous montre cette distribution de puissance normalisée pour quelques modes LP. Il est
possible aussi d’intégrer cette distribution de puissance dans le coeur et dans la gaine au moyen des intégrales de
Besssel et de Hankel (voir A4).
118
FIGURE 4.19 : Distribution d’intensité S z / Ptot des six premiers modes de la fibre à saut d’indice dans
l’ordre de leur apparition à la fréquence de coupure du mode supérieur
On montre que le rapport de la puissance transportée dans le coeur Pc0 sur la puissance transportée dans la
gaine Pc1 s’écrit
Pc0
J 2 (ua) − J l −1 (ua) J l +1 (ua)
= 2l
Pc1 K l (wa) − K l −1 (wa) K l +1 (wa)
(4.71)
L’équation caractéristique permet d’éliminer les fonctions de Hankel et d’écrire
119
Pc0
=
Pc1
J l2 (ua) − J l −1 (ua) J l +1 (ua)
 ua
J l2 (ua) + 
 wa
2

 J l −1 (ua) J l +1 (ua)

(4.72)
Le paramètre (ua) doit être obtenu de l’équation caractéristique pour une valeur fixée de V. La figure 4.20
montre le rapport de la puissance transportée dans le coeur par rapport à la puissance totale transportée pour les
premiers modes LP. Près de la fréquence de coupure, la puissance est presque entièrement dans la gaine.
FIGURE 4.20 : Rapport de puissance normalisée Γ en fonction de V
À hautes fréquences, la puissance se retrouve dans le coeur. Par exemple, à la première fréquence de
coupure multimode V = 2,4, 82,7% de la puissance du mode fondamental se trouve confiné dans le coeur. On
comprend ici encore que la gaine fait partie de la structure guidante puisqu’elle contribue en grande partie à
la propagation de la puissance.
La figure 4.21 nous indique la distribution d’intensité du mode fondamental LP01 dans une fibre pour
diverses valeurs de la fréquence normalisée. Encore ici, on peut comprendre qu’à basse fréquence, le mode se situe
en grande partie dans la gaine et qu’à haute fréquence le mode devient presque entièrement contenu dans le coeur.
120
FIGURE 4.21 : Distribution de puissance normalisée pour différentes fréquences du mode LP01
Exercice 4.3
Largeur de bande de la fibre monomode
En l’absence de dispersion chromatique (matériau), la dispersion du guide d’ondes limite la largeur de
bande de la fibre monomode. Dérivez une expression analytique pour la largeur de bande de la fibre à saut
d’indice monomode en vous servant du résultat de l’exercice 2.4. Vous devez ainsi supposer que les impulsions à
l’entrée ont une largeur Tm optimisée pour la distance de 1 kilomètre et que λ = 1,3 µ m.
B=f( γ g ) [GHz - km]
Calculez cette valeur pour les fibres (n1 = 1,5 , n2 = 1,0) et (n1 = 1,5 , n2 = 1,48) au maximum de
dispersion du guide d’ondes.
121
Exercice 4.4
D. Gloge [6] a montré qu’une solution approchée de l’équation caractéristique du mode HE11 était dans le
cas de faible guidage :
(ua) ≅
2, 4 V
1 + (4 + V 4 )1 / 4
1.
Vérifiez numériquement cette relation en la comparant à l’équation caractéristique de faible guidage pour ce
mode.
2.
Montrez que cette relation, toujours dans le cas de faible guidage (n1 ≈ n2), conduit à la constante de
propagation :
k (2,4) 2 (n 1 − n 2 )
β ≅ n 1k 0 − 0
(1 + (4 + V 4 )1 / 4 ) 2
3.
Calculez la valeur du paramètre de dispersion du guide d’ondes (en supposant que la dispersion matériau est
nulle).
γ g = (ω c)
d2β
dω 2
et trouvez la relation de dispersion D(V) définie comme suit
γ g = (n 1 − n 2 ) D(V)
Tracez la courbe de la relation D(V)
4.
En supposant que la dispersion matériau est non nulle (cependant
dn 1
d
dispersion totale γ = (ω c)
=
dn 2
). Dans ce cas, montrez que la
d
2
d β
dω
2
peut être écrite comme
γ = γ m +γ g
où γ m est le coefficient de la dispersion matériau
γ m = λ2
d 2 n1
dλ 2
et γ g est donné par les calculs précédents. Dans le but d’obtenir ce résultat, l’approximation réaliste suivante
doit être considérée :
λ
5.
dn
dλ
<<
Finalement, discutez de la possibilité de réaliser une fibre monomode sans dispersion.
122
Exercice 4.5
Dispersion nulle
Le coefficient de dispersion matériau γ m peut s’écrire près de λ = 1,28 µ m
γ m = 0,038 (1,28 - λ
A. Calculez le diamètre (2a) maximum pour qu’une fibre à saut d’indice n1 = 1,46 et n2 = 1,457 possède une
dispersion totale nulle à λ = 1,3µm .
B. Expliquez pourquoi le diamètre est maximum selon vos calculs.
C. Est-il possible de réaliser une fibre optique de dispersion totale nulle à λ =1,55 µ m pour ce choix d’indice?
Exercice 4.6
Approximation Gaussienne du mode
Marcuse [8] a donné une expression simple qui fournit une bonne approximation gaussienne du mode
LP01
E=E0e
 r 

− 

 w0 
2
Avec
w0
1,619 2,879
= 0,65 + 3/2 +
a
V
V6
Vérifiez cette approximation dans le coeur et la gaine d’une fibre optique de fréquence normalisée V=1,
2, 2.4 en la comparant avec la solution en termes des fonctions de Bessel et Hankel.
Exercice 4.7
Maintenir un état de polarisation dans une fibre
On a vu, dans l’approximation de faible guidage, que l’on pouvait construire une fibre monomode qui
supportait un mode polarisé linéairement. Croyez-vous, selon cette théorie, que la polarisation du mode se
maintiendrait sur de très longues distances de propagation ?
Discutez de la possibilité de construire une fibre monomode qui maintiendra son état de polarisation.
123
5 La fibre à gradient d’indice
Nous avons vu au chapitre précédent que la fibre monomode à saut d’indice a une dimension très petite.
Lorsque cette fibre est plus grosse et qu’elle est multimode, on a montré que les modes ont des vitesses de groupe
très différentes et qu’il en résulte alors une faible largeur de bande. Il est vrai qu’aujourd’hui les problèmes
techniques associés à la fibre monomode sont principalement résolus. Cependant, pour certaines applications à venir
tel l’ordinateur optique, on croit devoir utiliser des fibres optiques de dimensions beaucoup plus grandes que les
dimensions actuelles des fibres monomodes tout en conservant une grande largeur de bande.
La fibre à gradient d’indice convergent permet d’uniformiser la vitesse de groupe des divers modes et ainsi,
augmenter de beaucoup la largeur de bande d’un tel lien optique dans un système de communication. Signalons aussi
que de tels milieux optiques à gradient d’indice (voir figure 5.1) sont devenus aujourd’hui des éléments optiques
importants (par exemple, GRIN) aussi bien en communication qu’en imagerie optique.
FIGURE 5.1 : Exemples de différents profils d’indice de réfraction pour une fibre avec un cœur non-uniforme
Dans ce chapitre, nous aborderons l’analyse de la fibre à gradient d’indice en rappelant d’abord la
décomposition de ses modes en modes polarisés linéairement –LP (section 5.1)- sous les conditions de faible guidage
et de faible gradient d’indice. Pour compléter ce modèle électromagnétique, nous résoudrons l’équation radiale des
modes LP pour le cas de la fibre à gradient d’indice parabolique (section 5.2). Nous ferons par la suite
l’approximation du milieu non-limité pour obtenir une solution plus élégante, en termes des fonctions de LaguerreGauss (section 5.3).
Par la suite, nous introduirons à la section 5.4 les principes de l’optique géométrique pour l’étude des modes
d’un milieu à profil d’indice général. Nous compléterons cette analyse par l’étude de la fibre parabolique pour bien
dégager le lien entre les concepts de l’optique géométrique et de la théorie électromagnétique (section 5.5). À la
section 5.7, nous déterminerons, au moyen de la méthode géométrique, le profil d’indice optimal qui permet
d’uniformiser les vitesses de groupe. Enfin, le calcul de la largeur de la bande de la fibre à profil optimisé sera
effectué à la section 5.7. À l’annexe 5A, on trouvera l’essentiel du modèle de l’optique géométrique pour la
propagation des rayons dans un milieu d’indice variable. L’annexe 5B présente l’analyse exacte de la fibre SELFOC.
124
5.1 Modes polarisés linéairement (LPl,p)
Pour la fibre à saut d’indice, nous avons montré au chapitre précédent que les modes TEm, TMm ainsi que
les modes HEm+1 et EHm-1 avaient pratiquement la même constante de propagation β lorsque la fibre était
faiblement guidée (n1 ≅ n2). Cette dégénérescence a permis de grouper diverses composantes cylindriques des champ
E et H et d’obtenir des modes polarisés linéairement LP, c’est-à-dire des modes dont les composantes sont
importantes seulement dans la direction transverse à la direction de propagation.
Le tableau 4.4 montre la structure du mode LP polarisé en y/x. On note que la composante transverse du
champ magnétique est reliée à la composante transverse du champ électrique par une relation d’impédance et que la
direction de propagation z est donnée par le produit vectoriel des composantes transverses.
On a donc une onde TEM comme solution. Cette solution se décompose pour les champs transverses en une
partie angulaire sin (l φ + φ 0 ) et une partie radiale Jl (ur) dans le coeur et Kl (wr) dans la gaine. L’équation
caractéristique qui permet de déterminer la constante de propagation β des modes LPl p est obtenue en s’assurant de
la continuité de la solution radiale à l’interface coeur/gaine ainsi que la continuité de la dérivée de la fonction radiale.
On note aussi que la composante transverse des champs obéit en fait à l’équation d’onde
∇ 2 Ψ + n 2 k 02 Ψ =0
(5.1)
dans le cœur n1 et dans la gaine n2. Ceci n’est pas surprenant puisqu’on sait déjà qu’en coordonnées cartésiennes
chacune des composantes des champs doit obéir à l’équation d’onde. Il serait donc possible pour la fibre à saut
d’indice d’obtenir immédiatement le tableau 4.4.
Cependant, il n’est pas possible avec une seule composante transverse des champs d’assurer la continuité
des composantes tangentielles à l’interface cœur /gaine. L’analyse exacte des modes nous a donc appris que sous
certaines condition de faible guidage que les conditions aux limites pouvaient se réduire à celles des modes LP.
En présence d’un profil d’indice, un guide d’onde optique possède encore des solutions modales TE, TM ,
EH et HE. Cependant, la présence du terme ∇n dans les équations de Maxwell introduit un couplage de ces divers
modes qui rend l’analyse très complexe [9]. Cependant lorsque le gradient d’indice est faible, on a mentionné au
chapitre 2 que dans ce cas l’équation d’onde (5.1) rend très bien compte des solutions électromagnétiques. De plus, il
a été démontré [10] qu’en présence d’un faible guidage (n1 ≅ n2) que la décomposition en mode LP était encore
justifiée et que les conditions de continuité à l’interface se réduisaient à la continuité de la solution radiale et de sa
dérivée.
On écrit alors la solution de l’équation d’onde (5.1) sous la forme
Ψ = R (r) cos (lφ + φ 0 ) e -j β z
(5.2)
où φ 0 = 0 ou π / 2
La fonction radiale R (r) est une solution de l’équation suivante :
d2R
dr 2
+
1 dR  2 2
+ k 0 n (r) −
r dr 
2
−
l2 
R =0
r 2 
(5.3)
On a ici supposé que l’indice n était une fonction uniquement de la coordonnée radiale ce qui est
habituellement le cas des fibres optiques.
La constante de propagation sera obtenue de la continuité de la solution radiale R à l’interface
(R(a))cœur=(R(a))gaine
(5.4)
125
et de sa dérivée
 dR 
 dR 
=



