8.1 Les bases du clacul Fichier

Cours de Structures en béton
Prof. André Oribasi
Chapitre 8
LES SECTION SOUMISES À LA TORSION
Section 8.1
Les bases du calcul
8.1.1 Les causes de la torsion
8.1.2 Les types de torsion
8.1.3 Quelques exemples d’illustration
8.1.4 La torsion de St-Venant ou torsion uniforme
8.1.5 Quelques calculs de sections en torsion uniforme
8.1.6 La torsion non uniforme
8.1.7 Le comportement des sections à la torsion
8.1.8 Le principe du dimensionnement
8.1.9 La modélisation en treillis spatial
Version 1.0
8.1.1 Les causes de la torsion
8.1 Bases torsion
Prof. André Oribasi
Des sollicitation de torsion apparaissent:
-1- de par la non symétrie du système porteur
2
1
-2- de par la courbure imposée par la
géométrie
3
-3- de par la dissymétrie des charges
appliquées
3
3
2
Flexion
Torsion
1
8.1.2 Les types de torsion
8.1 Bases torsion
On distingue 2 types de torsion:
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8.1.2.1 La torsion d’équilibre
La torsion d’équilibre est nécessaire
pour assurer le transfert des forces,
en respectant les conditions
d’équilibre du système statique.
8.1.2.2 La torsion de compatibilité
Petite question :
Quelle est l’allure du diagramme des
moments de flexion ?
La torsion de compatibilité
n’apparaît que dans les
systèmes hyperstatiques,
chaque fois qu’une rotation
angulaire est empêchée.
De cette entrave résulte un
moment de torsion…
Réf: TGC 7 Prof. R. Walther
8.1.3 Quelques exemples d’illustration
8.1 Bases torsion
Quelques exemples pour illustrer la torsion de compatibilité:
Prof. André Oribasi
8.1.3.1 Le cas d’un cadre spatial double
Par continuité, la poutre CE est encastrée
dans la poutre BD au point C.
La valeur du moment d’encastrement Mc
dépend de la rigidité de l’assemblage des 2
poutres et donc de la rigidité de torsion GK
de la poutre BD.
En béton armé, cette rigidité varie en
fonction de la fissuration.
A la rupture, on peut imaginer une perte de
rigidité qui fait apparaître une rotule au
point C, tout en satisfaisant aux conditions
d’équilibre du système statique.
D
B
C
Mc
E
A
F
Armature pour
contrôler la fissuration
Même si l’encastrement en C n’est pas nécessaire
pour assurer l’équilibre, on prendra garde à la
fissuration qui précède la formation de la rotule
plastique.
Réf: Cours Prof. Bruegger
2
8.1.3 Quelques exemples d’illustration
8.1 Bases torsion
Quelques exemples pour illustrer la torsion de compatibilité:
Prof. André Oribasi
8.1.3.2 Le cas d’une grille de poutre (modélisation d’une dalle)
comportement
réel
Comportement idéalisé
en tout point on a mxy = 0
L
L
La continuité introduite par
l’assemblage
rigide du grillage transforme la
rotation
de flexion de la poutre P1 en une
rotation de torsion de la poutre P2
8.1.4 La torsion de St-Venant ou torsion uniforme
8.1 Bases torsion
Ce type de torsion se développe dans les sections fermées.
La torsion uniforme provoque une rotation d’ensemble de la section, en
conservant pratiquement sa forme initiale.
Seules des contraintes de cisaillement apparaissent dans les parois…
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La transmission du moment de torsion au travers de la section se fait sous la
forme d’un flux de cisaillement de valeur constante.
