EXERCICE 2 : Un jardin est envahi par des chardons. Un dimanche

TLES1
DEVOIR A LA MAISON N°7
La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d’une
fonction f définie et dérivable sur ℝ.
On note f ' la fonction dérivée de f .
La tangente T à la courbe C f au point A(0 ; 3) passe par le point B(1 ; 5).
1. En utilisant les données et le graphique :
a. Déterminer f (0) et f ’(0). Justifier .
b. Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l’aire, en unités
d’aire, de la partie du plan située entre la courbe C f , l’axe des abscisses, l’axe
des ordonnées et la droite d’équation x = 1.
2. On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel x, par une
expression de la forme f (x)  1  (a x  b) e - x où a et b sont des nombres réels.
a. Déterminer l’expression de f ' ( x ) en fonction de a, de b et x.
b. À l’aide des résultats de la question 1.a. , démontrer que l’on a, pour tout réel x :
f (x)  1  ( 4 x  2) e - x
3. Soit F la fonction définie et dérivable sur ℝ par F(x)  x  (-4 x  6)e x
a. Vérifier que F est une primitive de f sur ℝ.
b. Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 −2 près de l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan
située entre la courbe C f , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.
Ce résultat est-il cohérent avec l’encadrement obtenu à la question 1.b ?
EXERCICE 2 :
Un jardin est envahi par des chardons. Un dimanche, ceux-ci couvrent 300 m2 de pelouse. Puis chaque
semaine, la surface envahie augmente :
de 4 % par prolifération des racines,
de 13 m2 dus aux graines envolées.
Pour tout entier n, on note un l'aire de la pelouse, en mètre carré, envahie par les chardons au bout de n
semaines. Ainsi uo = 300.
1. Justifier que, pour tout entier n : un+1 = 1,04 un +13.
Dans la suite, on cherche à savoir au bout de combien de semaines les chardons auront envahi plus de 600 m2.
2. 1re méthode à l'aide d'un algorithme :
On veut utiliser l'algorithme incomplet suivant :
Variables : n est un entier naturel
Le compléter, le programmer et résoudre le problème.
u est un réel
3. 2ème méthode à l'aide d'une suite auxiliaire :
Initialisation : Affecter à n la valeur 0
On définit la suite (vn ) sur par vn = un + 325.
Affecter à u la valeur 300
a. Démontrer que la suite (vn ) est géométrique. Préciser le Traitement : Tant que …...............
premier terme et la raison.
Affecter à n la valeur …...........
b. Exprimer vn en fonction de n pour tout entier naturel n.
Affecter à u la valeur …...........
c. En déduire que pour tout entier n, un = 625x1,04n – 325.
Fin Tant que
Résoudre le problème en tabulant la suite (un ) à la
Sortie : Afficher n
calculatrice
CORRIGE DU DEVOIR A LA MAISON N° 7
1. a. f (0) = 3 car A(0 ; 3) appartient à la courbe C f
f ’(0) est le coefficient directeur de la tangente à C f au point d’abscisse 0, c'est-à-
dire le coefficient directeur de la droite T donc : f ’(0) =
y B y A
5–3
=
=2
xB  x A 1 – 0
b. 3 Aire 4 car elle est comprise entre l’aire de deux rectangles de largeur 1 et
de longueur respective 3 et 4.
2. a. f (x)  1  u( x)v(x) avec u(x)  ax  b donc u' (x)  a
v(x)  e  x donc v' (x)   e  x
f ' (x)  u' (x)v(x)  u(x)v' (x)
f ' (x)  ae  x  ( ax  b)e  x
f ' (x)  (ax  a  b)e  x
f ( x)  1  (a x  b) e -x donc f (0) 1  b .
b.
Or d’après la question 1.a f (0)  3 donc 1 + b = 3 d’où b = 2
f ' (x)  (ax  a  b) e  x donc f ' (0)  a  b .
Or d’après la question 1a, f ' (0)  2 donc a – b = 2 soit a – 2 = 2 d’où a = 4
Ainsi on a bien : f (x)  1  ( 4 x  2) e - x
3. F(x)  x  u(x)v(x) avec u(x)  4x  6 donc u' (x)  4
v(x)  e  x donc v' (x)  e  x
F' ( x )  1  u' ( x )v( x )  u( x )v' ( x )
 1  4e  x  ( 4x  6)e  x
 1  ( 4 x  4  6 )e  x
 1  ( 4 x  2 )e
Donc F est bien une primitive de f sur ℝ.
x
 f (x)
b.
1
 f (x)dx = F(1) – F(0) = 1 – 10e
0
Donc Aire = 7 –
10
e
-1 -
(- 6) = 7 –
10
e
3,3
3,3 ua
Ce qui est cohérent avec le résultat trouvé à la question 1.b puisque 3
7–
10
e
4
EXERCICE 2 :
1. Chaque semaine, la surface envahie augmente de 4% par la prolifération des racines donc elle est
multipliée par 1,04 et chaque semaine la surface envahie augmente de 13 m2 donc on ajoute 13 .
Ainsi pour tout entier n : un+1 = 1,04 un +13.
2.
L’algorithme affiche n = 10
Au bout de 10 semaines, les chardons auront envahi plus de 600
m2.
Variables : n est un entier naturel
u est un réel
Initialisation :
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 300
Traitement : Tant que u
600
Affecter à n la valeur n + 1
Affecter à u la valeur 1,04 x u + 13
Fin Tant que
Sortie : Afficher n
3. a. Pour tout entier naturel n, vn+1 = un+1 + 325
= 1,04un + 13 + 325
= 1,04 un + 338
= 1,04 (un + 325)
= 1,04vn
Donc, la suite (vn ) est géométrique de raison 1,04 et de premier terme v0= u0+ 325 = 300 + 325 = 625.
b. La suite (vn ) est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme v0= 625.
Pour tout entier naturel n,vn = 625 x 1,04n
c. Pour tout entier naturel n, un = vn – 325 = 625 x 1,04n – 325.
Avec le menu table de la calculatrice, on obtient : u9 564,56 et u10
Au bout de 10 semaines, les chardons auront envahi plus de 600 m2.
600,15