=
r
a
r=a
 dr  coeur  dr  gaine
(5.5)
La composante Ex (ou Ey) du champ électrique sera donnée par la solution de GDQV OH Fœur et la gaine
alors que la composante Hy (ou Hx) du champ magnétique sera donnée par la relation d’impédance +y = Ex où est
l’impédance du milieu. Notez que les composantes axiales des champs Ez et Hz sont très petites en comparaison avec
les composantes transverses.
On a encore une onde quasi-TEM polarisée selon x/y ou selon y/x, de plus pour chacune de ces
polarisations il existe généralement (sauf l =0) deux distributions angulaires possibles correspondant au choix de
φ 0 ( φ 0 = 0 ou φ 0 = π / 2 ).
5.2 Fibre à profil parabolique généralisée
L’extension que nous venons de faire du concept des modes polarisés linéairement (LP) pour les fibres à
profil d’indice simplifie grandement l’analyse de ce type de fibre. Généralement, le profil d’indice du cœur ne peut
s’écrire sous une forme mathématique simple menant à une solution connue de l’équation radiale. On doit alors
résoudre numériquement l’équation radiale avant d’obtenir la constante de propagation au moyen des équations de
continuité (5.4) et (5.5). Il est cependant utile d’obtenir des solutions exactes pour divers profils afin de pouvoir
discuter simplement de l’effet du profil d’indice. Le profil parabolique d’indice amène une solution connue de
l’équation radiale. Nous étudierons ici le profil généralisé [11] suivant
2

n 12 (1 − 2N  r  )
n 2 (r) = 
a
 2
n
 2
0≤r≤a
(5.6)
r >a
Ce profil est déterminé au moyen de deux paramètres soit le saut d’indice
∆=
n 12 − n 22
2n 12
≅
n1 − n 2
n1
et le paramètre de forme
N=
n1 − n a
n1 − n 2
La figure 5.2 nous montre la variation du profil d’indice pour diverses valeurs du paramètre de forme N.
Lorsque N est positif (5.2 : b, c, d) le profil est parabolique convergent. Pour des valeurs négatives de N le profil
devient parabolique divergent (5.2 : e). Enfin le profil standard à saut d’indice se retrouve lorsque N devient nul
(5.2 : a). L’étude de ce profil nous permettra de comparer l’effet d’un profil convergent par rapport à celui divergent
tout en gardant selon un même modèle le profil à saut d’indice comme outil de référence. Notez qu’il faudra toujours
selon l’approximation des modes LP s’assurer que les paramètres ∆ et N soient choisis de sorte que l’approximation
de faible guidage (n1 ≅ n2) et de faible gradient (n2 ≅ na) soient respectées.
126
FIGURE 5.2 : Variation du profil d’indice selon N
5.2.1 Solution mathématique du profil
Pour commencer, il nous faut résoudre l’équation pour la fonction radiale R(r) dans le cœur et dans la gaine
de la fibre. On utilise ici la même notation que pour la fibre à saut d’indice c’est-à-dire :
u2= n12 k 02 − β 2
w2= β 2 − n 22 k 20
et
V2= k 02 a 2 (n12 − n 22 )
127
Dans la gaine, n(r) = n2 et l’équation radiale (5.3) devient pour cette région :
d2R
dr 2
+
1 dR  2 l 2 
−  w + 2  R (r) = 0
r dr 
r 
Afin que les champs décroissent exponentiellement lorsque r → ∞ , on choisit comme les fonctions de
Hankel modifiées
(R(r))gaine=BKl(wr)
(5.8)
où B est une constante à déterminer.
Dans le cœur, à cause du profil d’indice parabolique, l’équation radiale (5.3) devient :
d 2R
dr 2
+
1 dR  2 NV 2 r 2 l 2 
+ u −
− 2R =0
r dr 
a4
r 
(5.9)
Il est utile de définir que la variable normalisée ρ = r /a. Alors l’expression (5.9) est exprimée comme suit :
d2R
dρ 2
+
1 dR 
l2 
+ (ua) 2 − NV 2 ρ 2 − 2  R = 0
ρ dρ 
ρ 
(5.10)
Il existe deux solutions linéairement indépendantes pour cette équation. On rejette celle qui est infinie à
l’origine et on conserve celle finie à l’origine. Nous avons alors
(R ( ρ )) cœur = A ρ e
l
−V N ρ 2
l +1

−
1 F1  2
l +1

(ua)
2
4V N
V N ρ 2 


(5.11)
où A est une constante et 1F1 une fonction hypergéométrique confluante [12] définie par la série de puissance
suivante :
 a0 x
 =
 b0 
1F1 

E 0 )
D 0 )
∞
∑
n =0
D 0
E 0
+ n) x n
+ n) n!
(5.12)
L’application de la condition de continuité de R et de sa dérivée première, à r = a, nous conduit à une
équation caractéristique qui nous permettra de trouver la relation entre (ua) et V, c’est-à-dire de déterminer ainsi la
constante de propagation β en fonction du paramètre V de la fibre à profil parabolique. On comprend qu’il faudra
encore recourir aux calculs numériques et aux abaques pour poursuivre l’analyse.
Lorsque le profil est divergent (N < 0), le terme N devient imaginaire ce qui amène, dans la série de
puissance de la 1F1, à des fonctions gamma avec des arguments complexes. Il s’ensuit que ce développement en série
de puissance n’est pas très pratique. On préfère plutôt utiliser un développement en série de fonctions de Bessel [12]
pour cette fonction 1F1 et on montre alors que :
(R( ρ ))cœur=A
∞
∑C
m
ρ mJl+m(ua ρ )
(5.13)
m =0
128
où A est une constante (différente de la précédente) et où les coefficients Cm sont calculés au moyen de la relation de
récurrence suivante :
(m+3)Cm+3=
NV 2 
(ua)

Cm 
(m + l + 2) C m+1 −
2 
2
(ua) 

avec C2=
(5.14)
NV 2 (l + 1)
(ua) 2 2
C1=0
C0=1
Les fonctions de Bessel sont disponibles sur presque tous les ordinateurs d’aujourd’hui, il s’ensuit que
l’évaluation de la fonction radiale est facile.
L’application des équations de continuité (5.4) et (5.5) nous amène à résoudre les équations suivantes pour
déterminer les constantes A et B :
∞
A
∑C
mJl+m(ua)=BKl(wa)
(5.15)
m =0
∞
A
∑C
m =0
’
m[mJl+m(ua)+(ua)J l + m
(ua)]=B(wa)K ’l (wa)
(5.16)
Ce système d’équation a une solution non-triviale si son déterminant est nul ; ceci mène à l’équation
caractéristique suivante :
∞
E.C.
(ua) Kl (wa)
∑
C m J l + m −1 (ua) = −(wa) K l −1
m =0
∞
∑C
m
J l + m (ua)
(5.17)
m =0
Pour la fibre à saut d’indice, le paramètre N est nul ; l’équation de récurrence (5.14) nous donne alors que
tous les coefficients Cm sont nuls sauf le premier. On retrouve alors bien l’équation caractéristique des modes LP
(4.69) à partir de l’équation caractéristique (5.17).
5.2.2 Étude comparative de divers profils
L’intérêt premier d’une fibre optique à profil d’indice est d’essayer de déterminer un profil d’indice qui
permettra de diminuer la dispersion modale de la fibre à saut d’indice afin de pouvoir utiliser des fibres de grand
diamètres. Pour diminuer la dispersion intermodale, nous savons maintenant qu’il faut égaliser les vitesses de groupe
des divers modes. La figure 5.3 nous montre trois tableaux de vitesses de groupe pour une fibre optique à saut
d’indice (5.3a), une fibre à profil divergent N = -1 (5.3b) et enfin une fibre à profil convergent N =1 (5.3c).
129
FIGURE 5.3 : Variations des vitesses de groupe pour un saut d’indice (a), pour un profil divergent (b) et pour un
profil convergent (c) en fonction de V.
130
Il est évident que le profil convergent tend à égaliser les vitesses de groupe à haute fréquence (V >> 1). Ce
profil est donc important pour la réalisation de fibres à large bande et ayant un diamètre (2a) grand (V >> 1). Lors de
l’analyse géométrique de la fibre (section 5.4) nous reviendrons plus en détail sur les propriétés de cette fibre.
Pour une opération monomode la fibre à profil divergent présente un certain intérêt. Par exemple, comme
on peut l’observer sur la figure 5.4, la distribution du mode fondamental d’une fibre divergente (N< 0) est plus
uniforme dans la région du cœur que celle d’une fibre à saut d’indice (N = 0) et que celle d’une fibre à profil
convergent (N>0). La figure 5.5 montre l’évolution de cette distribution du mode fondamental pour diverses
fréquences normalisées V. On réalise que la distribution va en élargissant lorsque V croît pour atteindre un plateau à
un certain V0 et par la suite, le centre de la distribution se creuse vers les hautes fréquences (voir exercice 5.1). La
dispersion du guide d’ondes des fibres à profil convergent et divergent peut être estimée au moyen du graphique du
paramètre de dispersion universelle D(V) ((4.42) et (4.43)) de la figure 5.6. Près la fréquence de coupure Vc , la
dispersion du guide d’ondes des fibres est sensiblement la même. La fréquence de coupure du mode LP11 peut être
obtenue du graphique de la figure 5.7.
FIGURE 5.4 : Distribution du mode fondamental selon N pour V= Vc (LP11)
131
FIGURE 5.5 : Évolution du mode fondamental en fonction de V
FIGURE 5.6 : Paramètre de dispersion universel D(V)
132
FIGURE 5.7 : Fréquence de coupure en fonction de N
Enfin signalons que la figure 5.4 nous indique que pour N=1, que le mode fondamental est presque
entièrement contenu dans le cœur de la fibre. Ceci est d’ailleurs bien mis en évidence sur le graphique de la figure
5.8 où on estime à 95% le rapport de la puissance dans le cœur sur la puissance totale à la fréquence de coupure. On
comprend ici que la gaine sert peu au guidage dans une fibre à profil convergent lorsque la fréquence V est
suffisamment grande. Comme nous le verrons dans le cadre du modèle géométrique, le mode est presque entièrement
guidé par le profil d’indice. Ces considérations nous amènent à la solution simplifiée de la section suivante pour les
modes à profil convergent.
133
FIGURE 5.8 : Rapport de puissance pour différentes courbures
Exercice 5.1
Sur la figure 5.5, on note que la distribution atteint un plateau à une certaine valeur V0. Ceci veut
dire que pour cette fréquence du mode LP01 (l = 0) que la dérivée première et seconde sont nulles.
À partir de l’équation d’onde radiale (5.10), déterminez pour quel paramètre (ua) ceci est-il possible.
Pour le paramètre (ua) trouvé en 1, vous pouvez montrer que la solution de l’équation d’onde (5.10)
se réduit à :
R(p)=J0(Up2)
où U = ?
Ce qui correspond à une distribution toujours plus large que la distribution d’une fibre à saut d’indice.
5.3 Modes LP Laguerre-Gauss
De l’étude de la section précédente, on comprend que le mode est guidé essentiellement par l’effet de la lentille
du profil et non par réflexion totale à l’interface lorsque le profil d’indice est convergent. Et ceci d’autant plus que le
profil s’étend sur une large dimension transverse. Lorsque le diamètre du cœur de la fibre (2a) est grand, on fait
l’approximation que (2a) tend vers l’infini afin d’obtenir la simplification suivante : le domaine de la fonction radiale
R( ρ ) de l’équation (5.11) s’étend alors jusqu’à l’infini et on doit ainsi exiger que cette fonction possède une
puissance finie entre 0 et ’ &HSHQGDQW RQ PRQWUH © facilement » (voir [12]) que cette fonction R( ρ ) – équation
(5.11)- n’est pas intégrable de 0 à l’infini. Pour palier à ceci, il faut limiter la somme que définit la fonction
134
hypergéométrique confluante 1F1 soit un polynôme, il suffit que son paramètre a0 soit un entier négatif. On exige
alors que :
l + 1 (ua) 2
−
= − (p − 1) ,p=1,2,3,…
2
4V
(5.18)
Cette condition fixe le paramètre u et nous permet ainsi de calculer la constante de propagation β du mode
guidé :
β 2 = n12 k 02 −
2V
a2
(2p − 1 + l )
(5.19)
où l=0,1,2,…
p=0,1,2,…
Par convention, on utilise la notation β l , p ce qui veut dire que la constante de propagation β prend
plusieurs valeurs dépendantes de deux entiers ; le premier, l, est l’indice angulaire et p est l’indice radial. Notez que
nous avons choisi N =1, puisque le facteur N ∆ du profil (équation (5.6)) devient équivalent à un saut d’indice ∆ .
D’autre part, lorsque la condition stipulée à l’équation (5.18) est appliquée aux fonctions 1F1 –équation
(5.11) - , ces dernières deviennent simplement des polynômes de Laguerre (voir [12]) et la fonction radiale R(p)
s’écrit alors :
 (2V) (p − 1)!
R(p)= 