Ce flux est le produit de la contrainte de cisaillement et de l’épaisseur de la
paroi
Réf: Cours Prof. Bruegger
3
8.1 Bases torsion
8.1.5 Quelques calculs de sections en torsion uniforme
8.1.5.1 Le cas d’une section circulaire pleine
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Pour toutes les sections
8.1.5.2 Le cas d’une section rectangulaire pleine
K=
Réf: EPFL, cours Prof. Frey
Mécanique des matériaux
8.1.5 Quelques calculs de sections en torsion uniforme
8.1.5.3 Le cas d’une section circulaire creuse
Pour les sections creuses fermées, la contrainte
tangentielle τ est constante sur l’épaisseur et se
dirige suivant la tangente à la ligne moyenne
8.1 Bases torsion
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8.1.5.4 Le cas d’une section rectangulaire creuse
Principe applicable à toute
section creuse
Réf: EPFL, cours Prof. Frey
Mécanique des matériaux
4
8.1.6 La torsion non uniforme
8.1 Bases torsion
La transmission du moment de torsion dans une section ouverte engendre
simultanément des contraintes de cisaillement et des contraintes normales
=
Moment de torsion
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+
Torsion uniforme T1
Torsion non uniforme T2
Due à la flexion des ailes
Le moment de torsion est équilibré par
T1 qui provient de la torsion pure du
profilé
T2 qui résulte du flux de cisaillement
lié à la flexion des ailes. Cette flexion
provoque un gauchissement de la
section ( la section ne reste pas plane)
Réf: Cours Prof. Bruegger
8.1.7 Le comportement des section à la torsion
8.1 Bases torsion
¬
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En réalité, les deux types de torsion apparaissent quelle que soit la géométrie
de la section.
Toutefois:
pour les sections fermées, la torsion uniforme est prédominante
T1
pour les sections ouvertes, la torsion
non uniforme est prépondérante
T2
5
8.1.8 Les principes du dimensionnement
8.1 Bases torsion
Avant fissuration, on peut suivre l’augmentation des contraintes principales
de traction et de compression qui résultent du moment de torsion appliqué
sur la section
Après fissuration, lorsque les contraintes principales de traction dépassent la
résistance du béton, des fissures apparaissent sous une inclinaison de 45o
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Trajectoire des contraintes principales
de compression
Trajectoire des contraintes principales
de traction
Le dimensionnement d’une section en béton armé soumise à la torsion s’effectue de manière
identique à l’effort tranchant, par la création d’un treillis spatial idéalisé.
La section transversale est découpée en éléments de parois sur
chacun desquels est appliqué un flux de cisaillement
…
Réf: Cours Prof. Bruegger
8.1.9 La modélisation en treillis spatial 1/5
La vérification d’une section soumise à la torsion
implique:
- Le dimensionnement des étriers nécessaires à la
reprise des forces de traction
- La vérification des bielles de béton comprimées
- le calcul de l’armature longitudinale
supplémentaire
8.1 Bases torsion
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• Le noyau ne contribue que faiblement
à la résistance à la torsion
• Les étriers servent à reprendre l’effort de traction provenant des contraintes
principales de traction. Ils permettent de conserver les dimensions de la
section transversale
• Les armatures longitudinales assure la continuité de la
section et évite la dislocation des sections
Réf: TGC 7 Prof. R. Walther
6
8.1.9 La modélisation en treillis spatial 2/5
8.1 Bases torsion
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• Les étriers sont en traction
• Les étriers sont soumis à un flux de
cisaillement et doivent être fermés
• Les étriers doivent être ancrés
correctement à leur extrémité
• Les armatures longitudinales
sont en traction
• Les bielles de béton sont comprimées
• Les barres longitudinales doivent être
ancrés correctement à leur extrémité
Réf: Cours Prof. Bruegger
8.1.9 La modélisation en treillis spatial 3/5
8.1 Bases torsion
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zi est le bras de levier des forces longitudinales dans l’élément de paroi i
Fti est la résultante des forces longitudinales de traction sous l’effet de la
torsion, pour la paroi I
α est l’angle d’inclinaison formé par les bielles de béton comprimé. Cet
angle est identique sur tout le pourtour de la section
Réf: Cours Prof. Bruegger
7
8.1.9 La modélisation en treillis spatial 4/5
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Effort dans les membrures
Réf: Cours Prof. Bruegger
8.1.9 La modélisation en treillis spatial 5/5
8.1 Bases torsion
Sollicitation d’un étrier
Effort dans les bielles
de béton comprimées
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Réf: Cours Prof. Bruegger
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