 (p − 1 + l )! 
1/ 2
(Vρ 2 )1 / 2 e -(V /2) ρ Llp-1 (Vρ 2 )
2
(5.20)
où L lp−1 (x) est la fonction généralisée des polynômes de Laguerre [12]. Le facteur de cette équation est tel que :
∫
∞
0
R ( ρ ) R ( ρ ) ρ dρ = 1
(5.21)
De plus, ces fonctions sont orthogonales c’est-à-dire que :
∫
∞
0
R pl ( ρ ) R lp ( ρ ) ρ dρ = δ pp’
(5.22)
Ces fonctions peuvent donc servir de base de développement d’une distribution quelconque de champ et
permettent une analyse modale d’un problème pratique, par exemple, le couplage de fibres.
La figure 5.9 permet de visualiser la distribution angulaire et radiale du vecteur densité de puissance ; nous
avons tracé R( ρ FRVl 5 ρ ). Notez la dégénérescence (2p + l –1) de ces distributions ; pour chaque entier
M = (2p + l –1), il y a M distributions possibles qui ont la même constante de propagation.
135
FIGURE 5.9 : Patron modal pour quelques modes Laguerre-Gauss
Nous avons obtenu dans cette section, une solution modale simple et élégante pour la fibre à gradient
d’indice parabolique convergent, en supposant que le cœur est très large (a ’ FH TXL VLJQLILH TXH OH SURILO
parabolique illustré à la figure 5.2 s’extensionne très rapidement. Il faut bien noter que dans ce cas, notre
approximation n1 ≈ n2 devient de moins en moins bonne : cette fonction sera réaliste pour les modes qui ont une
puissance presque entièrement contenue dans le cœur, c’est-à-dire pour les modes d’indices l et p petits. En effet,
lorsque l et p augmentent, on réalise (voir figures 5.9 et 5.10) que les modes possèdent une amplitude nonnégligeable de plus en plus loin vers l’extérieur. En conclusion, ces solutions Laguerre-Gauss sont utiles et
raisonnables pour des l et p qui ne sont pas trop grands.
136
FIGURE 5.10 : Polynômes Laguerre-Gauss ; a) l = 0, b) l =1, c ) l =2
Exercice 5.2
Mode fondamental gaussien
On vient de montrer que le mode fondamental pour un profil parabolique convergent de grand
2
 r 
 ] . La largeur type w0 est donnée par :
diamètre (2a) peut s’écrire comme une gaussienne exp [- 
 w0 
w0=a
2
V
Pour la fibre optique à saut d’indice (voir exercice 4.6), on a discuté d’une approximation
gaussienne du mode fondamental.
Comparez ces deux résultats et dites si un guidage par réflexion totale interne peut être plus
efficace qu’un guidage par un profil convergent.
5.4 Modes LP et optique géométrique
Dans un milieu à gradient d’indice la théorie de l’optique géométrique est utile pour déterminer la
trajectoire des rayons et ainsi visualiser l’écoulement de la puissance transportée. L’annexe (5A) rappelle comment
137
est déduite l’équation des rayons à partir des équations de Maxwell et de l’approximation de l’optique géométrique
( λ << dimensions). Nous cherchons maintenant comment utiliser le modèle de l’optique géométrique pour visualiser
la propagation des modes LP dans une fibre à profil d’indice n(r). Afin d’établir le lien entre les rayons de l’optique
géométrique et les paramètres d’un mode LP rappelons d’abord que la distribution des champs transverses du mode
s’écrit au moyen d’une fonction scalaire Ψ , solution de l’équation d’onde (5.1). Les modes correspondent à des
solutions ayant un facteur de propagation de la forme e-j β z. Il faudra donc tenir compte de ce fait lors du calcul de la
trajectoire des rayons modaux. Ceci peut se faire en tenant compte de ce facteur à travers la fonction de phase de
l’iconale
Ψ = Ψ0 e -j k 0 ϑ
(5.23)
De plus, il faut se rappeler que les modes LPl , p ont été décomposés en solution radiale et azimutale cos
(l φ + φ 0 ) où l = 0, 1, 2. On devra alors tenir compte de cette décomposition en imposant une forme e ±j l φ pour
l’iconale. En résumé un mode LPl , p devra avoir un iconal de la forme
lφ
β
+
z
k0
k0
ϑ (r , φ , z) = ϑ0 (r) ±
(5.24)
On cherche maintenant la trajectoire des rayons des modes LPl , p au moyen de l’équation (D.14) qui relie
l’iconal et l’équation des rayons
r
∇ϑ = n
r
dr
ds
(5.25)
On a donc que
1 ∂ϑ r
∂ϑ r
dr r
dφ r
∂ϑ r
dz r
ar +
aφ +
a z = n a r + nr
aφ + n a z
r ∂φ
∂r
ds
ds
∂z
ds
Pour l’expression propre au mode LP de l’iconale (5.24), on déduit de (5.25) les trois relations suivantes
dϑ 0
dr
=n
dr
ds
±
l
k 0r
= nr
dφ
ds
dz
β
=n
k0
ds
(5.26)
(5.27)
(5.28)
D’autre part, on a montré à l’annexe D (équations D.24 et D.25) qu’il y avait deux constantes C1 et C2 pour la
trajectoire des rayons dans un milieu d’indice n(r) :
nr2
n
dφ
=C1
ds
(5.29)
dz
=C2
ds
(5.30)
Des équations (5.29) et (5.27), on détermine la constante C1 de la trajectoire des rayons pour le mode LP
soit;
138
C1= ±
1
k0
(5.31)
et des équations (5.28) et (5.30), on trouve la constante C2 soit :
C2=
β
k0
(5.32)
La constante C1 est donc essentiellement reliée à l’indice azimutal l alors que la constante C2 est égale à
l’indice effectif du mode. Le rapport dz/ds est égal au cosinus de l’angle entre la trajectoire et l’axe des z (cos γ ).
On peut donc aussi écrire :
β = k 0 n cos γ
(5.33)
Cette dernière équation est complètement analogue à la définition de la constante de propagation pour un
guide planaire selon le modèle géométrique. Cependant ici n varie selon la trajectoire, donc si on connaît γ pour un r
et un z donné, on peut évaluer β et par la suite suivre la trajectoire correspondante à ce mode de constante β . On
obtient alors les équations de la trajectoire des rayons du mode LP à partir des équations (D.31) et (D.32) et des
constantes C1 et C2 (5.31) et (5.32) :
z=z0+ β
φ = φ0 ± l
∫
∫
 2 2
n k 0 −
r0 

r
2

r -2 n 2 k 20 −
r0

r
l2 

r 2 
−
2
−
−1/2
(5.34)
dr
l2 

r 2 
−1/2
dr
(5.35)
Les modes à symétrie de révolution (l = 0), dont en particulier le mode fondamental LP01, correspond à des
rayons méridionaux puisque φ = φ 0 . Le signe ± devant l’intégrale de la trajectoire correspond à deux états de
polarisation (x/y) et (y/x) qui deviennent ici une rotation vers la droite et vers la gauche des rayons hélicoïdaux.
De plus, la relation (5.26) qui permet de calculer la partie radiale de l’iconale ϑ0 (r) peut être écrite en
termes de r et z en utilisant l’expression de la constante C2 (5.30), le résultat est :
dϑ 0
 dr 
= C2  
dr
 dz 
(5.36)
L’équation de la trajectoire des rayons est donnée en (D.29). En remplaçant les constantes C1 et C2 pour le
mode LP on trouve :
1
ϑ 0 (r) =
k0
∫
 2 2
n k 0 −
r0 

r
2
l2 
− 2
r 
1/2
dr
(5.37)
Finalement, on peut conclure que selon le modèle géométrique, la solution radiale d’un mode LP guidé doit
être de la forme
(R(r))géo.=e

- j ∫rr  n 2 k 02 −
0

1/2
2
−
l2 
 dr
r 2 
(5.38)
139
Sans encore spécifier la distribution d’indice n(r), on peut extraire plusieurs informations utiles sur les
modes de cette solution approchée. En effet, notre connaissance des modes guidés de la structure plane ou de la fibre
circulaire à saut d’indice nous dit qu’un mode guidé doit avoir dans la région de guidage une forme d’onde
stationnaire. La fonction radiale devra alors être une exponentielle imaginaire pure pour être de type cosinusoïdale.
Ce sera le cas si la racine carrée de l’intégrale de l’équation (5.38) est réelle ou bien si
 2 2
n k 0 −

2
−
l2 

r 2 
>0(5.39)
Dans le cas contraire, on a une exponentielle décroissante selon la direction radiale r. On associe ce type de
comportement à une onde évanescente. Cette condition établit donc un lien simple entre le profil d’indice, la
constante de propagation et la région guidée.
FIGURE 5.11 a) : Profil d’indice parabolique dans le cœur
140
FIGURE 5.11 b) : Diagramme du mode LP0, p correspondant
FIGURE 5.12 a) : Diagramme des modes LPl, p
141
FIGURE 5.12 b) : Diagramme des modes LPl, p dans la région guidée ( β = n0 k1)
Les diagramme de
β
en fonction de r permettent de visualiser le comportement d’une fibre avec un profil
k0
quelconque n(r) (voir les figures 5.11 et 5.12). Nous distinguons deux types de modes : les modes LP0, p , qui
comprennent naturellement le mode fondamental LP01 et les modes LPl, p. Pour le premier cas (c’est-à-dire l = 0), on
suppose que n(r) a une distribution de type parabolique à l’intérieur du cœur et une valeur constante pour r > a (voir
figure 5.11a). Nous aurons des modes guidés pour les valeurs de β qui satisfont n2k0 < < n1k0. On constate, par
exemple, que pour β = n0k0 où (n2 <n0 <n1), on a des modes guidés (comportement d’onde stationnaire) dans la
région du cœur comprise entre r = 0 et r = r0 et des modes évanescents pour r > r0 (voir figure 5.11b).
1
Lorsque l YRLUILJXUHDOHFRPSRUWHPHQWFKDQJHFRPSOètement puisque dans ce cas, le terme
r
2
de la relation (5.39) a pour conséquence que près de l’origine, les modes ne peuvent plus être guidés et deviennent
donc évanescents. Pour une fibre parabolique, la courbe atteint un maximum plus petit que n1 près du point
a
l
.
V
Pour une valeur de β = n0k1, le mode est guidé uniquement dans la région du cœur situé entre r1 et r2 (voir figure
5.12b). Les modes sont par contre évanescents dans la région près du centre, de r = 0 jusqu’à r1 et pour r > r2 (voir
figure 5.12b).
Si nous choisissons une valeur de la constante de propagation ( β 3 = n3k0) tel que n3 < n2 mais n3 > n4
(comme illustré à la figure 5.13), nous observons alors que le mode est évanescent de r2 à r3 et que par la suite, il
devient un mode radiatif puisque sa constante de propagation axiale β 3 est plus petite que n2k0. Ce type de mode est
qualifié d’onde de fuite parce que sa partie évanescente (région r2 à r3) draine sa puissance de la région guidée (r1 à
r2) vers la région de radiation r > r3. On comprend alors que ce type de mode aura une certaine perte par radiation et
qu’après une certaine distance de propagation, il ne fera plus partie de la structure guidée.
142
FIGURE 5.13 : Diagramme des modes LPl, p lorsqu’on considère les modes de perte et les modes radiatifs ( β 3 = n3
k-0)
Enfin, pour toutes valeurs de la constante de propagation β plus petite que ( β 4 = n4k0), on ne peut
retrouver n’importe quel mode guidé. Ces types de mode sont nommés : modes radiatifs ; cela signifie que ces ondes
ne subissent pas la réflexion totale à l’interface r = a ou bien qu’ils ont un angle à l’entrée trop grand et que le profil
d’indice n’est pas suffisant pour les guider. Ces modes radiatifs perdent rapidement leur puissance et au-delà d’une
certaine distance de transition, ils ne font plus partie de la structure guidée.
Les figures 5.14a et 5.14b permettent de visualiser ces trois régimes de pertes. Si, par exemple, on injecte à
l’entrée (z =0) une certaine distribution de puissance autour d’une certaine longueur d’onde λ0 , on observe d’abord
que sur une distance zR, la puissance perdue par la fibre est très grande et ce, sur une courte distance : c’est la région
où les modes radiatifs, c’est-à-dire ceux qui n’ont pas un angle de réflexion totale, sortent de la structure guidante.
FIGURE 5.14 a) : Perte dans une fibre optique en fonction de la distance
143
FIGURE 5.14 b) : Perte dans une fibre optique en fonction de la distance
Par la suite, la puissance continue de décroître rapidement sur une distance zF : c’est la région où les modes
de fuites perdent leur puissance par radiation dans la gaine. Cette région peut être de quelques mètres à plusieurs
dizaines de mètres, dépendant des conditions de couplage de la source à la fibre.
Finalement, après la distance zF , la perte devient très faible et est alors un effet de l’absorption du matériau
et non plus un effet modal, à moins que certaines perturbations (épissures, courbure,...) ne viennent changer la
distribution modale. Dans ce cas, une autre région radiative et, par la suite, une région de fuite, peut s’établir.
Ce modèle simple permet de tirer certaines conclusions pour des fibres avec un profil n(r) quelconque. Afin
de bien situer ces limites, nous allons l’appliquer à la fibre à gradient d’indice parabolique que nous connaissons déjà
suite à la solution de l’équation différentielle que nous avons traitée à la section 5.2 et par l’approximation de
Laguerre-Gauss que nous avons vue à la section 5.3.
5.5 Fibre à profil d’indice parabolique
Pour la fibre à gradient d’indice parabolique, la fonction radiale R(r) (donnée par l’équation (5.38))
devient :
1/2
(R(r))=e

l2 
V2
- j ∫rr  u 2 − 4 r 2 − 2  dr
0
a
r 

(5.40)
où u et V sont les paramètres usuels de la fibre.
Nous avons vu à la section précédente que cette fonction de phase est réelle pour des valeurs de r comprises
entre r2 et r1. On évalue les distances r2 et r1 en cherchant les racines de l’intégrant ; on vérifie alors que
(ua) 2 + (ua) 4 − 4 l 2 V 2
 r2 
  =
2V 2
a
(5.41a)
(ua) 2 − (ua) 4 − 4 l 2 V 2
 r1 
  =
2V 2
a
(5.41b)
2
et
2
144
Les distances r2 et r1 marquent les limites pour un mode guidé, principalement où l’onde est du type
stationnaire. Si nous revenons au modèle géométrique pour les modes guidés dans une structure plane (voir chapitre
3, section 3.1.7), nous avons vu que le changement de phase pour une onde plane, après une période, doit être un
entier multiple de 2 π (voir par exemple l’équation (3.42)). Dans le cas du guide plan diélectrique, il a fallut tenir
compte du saut de phase à la réflexion totale (effet Goss-Hänchen), cependant, il n’y a pas ici de tel saut puisqu’il
n’y pas d’interfaces diélectriques réelles sur les frontières r1 et r2. Par contre, nous pouvons montrer [9] qu’aux points
tournants (i.e. sur la caustique) il y a un saut de phase de π /2.
Ce rapprochement avec la solution géométrique du guide nous amène à conclure que si nous effectuons
l’intégrale de la phase (équation (5.40)) sur un parcours complet, nous aurons un mode guidé si le changement de
phase est un certain multiple entier de 2 π . Si nous effectuons le calcul de la phase entre les points r1 et r2, soit une
demie période, la différence de phase sera égale à un multiple entier de π plus un saut de phase de π /2 sur la
caustique. La condition de phase des modes de la fibre parabolique devient donc :
pπ =
π
+
2
∫
r2
r1
u2 −
V2
r2 −
a4
l2
r2
dr oùp=1,2,3,…
(5.42)
Cette condition est simplement :
 1
p - π =
 2
∫
r2
r1
u2 −
V2
a4
r2 −
l2
r2
dr
(5.43)
Cette dernière intégrale peut être résolue au moyen de tables : on montre que l’équation (5.43) peut être
réduite à :
(ua) 2
l
 1
arcsin (1) − arcsin (0)
p - π =
2V
2
 2
On choisit sin-1 (1) = π /2 et sin-1 (0) = π pour obtenir que
(ua)2=2V[2p+l-1]
La constante de propagation est alors donnée par :
β 2 = n 12 k 02 −
2V
a2
(2p + l − 1)
(5.44)
Cette condition d’accord de phase nous a permis d’obtenir une valeur de la constante de propagation β l , p
selon le modèle géométrique. On note que l’indice angulaire l et l’entier p sont associés à l’indice radial du mode
LPl, p.
On remarque que la constante de propagation qu’on vient d’obtenir (équation (5.44)) est exactement la
même que celle obtenue pour la même fibre selon le modèle de Laguerre-Gauss de la section 5.5. On met donc
ici en évidence le lien existant entre l’optique géométrique (Iconale) et l’équation d’onde lorsque le paramètre (k0a)
’ : en effet, on se rappelle que les modes LP du type Laguerre-Gauss étaient obtenus sous la condition (k0a)
11
’
.
Ce résultat nous indique que bien que nous ne pouvons pas toujours intégrer l’équation radiale (5.38) pour
un profil d’indice quelconque, nous pouvons, grâce à la méthode géométrico-ondulatoire, calculer la constante de
propagation.
. Notez que le saut de phase de la caustique de π /2 peut intervenir, puisqu’on doit obtenir le même β que nous
avions obtenu avec le modèle de l’équation d’onde.
11
145
5.6 Le modèle de l’optique géométrique
La section 5.4 nous a permis d’établir clairement le lien entre les modes polarisés linéairement de la théorie
électromagnétique et la théorie de l’optique géométrique. L’application de ces résultats à une fibre à profil d’indice
parabolique nous a permis de comprendre que selon le modèle de l’optique géométrique la constante de propagation
peut être obtenue en appliquant la condition d’addition cohérente des rayons après une trajectoire complète. La
réflexion dure selon ce modèle se fait sur la caustique soit la transition entre la région guidée et la région évanescente
calculée au moyen de l’iconale. Cette condition nous amène à l’équation caractéristique suivante :
 1
p - π =
 2
E.C.
∫
r2
r1
n 2 (r) k 20 −
2
−
l2
r2
dr
(5.45)
où l = 0, 1, 2, 3,…
p=1,2,3,…
r1, r2 = les zéros de l’intégrant
Cette équation est bien l’équation caractéristique pour ce modèle puisqu’elle permet de déterminer la
constante de propagation β l , p .
Selon le modèle géométrique cette constante de propagation β correspond à un rayon lumineux ayant un
angle γ à l’entrée :
cos (γ ) =
β
k 0 n (r0 )
et un angle d’entrée « hors méridien » tel que :
l
dφ
=
ds k 0 r02 n(r0 )
En dérivant l’équation caractéristique par rapport à k0, on peut calculer la vitesse de groupe vg des modes
LP selon le modèle géométrique, on obtient :
β
=
c
k0
∫
vg
∫
r2
r1
r2
r1
 2
2
n (r) k 0 −

2
l2 
− 2
r 

n (r) n 2 (r) k 02 −

2
2
−1 / 2
l2 
− 2
r 
dr
(5.46)
−1 / 2
dr
En utilisant les relations (A5.29) et (A5.25), ce résultat peut s’écrire sous la forme :
 c

 vg


=


∫
r2
n(r) ds
r1
∫
r2
(5.47)
dz
r1
Ce rapport c/ vg définie un indice de groupe qui peut s’interpréter géométriquement. En effet, l’indice de
groupe est égal au rapport de la longueur optique parcourue par le rayon modal sur la distance parcourue. Par
exemple, on sait (voir annexe 5B) que pour une distribution d’indice n(r)= n0 sech ( α r) que tous les rayons
méridionaux (l = 0) parcourent la même distance optique. Il s’ensuit que tous les modes LP0, p auront la même vitesse
146
de groupe pour cette distribution d’indice. On comprend alors l’intérêt du modèle géométrique pour la recherche
d’un profil optimum pouvant réduire la dispersion inter-modale.
5.7 Fibre à profil optimisé
On a vu à l’annexe (5B) qu’il n’existe pas de profil d’indice pouvant égaliser à la fois les longueurs optiques
des rayons hélicoïdaux et méridionaux. Cependant, il est évident que tous profils convergents permettent de réduire
l’indice de groupe (5.47) en comparaison avec l’indice de groupe d’un fibre optique à saut d’indice.
Pour le type de fibre employée en communication optique, il est utile de chercher un profil qui permet, du
moins au premier ordre, d’égaliser la vitesse de groupe. L’étude du profil α défini par (voir figure 5.15)

n 2 (r) = n 12 1 − 2

r
 
a



(5.48)
conduit à des résultats satisfaisants.
FIGURE 5.15 : Profil α permettant d’égaliser la vitesse de groupe
Pour simplifier l’analyse mathématique de ce profil, nous calculerons les constantes de propagation au
moyen de l’équation caractéristique (5.46) des rayons méridionaux (l = 0).
On obtient le résultat suivant, en fonction du paramètre V de la fibre :
2α
4
 (p − 1/2)  2 + α 2 + α
V
(ua) = 

 C (α ) 
2
où C (α ) =
∫
1
0
1 − x α dx =
(5.49)
+ 1/α )
+ 1/α )
147
On sait que le paramètre de la fibre V est lié au paramètre 2 ∆ par :
2∆ =
V2
n 12 k 20 a 2
On montre alors que β est donné par :
2α
2
  ( p − 1 / 2) π  2 + α
β 2 = n12 k 02 1 − 

  C(α ) 
(2∆) 2 +α
α
(n 12
k 20
2
a )
2 +α





(5.50)
On vérifie facilement que pour le profil parabolique α = 2, on obtient le même résultat que celui obtenu à
l’équation (5.44).
Selon l’approximation de l’optique géométrique (n1k1a → ∞ ) et selon l’approximation de faible guidage,
∆ est aussi petit, tel qu’on peut écrire l’équation (5.50) sous la forme :
2α
2
  ( p − 1 / 2) π  2 + α
β ≈ n 1 k 0 

 C(α ) 
(2∆) 2 +α
α −2
(2a) (n1 k 0 a )
2 +α





(5.51)
Cette expression pour la constante de propagation β 0 , p nous permet d’analyser l’effet du profil α . Lorsque
nous étudions les systèmes de communication optique, nous cherchons tout d’abord une façon d’égaliser les
différentes vitesses de groupe, ce qui requiert
dβ
= cte(indépendante de p).
dk 0
On remarque que si α =2, le second terme de l’équation (5.51) devient indépendant de k0, on a alors
dβ
= n1
dk 0
Selon le calcul de l’optique géométrique, le profil optimal est le profil parabolique (en fait on sait selon les
résultats de l’annexe 5B, que le profil en sech (
r
2∆ ) est exactement le profil optimal ; on sait aussi que ce profil
a
Selfoc est très près d’un profil parabolique.
Cependant, si le matériau utilisé est dispersif (
dn
≠ 0 et
d
d∆
dλ
≠ 0 ), il faudra tenir compte de cette dispersion
dans le calcul et la fibre parabolique n’est plus optimale. On peut cependant trouver un profil optimal même dans ce
cas ; il suffit alors de chercher α tel que la dérivée par rapport à k0 (du deuxième terme de l’équation (5.51))
s’annule :

2

2 +α
d  (∆ )
d  n α −2
( 1 ) 2+α
 λ


 =0



(5.52)
148
Cette condition nous mène à :
α opt = 2 +
Puisque pour la majorité des diélectriques, le terme
2  d∆ 
1
 
∆  dλ   1  d n 1  1 
− 
 
 n1  d  
1
n1
 d n1 

 est beaucoup plus petit que le terme
 d 
α opt = 2 −
(5.53)
1
λ
, on peut écrire :
2λ  d∆ 


∆  dλ 
Enfin, on sait que le paramètre
∆=
et si on suppose que
dn 2
d
≈
dn 1
n 12 − n 22
2 n12
, on montre alors que le profil optimal est donné par :
d
α opt = 2 +
2λ dn 1
n 1 dλ
(5.54)
La figure 5.16 (prise des travaux de I.P. Kaminow et H.M. Presby [13]) nous montre ce profil pour divers
dopants dans le verre (SiO2). Dépendant de la région d’opération, le profil est plus grand que 2 ou plus petit que 2.
Notez aussi que le profil change avec la longueur d’onde d’opération. Un profil optimal à m n’est plus
optimal à m. Cependant, on a réussi dans un composé triple (P2O5-GeO2-SiO2) à faire en sorte que le profil
soit à peu près le même pour une grande gamme de longueurs d’onde (voir figure5.17 prise des travaux de I.P.
Kaminow et H.M. Presby [14]).
149
FIGURE 5.16 : Profil d’indice α (λ ) pour divers dopants dans le verre
FIGURE 5.17 : Profil d’indice d’un composé qui offre une valeur optimale pour un large domaine de longueur
d’onde
Le profil optimal est très proche du profil parabolique ; en pratique, nous présumons que ce profil est
essentiellement le même aussi pour les modes l 
5.8 Largeur de bande et fibre optimale
Dans une voie de communication optique, nous voulons transmettre des impulsions optiques très courtes et
ce à de très hautes cadences. La cadence est pratiquement limitée par l’élargissement des impulsions lors de leur
propagation. Si nous utilisons une fibre multimode, nous devons comprendre que l’impulsion optique à l’entrée
stimulera plusieurs modes dans la fibre. L’impulsion optique à la sortie sera donc énormément élargie si les divers
modes de la fibre ont des vitesses de groupe très différentes. Cependant, comme nous l’avons vu à la section
précédente, il est possible d’optimiser le profil DILQ TX¶DX SUHPLHU RUGUH OD YLWHVVH GH JURXSH VRLW OD Pême pour
tous les modes. Il en résulte, toujours au premier ordre, que l’élargissement des impulsions est nulle et que la largeur
de bande est ainsi infinie.
Évidemment, dans cette situation, il nous faut plutôt calculer le terme du second ordre pour évaluer l’ordre
de grandeur de la largeur de bande. Pour avoir une estimation de cette largeur de bande, il suffit ici de la calculer
dans le cas où la dispersion est négligée ; le profil optimal est alors le profil parabolique et la constante de
propagation est donnée selon les approximations de l’optique géométrique (équation (5.44)).
L’élargissement de l’impulsion optique (¨ ) est donné par la différence entre les rapports de la distance
parcourue L sur la vitesse du mode le plus lent et sur la vitesse du mode le plus rapide :
∆τ =
L
L
−
v g (min) v g (max)
(5.55)
On sait que :
150
vg =
1
c
=
dβ /dω dβ / dk 0
On réécrit alors l’équation (5.55) comme suit :
∆τ =
 dβ
Le calcul de 
 dk 0
L  dβ

c  dk 0


 dβ

− 

 min  dk 0
 
 

 max 
(5.56)

 s’obtient directement de l’équation (5.44) :




1
(2p − 1 + l ) n 12 − n 22 
1 − 2
 n 1 k 0 a

dβ
= n1
1/ 2
dk 0


2
2
2
(2p − 1 + l ) n 1 − n 2 
1 − 2
 n 1 k 0 a

Selon les approximations de l’optique géométrique, on sait que k0a
guidage que nous avons supposée depuis le début, nous savons que n1 ≈ n2.
’'HSOXVG
(5.57)
û à l’hypothèse de faible
On conclut alors que le deuxième terme de l’équation (5.57) est très petit. On montre qu’au deuxième terme
de l’équation (5.57) est très petit. On montre qu’au deuxième ordre que
 ε2 
dβ
≈ n 1 1 +

dk 0
8 

(5.58)
où
ε=
2 (2p + l − 1) n 12 − n 22
n 12 k 0 a
Le mode le plus bas correspond à l = 0 et p =1 ; on a alors
ε1 = +
2 n 12 − n 22
n 12 k 0 a
D’autre part, le mode le plus élevé est obtenu lorsque
radiatifs. L’équation (5.44) nous donne alors
(2p + l − 1) n 12 − n 22
n 12 k 0 a
=
Q2
k0, c’est-à-dire lorsque les modes deviennent
n 12 − n 22
2 n 12
c’est-à-dire que l’on a
ε 2 = 2∆
où ∆ est le paramètre usuel du saut d’indice.
151
Pour le second ordre, nous trouvons :
∆τ =

n1L  2
−


2
c  2
(n 1 k 0 a) 
Lorsque n1 k0 a ’ OH VHFRQG WHUPH HVW QpJOLJHDEOH SDU UDSSRUW DX SUHPLHU ∆ ≈ 0,01; n1 k0 a ≈ 103).
L’élargissement ∆τ est alors donné par :
(∆τ )opt
=
n 1L
c
 ∆2 
 
 2 
(5.59)
et la largeur de bande est
(B) opt =
1  2c
=
∆τ  n 1 L
2



(5.60)
soit une largeur de bande d’environ
(B)opt ≈ 4GHz-km (n1=1,5, ∆ =0,01)
Il nous faut maintenant comparer ce résultat à celui obtenu pour la fibre optique à saut d’indice. Dans ce
cas, le paramètre du profil α tend vers l’infini et la constante de propagation β est donnée par l’équation (5.51). Un
calcul tout à fait similaire nous donne un élargissement de
n L
(∆τ ) sautd’indice =  1  (∆ )
 c 
(5.61)
pour une largeur de bande d’environ
(B)sautd’indice ≈ 20MHz-km
en utilisant les mêmes valeurs de n1 et ∆ .
Nous avons déjà montré que les différences entre les différentes vitesses de groupe peuvent être négligées
en optimisant le profil de la fibre ( α opt = 2 lorsqu’il n’y a pas de dispersion dans le matériel) et que la largeur de
bande de telle fibre peut être augmenter d’un rapport de
2
∆
.
Plusieurs autres résultats utiles peuvent aussi être simplement trouvés à partir du modèle géométrique d’une
fibre à gradient d’indice.
Exercice 5.3
Nombre total de modes
L’équation caractéristique de l’optique géométrique
 1
p - π =
 2
∫
r2
r1
n 2 (r) k 20 −
2
−
l2
r2
dr
152
nous donne le nombre de modes p qui ont une constante de propagation β guidée. Si nous sommons ce résultat
sur toutes les valeurs de l et pour toutes les valeurs de β guidées, nous aurons le nombre total de modes. La plus
basse valeur de β guidée est n2k0. Donc, si nous posons β = n2k0 dans cette équation et que nous sommons sur l,
nous aurons le nombre total de modes M. Cependant, la sommation sur l est difficile à faire. Si nous remplaçons
cette somme par une intégrale continue sur l, l’erreur sera minime lorsque le nombre sera grand d’où :
M=
4
π
a
lmax
0
0
∫∫
n 2 (r) k 02 − n 22 k 02 −
l2
r2
dl dr
L’intégrale sur r est effectuée de 0 à a pour couvrir toute la région guidée. Le facteur 4 a été ajouté afin de
tenir compte des deux types de modes polarisés selon l’axe x et l’axe y et des deux types de distribution en sin
(l φ ) et cos (l φ ).
1.
Montrez que le nombre total de modes se réduit au calcul de
M= k 20
2.
∫ [n
a
0
2
]
(r) − n 22 r dr
Calculez le nombre total de modes pour la fibre à profil d’indice α
α

r 
n2(r)=n 12 1 − 2   
 a  

3.
Discutez du résultat pour les cas limites de la fibre à saut d’indice ( α
( α =2).
’ HW GH OD ILEUH
à profil optimal
Exercice 5.4
Calcul de la largeur de bande pour un profil
À l’équation (5.51), nous avons trouvé une valeur approchée de la constante de propagation β pour un
profil d’indice α .
1.
Démontrez la relation suivante pour ce profil α
β
dβ
(2 − α )
= n1 −
(n 1 −
)
dk 0
(2 + α )
k0
2.
Obtenez une relation algébrique pour la largeur de bande de cette fibre :
B=
3.
c
L  dβ

 dk 0
1

 dβ

− 

 min  dk 0
 
 

 max 
Tracez la variation de B pour les valeurs suivantes n1 =1,5 et ∆ = 0,01 autour du point α opt (α = 2). Notez
que la valeur de Bopt doit être obtenue par un calcul du second ordre.
153
Exercice 5.5
Profil SELFOC
À l’annexe (B-5), nous avons montré que le profil Selfoc n (r) = n1 sech ( α r) permettait de représenter
les rayons méridionaux d’un point source en un point image parfait. Selon le modèle géométrique des modes LPl,
p , nous anticipons alors que les modes LP0, p auront la même vitesse de groupe puisque tous les rayons
parcourent la même longueur optique ( ∫ n ds ) quelque soit l’angle d’entrée ( γ 0 ) des rayons. Vérifiez ce fait en
calculant la constante de propagation β 0, p de ces modes et calculez ensuite leurs vitesses de groupe.
154
A. Dérivation de l’équation de propagation d’une impulsion
A.1
Milieu dispersif linéaire
Dans un milieu linéaire β (ω ) , on sait que chacune des fréquences des champs se transforme selon :
E (ω , z ) = E (ω , 0) e -j β (ω ) z
(A1)
Cette relation obéit à l’équation différentielle suivante :
j
∂E (ω )
= β (ω ) E (ω )
∂z
(A2)
Si on caractérise le milieu de dispersion par :
β (ω ) = β 0 + (ω − ω 0 )β 1 + (ω − ω 0 )2
β2
2
(A3)
on obtient l’équation différentielle suivante
j
β 
∂E 
=  β 0 + (ω − ω 0 )β1 + (ω − ω 0 )2 2  E
∂z 
2 
(A$)
On cherche maintenant une équation différentielle pour la forme temporelle de l’impulsion. On prend donc
la transformée de Fourier inverse de l’équation (A4), c’est-à-dire
∂
2π ∂z
j
∫
+∞
-∞
E (ω ) e j ω t dω =
β

β 0 + β 1 (ω − ω 0 ) + 2 (ω − ω 0 ) 2  E (ω ) e j ω t dω

−∞ 
2

2π ∫
1
+∞ 
(A5)
On se rappelle que :
E (t ) =
∂E (t )
=
∂t
∂ 2 E (t )
∂t
2
=−
2π ∫
1
+∞
−∞
2π ∫
j
E (ω , z ) e
+∞
−∞
2π ∫
1
jω t
ω E (ω ) e
+∞
−∞
dω
jω t
ω 2 E (ω ) e
dω
jω t
dω
on trouve alors que l’équation (D) peut être écrite comme :
j
β
∂2E

∂E 1
∂E 
− β2 2
=  β 0 − β 1ω 0 + 2 ω 02  E + j [β 2ω 0 − β 1 ]
2
∂t 2
∂z 
∂t

(A6)
Comme, on a vu que l’enveloppe de l’impulsion est reliée à E par l’équation (2.99) :
155
E (t, z ) = S (t, z) e j [ω0 t - β 0 z ]
En utilisant cette relation et l’équation (A6), on trouve l’expression suivante pour l’enveloppe de l’équation
différentielle :
β 2 ∂ 2S
∂S 
 ∂S
+ j  + β1  = 0
∂t 
2 ∂t 2
 ∂z
Si on considère un système de référence qui se déplace à la même vitesse que l’impulsion, on sait que
vg =
et0 τ = t -
(A7)
1
β1
z
vg
et en utilisant ces relations dans l’équation (A7), on trouve encore que l’équation (2.119) comme elle a été dérivée du
propagateur intégral.
A.2
Milieu dispersif non linéaire
La démarche précédente se généralise directement pour un milieu non linéaire caractérisé par
l’approximation de la dispersion à une fréquence ω 0 et pour une petite intensité d’environ S β :
2
(
β ω, S
2
)= β
0
+ β 1 (ω − ω 0 ) +

β2
(ω − ω 0 )2 +  ∂β
2
∂ S
2


S
 ω =ω2 0
 S =0
2
(A8)
Il est à noter que la dérivée mixte selon ω et S serait un terme du troisième ordre qui sera négligé ici.
2
Par conséquent, pour un milieu non linéaire dont l’indice est donné par l’équation (2.118), on obtient la relation de
dispersion suivante :
β=
[
ω
n (ω ) + n 2 S(t)
c
2
]
(A9)
Il nous suffit donc d’ajouter le terme suivant au modèle linéaire précédent :
 ∂β 


∂ S 2 


ω =ω 0
2
S =0
=
ω0
n2 = β0 n2
c
on a donc la relation de dispersion suivante
β = β 0 + β 1 (ω − ω 0 ) +
β2
(ω − ω 0 )2 + β 0 n 2 S
2
2
(A10)
En procédant, comme à la section précédante, on démontre facilement que l’équation différentielle
correspondant au milieu non linéaire est
β 2 ∂ 2S
+
2 ∂t 2
∂S 
 ∂S
j  + β1  − β 0 n 2 S
∂t 
∂
z

2
=0
(A11)
156
Pour un système référentiel qui se déplace à la même vitesse que l’impulsion, on retrouve l’équation de Schrödinger
non linéaire mentionnée à l’équation (2.120).
B. Guides plans couplé :Mode TE pair
Pour plusieurs applications de l’optique guidée, il faut pouvoir transférer la puissance transportée par un
guide dans un autre guide d’ondes. Cette technique permet de créer plusieurs composantes essentielles de l’optique
intégrée. Ce couplage d’énergie entre deux guides diélectriques se fait dans la partie évanescente des deux modes
lorsque les guides sont près l’un de l’autre. Afin de bien comprendre ce mécanisme de couplage, nous présenterons
ici la solution exacte de deux guides plans symétriques couplés.
FIGURE B.1 : Guides plans A et B couplés par un diélectrique d’indice n2. Notez que la gaine est aussi un
diélectrique d’indice n2.
B.1
Solution exacte pour les guides plans symétriques couplés
La figure B.1 montre deux guides plans d’indice n1 et n2 séparés par une distance (2x0). La solution
électromagnétique des modes de ce guide s’effectue selon la même procédure que celle du guide plan. On cherche
pour chacune des régions des solutions des équations de Maxwell qui contiendront l’énergie dans les régions guidées
A et B. La géométrie de la structure nous indique que les modes pourront encore se décomposer en deux familles soit
les modes TE et TM. Ces modes ont tous la même constante de propagation β dans les cinq régions de la structure,
on écrit donc
r
r
E = E 0 e -jβ z
r
r
H = H 0 e -jβ z
(B1)
Les composantes d’un mode TE sont données au tableau 3.2. On écrira ici explicitement seulement les
composantes tangentielles des champs soit E y(0) et H z(0) sur lesquelles s’appliquent les conditions aux limites afin de
simplifier l’écriture de l’ensemble des modes. Dans la région en haut du guide A i.e. x > (a0+a) on exigera des
solutions de la forme e-wx afin de contenir la puissance dans la structure. De même, dans la région en bas du guide B
-w x
i.e. x < -(a0+a) on exigera aussi des champs de la forme e
. Par la suite, on demandera la continuité des champs
Ey et Hz aux interfaces x ≤ ± (a0+a). On peut ici sauter ce détail de l’analyse et écrire les champs des guides A et B
157
sous une forme qui assure cette continuité en s’inspirant des tableaux 3.6 et 3.7. Les tableaux B.1 et B.2 donnent la
forme des modes des guides A et B pour x > x0.
GUIDE A
E y(A) = E A cos (ua) e -w ( x - x 0 − 2a ) e -jβ z
TE : PAIR
ju
E A sin (ua) e - w ( x - x 0 −2 a ) e - jβ z
k 0η 0
x>(x0+2a)
(A)
E y = E A cos (u (x - a 0 )) e -jβ z
H y(A) = −
H y(A) = −
ju
E A sin (u (x - a 0 ) e - jβ z
k 0η 0
u2 = n 12 k 02 − β 2
x0 < x < x0 +2a
TABLEAU B.1 : Composantes Ey et Hz dans la région x > x0
TE : PAIR
GUIDE B
E y(B) = EB cos (ua) e w ( x + x 0 + 2a ) e -jβ z
H y(B) = −
ju
E B sin (ua) e w ( x + x 0 + 2a ) e - jβ z
k 0η 0
E y(B)
H y(B) = −
x<-(x0+2a)
= E B cos (u (x + a 0 )) e -jβ z
ju
E B sin (u (x + a 0 ) e - jβ z
k 0η 0
u2 = n 12 k 02 − β 2
-x0 < x < -(x0 +2a)
TABLEAU B.2 : Composantes Ey et Hz dans la région x <- x0
Il nous faut maintenant écrire la solution dans la région de couplage C et s’assurer par la suite des
conditions aux limites AC et BC. Les champs dans la région de couplage devra être de type évanescent e-wx afin de
s’assurer de guider l’énergie dans le guide A. D’autre part, le guide B exigera dans la région C une onde de type ewx
afin de pouvoir contenir sa puissance. Afin de satisfaire les deux guides, il faut une solution de la forme (E1 e-wx + E2
ewx ). Il est plus facile pour ce type de problème d’utiliser une forme (E1 sinh wx + E2 cosh wx ) puisqu’on peut alors
séparer le couplage en couplage ANTISYMÉTRIQUE (E2 = 0) et en couplage SYMÉTRIQUE (E1 = 0). Les tableaux
B.3 et B.4 donnent la forme précise de ces deux solutions.
158
MODE TE : PAIR
ANTISYMÉTRIQUE
E y(C) = E1 sinh (wx) e -jβ z
H z(C) =
jw
E1 cosh (wx) e - jβ z
k 0η 0
w2= β 2 − n 22 k 02
-x0<x<x0
TABLEAU B.3 : Composante Ey et Hz dans la région de couplage -x0 < x < x0
MODE TE : PAIR
SYMÉTRIQUE
E y(C) = E 2 cosh (wx) e -jβ z
H z(C) =
jw
E 2 sinh (wx) e - jβ z
k 0η 0
w2= β 2 − n 22 k 02
-x0<x<x0
TABLEAU B.4 : Composante Ey et Hz dans la région de couplage -x0 < x < x0
Il nous reste enfin à exiger la continuité des champs Ey et Hz à l’interface AC et BC. Pour le couplage
antisymétrique on trouve à x = x0 :
E1sinh(wx0)=EAcos(ua)
E1wcosh(wx0)=EAusin(ua)
(B.2)
E1sinh(wx0)=-EBcos(ua)
E1wcosh(wx0)=-EBusin(ua)
(B.3)
et à x = -x0 :
Par inspection on conclut qu’il faut avoir :
EA=-EB
(B.4)
Pour rendre compatible les équations (B.3) avec celle de (B.2). Enfin le déterminant de l’ensemble des deux
équations nous donne l’équation caractéristique du mode antisymétrique soit :
E.C.
ANTISYMÉTRIQUE
w
tan(ua) = coth(wx 0 )
u
(B.5)
159
L’équation (B.4) nous indique que le couplage antisymétrique fait en sorte que le champ du guide B est hors
de phase avec le champ du guide A. Notons aussi que lorsque la distance entre les deux guides x0 devient infinie,
l’équation caractéristique devient bien la même que celle du mode d’un guide simple TE-Pair (voir tableau 3.8)
puisque coth (’ De même pour le couplage symétrique les équations de continuité nous donne à x=x0 :
E2cosh(wx0)=EAcos(ua)
E2wsinh(wx0)=EAusin(ua)
(B.6)
E2cosh(wx0)=EBcos(ua)
E2wsinh(wx0)=EBusin(ua)
(B.7)
EA=EB
(B.8)
SYMÉTRIQUE
w
tan(ua) = tanh(wx 0 )
u
(B.9)
et à x = -x0 :
Par inspection on conclut qu’il faut avoir :
E.C.
Encore ici, on note que lorsque x0
’WDQK’
HWRQUHWURXYHO¶pTXDWLRQFDUDFWpULVWLTXHGXPRGH7(SDLU
L’équation caractéristique des modes anisymétriques est différente de celle des modes symétriques lorsque
les deux guides sont séparés par une distance finie x0. La solution de ces équations caractéristiques pour un système
donné, nous amènera deux constantes de propagation β différentes soit β 1 pour le couplage antisymétrique et β 2
pour le couplage symétrique. À ces constantes β 1 et β 2 correspondra respectivement les constantes transverses u1
et u2. Puisqu’il n’y a pas de fréquence de coupure pour ce mode couplé, il s’ensuit que ces deux modes β 1 et β 2 se
propageront dans chacun des guides en même temps. On trouve alors que le champ Ey dans chacun des guides
s’écrira :
E y( A) = E A1 cos(u1 ( x − a 0 ))e − jβ1z + E A2 cos(u 2 ( x − a 0 ))e − jβ 2 z
(B.10)
E y( B ) = − E A1 cos(u1 ( x + a 0 ))e − jβ1 z + E A2 cos(u 2 ( x + a0 ))e − jβ 2 z
(B.11)
Pour le mode antisymétrique ( β 1 ) on a posé que EB1= -EA1 (B.4) et pour le mode symétrique on a posé que
EB2= EA2 (B.8). Ceci complète la solution exacte des deux guides plans séparés par la distance de couplage x0.
Une conséquence directe de cette solution est un échange de puissance entre le guide A et B. En effet, si on
calcule la puissance transportée dans le guide A et B on trouve :
PA =
P0
[1 + cos(
2
]
− ∆φ )]
(B.12)
PB =
P0
[1 − cos(
2
]
− ∆φ )]
(B.13)
où ∆β = β 2 − β 1 et ∆φ est la différence entre la phase de l’amplitude du champ symétrique EA2 et celle du champ
antisymétrique EA1. P0 est la puissance totale dans le guide A et B. On peut donc définir une longueur de couplage z
tel que
160
∆β z 0 − ∆φ = π
(B.14)
Exercice B.1
Équation différentielle de deux guides couplés
Les équations (B.10) et (B.11) nous donne la solution exacte du champ électrique d’un mode TE
pour deux guides séparés par une distance x0 (voir fig. B.1). On peut écrire ces équations pour une
coordonnée x centrée sur chacun des guides A et B soit :
E (yA) = E A1 cos(u1 x)e − jβ1 z + E A2 cos(u 2 x )e − jβ 2 z
E (yB ) = − E A1 cos(u1 x)e − jβ1z + E A2 cos(u 2 x )e − jβ 2 z
Montrez que cette solution obéit aux équations différentielles couplées suivantes :
2j
∂E A
= ( β 1 + β 2 ) E A + ∆βE B
∂z
2j
∂E B
= ( β 1 + β 2 ) E B + ∆βE A
∂z
où ∆β = β 2 − β 1
N.B. ∆β est la constante de couplage
B.2
Solution de faible couplage
Lorsque la distance x0 qui sépare les deux guides augmente le couplage devient alors faible et une solution
analytique des équations caractéristiques devient possible. Cette solution étant très importante en pratique nous en
présenterons le développement ici.
Si (wx0) est très grand on peut écrire alors que :
coth(w1x0) ≅ 1+2e −2 w1 x 0
(B.15)
tanh(w2x0) ≅ 1-2e −2 w 2 x 0
(B.16)
et
On suppose maintenant que
β1 = β +
1
u = u + ∆u 1 
∆β 1  1

2
 w 1 = w + ∆w 1 
(B.17)
et
u = u + ∆u 2 
1
β 2 = β + ∆β 2  2

2
w 2 = w + ∆w 2 
(B.18)
161
C’est-à-dire que l’on suppose que la constante de propagation du mode antisymétrique β 1 et du mode
symétrique β 2 sont très près de la constante du guide isolé β . Afin de trouver une solution approximative pour les
équations caractéristiques (B.5) et (B.9), on montre d’abord qu’au premier ordre :
u1
∆β 1 (u 2 + w 2 )
tan (u 1a) ≅ 1 - β 1
(1 + wa)
w1
2
u2w2
(B.19)
De même on trouve
u2
∆β 1 ( u 2 + w 2 )
tan (u 2 a) ≅ 1 - β 2
(1 + wa)
w2
2
u 2w 2
Par inspection de ce résultat et du développement de coth et tanh (B.15) et (B.16) on conclut que
∆β =
4u 2 w 2 e -2 w x 0
(B.20)
(B.21)
β (u 2 + w 2 )(1 + wa)
et que ∆β 2 = ∆β = −∆β 1
Il s’ensuit que la constante de couplage où ∆β = β 2 − β 1 est donnée par la relation (B.21) et que β , u, w
sont des solutions de l’équation caractéristique de guide isolé soit :
tan(ua)=
w
u
(B.22)
Puisque u1 ≅ u2 = u, les champs électriques du guide A et B, (B.10) (B.11) s’écrivent alors :
∆β
∆β 

j
z
j
z
E y(A) = cos (u( x − a 0 )) e - j β z  E A1e 2 + E A2 e 2 


(B.23)
∆β
∆β 

j
z
-j
z
E y(B) = cos (u( x + a 0 )) e - j β z - E A1e 2 + E A2 e 2 


(B.24)
Encore ici on note qu’il y a un échange de puissance entre les deux guides. La situation habituelle est qu’à
z=0, la puissance est nulle par exemple dans le guide B, on a alors que EA1 = EA2. On simplifie alors ces équations en
écrivant :
E y(A) = 2 E A cos (u ( x − a 0 )) cos (
∆β
2
E y(B) = − j 2 E A cos (u (x + a 0 )) sin (
z) e -j β
∆β
2
z
z) e -j β
(B.25)
z
(B.26)
On retrouve alors que la longueur de couplage en puissance z0 est donnée encore par :
z0 =
π
∆β
(B.27)
Exercice B.2
162
On choisit de coupler deux guides plans identiques (figure 3A.1) ayant une fréquence normalisée V
= 1,11 (ua = π /4).
Montrez que la longueur de couplage selon l’approximation de faible couplage devient :
z0 =
0,44λ 2 (n 12 + n 22 )
(n12 − n 22 )
π
( x 0 / a)
e2
C. Fonctions mathématiques
C.1
Fonctions de Bessel :rappel
La résolution des problèmes à symétrie circulaire nécessite généralement une bonne connaissance des
fonctions de Bessel et des fonctions de Hankel (expansion en série, formules de différentiation et de récurrence,
etc.…). Pour des raisons de commodité, nous avons rassemblé sous une même section, les plus importantes
caractéristiques et propriétés de ces fonctions. Le lecteur désirant plus de renseignements pourra consulter l’ouvrage
de Abramovitz et Stegun [12].
C.1.1 Fonctions de Bessel et fonctions de Hankel
Les fonctions de Bessel sont des solutions de l’équation suivante
d2W
dr
2
+
1 dW  m 2 
+ 1 − 2  W = 0
r dr 
r 
(C.1)
qui porte le nom d’équation différentielle de Bessel d’ordre m (m étant une constante). Pour des valeurs de m nonentières, une solution possible de l’équation de Bessel est de la forme
W(r)=AJm(r)+BJ-m(r)
où
J m (r ) =
∞
∑ s!
s =0
J − m (r ) =
(−1) s r m + 2s
P + s + 1) 2
∞
∑ s!
s =0
m + 2s
(−1) s r -m + 2s
V - m + 1) 2
- m + 2s
(C.2)
(C.3)
Jm(z) est une fonction de Bessel de première espèce et d’ordre m et Γ (m+1+s) est la fonction gamma
définie comme suit :
∞
Γ(p) =
∫x
p −1
e −x dx
0
Pour m = n (entier), les deux solutions données aux équations (C.3) et (C.4) ne sont plus indépendantes
l’une de l’autre. Elles obéissent alors à la relation suivante
J-n(r)=(-1)nJn(r)(C.4)
où
163
J n (r ) =
∞
(−1) s r n + 2s
∑ s! (n + s)! 2
s =0
(C.5)
n + 2s
Une autre solution possible pour l’équation (C.1) (équation du second ordre), qui est également valide
lorsque m est un entier est
W(r)=AJm(r)+BNm(r)
(C.6)
Nm(r) est appelé la fonction de Neumann d’ordre m (ou aussi la fonction de Bessel de deuxième espèce).
Notez que plusieurs auteurs utilisent la désignation Ym (r) au lieu de Nm (r). Cette fonction est définie comme
N m (r ) =
1
[2 log r
2
1
∞
∑
s =1
+ 2 (0,5772)] −
1
1
(m − s − 1)!  r 
J m (r) −
 −
s
s!
2
s =1
s =0
m
∑
s
(−1) s   1
1  r m + 2s

  +
(s + m)! s!  t =1  t m + t  2
m -1
∑
(C.7)
∑
Les graphiques de quelques-unes de ces fonctions sont présentés aux figures C.1 et C.2. La fonction Nm
diverge pour r = 0. Pour cette raison, elle n’est utilisée que dans les problèmes physiques où l’origine (r = 0) est
exclue. La fonction Jm(r) , quant à elle, présente un caractère oscillatoire et elle est continue.
164
165
Toutes les autres combinaisons de Jm (r) et Nm(r) sont aussi des solutions de l’équation C.1. Parmi les plus
utiles, nous trouvons les fonctions de Hankel du premier et du second ordre qui sont
H (1)
m (r) = J m (r) + j N m (r)
(C.8)
H (2)
m (r) = J m (r) − j N m (r)
(C.9)
Ces fonctions sont utilisées très souvent car, comme nous le verrons plus tard, elles possèdent un
comportement asymptotique de forme exponentielle. Ces deux fonctions ont aussi une singularité à l’origine qui
provient des fonctions de Nm(r).
166
C.2
Comportement asymptotique
Nous pouvons approximer les fonctions Jm (r) et Nm(r), pour r<<1 et pour m ≠0, par les expressions
suivantes
Jm(r) ≈
rm
2 m m!
, N m (r ) ≈
− 2 m (m − 1)!
rm
(C.10)
Lorsque m =0 , nous avons
J0(r) ≈ 1 , N 0 (r ) ≈
2 (ln r + c - ln 2)
(C.11)
Nous pouvons facilement trouver le comportement asymptotique de ces fonctions pour de grands
arguments. Par exemple, pour m = 0, l’équation de Bessel devient
d 2W
dr
2
+
1 dW
+W=0
r dr
(C.12)
En posant w = r-1/2 F(r), l’équation (A4.12) nous donne
d 2F
dr
2

1 
+ F 1 + 2  = 0
4r 

(C.13)
qui a pour solution lorsque r tend vers l’infini
C0cos(r+ ψ 1 )
C0 et ψ 1 sont des constantes, Nous devons poser ψ 1 = - π /4 pour que le comportement asymptotique (r →
∞) épouse parfaitement la courbe de J0 (r).
2
J 0 (r ) =  
1/ 2
 π
cos  r - 
 4
1/ 2
 π
sin  r - 
 4
 πr 
et nous devons poser ψ 1 = 3π / 4 pour N0(r)
2
N 0 (r ) =  
 πr 
Pour un m quelconque, on a
2
J m (r ) ≈  
 πr 
1/ 2
 π mπ 
cos  r - −

2 
 4
1/ 2
 π mπ 
sin  r - −

2 
 4
2
N m (r ) ≈  
 πr 
167
2
H m(1) (r) ≈  
 πr 
2
H m(2) (r) ≈  
 πr 
1/ 2
j( r -
e
1/ 2
π mπ
−
)
4
2
- j( r -
e
π mπ
−
)
4
2
Les fonctions de Bessel, de première et de seconde espèce, se comportent comme des fonctions
sinusoïdales, pour de grandes valeurs de leur argument. Elles représentent des ondes stationnaires cylindriques. À
l’opposé, les fonctions de Hankel représentent une onde progressive se propageant selon les r négatifs pour H (1)
m et
(2)
selon les r positifs pour H (2)
m . La fonction qui a de l’intérêt en fibre optique est H m , représentant une onde qui
s’éloigne de l’axe de la fibre.
C.3
Relations de récurrence
(2)
Les fonctions de Bessel Jm, Nm, H (1)
m et H m ainsi que toutes leurs combinaisons linéaires sont des
fonctions cylindriques qui sont généralement identifiées comme Zm. Elles obéissent à plusieurs relations de
récurrence et de différentiation et d’intégration dont les plus utiles pour l’étude des guides d’ondes ont été résumées
au tableau C.1.
2 m Zm (r) = r [Z m-1 (r) + Z m+1 (r)]
J- n(r) = (-1)n Jn (r) n = 0, 1, 2,….
Z ’m (r) = − Z m +1 (r) +
= Z m −1 (r) −
∫J
2
m (r) r
dr =
m
m
r
r
Z m (r )
Z m (r)
[
r2 2
J m (r) − J m −1 (r) J m +1 (r)]
2
TABLEAU C.1 : Relations de récurrence et intégrale pour les fonctions cylindriques
C.4
Fonctions de Bessel modifiées
En remplaçant r par jr, nous obtenons l’équation de Bessel modifiée que voici :
r2
d 2W
dr 2
+r
[
]
dW
− r2 + m2 W = 0
dr
(C.14)
Pour des valeurs non-entières de m, une solution possible de l’équation suivante (A4.14) est la suivante
W(r)=AIm(r)+BI-m(r)
(C.15)
où
I m (r ) =
∞
r m + 2s
∑ s! Γ (m + s + 1) 2
s =0
m + 2s
(C.16)
Pour des valeurs entières (m = n), Im et I- m ne sont plus indépendantes ; elles sont reliées par
In(r) = I- n (r)
168
Une solution possible, dans ce cas est
W(r) = A In(r) + B Kn(r)
(C.17)
où
K n (r) =
1 1 
r
2  2 
− n n −1
k
(n − k − 1)!  1 2 
1 
n +1
 − r  + (−1) ln  r  I n (r)
k!
 4 
2 
k =0
∑
k
+ (-1) n
1 1 
r
2  2 
n
∞
∑{
k =0
1 2
 r 
4 
N + 1) + Q + k + 1)}
k! (n + k)!
(C.18)
avec
Ψ (1) = −γ
Ψ (n ) = −γ +
n -1
∑k
-1
(n ≥ 2)
(C.19)
k =1
et
γ = 0,5772156…
Les figures C.3 et C.4 illustrent quelques-unes de ces fonctions. Leurs comportements asymptotiques sont
de forme
Im(r)=
Km(r)=
er
2πr
π -r
e
2r
(C.20)
(C.21)
FIGURE C.3 : Fonction de Bessel modifiée Im (r)
169
FIGURE C.4 : Fonction de Bessel modifiée Km (r)
Les équations de Bessel modifiées se comportent pour de grandes valeurs de leur argument, comme des
ondes évanescentes. Les fonctions Im(r) et Km(r) sont reliées aux fonctions de Bessel par les équations suivantes :
K m ( Jr ) =
Im(jr)=e j m π / 2 Jm(r)
(C.22)
π - j (m +1)π / 2
e
(J m (r) − j N m (r))
2
(C.23)
ou
K m ( jr ) =
π - j (m +1)π / 2 (2)
e
H m (r )
2
Il est intéressant de noter que les Km(jr) sont proportionnels aux H (2)
m ( r ) (les fonctions de Hankel de
seconde espèce) ou bien encore que les Km(r) sont proportionnels aux H (2)
m ( jr ) . Les relations de récurrence pour les
fonctions de Bessel modifiées sont données au tableau A4.2.
2mI m (r ) = r [I m-1 (r) − I m +1 (r)]
I ’m (r) = I m +1 (r) +
m
= I m −1 (r) −
r
m
r
I m (r)
I m (r)
I - m (r) = I m (r)
2mK m (r ) = −r [K m-1 (r) − K m +1 (r)]
170
K ’m (r) = −K m +1 (r) +
m
= −K m −1 (r) −
m
r
r
K m (r)
K m (r)
K - m (r) = K m (r)
∫
K 2m (r) r dr =
[
r2
K 2m (r) − K m −1 (r) K m +1 (r)]
2
TABLEAU C.2 : Relations de récurrence et intégrale pour les fonctions de Bessel modifiées
Exercice C.1
Dans la fibre optique à saut unique d’indice, comme celle étudiée dans le texte, on utilise seulement la
fonction de Bessel Jm pour décrire le champ dans le cœur puisqu’à r = 0 la fonction de Neumann Nm devient infinie.
Dans la gaine, le champ est décrit par la fonction de Km afin d’avoir une décroissance exponentielle du champ vers
l’extérieur de la fibre. Cependant, pour l’étude des fibres optiques à plusieurs sauts d’indice on doit utiliser tous les
types de fonctions de Bessel. Par exemple pour la fibre illustrée à la figure A4.5, donnez, pour chacune des régions,
le type de fonction de Bessel à employer
Région Bessel
0 < r< a1 :
a1 < r < a2 :
a2 < r < a3 :
r > a3 :
FIGURE C.5 : Fibre avec plusieurs sauts d’indice
171
D. Approximation de l’optique géométrique
D.1
Équation de l’iconale
Le but de cette annexe est d’introduire l’approximation de l’optique géométrique pour la solution des
équations de Maxwell. On montre que la solution des équations de Maxwell et par le fait même la solution de
l’équation d’onde se simplifie grandement lorsque la longueur d’onde de la source λ (i.e. k0 très grand) est
beaucoup plus petite que les dimensions des frontières. Ce modèle simple débouche souvent sur des solutions faciles
même pour un milieu inhomogène (n(x, y, z)).
On rappelle d’abord les équations de Maxwell I et II :
r
r
r
r
r
k0 2 r
n E
η0
∇ × E = -j k 0η 0 H
∇×H = j
r
r
Notez que les équations de divergence de (n2 E ) et ( H ) sont contenues dans I et II puisque la divergence
r
r
d’un rotationnel est nulle. On cherche des solutions pour E et H de la forme suivante :
r
r
r
r
E = E 0 e -j k 0 ϑ
(D.1)
H = H 0 e -j k 0 ϑ
r
(D.2)
r
où E 0 , H 0 , ϑ et n sont les fonctions de x, y, z.
Notez bien que la phase fait intervenir le vecteur d’onde k0 du vide et non celui du milieu (k = n k0) où
se propage l’onde. Utilisant des identités vectorielles bien connues (se référer à un bon livre d’électromagnétisme)
on montre que les équations de Maxwell se réduisent alors à :
r
r
r
∇ϑ × E 0 − η 0 H 0 =
r
r
∇ϑ × H 0 +
1 r r
∇ × E0
jk0
n2 r
1 r r
∇ × H0
E0 =
η0
jk0
Lorsque la longueur d’onde λ est très petite (k0 ’ SDU UDSSRUW DX[ GLPHQVLRQV GHV IURQWLères, nous
pouvons négliger le rotationnel du côté droit des équations de Maxwell I et II, qui deviennent
r
r
r
r
r
∇ϑ × E 0 − η 0 H 0 = 0
∇ϑ × H 0 +
n2 r
E0 = 0
η0
(D.3)
(D.4)
Ces deux équations vectorielles couplées sont en fait six équations scalaires. On sait qu’on peut trouver des
solutions non nulles seulement si le déterminant est nul. Pour trouver le déterminant, on découple les équations en
r
remplaçant la valeur de H 0 obtenue en (D.3) dans l’équation (D.4) pour obtenir :
r
(r
r
)
r
∇ × ∇ϑ × E 0 + n 2 E 0 = 0
(D.5)
172
Au moyen de l’équation (D.4), on montre que
r
r
∇ϑ ⋅ E 0 = 0
(D.6)
Ce résultat permet de simplifier l’équation (D.5) et d’écrire que
[∇r ϑ ⋅ ∇r ϑ − n ] Er
2
0
=0
(D.7)
r
Puisqu’on s’intéresse à des solutions non-triviales ( E 0 ≠ 0), on doit conclure que la fonction ϑ (x, y, z)
obéit à l’équation différentielle suivante :
r
∇ϑ
2
= n2
(D.8)
Cette équation est connue sous le nom d’équation de l’iconale (du grec eikon qui signifie petite image).
Cette équation s’écrit explicitement en coordonnées cartésiennes :
2
 ∂ϑ 
 ∂ϑ 
 ∂ϑ 
2
 + 
 = n ( x, y, z)

 + 
x
y
z
∂
∂
∂






2
2
Pour un milieu optique d’indice n (x, y, z), il faut d’abord résoudre l’équation de l’iconale avant de chercher
r
r
au moyen des équations (D.3) et (D.4) les champs E 0 et H 0 . Cependant, l’optique géométrique consiste à
r
r
s’intéresser uniquement à cette phase de l’iconale et à négliger le calcul de E 0 et H 0 qui serait une solution du
premier ordre pour les champs exacts.
D.2
Le vecteur de Poynting en optique géométrique
Selon les lois de l’électromagnétisme, la densité de puissance lumineuse se propage selon le théorème de
Poynting
r
S =
{
r
r
1
Re E X H *
2
}
(D.9)
Selon l’approximation de l’optique géométrique, le vecteur Poynting moyen s’écrit :
r
S =
{
r
r
1
Re E 0 X H 0*
2
}
(D.10)
r
En remplaçant H 0 dans cette dernière équation à l’aide de l’équation (D.3), on peut réécrire l’équation
(D.10) :
r
S =
[
(
) ]
r
r r
r
r
r
1
Re E 0 ⋅ E 0* ∇ϑ − E 0 ⋅ ∇ϑ E *0
2η0
En se servant du résultat (D.6), on obtient finalement :
r
r 2r
1
S =
E 0 ∇ϑ
2η0
(D.11)
173
D’autre part, on sait que la densité moyenne d’énergie magnétique est égale à la densité moyenne d’énergie
électrique. La densité totale d’énergie W peut donc s’écrire :
W=
1 r
ε E0
2
2
r
1 2
n ε 0 E0
2
=
2
(D.12)
En termes de cette quantité, le vecteur Poynting devient :
r
S =W
c r
∇ϑ
n2
où c est la vitesse de la lumière dans le vide. D’autre part, on sait que la vitesse de la lumière dans un milieu d’indice
n est v = c/n et en utilisant l’équation de l’iconale (D.8) on montre que
r
r
∇ϑ
S =Wv r
∇ϑ
(D.13)
Ce résultat nous dit que selon l’approximation de l’optique géométrique la puissance transportée suit une
r
trajectoire perpendiculaire ∇ϑ à la fonction de l’iconale. Ceci nous amène à s’intéresser alors à ces trajectoires que
nous nommerons les rayons géométriques.
( )
D.3
Équation des rayons lumineux
Pour trouver la description mathématique représentant la trajectoire des rayons lumineux, nous allons
r
définir un vecteur unitaire a s =
r
dr
r
r
, où d r désigne l’accroissement du module du vecteur r , reliant l’origine des
ds
coordonnées à un point du rayon lumineux ; ds représente l’accroissement de l’arc du rayon (voir figure D.1).
FIGURE D.1 : Géométrie utilisée pour l’équation des rayons
174
Ce vecteur est tangent aux rayons et donc, par définition, perpendiculaire aux fronts de phase :
v
as ≡
v
r
r
dr ∇ ϑ ∇ ϑ
= r =
ds ∇ϑ
n
r
∇ϑ = n
r
dr
ds
(D.14)
L’équation des rayons s’obtient en prenant le gradient de l’équation (D.8) :
(r )
r
r
2∇ϑ ⋅ ∇ ∇ϑ = 2 n ∇n
(D.15)
Des équations (D.14) et (D.15), nous trouvons :
r
dr r  d r  r
⋅ ∇  n  = ∇n
ds
 ds 
(D.16)
On se rappelle que la dérivée par rapport à la variable locale s’écrit
r
d dr r
=
⋅∇
ds ds
(D.17)
Ce qui permet d’écrire l’équation (D.16) sous la forme :
d
ds
r
 dr  r
n ds  = ∇n


(D.18)
r
Cette équation est l’équation de la trajectoire des rayons r pour la coordonnée locale (s).
L’équation de l’iconale (D.8) et l’équation des rayons (D.18) sont deux descriptions alternatives et
complémentaires de l’optique géométrique.
Exercice D.1
Équation de l’iconale et l’équation d’onde
On peut aussi obtenir l’équation de l’iconale en cherchant une solution de l’équation d’onde
∇ 2 Ψ + n 2 k 02 Ψ = 0
et en posant que
Ψ = Ψ0 e -j k 0ϑ
En vous servant d’identités vectorielles et différentielles, montrez que l’équation d’onde devient :
(
)
(
) (
)
r
r
r
r

 1
1
e - j k 0ϑ  2 ∇ 2 Ψ0 +
Ψ0 ∇ 2ϑ + 2 ∇Ψ0 ⋅ ∇ϑ − ∇ϑ ⋅ ∇ϑ − n 2 Ψ0  = 0
jk0

 k 0
175
Lorsque k0
’GHVVROXWLRQVQRQWULYLDOHVGHFHWWHpTXDWLRQVRQWREWHQXHVVHXOHPHQWVL
r
∇ϑ
2
= n2
Exercice D.2
Trajectoires des rayons dans un milieu homogène
Pour un milieu homogène (n ≠ n (x, y, z)), montrez que la trajectoire des rayons sont des droites.
D.4
Propagation dans un milieu d’indice n(r)
Les fibres optiques possèdent souvent un profil d’indice à symétrie cylindrique n(r) (e.g. SELFOC). De
plus, il existe maintenant plusieurs composantes optiques (GRIN) ayant un profil d’indice n(r) et un diamètre
beaucoup plus large que la longueur d’onde. Dans cette section, nous présenterons une solution formelle pour ce type
de gradient d’indice.
r
Écrivons le vecteur r en coordonnées cylindriques :
r
r
r
r = r ar + z az
(D.19)
dφ r
d r dr r
dz r
= ar + r
aφ +
az
ds ds
ds
ds
(D.20)
Nous avons alors :
r
Puisque
r
da r dφ r
=
aφ
ds
ds
r
da φ
ds
=−
dφ r
ar
ds
(D.21)
(D.22)
l’équation des rayons (D.18) devient alors :
2
 d  dr 
r
 dφ   r
∇n =   n  − nr    a r +
 ds  
 ds  ds 
 dr dφ d 
 d  dz  r
dφ   r
+ n r
 a φ +   n  a z
n
ds 
 ds ds ds 
 ds  ds 
r dn
= ar
dr
(D.23)
Le profil d’indice est radial ce qui veut dire que l’indice n est uniquement une fonction de r. La composante
a φ est donc nulle ce qui conduit à une première constante de la trajectoire :
r
176
n(r )r 2
dφ
= C1
ds
(D.24)
r
De même, la composante associée à a z est nulle et nous obtenons la deuxième constante pour la
trajectoire :
n(r )
dz
= C2
ds
(D.25)
FIGURE D.2 : Représentation en coordonnées cylindriques
r
L’équation pour la composante a r est de la forme
2
dn
d  dr 
 dφ 
n  − n r   =
dr
ds  ds 
 ds 
(D.26)
Cette équation se modifie en utilisant la première constante C1 pour devenir :
177
n
d  dr  C12
dn
=0
n  − 3 − n
ds  ds  r
dr
 d
De même, la constante C2 transforme cette équation  n
 ds
= C2
d
(D.27)

 en
dz 
 2 d 2 r C12 1 dn 2 
C 2 2 − 3 −
=0
2 dr 
dz
r

(D.28)
Cette équation peut se réduire à une équation différentielle du premier ordre :

dr
1  2 C12
2
=
n − 2 − C 3 
dz C 2 
r

1/ 2
(D.29)
On peut montrer (voir exercice D.3) que la dernière constante d’intégration C3 est identique à la constante C2.
Les rapports des deux constantes de la trajectoire (équations (D.24) et (D.25)) nous donne l’équation de
l’angle φ par rapport à z :
dφ C 1 1
=
dz C 2 r 2
(D.30)
La trajectoire de ce rayon est donc décrite au moyen de la composante radiale r et de la constante angulaire
φ en fonction de la distance z soit :
z = z0 + C2
∫

 2 C 12
2
n − 2 − C 2 
r0 
r


r
−1 / 2
dr
(D.31)
et
φ = φ 0 + C1
∫
r
r
-2
r0
 2 C 12

2
n − 2 − C 2 
r


−1 / 2
dr
(D.32)
La trajectoire sera pour un indice convergent ( n (0) > n (r)), une hélice qui pourra varier de diamètre selon
la distance z. Les constantes C1 et C2 sont déterminées par les angles d’entrée du rayon ainsi que sa hauteur r0. La
trajectoire extrême des rayons est comprise pour un profil de type parabolique entre les deux valeurs rmin et rmax pour
lesquelles
dr
=0
, c’est-à-dire que
dz
n 2 (r) −
C12
r2
− C 22 ≡ 0
Pour le profil d’indice suivant,
 2∆r 2 
n 2 (r ) = n 12 1 − 2 
a 

(D.33)
Nous pouvons intégrer les équations (D.31) et (D.32) et montrer, après une longue démarche, que la
trajectoire r (z) est donnée par
178
r2 =
(r
2
max
) (
où
F=
 ds

 dz
=
)
2
+ rmin
r2 − r2
 2π z 
− max min cos 

2
2
 F 
(D.34)
π C2 a
n 1 2∆
C2 est donné par la relation (D.25) et peut être aussi obtenu en prenant le cosinus de l’angle d’entrée

1
 , à savoir
cos ( 0 ) 
F=
π a n (rmin ) cos (γ 0 )
(D.35)
n 1 2∆
Nous avons posé, comme condition initiale, que r est minimum à z = 0.
On montre que l’angle φ (z) est donné par
 2
2
2
 rmin − rmax tan
cos(2φ ) = 
 r 2 + r 2 tan 2
 min max



πz

F 
πz
F
(D.36)
pour rmin ≠ rmax .
On observe que la trajectoire est une sinusoïdale selon r et une hélice selon φ . En anglais, on appelle ce
type général de rayons « Skey rays » et en français, rayons obliques. Il est possible d’ajuster les conditions d’entrée
pour avoir un type de trajectoire où r = rmin = rmax : ces rayons particuliers s’appellent les rayons hélicoïdaux, ou
« Helicoidal rays » en anglais. Il faut faire attention à la confusion possible lorsque certains auteurs emploient la
notation rayons hélicoïdaux pour nommer les rayons obliques.
Les rayons méridionaux correspondent aux conditions d’entrée
dφ
=0
; on montre alors que dans ce cas
ds
rmin = 0 , que la trajectoire devient purement sinusoïdale autour de l’axe z et qu’elle demeure toujours selon un même
méridien.
Notez aussi qu’à la distance z = F (voir figure D.3), le rayon revient à la même hauteur qu’à z = 0 ( r = rmin)
et que l’angle φ a tourné de π seulement. Une trajectoire complète sera donc obtenue après un parcours z = 2 F.
Cette période F (analogue à une distance focale) de la fibre à gradient d’indice parabolique n’a pas une valeur unique
quels que soient les angles d’entrée ( cos γ 0 ) (voir équation (D.35)). Ce système optique possède donc de
l’astigmatisme. Il faut cependant comprendre (du moins pour ce cas parabolique) qu’à cette distance 2F les rayons
ont fait un parcours complet à la fois selon r et selon φ . Un point source sera représenté comme un petit cercle et
non comme une ellipse.
Vu en section, un rayon oblique se propage suivant une ellipse en spiralant autour de la direction de
propagation z (voir figure D.3c). Le grand axe de l’ellipse est égal à rmax et son petit axe à rmin. Lorsque plusieurs
rayons sont lancés de positions initiales différentes, chacun de ceux-ci décriront une ellipse différente, si nous
regardons une section arbitraire selon l’axe des z. La somme de tous ces trajets donnera la propagation spatiale d’un
mode et celui-ci sera confiné à l’intérieur de deux caustiques cylindriques de rayons rmin et rmax ( voir figures D.3d et
D.3e).
179
FIGURE D.3 : Trajectoires des rayons
180
FIGURE D.3 : Trajectoires des rayons (suite)
Exercice D.3
La constante d’intégration C3
Montrez que la constante d’intégration C3 introduite à l’équation (D.29) est bien identique à la constante
C2.
On rappelle que l’élément de longueur (ds) en coordonnées cylindriques s’écrit :
(ds )2 = (dr )2 + (r dφ )2 + (dz )2
E. Profil optimal
À l’annexe (D), on a obtenu la trajectoire des rayons pour le profil d’indice parabolique. On a alors constaté
qu’un rayon qui partait à une certaine hauteur rmin et avec une pente γ 0 revenait à sa hauteur initiale rmin après une
distance F donnée par la relation (D.35). Malheureusement, cette distance F est une fonction de l’angle de départ γ 0
de chacun des rayons. Une conséquence de ce résultat est qu’une fibre à profil parabolique ne permettrait pas de
représenter un point de source parfaitement, puisque chaque rayon se focalise à une distance F différente
dépendamment de leur pente γ 0 . Une autre conséquence pour les communications optiques est que la vitesse de
groupe (5.47) est différente pour chacun des modes caractérisés par des angles d’entrées γ 0 (5.45). La vitesse de
181
groupe (5.47) n’est pas la même pour les modes parce que la longueur optique
d’entrée γ 0 .
∫ n ds
est une fonction de l’angle
Maintenant, nous cherchons s’il existe un profil optimal qui permet d’égaliser la vitesse de groupe de tous
les modes. Nous démontrerons qu’il existe un profil particulier permettent d’égaliser la longueur optique de tous les
rayons méridionaux. Cependant, nous montrerons que pour un ensemble particulier de rayons hélicoïdaux que le
profil optimal n’est pas le même.
E.1
Le profil SELFOC (sech(αr))
Nous considérons d’abord uniquement les rayons méridionaux. En particulier cette situation est
représentative de l’imagerie d’un point de source par la fibre à gradient d’indice (voir figure E.1).
FIGURE E.1 : Image d’un point source dans une fibre SELFOC
Nous cherchons donc un profil qui permettrait que la longueur optique
∫
LOP = n ds
(E.1)
ne soit pas une fonction de la pente γ 0 du rayon à l’entrée.
Pour les rayons méridionaux, on sait que C1 = 0 (D.24) et que la constante C2 = n1 cos ( γ 0 ). On a donc de
l’équation (D.25) que
n (r)
ds =
dz
(E.2)
n 1 cos (γ 0 )
et
1
LOP =
n 2 dz
(E.3)
n 1 cos (γ 0 )
∫
Au moyen de l’équation des rayons (D.29), on peut exprimer la longueur optique (E.3) uniquement par
rapport à la trajectoire r(z) :
182
LOP = n1 cos γ 0
∫
F
 dr 
1 +  
0
dz
  
2
 dz

(E.4)
Le profil optimum sera celui qui permettra que cette expression pour la longueur ne soit pas une fonction de
l’angle γ 0 des rayons. Notez que nous avons ici éliminer le profil n(r) du chemin optique LOP en supposant que la
trajectoire des rayons r(z) est connue. On cherchera d’abord quelle trajectoire r(z) permet d’égaliser le chemin
optique et on pourra par la suite calculer le profil correspondant.
On doit s’attendre à ce que la trajectoire soit périodique, on écrit alors :
r (z) =
F 
π 
G  tan (γ 0 ) sin ( z )
F 
π 
(E.5)
On suppose aussi que G ( z = 0) et G(z = mF) = 0 (m = 1, 2, 3).
De plus, nous assumons que dG/dz (z = 0) =1, ce qui nous assure que la condition initiale sera :
 dr 
= tan γ 0
 
 dz  z =0
(E.6)
Il nous suffit maintenant de trouver la forme de la fonction G qui sera telle que la dérivée par rapport à la
pente γ 0 sera nulle pour tous les rayons.
∂ L OP
=0
∂γ 0
(E.7)
L’équation (B5.7) nous amène à la relation suivante :
sin γ 0
∫
F
2
 dr  
1 +    dz = 2 cos γ 0
0
dz
   
∫
∂ 2r 
 dz

0  dz ∂z ∂γ 0 


F dr
(E.8)
Les dérivées par rapport à la trajectoire r s’écrivent :
dr
 z
= tan (γ 0 ) cos π  G’
dz
 F
(E.9)
et
F
∂r
 z
(E.10)
= sin π  sec 2 (γ 0 ) G’
∂ zγ0 π
 F
Ces deux dernières relations nous permettent d’écrire formellement la dérivée par rapport à γ 0 en termes de
celle par rapport à z :
F
 z
tan π 
∂r
π
 F   dr 
(E.11)
=
 
∂ γ 0 sin γ 0 cosγ 0  dz 
Cette relation transforme la condition (E.8) en
sin 2 γ 0
∫
F
 dr 
1 +  
0
dz
  
2
2F
 dz =
π

∫
F dr
d
0 dz dz
 dr
 z 
 tan  π  dz
 F 
 dz
(E.12)
183
Si on intègre par partie deux fois le membre de gauche de la relation (E.12), on trouve que celui-ci s’écrit
finalement
∫
F
0


2
 dr 
 dz 


 2 z  
sec  π F  − 1 
  

dz = 0

sin 2 γ 0


(E.13)
De cette dernière relation, on conclut que l’intégrant doit être une fonction périodique du type
A cos
πz
F
 dr 
Cependant, pour satisfaire la condition initiale   = tan γ 0 , nous devons choisir A = 0.
 dz  0
De plus, le choix de la solution en sin ( π z / F) ( ou ses multiples de π ) peut nous mené à la trajectoire r(z)
qui ne peut pas être une fonction périodique simple, comme nous l’avions tout d’abord supposé (E.5). Nous devons
donc conclure que l’équation de la trajectoire est donnée par
2
1
 dr 
  =

 2 z
 dz 

 sec π F
−
1


2

 sin γ 0


(E.14)
Cette équation peut aussi s’écrire comme
dr =
 z
tan 2 γ 0 cos  π  dz
 F

 z 
2
1 + tan γ 0 sin  π 
 F 

1/ 2
(E.15)
Une intégration rigoureuse de cette dernière équation mène à
r (z) =

F
 z 
sinh −1 tan γ 0 sin  π 
π
 F 

(E.16)
La trajectoire des rayons méridionaux pour une fibre optique stigmatique est donc donnée par l’équation
(B5.16). On doit maintenant calculer le profil d’indice correspondant. Ce calcul est obtenu simplement en utilisant la
relation (A5.29) qui relie l’indice à la dérivée de la trajectoire. Ce résultat peut être exprimé sous la forme suivante :
π r 
n(r) = n 1 sech 

 F 
(E.17)
Ce profil d’indice, appelé SELFOC, permet donc d’égaliser les chemins optiques de tous les rayons
méridionaux (voir exercice E.1). Le développement en série de puissance permet d’écrire :
184
 α 2r 2

5 4 4
α r − ...
n(r) ≅ n 1 1 +
2
24


où α =
(E.18)
π
F
Il est intéressant de mentionner ici que la technologie d’aujourd’hui rend possible la distinction entre une
fibre de profil parabolique et une fibre de profil SELFOC. Les figures E.2 a) et E.2 b) montrent la trajectoire des
rayons méridionaux pour un milieu SELFOC et un milieu parabolique.
FIGURE E.2 a) : Rayons méridionaux d’une fibre SELFOC
FIGURE E.2 b) : Rayons méridionaux d’une fibre parabolique
Exercice E.1
Longueur optique pour un profil SELFOC
Montrez que la longueur optique pour tous les rayons méridionaux d’un profil SELFOC (E.17) est bien
Lop=n1F
quelque soit l’angle γ 0 à l’entrée, en intégrant directement le chemin optique Lop et sans vous servir de
l’équation explicite des rayons.
On vous suggère d’écrire tout d’abord la longueur optique comme une intégrale sur la variable r et par
la suite de calculer le chemin optique jusqu’à z = F /2 en notant que pour cette distance la pente des rayons est
nulle.
185
E.2
Profil optimal et rayons hélicoïdaux
Il ne semble pas possible de trouver un indice de profil qui permet d’égaliser à la fois les rayons
méridionaux et les rayons hélicoïdaux. Afin de démontrer ce point, nous présenterons ici le calcul de ce profil
optimum pour les rayons hélicoïdaux purs, soit ceux qui tournent autour du guide sans varier de hauteur. La longueur
optique de ces rayons est donnée par
Lop = n(r )
∫
F
(E.19)
ds
0
puisque l’indice vu n (r) par ces rayons est toujours le même le long du parcours. De plus, puisque r ne varie pas ( dr
= 0), l’élément de longueur ds est
2

(ds ) = 1 + r 2  dφ  
 dz  

1/ 2
(E.20)
dz
Lors du parcours sur la distance F, ces rayons tournent d’un angle égal à π . On a donc que
dφ π
=
dz F
(E.21)
Finalement, on trouve que
L op
2

π  
= n (r) 1 + r 2   
 F  

1/ 2
F
(E.22)
Pour que la longueur optique soit constante quelque soit la valeur de r, on doit choisir une distribution
d’indice de la forme :
n (r) =
n1
2

π  
1 + r 2   
 F  

1/ 2
(E.23)
Ce profil n’est pas identique à celui du profil SELFOC. On doit donc conclure qu’il n’est pas possible de
trouver un profil optimum pour tous les rayons. Près de l’axe, le profil s’écrit

 α 2r2 3 4 4
n(r) ≅ 1 + α r − ...
2
8


(E.24)
Au premier ordre, ces deux profils sont identiques. Cependant, le terme suivant du développement en série
de puissance des profils se différencient appréciablement.
Les éléments optiques SELFOC trouvent aujourd’hui d’importantes applications dans les systèmes optiques
suite à leur propriété de focalisation stigmatique.
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BIBLIOGRAPHIE
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